第08講勾股定理

1【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握勾股定理的內(nèi)容及證明方法，能夠熟練地運(yùn)用勾股定理由已知直角三角形中的兩條邊長求出第三條

邊長.

2.掌握勾股定理，能夠運(yùn)用勾股定理解決簡單的實(shí)際問題，會(huì)運(yùn)用方程思想解決問題.

3.熟練應(yīng)用勾股定理解決直角三角形中的問題，進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決問題.

W【基礎(chǔ)知識(shí)】

一.直角三角形的性質(zhì)

（1）有一個(gè)角為90°的三角形，叫做直角三角形.

（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：

性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）.

性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余.

性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）

性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積.性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一

個(gè)銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；

在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°.

二.勾股定理

（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是。，b,斜邊長為C,那么次+房=02.

（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

（3）勾股定理公式/+62=02的變形有：0="2-爐,b=-a2及U+12.

（4）由于/+信=。2>/，所以c>a,同理c>6,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角

邊.

三.勾股定理的證明

（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的.先利用拼圖的方法，然后再利用面

積相等證明勾股定理.

（2）證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小

圖形的面積和化簡整理得到勾股定理.

四.等腰直角三角形

（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.

（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所

有性質(zhì).即：兩個(gè)銳角都是45°,斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊

上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑（因?yàn)榈妊苯侨切蔚膬蓚€(gè)小角均為45°,高又垂直

于斜邊，所以兩個(gè)小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；

（3）若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑廠=1,則外接圓的半徑尺=\僅+1,所以r：R=l：V2+1.

【考點(diǎn)剖析】

一.直角三角形的性質(zhì)（共6小題）

1.（2021秋?姜堰區(qū)期末）如圖，是一個(gè)銳角，點(diǎn)C、。分別為邊。4、上的點(diǎn)，0c=10,OD

=8,圖中可能互相垂直的兩條線是（)

B.CD與OB

C.CZ)與。4D.沒有可能垂直的兩條線

2.（2021春?畢節(jié)市期末）若△ABC中,ZA=90°,且NB-/C=30°,那么NB的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

3.（2022春?阜寧縣期中）直角三角形中，兩個(gè)銳角度數(shù)之比為1：5,則較小的銳角度數(shù)為.

4.（2022春?大豐區(qū)校級(jí)月考）在△ABC中，已知NA=90°,/B=NC,則.

5.（2022春?濱?？h期中）如圖，在AABC中，ZBAC=90°,于點(diǎn)Q,BE平分/48C,AD,BE

相交于點(diǎn)F.

(1)若/CA￡)=36°,求NAEF的度數(shù);

(2)試說明：ZAEF=ZAFE.

6.（2020秋?儀征市期末）下列幾組數(shù)中，能作為直角三角形三邊長的是（）

A.2,4,5B.3,4,5C.4,4,5D.5,4,5

二.勾股定理（共5小題）

7.（2021秋?淮安區(qū)期末）如圖，在中，ZC=90°,AC=5,BC=12,貝!]A8=（）

A.12B.13C.14D.15

8.（2021秋?宜興市期末）在一個(gè)直角三角形中，若斜邊的長是13,一條直角邊的長為5,那么這個(gè)直角

三角形的面積是（）

A.30B.40C.50D.60

9.（2022春?岳麓區(qū)校級(jí)期中）如圖，在RtZsABC中，ZACB=90°,以RtA4BC的三邊為邊向外作正方

形，其面積分別為Si,S2,S3,且51=5,&=16,則52=（）

A.6B.25/2C.11D.24

10.（2022春?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）定義：如圖，若點(diǎn)P在三角形的一條邊上，且滿足/1=/2,則稱點(diǎn)尸

為這個(gè)三角形的“理想點(diǎn)”.

（1）如圖①，若點(diǎn)。是△ABC的邊A8的中點(diǎn)，AC=2y/2,A8=4,試判斷點(diǎn)。是不是△ABC的“理

想點(diǎn)”，并說明理由；

(2)如圖②，在RtZkABC中，ZC=90°AB=5,AC=4,若點(diǎn)。是△ABC的“理想點(diǎn)”，求C￡＞的

長.

