第3章《勾股定理》綜合測試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

1.下列三條線段能組成直角三角形的是（）

A.a==15,c=16B.a=9,b=12,c=15

C.tz=9,/?=40,c=42D.a:b:c=2:3:4

2.如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A,B都是格點，則線段AB

的長度為（）

A.5B.6

3.下列說法正確的是（）

A.若a,b,。是ABC的三邊，則/+廿=°2

B.若。，b,。是如ABC的三邊，則/+/=c2

C.若。，b,c是RfABC的三邊,ZA=90°,則

D.若。，b,c是HABC的三邊，ZC=90°,則片+斤=02

4.如圖是一個圓柱形飲料罐，底面半徑是3,高是4,上底面中心有一個小圓孔，則一條長

10cm的直吸管露在罐外部分。的長度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計）范圍是（）

A.5<a<6B.3<a<4D.l<a<2

5.一艘輪船從A港向南偏西48。方向航行100km到達(dá)B島，再從B島沿8M方向航行125km到

達(dá)C島，A港到航線期的最短距離是60km.若輪船速度為25km/h,輪船從C島沿C4返回A

港所需的時間是（）

6.如圖，直線上有三個正方形，面積分別為Si,S2,S3,已知H=5,S3=7,則面積為邑的正方

形的邊長為（）.

7.設(shè)直角三角形的兩條直角邊長及斜邊上的高分別為2加及11,則a,b,h的數(shù)量關(guān)系是（）

A.a-b^hB.affC.：+/='D.=:

8.如圖，“趙爽弦圖”是吳國的趙爽創(chuàng)制的.以直角三角形的斜邊為邊長得到一個正方形，該

正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的小正方形組成，在一次游園活動中，數(shù)學(xué)小組制

作了一面“趙爽弦圖鑼"，其中NAEB=90。，AB=13cm,BE=5cm,則陰影部分的面積是（）

A.169cm2B.25cm2C.49cm2D.64cm2

9.如圖，三角形紙片ABC中，點D是BC邊上一點，連接AD,把^ABD沿著直線AD翻折，

得到aAED,DE交AC于點G,連接BE交AD于點F.若DG=EG,AF=4,AB=5,AAEG

的面積為（則應(yīng)）2的值為（）

A

A.13B.12D.10

10.中國古代稱直角三角形為勾股形，如果勾股形的三邊長為三個正整數(shù)，則稱三邊長叫“勾

股數(shù)”；如果勾股形的兩直角邊長為正整數(shù)，那么稱斜邊長的平方叫“整弦數(shù)''對于以下結(jié)論：

①20是“整弦數(shù)”；②兩個“整弦數(shù)”之和一定是“整弦數(shù)”；③若c2為“整弦數(shù)”，則c不可能為正

整數(shù)；④若m=aj+bi2,n=a22+b22,,且m,n,ai,a2,bi,b2均為正整數(shù)，則m與n

bib2

之積為“整弦數(shù)”；⑤若一個正奇數(shù)（除1外）的平方等于兩個連續(xù)正整數(shù)的和，則這個正奇數(shù)

與這兩個連續(xù)正整數(shù)是一組“勾股數(shù)其中結(jié)論正確的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題（本大題共6小題，每小題2分，共12分）

11.直角三角形的兩直角邊均擴(kuò)大到原來的3倍，則斜邊擴(kuò)大到原來的倍.

12.已知一個直角三角形的兩條直角邊分別為7cm、24cm,那么這個直角三角形斜邊上的高為

cm.

13.如圖，ZC=90°,將直角AABC沿著射線BC方向平移5cm,得△ABC,若BC=3cm,

AC=4cm,則陰影部分的周長為.

14.把一張矩形紙片（矩形ABCD）按如圖方式折疊，使頂點B和點D重合，折痕為EF,若

AB=3cm,BF=5cm,則重疊部分ADEF的面積是cm2.

