教案教學(xué)基本信息課題隨機(jī)事件與概率（第四課時(shí)）學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段：高中年級高一教材書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊（A版）出版社：人民教育出版社出版日期：教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)：1．理解概率的性質(zhì)，掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則；2．通過類比函數(shù)的性質(zhì)，揭示事件的關(guān)系與運(yùn)算，研究概率的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的類比與歸納的數(shù)學(xué)思想，提升從特殊到一般的分析問題的能力；3．用實(shí)際問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，善于發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)新思維，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．教學(xué)重點(diǎn)：概率的性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)：概率的性質(zhì)與運(yùn)用教學(xué)過程(表格描述)教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)活動設(shè)置意圖引入一般而言，給出了一個(gè)數(shù)學(xué)對象的定義，就可以從定義出發(fā)研究這個(gè)數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)．例如，在給出指數(shù)函數(shù)的定義后，我們從定義出發(fā)研究了指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、特殊點(diǎn)的函數(shù)值等性質(zhì)，這些性質(zhì)在解決問題時(shí)可以發(fā)揮很大的作用．類似的，在給出概率的定義后，我們來研究概率的基本性質(zhì)．介紹本節(jié)課的研究方法：從定義出發(fā)，研究概率的基本性質(zhì)．新課思考1：從概率的定義出發(fā)，可以研究概率的哪些性質(zhì)？由概率的定義可知，因?yàn)樗裕喝魏问录母怕识际欠秦?fù)的；即．性質(zhì)1對任意事件A，都有．在每次實(shí)驗(yàn)中，必然事件一定發(fā)生，不可能事件一定不會發(fā)生．得到特殊事件的概率：性質(zhì)2必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即，．在“事件的運(yùn)算和關(guān)系”中，我們研究過事件的某些關(guān)系，具有這些關(guān)系的事件，它們的概率之間會有什么關(guān)系呢？思考2設(shè)事件A與事件B互斥，和事件的概率與事件A，B的概率之間具有怎樣的關(guān)系？為了同學(xué)們方便完成這個(gè)探究問題，請大家看我們已經(jīng)做過的一個(gè)題目：一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中2個(gè)紅球（標(biāo)號為1和2），2個(gè)綠球（標(biāo)號為3和4）從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球．求下列事件的概率：事件R=“兩次都摸到紅球”；（2）事件G=“兩次都摸到綠球”，（3）事件=“兩次摸到的球顏色相同”．分析：用數(shù)組(x,y)表示摸球的結(jié)果，x是第一次摸到的球的標(biāo)號，y是第二次摸到的球的標(biāo)號，則樣本空間Ω={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}．n(Ω)=12．解：（1）事件R=“兩次都摸到紅球”，所以R={(1,2)，(2,1)}，n(R)=2，n(Ω)=12，所以，．（2）事件G=“兩次都摸到綠球”，所以G={(3,4)，(4,3)}，n(G)=2，n(Ω)=12，所以，．（3）事件=“兩次摸到的球顏色相同”，所以，n()=4，n(Ω)=12，所以，．回顧解題過程：事件R與事件G是互斥事件，所以，事件R與G的和事件包含的樣本點(diǎn)恰好是事件R包含的樣本點(diǎn)和事件G包含的樣本點(diǎn)；所以，4==2+2，將上式的每一項(xiàng)都除以n(Ω)：由概率的定義，可得：．因此，從特殊到一般，如果A、B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)互斥事件，那么A與B不含有相同的樣本點(diǎn)，所以，這等價(jià)于，即兩個(gè)互斥事件的和事件的概率等于這兩個(gè)事件概率之和．所以，我們有互斥事件的概率加法公式：性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥，那么互斥事件的概率加法公式可以推廣到多個(gè)事件的情況．如果事件兩兩互斥，那么事件發(fā)生的概率等于這m個(gè)事件分別發(fā)生的概率值和，即．回到剛才的問題：一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中2個(gè)紅球（標(biāo)號為1和2），2個(gè)綠球（標(biāo)號為3和4）從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球．事件N=“兩個(gè)球顏色不相同”，求P(N)．解：事件N是兩個(gè)球顏色不相同，所以N={(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)}，n(N)=8，n(Ω)=12，所以，．