11.（2021秋?陽山縣期末）如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=2.以48為一條邊向三角形外

部作正方形，則正方形的面積是（）

A.5B.6C.12D.13

三.勾股定理的證明（共4小題）

12.（2020秋?崇川區(qū)期末）如圖是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的大正方形.若小正方形

邊長為3,大正方形邊長為15,則一個(gè)直角三角形的面積等于（）

13.（2022春?江都區(qū)期中）如圖，“趙爽弦圖”由4個(gè)完全一樣的直角三角形所圍成，在RtZ\ABC中，

AC=b,BC=a,ZACB=90°,若圖中大正方形的面積為60,小正方形的面積為10,貝|（。+6）2的值

為

14.（2022春?陽高縣月考）4個(gè)全等的直角三角形的直角邊分別為a、b,斜邊為c.現(xiàn)把它們適當(dāng)拼合,

可以得到如圖的圖形，利用這個(gè)圖形可以驗(yàn)證勾股定理，你能說明其中的道理嗎？請?jiān)囈辉?

15.（2021秋?六合區(qū)期中）如圖是由4個(gè)全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的兩條直角邊分

別為a、b（b>a）,斜邊為c,中間是正方形，請你利用這個(gè)圖來驗(yàn)證勾股定理.

四.等腰直角三角形（共6小題）

16.（2021秋?鎮(zhèn)江期末）如圖，在△ABC中，A2=AC=1,若/B=45°,則線段的長為

AC

17.（2022春?泗洪縣期中）如圖，將一個(gè)含有45。角的直角三角尺放在兩條平行線機(jī)、〃上，已知/1=

C.45°D.75°

18.（2020秋?邢江區(qū)月考）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖，在RtZXABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)。在底邊

8c上，AE=AD,連結(jié)OE.

（1）當(dāng)NA4￡）=60°時(shí)，求NC￡）E的度數(shù);

（2）當(dāng)點(diǎn)。在（點(diǎn)8、C除外）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想并探究與/。E的數(shù)量關(guān)系.

19.（2021秋?濱湖區(qū)期末）如圖，△ABC為等邊三角形，CDLAC,CD=AC,則/8Z）C=

D

BC

20.（2021秋?句容市期末）如圖，將一副三角板擺放在直線AB上，NECD=NFDG=90°,NEDC=45°,

設(shè)則用x的代數(shù)式表示NGZ52的度數(shù)為.

21.（2020秋?鹽城期末）如圖，點(diǎn)O為直線A8上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作射線OC,使N8OC=135°,將一個(gè)

含45°角的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處，斜邊與直線AB重合，另外兩條直角邊都在直線

的下方.

圖1圖2圖3

（1）將圖1中的三角板繞著點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,如圖2所示，此時(shí)；在圖2中，

0M是否平分/CON?請說明理由；

（2）接著將圖2中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置所示，使得ON在/AOC的內(nèi)部，請

探究：NAOM與NCON之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)。按每秒4.5。的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到

第秒時(shí)，/COM與NCON互補(bǔ).

0【過關(guān)檢測】

一.選擇題（共10小題）

1.（2021秋?山亭區(qū)期末）如圖，RtAABC+，ZACB=90°,若A2=15cw,則正方形ADEC和正方形

8CFG的面積和為（）

A.150cm2B.200cm2C.225cm2D.無法計(jì)算

2.（2022春?泗洪縣期中）兩個(gè)邊長分別為“，b,。的直角三角形和一個(gè)兩條直角邊都是c的直角三角形

用兩種不同的計(jì)算方法計(jì)算這個(gè)圖形的面積，則可得等式為（）

A.(a+Z?)2=c2B.(a-/?)2=c2C.a2+b2=c2D.d-。2=02

3.（2021秋?欒城區(qū)校級(jí)期末）如圖是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案,

已知大正方形面積為81,小正方形面積為16,若用x,y表示直角三角形的兩直角邊（%>y）,請觀察

圖案，指出以下關(guān)系式中不正確的是（)