A'

15.如圖，已知等腰及ABC的直角邊長為1,以它的斜邊AC為直角邊畫第二個等腰及入4。。，

再以斜邊AD為直角邊畫第三個等腰放△ADE,…，依此類推，AC長為0,AD長為2,第3個

等腰直角三角形斜邊AE長為,第4個等腰三角形斜邊AF長為,則第〃

個等腰直角三角形斜邊長為.

16.如圖，已知ABC中，ZACB=90°,D是的中點，AE_LCD于點E；連接BE,則下列結(jié)

論正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

@ZADC^2Z.CAE-②當(dāng)E為8中點時，BC=y/3AC；

③若Zfi￡E>=60。，則BE=4DE；④若AB=4,則zMBE面積的最大值為2.

三、解答題（本大題共10題，共68分）

17.（6分）如圖，已知等腰三角形ABC底邊上的高AD為4,ABC的周長為16,求三角形

ABC的面積.

BDC

18.（6分）《中華人民共和國道路交通管理條例》規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過

10km/h.如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢

測儀A處的正前方30m的C處，過了2s后，測得小汽車與車速檢測儀間距離為50m,這輛小汽

車超速了嗎？（參考數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換：lm/s=3.66〃/h）

小汽車小汽車

B"：-----------QC

檢測儀

19.（6分）如圖，在，ABC中，ZACB=90°,CO為AB邊上的高，CE為48邊上的中線，AD=3,

CE=6,求CO的長.

20.（6分）一個四邊形零件的形狀如圖，工人師傅量得NA=90。，AD=3,AB=4,BC=13,

DC=12,請你求出零件中的NBDC的度數(shù).

21.(6分)如圖，在AfiC中，AZX3E分別為邊3C、AC的中線，分別交BC、AC于點D、E.

(1)若CD=4,CE=3,AB=10,求證：ZC=90°；

⑵若NC=90。，AD=6,BE=8,求A3的長.

22.(6分)如圖：AACB和ECD都等腰直角三角形，ZECD=ZACB=90°,AC=CB,CE=CD,

△ACB的頂點A在一ECD的斜邊DE上，

(1)求證：AE=BD;

(2)試探究線段AC、AD、AE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論.

23.(6分)在等腰直角AABC中，NACB=90。，P是線段BC上一動點(與點B,C不重合),

連接AP,延長BC至點Q,使得CQ=CP,過點Q作.QH上AP于點H,交AB于點M.

(1)若NPAC=a,則NAMQ=(用含有a的式子表示)；

(2)用等式表示線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

24.(6分)如圖，是等腰直角三角形，ZACB=90。，AC=BC=6,。在線段BC上，E是

線段5上的一點，連接CE,將線段CE以C為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段CF,連接

⑴如圖1,猜想AE和"的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖2,若/BAD=15。，連接所、DF,當(dāng)E運動到使得NACE=30。時，求.QEF的面積.

25.（10分）【情景呈現(xiàn)】畫403=90。,并畫ZAOB的平分線OC.

（1）把三角尺的直角頂點落在OC的任意一點尸上，使三角尺的兩條直角邊分別與402的兩邊

OA,02垂直，垂足為E,F,（如圖1）.則PEPF.（選填：“<”、">”或“="）（2）把

三角尺繞點尸旋轉(zhuǎn)（如圖2）,猜想PE,尸尸的大小關(guān)系，并說明理由.

【理解應(yīng)用】

⑶在（2）的條件下，過點尸作直線GHLOC,分別交0L,于點G,如圖3猜想GE,FH,

E尸之間的關(guān)系為.

【拓展延伸】

(4)如圖4,畫ZAOB=60。，并畫ZAOB的平分線0C,在OC上任取一點P,作NEP尸=120。，ZEPF

的兩邊分別與。8相交于E,尸兩點，PE與PF相等嗎？請說明理由.

26.(10分)如圖1,4ABC和4ADE均為等邊三角形，點D在BC邊上，連接CE.

