2024-2025學年山東省濟南市商河縣七年級（下）期末數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.二十四節(jié)氣是歷法中表示自然節(jié)律變化以及確立“十二月建”的特定節(jié)令，蘊含著悠久的文化內(nèi)涵和歷

史積淀，請你用數(shù)學的眼光觀察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒種”、“白露”的作品，其中是

軸對稱圖形的是（）

2.“池上無風有落暉，楊花晴后自飛飛,為將纖質(zhì)凌清鏡，濕卻無窮不得歸這是韓愈描寫柳絮的《池上

絮》.每年的四五月份是我國北方柳絮紛飛的季節(jié)，據(jù)統(tǒng)計每枚柳絮的質(zhì)量最輕只有0.000067g.將數(shù)據(jù)

0.000067用科學記數(shù)法可表示為()

A.0.67x10-5B.6.7x10-5C.6.7x10-6D.67xIO/

3.下列運算正確的是（）

A.x2+x2—x4B.(—a2)3――a6

C.(a—b)2=a2—b2D.3a2.2a3=6a6

4.將一個直角三角板和一把直尺如圖放置，如果Na=44。，貝此0的度數(shù)是（）

A.43°B.44°C.45°D.46°

5.某數(shù)學興趣小組在做“頻率的穩(wěn)定性”試驗時，根據(jù)試驗結(jié)果繪制了如圖所示的折線統(tǒng)計圖，則符合這

01503004506007509001050總次數(shù)

A.一副撲克牌去掉大小王后，從中任抽一張牌是紅桃

B.任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，結(jié)果是正面朝上

C.從標有數(shù)字1,2,3的三張卡片中任抽一張，抽出的卡片標有數(shù)字3

D.任意擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點數(shù)是偶數(shù)

6.如果一個等腰三角形的兩條邊長分別為2和6.那么這個等腰三角形的周長是（）

A.11B.12C.13D.14

7.小明在鏡中看到對面電子時鐘的示數(shù)如圖所示，這現(xiàn)在的實際時間為（）

A.12：01B.10：21C.15：10D.10：51

8.均勻地向一個容器注水，最后把容器注滿，在注水過程中,水面高度無隨時間t的變化規(guī)律如圖所示（圖中

04BC為一折線），這個容器的形狀是圖中（）

9.如圖,在△力BC中,AB^AC,△ABC的面積為16,BC=4,分別以點4、B

為圓心，以大于*B的長為半徑作弧，兩弧分別交于E,F,連接EF,。為BC的中

點，M為直線EF上任意一點.則BM+MD長度的最小值為（）

A.6

B.8

C.10

D.12

10.如圖，在△力BC中，力。是BC邊上的高,/.BAF=/.CAG=90°,AB=AF,

AC=AG,連接FG,交D4的延長線于點E,連接BG,CF,則下列結(jié)論:

①BG=CF；

@BG1CF；

@/.EAF=Z.ABC-,

@EF=EG；

⑤s△AFG=

其中正確的個數(shù)是（）

A.2

B.3

C.4

D.5

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。

11.計算：（a+3）（a—3）=.

12.一個小球在如圖所示的地板上自由滾動，并隨機停在某塊方磚上，如果每塊方

磚除顏色外完全相同，那么小球最終停留在黑磚上的概率是.

13.某小區(qū)車庫門口的“曲臂直桿道閘”（如圖）可抽象為如圖所示模型.已

知A8垂直于水平地面力E.當車牌被自動識別后，曲臂直桿道閘的BC段將繞

點B緩慢向上抬高，CD段則一直保持水平狀態(tài)上升（即CO與4E始終平行）,

在該運動過程中，當乙48c=150。時，NBCD的度數(shù)為.

14.某烤鴨店在確定烤鴨的烤制時間時，主要依據(jù)的是下表的數(shù)據(jù):

鴨的質(zhì)量/kg0.511.522.533.54

烤制時間

406080100120140160180

/min

若鴨的質(zhì)量為3.23時，烤制時間為min.