B.x+y=13C.2孫+16=81D.x-y=4

4.（2022春?江陰市期中）如圖，點(diǎn)。是線段A5上的一點(diǎn)，分別以AC、5c為邊向兩側(cè)作正方形.設(shè)A5

=6,兩個(gè)正方形的面積和SI+S2=20,則圖中△58的面積為（）

A.4B.6C.8D.10

5.（2021秋?東臺(tái)市期末）如圖，正方形A3CQ的面積為15,的斜邊CE的長為8,則8E的長

為（）

A.17B.10

6.（2021秋?泗陽縣期末）已知直角三角形的兩條邊長分別是3和4,那么這個(gè)三角形的第三條邊的長為

（）

B.25D.5或H

7.（2021秋?泗陽縣期末）如圖是一正方體的平面展開圖，若AB=6,則該正方體48兩點(diǎn)間的距離為

A.2B.3C.4D.6

8.（2021秋?江陰市期末）如圖，在四邊形ABCD中，連接AC,BD,已知/A￡>B=NACB=90°,

4AB=45’，CD=V2,BC=M，則四邊形ABC。的面積為（）

c

A.2a

9.（2022春?新田縣期中）如圖，在四邊形4BCZ）中，ZB=ZD=90°,分別以四邊向外作正方形甲、乙、

丙、丁，若用S甲、S乙、S丙、S丁來表示它們的面積，那么下列結(jié)論正確的是（）

T

A.S甲=S丁B.S乙=S丙

C.S甲+S乙=S丙+S丁D.S甲一S乙=5丙一5丁

10.（2021秋?宜興市期末）如圖，在△ABC中，ZABC=90°,5C=4,A3=8,尸為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

。為尸8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD當(dāng)NCBP=N840時(shí)，線段CD的最小值是（）

A.V2B.2c.2S/2-1D.4后一4

—.填空題（共5小題）

11.（2021秋?大豐區(qū)期末）如圖，△ABC中，ZC=90°,平分NB4C,AB=10,AC=6,則8。的長

是_______

12.（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形A8CD中，AD//BC,ZB=60°,ZC=30°,AD=2,BC

=7,則42=

13.（2022春?丹陽市期中）如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AC=9,BC=15,點(diǎn)D、E分另LlAB、BC

的中點(diǎn)，點(diǎn)F在C4的延長線上，且/則四邊形AEDE的周長為

14.（2022春?海安市期中）如圖△ABC中，ZACB=90°,AC^12,BC=5.若動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)C開始以每

秒1個(gè)單位的速度，按C-A-B的路徑運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f秒，當(dāng)f為時(shí)，△BCP為等腰

三角形.

AN

P

A

I

15.（2022春?如皋市校級(jí)月考）如圖，線段A8的長為8,C為上一動(dòng)點(diǎn)，分別以AC、BC為斜邊在

AB的同側(cè)作兩個(gè)直角三角形△ACD和△8CE,其中/A=30°,ZB=60°,那么DE長的最小值

是.

16.（2021秋?如皋市期末）如圖，在△ABC中，AC=5,E為邊上一點(diǎn)，且CE=1,AE=遂,BE=

4,點(diǎn)尸為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接EF.

（1）求AB的長；

（2）當(dāng)△2EF為等腰三角形時(shí)，求AF的長.

17.（2021秋?新吳區(qū)期末）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,BC=1,AC=2,A3的中垂線。E交A3

于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)E.延長QE交8c的延長線于點(diǎn)尸，連接AF.

(1)求的長;

(2)求A歹的長.

18.（2021秋?連云港期末）如圖，在△ABC中，BC=6,AC=8,DELAB,DE=1,△ABE的面積為35.

(1)求AB的長；

(2)求△ACB的面積.

19.(2021秋?宜興市期末)已知△ABC中，AB^AC,CDLABD.

⑴若NA=42°,求/OCB的度數(shù)；

(2)若BD=1,CD=3,/為AC的中點(diǎn)，求。M的長.

20.(2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末)如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AB^15,AC^20,AD1BC,垂足為

D.

(1)△ABC的面積是

（2）求BC、AD的長.

21.（2021秋?石獅市期末）如圖，在Rt/XABC中，ZC=90°,AB=10cm,AC=6cm,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)8出

發(fā)，以2a”/秒的速度沿移動(dòng)至點(diǎn)C,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.

（1）求3c的長；

（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻f,使得點(diǎn)P到邊AB的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離相等？

若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由.

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第08講勾股定理

力【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握勾股定理的內(nèi)容及證明方法，能夠熟練地運(yùn)用勾股定理由已知直角三角形中的兩條邊長求出第三條

邊長.

2.掌握勾股定理，能夠運(yùn)用勾股定理解決簡單的實(shí)際問題，會(huì)運(yùn)用方程思想解決問題.

3.熟練應(yīng)用勾股定理解決直角三角形中的問題，進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決問題.