圖3

(1)發(fā)現(xiàn)

①NDCE的度數(shù)是

②線段CA、CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系是

(2)探究

如圖2,4ABC和AADE均為等腰直角三角形,ZBAC=ZDAE=90°,點D在BC邊上，連

接CE.請判斷NDCE的度數(shù)及線段CA、CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)拓展應(yīng)用:

如圖3,4ABC和AADE均為等腰直角三角形,NBAC=NDAE=90。，點D在BC的延長線

上，連接CE,若AB=AC=&,CD=1,求線段DE的長.

答案

一、選擇題

1.B

【解析】解:A.V82+152#162,

.?.以a、b、c為邊不能組成直角三角形，故本選項不符合題意;

B,V92+122=152,

?,.以a、b、c為邊能組成直角三角形，故本選項符合題意；

C.,.?92+402于422,

.?.以a、b、c為邊不能組成直角三角形，故本選項不符合題意;

D.設(shè)a=2k,b=3k,c=4k,

V(2k)2+(3k)"(4k)2,

?,.以a、b、c為邊不能組成直角三角形，故本選項不符合題意;

故選：B.

2.A

【解析】解：如圖所示：

AB=YIAC2+BC2=5.

故選：A.

3.D

【解析】解：A、當(dāng)ASC是直角三角形且NC=90。時，a2+b2=c2,故此選項不符合題意;

B、若“，b,c是及ABC的三邊，ZC=90°,則/+/=°2,故此選項不符合題意；

C、若“，b,。是及ABC的三邊，ZA=90°,則62+02="，故此選項不符合題意；

D、若b,c是改ABC的三邊,ZC=90°,則/+廿"?，故此選項符合題意.

故選：D.

4.A

【解析】當(dāng)直吸管下端恰好位于罐底的圓周上時，如圖所示，

22

則OA=3,AB=4,由勾股定理得：OB=\IOA+AB=A/32+42=5?

a=10-5=5；

當(dāng)直吸管下端恰好位于罐底的中心時，則罐體內(nèi)直吸管長為罐體的高即4,則a=10-4=6；

綜上，直吸管露在罐外部分a的長度范圍為5WaW6.

故選：A.

5.D

【解析】解：由題意，得：AD=60km,

在RtZkABD中，AB=100km,AD=60km,

BD=7AB2-AD2=A/1002-602=80(km).

/.CD=BC-BD=125-80=45(km).

在RtAACD中，AC=y/cD2+AD2=7452+602=75(km).

75+25=3(h).

答：從C島沿CA返回A港所需的時間為3h.

故選：D.

6.B

由題意可知，AC=EC,ZABC=ZCDE=90°,

ZACB+ZECD=ZACB+ZBAC=90°,

：.NBAC=NECD.

ABAC=NECD

在，ASC和△CDE中，，NABC=NCDE,

AC=EC

：.ABC^CDE(AAS),

/.BC=DE.

*.*S]=5,S3=7,

即AB?=5,DE2=BC2=7.

在RtAABC中，AB2+BC-=AC-,

2

AC=12,AC=Ji2=2^39

即面積為S?的正方形的邊長為2G.

故選：B.

7.C

【解析】解：設(shè)高為a對應(yīng)的直角邊的長為x,高為b對應(yīng)的直角邊的長為y,斜邊為z,

?.?—1ax=1—,by=1—cz,

222

/.ax=by=hz,

.hzhz

.?x=—,y=-y

ab

x2+y2=z2,

22

.llZ色22

,,Khz'

-11_1

??h瓦-/

故選c.

8.C

【解析】解：在中，

AE=^AB2-BE2=7132-52=12，

4個直角三角形是全等的，

.\AH=BE=5,

小正方形的邊長=短-M=12-5=7,

,陰影部分的面積=72=49^4),

故選：C.