15.如圖，書架兩側(cè)擺放了若干本相同的書籍，左右兩摞書中豎直放入一個等腰直角三角板，其直角頂點C

在書架底部DE上，當頂點月落在右側(cè)書籍的上方邊沿時，頂點B恰好落在左側(cè)書籍的上方邊沿，點4B,C,

D,E在同一平面內(nèi),已知每本書長20cm,厚度為2cm,則兩摞書之間的距離DE為cm.

16.如圖，4。為等邊△ABC的高，M、N分別為線段力D、AC上的動點，且AM=BN,

當BM+CN取得最小值時，4ANC=.

三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題6分)

計算：|-3|-(-1)2°25—(兀—3.14)°+(1)-2.

18.(本小題10分)

(1)計算:(3a—2bp—4爐.

1

(2)先化簡，再求值：[(2x+y)(2久一y)—y(6x—y)]+2x,其中％=-萬，y-1.

19.(本小題8分)

如圖，在四邊形2BCD中，點E為延長線上一點，點F為CD延長線上一點，連接EF,交BC于點G,交AD

于點若=42,Z.A=Z.C,求證：4E=NF.

證明：Z.1=43(),

Z1=42(已知).

=(等量代換).

AD//BC(

ANA+N4=180°().

NA=4c(已知),

zC+z4=180。(等量代換).

(同旁內(nèi)角互補，兩直線平行).

???乙E=zF(_____).

20.(本小題9分)

如圖所示，小安同學為電力公司設計了一個安全用電的標識，點4D、C、F在同一條直線上，且4F=DC,

BC=EF,BC//EF.

(1)求證：AB//DE；

(2)若乙4=20°,^AFE=102°,求4E的度數(shù).

21.(本小題9分)

如圖，aylBC的頂點4、8、C都在小正方形的頂點上，利用網(wǎng)格線按下列要求畫圖.

(1)求△ABC的面積；

(2)畫出△必當?shù)?，使它與△/8C關(guān)于直線I成軸對稱；

(3)在直線/上找一點p,使aagp周長最小.

22.（本小題10分）

在一個不透明的口袋里裝有4個白球和6個紅球，這些球除顏色外都相同，將球搖勻.

（1）從中任意摸出一個球，摸到球的概率大（填白或紅）；

（2）從中任意摸出一個球，摸到白球的概率是；

（3）從口袋里取走x個紅球后，再放入x個白球，并充分搖勻，若隨機摸出白球的概率是專求比的值.

23.（本小題10分）

【問題情境】

我們身邊很多事物都蘊含著數(shù)學知識，班上的數(shù)學興趣小組決定趁著游玩之便對兒童公園內(nèi)的摩天輪進行

實地調(diào)研.摩天輪上均勻分布60個吊艙，順時針旋轉(zhuǎn)一周需要20分鐘.

TOm

【實踐過程】

小組成員使用秒表和手機的測距功能，記錄某個吊艙從最低點旋轉(zhuǎn)到不同位置距地面的高度（位和所用的時

間（久）的數(shù)據(jù)，并繪制圖象如圖①.

【問題研究】

請根據(jù)圖①中信息回答：

（1）在這個變化過程中，自變量是,因變量是;

（2）摩天輪最高點距地面_____（米），摩天輪最低點距地面_______（米）；

【問題解決】

（3）如圖②，摩天輪某個吊艙從點4旋轉(zhuǎn)到點B需5分鐘，求出這個吊艙從點力順時針旋轉(zhuǎn)到點B所走的路徑

的長度.（結(jié)果保留兀）

24.（本小題12分）

在一次綜合與實踐課上，數(shù)學老師讓同學們以“兩條平行線48、CD和一塊直角三角尺EFGQEFG=

90°,X.EGF=60°,ZFEG=30。）的不同方式擺放”為主題開展數(shù)學探究活動.