【基礎(chǔ)知識(shí)】

直角三角形的性質(zhì)

（1）有一個(gè)角為90°的三角形，叫做直角三角形.

（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：

性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）.

性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余.

性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）

性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積.性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一

個(gè)銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；

在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°.

勾股定理

（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,那么。2+d=02.

（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

（3）勾股定理公式/+廬=,2的變形有：a="2-爐,b=也2—a2及ChQa2+爐.

（4）由于『+廬=。2>/，所以c>q,同理c>6,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角

邊.

三.勾股定理的證明

（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的.先利用拼圖的方法，然后再利用面

積相等證明勾股定理.

（2）證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小

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圖形的面積和化簡整理得到勾股定理.

四.等腰直角三角形

（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.

（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所

有性質(zhì).即：兩個(gè)銳角都是45。，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊

上的高為外接圓的半徑R,而高又為內(nèi)切圓的直徑（因?yàn)榈妊苯侨切蔚膬蓚€(gè)小角均為45。，高又垂直

于斜邊，所以兩個(gè)小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；

（3）若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=l,則外接圓的半徑R=0+1,所以r：R=l：0“1.

【考點(diǎn)剖析】

一.直角三角形的性質(zhì)（共6小題）

1.（2021秋?姜堰區(qū)期末）如圖，/A08是一個(gè)銳角，點(diǎn)C、。分別為邊。4、上的點(diǎn)，OC=10,OD

=8,圖中可能互相垂直的兩條線是（）

C.C。與。4D.沒有可能垂直的兩條線

【分析】根據(jù)題干及三角形三邊關(guān)系、勾股定理即可判斷.

【解答】解：A、是一個(gè)銳角，

：.OA與OB不可能垂直，

該選項(xiàng)不符合題意；

B、若CD與垂直，則NOOC=90°,

根據(jù)勾股定理可得：CD="02-82=6,

故有可能存在，

該選項(xiàng)符合題意；

C、若CD與。4垂直，則/OCQ=90°,

在RtzXOC。中，斜邊。。=8〈直角邊OC=10,與三角形三邊關(guān)系矛盾，

該選項(xiàng)不符合題意；

D、因?yàn)榕c08可能垂直，故該選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查直角三角形的概念，能聯(lián)想到三角形三邊關(guān)系、勾股定理是解題的關(guān)鍵.

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2.（2021春?畢節(jié)市期末）若△ABC中，NA=90°,且/B-/C=30°,那么的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得N8+NC=90°,再結(jié)合NB-NC=30°計(jì)算出的度數(shù)即可.

【解答】解：???/A=90°,

.\ZB+ZC=90°,

VZB-ZC=30°,

.\ZB=60°,

故選：D.

【點(diǎn)評】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握直角三角形兩銳角互余.

3.（2022春?阜寧縣期中）直角三角形中，兩個(gè)銳角度數(shù)之比為1：5,則較小的銳角度數(shù)為15。.

【分析】根據(jù)直角三角形的兩銳角互余列出方程，解方程得到答案.

【解答】解：設(shè)較小的一個(gè)銳角為x,則另一個(gè)銳角為5x,

則x+5尤=90。，

解得：x=15°,

則較小的一個(gè)銳角為15°,

故答案為：15°.

【點(diǎn)評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵.

4.（2022春?大豐區(qū)校級(jí)月考）在△ABC中，己知NA=90°,/B=/C,則45°.

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到NB+NC=90°,根據(jù)題意計(jì)算，得到答案.

【解答】解：；NA=90°,

.".ZB+ZC=90°,

；NB=NC,

.\ZB=45°,

故答案為：45°.

【點(diǎn)評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵.

5.（2022春?濱?？h期中）如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AO_L8C于點(diǎn)。，8E平分N48C,AD,

3E相交于點(diǎn)?

（1）若NC4Z）=36°,求NAEB的度數(shù)；

（2）試說明：/AEF=/AFE.

【分析】（1）根據(jù)條件的余角相等得到NA2Z）=NC4r>=36°,根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出根據(jù)

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直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；

（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)證明結(jié)論.

【解答】（1）-：AD±BCf

：.ZABD^ZBAD=90°,

〈NA4c=90°,

：.ZBAD+ZCAD=90°,

AZABD=ZCAD=36°,

〈BE平分NA3C,

1

AZABE=^ZABC=1S°,

2

???ZAEF=90°-NABE=72°；

（2）證明：:BE1平分NABC,

/.NABE=NCBE,

VZABE+ZAEF=90°,NCBE+NBFD=90°,

???NAEF=NBFD,

9：NAFE=/BFD,

：.ZAEF=ZAFE.