9.A

【解析】解：由折疊得，AB=AE,ZBAF=ZEAF,

在aBAF和^EAF中，

AB=AE

<ZBAF=ZEAF,

AF=AF

：.ABAF^AEAF(SAS),

ABF=EF,

/.AF±BE,

又：AF=4,AB=5,

BF=yjAB2-AF2=3,

在AADE中，EF±AD,DG=EG,設(shè)DE邊上的高線長為h,

???S^E=^ADEF=^DGh+^EGh,

即^AADG+S"￡G=A。,EF,

..19

?§AAEG=5，GE,/?=—,^AADG=S/XAEG,

._99_

?,^AADG+^/\AEG-~，

：.9=-AD3,

2

AD=6,

/.FD=AD-AF=6-4=2,

在RtZkBDF中，BF=3,FD=2,

/.BD2=BF2+FD2=32+22=13,

故選：A.

10.C

【解析】解：①???20=（同『=2?+不

...20是“整弦數(shù)”，符合題意；

②如5,2是“整弦數(shù)”，

；2+5=7不是“整弦數(shù)”,

兩個“整弦數(shù)”之和不一定是“整弦數(shù)”，不符合題意；

③若c=5,則C2=25,25=9+16=3?+42,C?為“整弦數(shù)”，則c為正整數(shù)”，不符合題意;

222

@Vm=ar+b],n=a2+b2,千豐%且m,n,ai,a2,bi,b?均為正整數(shù),

q4

,mn=（%?+b；）（生？+b]）

=+^2a2+a；b；+b；b；

2

二（%出+4仇J+（4打-a2bt）

???m與n之積為“整弦數(shù)”，符合題意；

⑤設(shè)一個正奇數(shù)(除1外)為2n+l(n為正整數(shù))，

V(2n+l)2=4n2+4n+l且等于兩個連續(xù)正整數(shù)的和,

??.較小的正整數(shù)為2n2+2n,較小的正整數(shù)為2聲+211+1,

*.*(2n+l)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n)2+4n2+4n+l=(2n2+2n)2+2(2n2+2n)+1=(2n2+2n+l)

29

這個正奇數(shù)與這兩個連續(xù)正整數(shù)是一組“勾股數(shù)”，符合題意.

故選：C.

二、填空題

11.3

【解析】解：設(shè)直角三角形直角邊為a、b,斜邊為c,則a?+b2=c2；

擴(kuò)大3倍后，直角三角形直角邊為3a、3b,則根據(jù)勾股定理知斜邊為

購三麗=3向瓦=3c.即直角三角形兩直角邊都擴(kuò)大到原來的3倍，

則斜邊擴(kuò)大到原來的3倍.

故答案為3.

12咽

25

【解析】解：設(shè)這個直角三角形斜邊上的高為xcm,

由勾股定理得，直角三角形斜邊長=，7?+242=25,

由三角形的面積公式得，|x7x24=|x25xx,

解得，戶等，

故答案為：詈.

13.16cm

【解析】解：在RtAACB中，AB=7AC2+BC2=742+32=5(cm)

VAA-BB,=5cm,

.\CB,=BB,-BC=5-3=2(cm),

???陰影部分的周K=AC+CB，+AB+AA，=4+2+5+5=16(cm).

故答案為：16cm.

15

14.

2

【解析】解：*.,AB=3cm,BF=5cm,

由折疊的性質(zhì)可得，BF=FD,A!D=AB=3cm,

在RtACDF中，由勾股定理得：

FC2^BF2-CD1

：.FC=4,BC=9,

設(shè)DE=x,則AE=AE=(9-x)cm,

在R么EOF中，由勾股定理得：

A!E2+A!D2=ED2,

：.(9-x)2+9=x2,

解得：x=5,

DE=5(cm),

.'.△DEF的面積是：［x5x3=1(cm2).