【初步體驗】

（1）如圖①，三角尺的60。角的頂點G在CD上.41=80°,貝此2的度數(shù)為

【基礎(chǔ)鞏固】

（2）如圖②，瑤瑤同學把三角尺的兩個銳角的頂點E,G分別放在4B和CD上，請你探索N4EF與ZFGC之間的

數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【強化應用】

（3）如圖③，雅雅同學把三角尺的直角頂點尸放在CD上，30。角的頂點E在4B上.若乙4EG=a,乙DFG=0,

請寫出N4EG與NDFG的數(shù)量關(guān)系（用含a,￡的式子表示），并說明理由.

25.（本小題12分）

【問題情境】利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法.如圖1,OP平分乙MON,A為。M上一點，過點力

作AC1OP,垂足為C,延長4C交。N于點B,可直接根據(jù)（填字母依據(jù)）證明△AOC^^BOC；

【類比解答】如圖2,在△力BC中，4B+NB4C=130。，CD平分N4C8,4E1CD于點E,延長AE交BC于點

F,求N/1FC的度數(shù)；

【實際應用】圖3是一塊肥沃的三角形土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三

角形土地進行水稻試驗，故進行如下操作：①用量角器取乙4BC的平分線BD；②過點4作ZD1BD于點D.

已知BC=15,AB=10,△ABC的面積為30,請直接寫出△4BD的面積；

【拓展延伸】如圖4,在△ABC中，AB=AC,Z.BAC=90°,CD平分乙4CB,BE1CD,交CD的延長線上于

點E,試探究BE和CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

答案和解析

1.B

解：A,C,。選項中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相

重合，所以不是軸對稱圖形，

8選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸

對稱圖形.

故選：B.

2.B

解：0.000067=6.7x10-5,

故選：B.

3.B

解：4、原式=2x2,錯誤；

B、原式=-a',正確；

C、原式=a?一2ab+爐，錯誤；

D、原式=6a5,錯誤，

故選B

4.D

解：由題意知：AB//CD,"EG=90。，

過E作EM//AB,貝UEM〃CD,

乙FEM=z.a,乙GEM=z/?,

???Z.FEM+乙GEM=乙FEG=90°,

???乙a+乙6=90°,

???z.a=44°,

.?.“=90°-44°=46°.

故選：D.

5.C

解：4一副撲克牌去掉大小王后，從中任抽一張牌是紅桃的概率是焉=J,不符合題意；

B,任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，結(jié)果是正面朝上的概率是:，不符合題意；

C、從標有數(shù)字1,2,3的三張卡片中任抽一張，抽出的卡片標有數(shù)字3的概率是0.33,符合題意;

。、任意擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點數(shù)是偶數(shù)的概率是，不符合題意.

故選：C.

6.D

解：當2是腰時，則2+2<6,不能組成三角形，應舍去；

當6是腰時，則三角形的周長是2+6x2-14.

故選：D.

7.D

解：因為是從鏡子中看，

所以對稱軸為豎直方向的直線，

因為2的對稱數(shù)字是5,鏡子中數(shù)字的順序與實際數(shù)字順序相反，

所以這時的時刻應是10：51.

故選：D.

8.4

解：均勻地向一個容器注水，函數(shù)圖象的走勢是稍陡，平，陡，

高度升高的速度就相應的變化，跟所給容器的粗細有關(guān).

下面容積較大，中間容積最大，上面容積最小，則相應的排列順序就為4

故選N.

??.AM=BM,

??.BM+MD=AM+MD>AD,

vAB=AC,。為BC的中點，

ADIBC,

???△ABC的面積為16,BC=4,

AD=8,

故選：B.