【點(diǎn)評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵.

6.（2020秋?儀征市期末）下列幾組數(shù)中，能作為直角三角形三邊長的是（）

A.2,4,5B.3,4,5C.4,4,5D.5,4,5

【分析】如果三角形的三邊長〃，。，C滿足〃2+必=02,那么這個(gè)三角形就是直角三角形.根據(jù)勾股定理

的逆定理即可判斷.

【解答】解：A、22+42^52,根據(jù)勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合題意；

B、32+42=52,根據(jù)勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形，故符合題意；

0、42+42^52,根據(jù)勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合題意；

D、42+5V52,根據(jù)勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評】此題考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的性質(zhì)，如果三角形的三邊長a,b,c滿足J+必

=。2,那么這個(gè)三角形就是直角三角形.

二.勾股定理（共5小題）

7.（2021秋?淮安區(qū)期末）如圖，在中，ZC=90°,AC=5,BC=12,則A3=（）

19/50

cB

A.12B.13C.14D.15

【分析】根據(jù)勾股定理直接求即可.

【解答】解：在Rt/XABC中，ZC=90°,

由勾股定理得：AB=^AC2+BC2=Vs2+122=13.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了勾股定理求線段的長度，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵.

8.（2021秋?宜興市期末）在一個(gè)直角三角形中，若斜邊的長是13,一條直角邊的長為5,那么這個(gè)直角

三角形的面積是（）

A.30B.40C.50D.60

【分析】由勾股定理得，另一條直角邊長為：4132-52=12,即可計(jì)算面積.

【解答】解：由勾股定理得，另一條直角邊長為：J。_52=12,

這個(gè)直角三角形的面積為5X12+2=30,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查了勾股定理，熟練掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題的關(guān)

鍵.

9.（2022春?岳麓區(qū)校級(jí)期中）如圖，在中，ZACB=90°,以Rt^ABC的三邊為邊向外作正方

形，其面積分別為Si,Si,S3,且51=5,%=16,則S2=（)

A.6B.20C.11D.24

【分析】根據(jù)題意，可以得到BC2=5,AB2=16,然后根據(jù)勾股定理即可得到AC?的值，從而可以求得

S2的值.

【解答】解：：以Rt/VIBC的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為Si,S2,S3,且Si=5,53=16,

：.BC2^5,A八的

由勾股定理得：AB2=BC2+AC2,

：.AC2=16-5=11,

即S2=ll,

20/50

故選：c.

【點(diǎn)評】本題考查勾股定理、正方形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

10.（2022春?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）定義：如圖，若點(diǎn)尸在三角形的一條邊上，且滿足/1=/2,則稱點(diǎn)P

為這個(gè)三角形的“理想點(diǎn)”.

（1）如圖①，若點(diǎn)D是△ABC的邊4B的中點(diǎn)，AC=20AB=4,試判斷點(diǎn)D是不是△ABC的“理

想點(diǎn)”，并說明理由；

（2）如圖②，在中,ZC=90°,AB=5,AC=4,若點(diǎn)。是△ABC的“理想點(diǎn)”，求CQ的

長.

圖①圖②

ACAH

【分析】（1）由已知可得一=—,從而△ACDs/ABC,ZACD=ZB,可證點(diǎn)D是AABC的"理想

ADACk

點(diǎn)”；

（2）由。是△ABC的“理想點(diǎn)”，分三種情況:當(dāng)￡）在A3上時(shí)，CD是A2邊上的高，根據(jù)面積法可

求CD長度；當(dāng)。在AC上時(shí)，ABDCSAABC,對應(yīng)邊成比例即可求CZ）長度；。不可能在BC上.