乙2

15.204(V2)"

【解析】解：在直角三角形中由勾股定理可以得出：

第一個等腰三角形斜邊長為：AC=#7F=72=(72),,

222

第二個等腰三角形斜邊長為：AD=^(V2)+(V2)=2=(V2),

第三個等腰三角形斜邊長為：AE3S=2叵=網(wǎng),

第四個等腰三角形斜邊長為：.=他可+卜可=4=(&7,

……依此類推，

第〃個等腰三角形斜邊長為：

故答案為：2夜；4;(忘了.

16.①②③④

【解析】解：z\ABC中，ZACB=90°,D是AB的中點，

，CD=BD=AD,

/.ZDCB=ZDBC,

/.ZADC=2ZDCB,

VAEXCD于點E,

/.ZACE+ZCAE=90°,

VZACE+ZDCB=90°,

/.ZCAE=ZDCB,

/.ZADC=2ZCAE,故①正確；

當(dāng)E為CD中點時，VAEXCD,

.\AC=AD,

AACD是等邊三角形，

/.ZBAC=60°,

；.BC=6AC,故②正確；

作BMLCD,交CD的延長線于點M,則AE〃:BM,

/.ZDAE=ZDBM,

VZADE=ZBDM,AD=BD,

.,.△ADE^ABDM(AAS),

，DE=DM,

若NBED=60。，則BE=2EM=4DE,故③正確；

VAADE^ABDM,

/.AE=BM,DE=DM,

SAABE=SABEM=y?BM?EM=1?AE?2DE=AE?DE,

若AB=4,則AD=2,

在RtAADE中，AD2=AE2+DE2,

AE2+DE2>2AEXDE

：.-AE-ED<-(AE2+DE2)=-AD2^I

24、74

即SADE的最大值值為1,

.1△ABE面積的最大值為2,故④正確；

故答案為：①②③④.

三、解答題

17.解：?「AD是底邊BC上的高，

/.BD=-BC,

2

設(shè)BD=x,

「△ABC的周長為16,

AB+BD=8,AB=8—x,

在RtAABD中,ZADB=90°,

/.X2+42=(8-X)2,

解得：x=3,

.*.BC=2BD=6,

.,.5MBC=|BCxAD=1x6x4=12.

18.解：根據(jù)題意ACLBC,AC=30m,AB=50m,

:.在RtABC中，

22

BC=y/AB-AC=,5()2-302=4o(m),

40

.??小汽車的速度為v=3=20(，"/s)=72(k"/h),

72^m/h>70Am/h,

...這輛小汽車超速行駛.

19.解：VZACB=90°,CE為A2邊上的中線

/.AB=2CE=U,AE=EB=CE

/.AE^-AB=6

2

'：AD=3

，DE=AE—AD=3

：.在Rt/\CDE中

CD=qCE'_DE，=后-32=3A/3.

20.解：VZA=90°,AD=3,AB=4,

**.BD=732+42=5.

VBC=13,DC=12,52+122=132,

BD2+DC2=BC2,

.,.△BDC是直角三角形,ZBDC=90°.

21.(1)證明：VAD,BE分別為邊BC、AC的中線，CD=4,CE=3.

/.AC=6,BC=8.

AS=10.

/.AB2=AC2+BC2.

AABC是直角三角形.

/.ZC=90°.

(2)解：VZC=90°,AD=6,BE=8,

AC2+CD2=AD2,BC2+CE-=BE-.

?.?AD、BE分別為邊BC、AC的中線.

/.CD=-BC,CE=-AC.

22

/.AC2+(-BC)2=36,BC2+(-AC)2=64.

22

5,5,

/.-AC2+-BC2=IOO.

44

/.AC2+BC2=80.

?*-AB=y/AC2+BC~=4A/5?

22.(1)VAC=CB,CE=CD

：.ZACB=NDCE=90。

：.ZACE=ZBCD

/.△ACE^ABCD(SAS)

AE=BD

(2)線段AC,AD,AE三條線段的數(shù)量關(guān)系是AE2+AZ)2=2AC2

,.?△ECD是等腰直角三角形，

/.ZE=ZEDC=45

由(1)知：/E=/CDB=45。

：.NBDE=90。

即AB2=AD2+BD2=AD1+AE1,

又Rt^ACB為等腰直角三角形，且AC=BC,

2AC2=AB2,

即AE-+AD2=23.