10.0

解：①???ABAF=/.CAG=90°,

Z-BAF+Z.BAC=Z-CAG+Z-BAC

???Z.FAC=Z-BAG,

SABAG和△凡4c中，

AB=AF

Z.FAC=^BAG,

AC=AG

???△BZG也△FZC(SZS),

BG=CF,Z-BGA=AFCA,

故結(jié)論①正確；

②設BG與CF交于點P,BH與AC交于點H,如圖1所示:

在△ZG”中，^BGA+AAHG+Z.CAG=180°,

在△PCH中，AFCA+APHC+^CPH=180°,

???Z.BGA=ZFCX,A.AHG=乙PHC,^CAG=90°,

??.Z.CPH=^LCAG=90°,

BG-LCF,

故結(jié)論②正確;

③???乙BAF=90°,

Z.EAF+Z.BAD=90°,

在△45C中，ZD是BC邊上的高，

Z.ABC+ABAD=90°,

Z.EAF=乙ABC,

故結(jié)論③正確；

④過點尸作瓶〃46交AE的延長線于點K,如圖2所示:

^LAFKZ.FAG=180°,=^LEAG,乙EFK=LEGA,

???^BAF=Z.CAG=90°,

???ABAC+Z.FAG=180°,

???/.AFK=A.BAC.

在和中，

ZAFK=ABAC

AB=AF，

^EAF=乙ABC

???△AFK會△BZC(ZSZ),

??.FK=AC,

???AC=AG,

??.FK=AG,

在^EFK和△EGZ中，

ZK=^EAG

FK=AG，

/EFK=乙EGA

.'.AEFK^AEGA(ASA)f

??.EF=EG；

故結(jié)論④正確；

⑤??,△EF*4EGA,

**?S^EFK-S^EGA，

???S^EFK+^AAEF=S^EGA+SAAE/，

'S^AFK=S&4尸G，

,?,△AFKWABAC,

'S^AFK=S^BAC，

*'?^AAFG=ABAC9

故結(jié)論⑤正確，

綜上所述：正確的結(jié)論是①②③④⑤，共5個，

故選：D.

ll.a2-9

解：原式=a2-32=a2—9.

故答案是：a2—9.

利用平方差公式即可求解.

本題主要考查平方差公式：（1）兩個兩項式相乘；（2）有一項相同，另一項互為相反數(shù)，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題

的關(guān)鍵.

1Z2,9-

解：由圖可知，黑色方磚4塊，共有9塊方磚，

???小球最終停留在黑磚上的概率是《

故答案為：*

13.120°

解：過點B作BM//CD,

???CD/IAE,

??.BM//CD//AE,

??.Z,MBA+^BAE=180°,(MBC+(BCD=180°,

AB1AE,

???^BAE=90°,

Z.MBA=90°,

??.AABC=150°,

???乙MBC=AABC-^.MBA=60°,

???乙BCD=180°-乙MBC=120°,

故答案為：120°.

14.148

解：設鴨的質(zhì)量為或g時，烤制時間為t分鐘，

根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得，鴨的質(zhì)量%每增加0.5千克，烤制時間t增加20分鐘,

可設"40+言(％-0.5),

???t=40%+20,

二鴨的質(zhì)量為3.2刖，即x=3,2時，t=40x3.2+20=148(min).

故答案為；148.

15.24

解：由題意可知，BC=AC,NBDC=NCEA=乙4c8=90。，

乙BCD+ACBD=4BCD+^LACE=90°,

???Z.CBD=Z.ACE,

.*.△BDC=△CEA{AAS),

BD=CE=2x2=4(cm),CD=AE=20cm,

DE=CZ)+CE=20+4=24(cm),

故答案為:24.

16.105°.

解：???如圖，作BE_L.BC,使BE=4B,連接CE交力B于點F,連接NE,

???△A8C是等邊三角形，且4。為△2BC的高，

^ABC=60°,AB=BC,AD1BC,

BE//AD，BE=BC,

???乙EBN=^BAM,

???乙CBE=90°,

???乙BCE=乙BEC=45°,

在^EBN和△BAM中，

BE=AB

乙EBN=/.BAM,

BN=AM

???△EBNmABAM(SAS),

??.EN=BM,

??.EN+CN=BM+CN,

???EN+CN>CE,

???當點N與點F重合時，EN+CN=CE,此時CE+CN的值最小,

???此時+CN的值也最小，

???(ANC=Z.AFC=LABC+乙BCE=105°,

???當BM+CN取得最小值時，乙ANC=105°,

故答案為:105°.