【解答】解：（1）點(diǎn)Q是△ABC的“理想點(diǎn)”，理由如下:

是A8中點(diǎn)，AB=4,

：.AD=BD=2,AD'AB=8,

?.?AC=2g,

；.AC2=8,

:.AC2^AD-AB,

.ACAB

??=,

ADAC

?.*ZA=ZA,

???AACD^AABC,

???/ACD=/B,

???點(diǎn)。是△A3C的“理想點(diǎn)'

(2)①。在AB上時(shí)，如圖:

21/50

:。是△ABC的“理想點(diǎn)”,

：.ZACD^ZB或ZA,

當(dāng)/AC￡)=NB時(shí)，

VZACD+ZBCD^9Q°,

：.ZBCD+ZB=90°,

：.ZCDB=9Q°,即CD是AB邊上的高，

當(dāng)/BC￡)=/A時(shí)，同理可證NCnB=90°,即CO是AB邊上的高,

在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AB=5,AC=4,

：.BC=>J,AB2-AC2=3,

,：SMBC=^\B'CD=^AC-BC,

：.CD=^,

□

@'：AC=4,BC=3,

：.AC>BC^ZB>ZA,

“理想點(diǎn)”。不可能在BC邊上,

③。在AC邊上時(shí)，如圖:

???。是△A3C的“理想點(diǎn)”，

AZDBC=NA,

又NC=NC,

:.ABDCSAABC,

CDBCCD3

—=—,a即一=

BCAC34

g

:.CD=了

綜上所述，點(diǎn)。是△ABC的“理想點(diǎn)”，CO的長為"或？.

54

22/50

【點(diǎn)評】本題考查相似三角形、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解“理想點(diǎn)”的定義.

11.（2021秋?陽山縣期末）如圖，在△ABC中，NC=90°,AC=3,BC=2.以A8為一條邊向三角形外

部作正方形，則正方形的面積是（）

【分析】根據(jù)勾股定理求出AB2,根據(jù)正方形的面積公式計(jì)算，得到答案.

【解答】解：在△ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=2,

則AB1=AC2+BC2=32+22=13,

正方形的面積=4屏=13,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理、正方形的面積計(jì)算，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜

邊長為c,那么a2+b2=c2.

三.勾股定理的證明（共4小題）

12.（2020秋?崇川區(qū)期末）如圖是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的大正方形.若小正方形

邊長為3,大正方形邊長為15,則一個(gè)直角三角形的面積等于（）

A.36B.48C.54D.108

【分析】根據(jù)正方形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：???小正方形邊長為3,大正方形邊長為15,

...一個(gè)直角三角形的面積X（152-32）=54,

4

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查勾股定理的證明，正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的識(shí)別圖形.

13.（2022春?江都區(qū)期中）如圖，“趙爽弦圖”由4個(gè)完全一樣的直角三角形所圍成，在RtZXABC中，

AC^b,BC=a,ZACB=90°,若圖中大正方形的面積為60,小正方形的面積為10,貝U（a+b）2的值

為110.

23/50

【分析】根據(jù)圖形表示出小正方形的邊長為，再根據(jù)四個(gè)直角三角形的面積等于大正方形的面

積減去小正方形的面積求出2ab,然后利用完全平方公式整理即可得解.

【解答】解：由圖可知，（b-a）2=10,4x&b=60-10=50,

2而=50,

（a+6）2=（6-。）2+4"=10+2X50=110.

故答案為：110.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的證明，完全平方公式的應(yīng)用，仔細(xì)觀察圖形利用小正方形的面積和直角

三角形的面積得到兩個(gè)等式是解題的關(guān)鍵.

14.（2022春?陽高縣月考）4個(gè)全等的直角三角形的直角邊分別為八b,斜邊為c.現(xiàn)把它們適當(dāng)拼合，

可以得到如圖的圖形，利用這個(gè)圖形可以驗(yàn)證勾股定理，你能說明其中的道理嗎？請?jiān)囈辉?

【分析】根據(jù)圖形的總面積等于一個(gè)大正方形的面積加上兩個(gè)直角三角形的面積，也等于兩個(gè)小正方形

的面積加上兩個(gè)直角三角形的面積，然后整理即可得證.

【解答】解：圖形的總面積可以表示為：c1+2x^ab=c2+ab,

也可以表示為：/+6'+2x$6=。2+店+。6,

所以，02+46=“2+廬+46,

所以，a2+b2=c1.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的證明，觀察圖形，利用兩種方法表示出圖形的面積是解題的關(guān)鍵.

15.（2021秋?六合區(qū)期中）如圖是由4個(gè)全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的兩條直角邊分

別為a、b（b>a）,斜邊為c,中間是正方形，請你利用這個(gè)圖來驗(yàn)證勾股定理.

24/50

【分析】利用大正方形的面積等于4個(gè)三角形的面積加上中間小正方形的面積，進(jìn)而證明問題.