23.(1)VZPAC=a,z\ACB是等腰直角三角形,

/.ZBAC=ZB=45O,ZPAB=45°-a,

VQH±AP,

/.ZAHM=90°,

/.ZAMQ=180°-ZAHM-ZPAB=45°+a；

故答案為：ZAMQ=45°+a

(2)PQ=V2MB；理由如下：

VAC±QP,CQ=CP,

/.ZQAC=ZPAC=a,

/.ZQAM=45°+a=ZAMQ,

AAP=AQ=QM,

在AAPC和AQME中，

ZMQE=ZPAC

<ZACP=ZQEM,

AP=QM

/.△APC^AQME(AAS),

/.PC=ME,

???AMEB是等腰直角三角形，

,-.|PQ=^MB.即PQ=y/2MB.

24.(1)AE=BF,AELBF,

證明：如圖1,延長AD交郎于點M,

圖1

,/將線段CE以C為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CV,

/.ZECF=90°,CE=CF,

"：ZACB=90°,

/.ZACE+/ECD=Z.BCF+NECD=90°,

/.ZACE=ZBCF,

AC^BC,

/.ACE^BCF(SAS),

：.AE=BF,NCAE=NCBF,

"：ZADC=ZBDM,

：.ZAMBZACD9Q0,

：.AM±BF,即AE1防.

(2)如圖2,作FaJLBC于點H,EG_L3C于點G,

A

???在等腰直角二ABC中，ZACB=9Q°,AC=BC,

：.ZC4B=45°.

?「NBA。=15。，

/.NC4E=30。，

ZACE=30°,

：.AE=EC9

?:△ACEmABCF,

：.BF=AE9CF=CE,

：.CF=BF,ZFCB=ZCBF=30°,

VFC=FB,FH1BC,

：.CH=BH=3,

在吊CHF中，CF=2HF,

：.CF2-HF2=CH2,gp4HF2-HF2=9,

:?HF=6,CF=20

ZCED=ACAE+AACE=60°,ZECD=90°-30°=60°,

???ECO是等邊三角形，

/.EC=CF=CD=2百,

■:EGLCD,即ZEGC=90。，

NCEG=30。，

???CG=6EG=3,

??S^EDF=S&ECD+S公CDF-S/^ECF

=-xCDxEG+-xCDxHF--xCExCF

222

=-X2^X3+-X2V3XV3--X273X2^

222

=3A/3-3

25.(1)解：2OC平分NAOB,

...ZAOC=ZBOC,

VPE±OA,

/.ZOEP=90°,

VZAOB=90°,ZEPF=90°

/.ZOFP=360°-ZAOB-ZPEO-ZEPF=90°,

/.ZOEP=ZOFP

XVZAOC=ZBOC,OP=OP

.,.△OEP^AOFP(AAS),

，PE=PF,

故答案為：=;

(2)解：PE=PF,理由如下：如圖2,過點P作PMLOA,PNXOB,垂足是M,N,

VPMXOA,PN±OB,ZAOB=90°,

：.ZAOB=ZPME=ZPNF=90°,

/.ZMPN=90°,

與(1)同理可證PM=PN,

ZEPF=90°,

/.ZMPE=ZFPN,

在z\PEM和APFN中，

ZPME=NPNF

<PM=PN,

NMPE=ZNPF

.,.△PEM^APFN(ASA),

/.PE=PF；

(3)解:GE2+FH2=EF2,理由如下:

VOC平分NAOB,

/.ZAOC=ZBOC=45°,

VGH±OC,

/.ZOGH=ZOHG=45°,

.\OP=PG=PH,

VZGPO=90°,ZEPF=90°,

AZGPE=ZOPF,