17.7.

解：|一3|一(一1產(chǎn)25一(兀-3.14)°+6)一2

=3-(-1)-1+4

=3+1—1+4

=7.

18.9a2—12a9；

2.x—3y,—4.

(1)原式=9a2—12ab+4/)2—4/)2

=9a2-12ab；

(2)原式=(4%2—y2—6xy+y2)+2x

=(4x2—6xy)+2%

=4x2+2%—6xy+2x

=2x—3y,

當汽y=1時，

原式=2x(—2)-3x1

=-1-3

=—4.

19.對頂角相等N2Z3同位角相等，兩直線平行兩直線平行，同旁內(nèi)角互補CFEA兩直線平行，內(nèi)

錯角相等

解：???41=43（對頂角相等），

Z1=42（已知），

'''Z.2=43（等量代換），

?-?AD//BC（同位角相等，兩直線平行），

.??44+44=180。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），

Z.A=NC（已知），

NC+N4=180。（等量代換），

???CF〃E4（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），

，NE=NF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

故答案為：對頂角相等；N2,43；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；CF,EA-,兩直

線平行，內(nèi)錯角相等.

20.解：（1）證明：因為力F=CD,

所以AF+FC=CD+FC^AC=DF,

因為BC//EF,

所以乙4cB=乙DFE,

在△ABC和△DEF中，

AC=DF

乙ACB=乙DFE,

BC=EF

所以△DEF（SAS）,

所以N力=ZD,

所以4B〃DE；

（2）因為ND=乙4=20°,Z.AFE=102°,

所以NEFD=180°-102°=78°,

所以NE=180°-20°-78°=82°.

,111

21.解：（l）S△ABC=3x4——x2x3——x2x4——xlx

2=4；

(2)如圖，△48儲1為所作;

(3)如圖，點P為所作.

22.(1)紅；

2

(3)從口袋里取走x個紅球后，再放入x個白球，并充分搖勻，若隨機摸出白球的概率是去

則口袋中現(xiàn)在有白球(4+x)個，紅球(6-x)個，根據(jù)題意得

4+%_4

"10"=5，

解得久=4.

解：(1)因為紅球的數(shù)量多于白球的數(shù)量，所以從中任意摸出一個球，摸到紅球的概率大,

故答案為：紅；

(2)從中任意摸出一個球，摸到白球的概率是捻=|,

故答案為：|-;

(3)從口袋里取走x個紅球后，再放入x個白球，并充分搖勻，若隨機摸出白球的概率是專

則口袋中現(xiàn)在有白球(4+尤)個，紅球(6-x)個，根據(jù)題意得

4+%_4

"10-=5?

解得x=4.

23.t,h；103,3；25兀米.

解：(1)在這個變化過程中，自變量是3因變量是正

故答案為：t,h；

(2)摩天輪最高點距地面103(米)，摩天輪最低點距地面3(米)；

故答案為：103,3；

(3),?,摩天輪最高點距地面103米，最低點距離地面3米，

???摩天輪的直徑是100米，

100兀x4=25兀(米)

答：所走的路徑的長度是竽兀米.

24.40；

乙4EF+乙FGC=90。，理由見解析；

/一夕二120。，理由見解析.

解：(1)???48//CD，41=80。，/.EGF=60°,

???Z1=乙EGD=80°,

???Z2=180°—80°-60°=40°,

故答案為：40；

(2)乙4EF+/FGC=90。，理由如下：

如圖，過點F作尸尸〃。0,

vAB/[CD，/-EFG=90°,

AB//FP//CD,

???Z.AEF=Z.EFP,乙FGC=^GFP,

???AAEF+乙FGC=Z-EFP+乙GFP=乙EFG,

???NAEF+NFGC=90。；

(3)a-f3=120°,理由如下：

vAB//CD，

???^AEF+乙CFE=180°,

???乙CFE=180°一乙DFG-90°,^AEF=4AEG一30°,

???/.AEG-30°+1