【解答】解：「S大正方形=4x$6+（b-a）2，

—c^+b2,

c___2

J大正方形—C，

.".cr+b2=c2.

【點(diǎn)評】此題主要考查了勾股定理的證明，利用圖形面積得出是解題關(guān)鍵.

四.等腰直角三角形（共6小題）

16.（2021秋?鎮(zhèn)江期末）如圖，在aABC中，AB=AC=1,若NB=45°,則線段2C的長為_J5_.

【分析】由A2=AC得/2=NC=45°,從而NA=180°-ZB-ZC=90°,由勾股定理即得答案.

【解答】解：

：.ZB=ZC=45Q,

ZA=180°-ZB-ZC=90°,

:.BC=\/AC2+AB2=Vl2+12=V2-

故答案為：V2.

【點(diǎn)評】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是證明NA=90°及熟練應(yīng)用勾股定理.

17.（2022春?泗洪縣期中）如圖，將一個(gè)含有45°角的直角三角尺放在兩條平行線相、“上，已知Nl=

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出N4,進(jìn)而利用三角形外角性質(zhì)解答即可.

25/50

【解答】解：過點(diǎn)C作CE〃相〃心

???NACE=N3,NECB=N4,

VZ1=Z3,ZACB=90°,

???NAC3=N3+N4=N1+N4=7O°+Z4=90°,

AZ4=20°,

???N5=20°,

???N2=N5+N3=20°+45°=65°,

故選：A.

【點(diǎn)評】此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等解答.

18.（2020秋吁R江區(qū)月考）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖，在RtZXABC中，ZBAC=90°,A3=AC,點(diǎn)。在底邊

上，AE=AD,連結(jié)。

（1）當(dāng)NA4D=60°時(shí)，求NCDE的度數(shù);

（2）當(dāng)點(diǎn)。在5C（點(diǎn)5、。除外）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想并探究NA4O與NCDE的數(shù)量關(guān)系.

【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可求NB=NC=45°,ZAED=75°,即可求解;

(2)由等腰三角形的性質(zhì)可求NB=NC=45°,NAE0=45°+；x,即可求解.

【解答】解：(1),.,A5=AC,ZBAC=90°,

：.ZB=ZC=45°,

VZBAZ)=60°,

：.ZDAE=30°,

*：AD=AE,

：.ZAED=15°,

AZCDE=ZAED=ZC=30°；

26/50

(2)猜想NCO￡=NNB4。，理由如下:

2

設(shè)N84O=羽

AZCAZ)=90o-x,

VAE=A￡>,

AZAED=45°+1x,

11

???ZCDE=3=^ZBAD.

【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，掌握等腰三角形的兩底角相等是解題的關(guān)

鍵.

19.(2021秋?濱湖區(qū)期末)如圖，△A3C為等邊三角形，CD_LAC,CD=AC,則N8DC=15°.

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及垂線的性質(zhì)可求得NBCD=150°,AC=5C=C。，由等要三角形的性

質(zhì)可得NC3D=N3DC,結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可求解.

【解答】解：???△A5C為等邊三角形，

AZACB=60°,AC=BC,

VCDXAC,

ZACD=90°,

ZBCZ)=60°+90°=150°,

?：CD=AC,

:?BC=CD,

：.ZCBD=ZBDC,

,/ZCBD+NBDC+ZBCD=180°,

1

AZBDC=^(180°-150°)=15°,

2

故答案為：15.

【點(diǎn)評】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形，三角形的內(nèi)角和定理，求得NCBD=NBDC

是解題的關(guān)鍵.

20.(2021秋?句容市期末)如圖，將一副三角板擺放在直線A8上，ZECD=ZFDG=90°,ZEDC=45°,

設(shè)/口甲=羽則用x的代數(shù)式表示NGQ3的度數(shù)為45°-X.

27/50

E

【分析】利用平角180°減去/尸DG,/EDC與NED尸的和即可.

【解答］解：ZFDG=90°,NEDC=45：ZEDF=x,

.\ZGDB=1800-(ZFDG+ZEDC+ZEDF)

=180°-(90°+45°+無)

=45°-x,

；?用尤的代數(shù)式表示NGOB的度數(shù)為：45°-尤，

故答案為：45°-X.

【點(diǎn)評】本題考查了等腰直角三角形，熟練掌握平角定義是解題的關(guān)鍵.

21.(2020秋?鹽城期末)如圖，點(diǎn)。為直線A8上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作射線OC,使N3OC=135°,將一個(gè)

含45°角的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處，斜邊OM與直線AB重合，另外兩條直角邊都在直線

AB的下方.

圖1圖2圖3

(1)將圖1中的三角板繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,如圖2所示，此時(shí)90°；在圖2中，

0M是否平分/CON?請說明理由；

(2)接著將圖2中的三角板繞點(diǎn)。逆時(shí)針繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置所示，使得ON在NAOC的內(nèi)部，請

探究：NA0M與NCON之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)將圖1中的三角板繞點(diǎn)。按每秒4.5。的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到

第15或55秒時(shí),ZCOM與ZCON互補(bǔ).

【分析】(1)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/80M的度數(shù)，然后計(jì)算/MOC的度數(shù)判斷是否平分NCON；

(2)利用/AOM=45°-NAON和NNOC=45°-/AON可判斷NA0M與/CON之間的數(shù)量關(guān)系；

(3)在旋轉(zhuǎn)的過程中，NCOM與NCON互補(bǔ)，則ON旋轉(zhuǎn)67.5°或247.5°,即可得出結(jié)果.

【解答】解：(1)如圖2,ZBOM=90°,

OM平分NCON.理由如下：

VZBOC=135°,

28/50

：.ZMOC=135°-90°=45°,

而NMON=45°,

ZMOC=ZMON；

故答案為900；

(2)/AOM=/CON.

理由如下：如圖3,

?：NMON=45°,

ZAOM=45°-/AON,

VZAOC=45°,

:,NNOC=45°-/AON,

：.ZAOM=/CON；

(3)如圖2,OM.ON都在。。右側(cè)，ZCOM+ZCON=2ZCOM+45°=180°,

：.ZCOM=67.5°,

???NCON=67.5+45=112.5°,

A45°+N8ON=180°-112.5=67.5°,

如圖3,OM.ON都在OC左側(cè)，ZCOM+ZCON=2ZCONU5°=180°,

???NCON=67.5°,

ZBOM=67.5+45=112.5°,

ZBOC+ZCOM=135+112.5=247.5°,

J在旋轉(zhuǎn)的過程中，NCOM與NCON互補(bǔ)，則ON旋轉(zhuǎn)67.5°或247.5°,

67.5°0247，。

--=15或-----=55,

4.54.S

故答案為：15或55.

【點(diǎn)評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、角平分線定義、補(bǔ)角的定義、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌

握角平分線以及補(bǔ)角定義是解題的關(guān)鍵.

.【過關(guān)檢測】

一.選擇題（共10小題）

1.（2021秋?山亭區(qū)期末）如圖，RtzMBC中，ZACB=90°,若48=15刖，則正方形AZJEC和正方形

8CFG的面積和為（）

29/50

A.150cm2B.200cm2C.225cm2D.無法計(jì)算

【分析】小正方形的面積為AC的平方，大正方形的面積為8c的平方.兩正方形面積的和為AC2+BC2,

對于RtzXABC,由勾股定理得AB2=AC2+BC2.AB長度已知，故可以求出兩正方形面積的和.

【解答】解:正方形ADEC的面積為：AC2,

正方形BCFG的面積為：8c2；

在RtZXABC中，AB2^AC2+BC2,AB=15,

則AC2+BC2=225cm2.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理.勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

2.（2022春?泗洪縣期中）兩個(gè)邊長分別為a,b,c的直角三角形和一個(gè)兩條直角邊都是c的直角三角形

【分析】用兩種方法求圖形面積，一是直接利用梯形面積公式來求；一是利用三個(gè)三角形面積之和來求.

【解答】解：根據(jù)題意得：S=|（a+6）（a+b）,S=夕/?+夕/?+#,

1II19

（〃+。）（〃+。）=54。+3〃匕+5。，DBP（〃+Z?）（a+b）=ab+ab+c9,

2NNZ

整理得：a1+b1=c1.

故選：C.

【點(diǎn)評】此題考查了勾股定理的證明，整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

3.（2021秋?欒城區(qū)校級(jí)期末）如圖是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，

已知大正方形面積為81,小正方形面積為16,若用x,y表示直角三角形的兩直角邊（尤＞y）,請觀察

圖案，指出以下關(guān)系式中不正確的是（）

30/50

y

A./+/=81B.