還可以用其他方法求事件N的概率嗎？事件M與事件N互為對立事件，所以，，．所以，．所以，．如果A、B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)對立事件，用同樣的方法可以證明：．由此得到：性質(zhì)4如果事件A與事件B互為對立事件，那么，．例從不包括大小王的52張撲克牌中隨機(jī)抽取一張，設(shè)事件A=“抽到紅心”，事件B=“抽到方片”．求（1）C=“抽到紅花色”，求P(C)；（2）D=“抽到黑花色”，求P(D)．分析：（1）一副不包含大小王的撲克牌，有紅心，方片，黑桃，梅花四種花色，事件C是抽到紅花色，即抽到紅心或方片，所以，因?yàn)殡S機(jī)抽取一張撲克牌，抽到紅心和方片是不可能同時(shí)發(fā)生的，所以事件A與事件B是互斥事件，根據(jù)互斥事件的概率加法公式，即可得到．事件A=“抽到紅心”，紅心從A到k共有13張，由概率的定義，可知，同理，．所以，．解：（1）因?yàn)?，且A與B不會同時(shí)發(fā)生，所以A與B是互斥事件．根據(jù)互斥事件的概率加法公式，得．分析：（2）事件D抽到黑花色，與事件C抽到紅花色，是不可能同時(shí)發(fā)生的，而且從一副撲克牌中隨機(jī)抽取一張，不是黑花色就是紅花色，也必然發(fā)生其中之一，所以事件C與事件D互為對立事件．由對立事件的概率公式，可得．由（1）知，，所以，．解：（2）因?yàn)镃與D互斥，又因?yàn)镃∪D是必然事件，所以C與D互為對立事件．因此．思考3一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中2個(gè)紅球（標(biāo)號為1和2），2個(gè)綠球（標(biāo)號為3和4）從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球．事件R1=“第一次摸到紅球”，事件R=“兩次都摸到紅球”，事件R1與事件R有什么關(guān)系？他們的概率又具有怎樣的關(guān)系？分析：事件R1=第一次摸到紅球，所以R1={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}，，事件R=兩次都摸到紅球，所以R={(1,2)，(2,1)}，，所以，對于事件R與R1，，即事件R發(fā)生，則事件R1一定發(fā)生，且，于是，由概率的定義，得到：．所以，對于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件A、B，如果，即事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，那么事件A發(fā)生的概率不超過事件B發(fā)生的概率．于是我們有概率的單調(diào)性：性質(zhì)5如果，那么．由性質(zhì)5可得：對于任意事件A，因?yàn)?，所以．思?：一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中2個(gè)紅球（標(biāo)號為1和2），2個(gè)綠球（標(biāo)號為3和4）從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球．事件R1=“第一次摸到紅球”，事件R2=“第二次摸到紅球”，那么與之間有什么關(guān)系？分析：事件R1=第一次摸到紅球，所以R1={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}，，所以，．事件R2=第二次摸到紅球，所以R2={(1,2)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)}，，所以，．和事件R1∪R2=“兩個(gè)球中有紅球”，所以R1∪R2={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，，所以，．通過計(jì)算我們發(fā)現(xiàn)：．為什么不相等呢？因?yàn)椋?{(1,2)，(2,1)}，所以事件R1與事件R2不是互斥事件，不能用互斥事件的概率加法公式計(jì)算和事件的概率．那么如何計(jì)算呢？對三類事件的樣本點(diǎn)進(jìn)行分析，可以發(fā)現(xiàn)：，，，因?yàn)?{(1,2)，(2,1)}，，所以：．將上式的每一項(xiàng)都除以n(Ω)：．由概率的定義，可得：．于是，我們得到，一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中兩個(gè)不互斥的事件，它們的和事件發(fā)生的概率公式：性質(zhì)6設(shè)A、B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有．顯然，性質(zhì)是性質(zhì)的特殊情況．說明本節(jié)課的研究內(nèi)容及研究方法．概率的取值范圍特殊事件的概率以古典概型概率的定義為出發(fā)點(diǎn)，采用由特殊到一般的方法研究概率的基本性質(zhì)性質(zhì)---互斥關(guān)系的事件概率間的關(guān)系利用性質(zhì)3推出性質(zhì)4----對立關(guān)系的事件概率間的關(guān)系想要正確的運(yùn)用我們學(xué)習(xí)的這兩個(gè)公式，需要分析清楚事件之間的基本關(guān)系，明確公式成立的條件，才能利用相應(yīng)的性質(zhì)，使問題迎刃而解．利用定義推導(dǎo)具有包含關(guān)系的事件之間概率關(guān)系性質(zhì)5--包含關(guān)系的事件概率間的關(guān)系，完善概率的取值范圍．由具體實(shí)例出發(fā)研究，一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中兩個(gè)不互斥的事件，它們的和事件發(fā)生的概率公式．由特殊到一般得到性質(zhì)6，一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件概率的關(guān)系．例題例、為了推廣一種新飲料，某飲料生產(chǎn)企業(yè)開展了有獎促銷活動：將6罐這種飲料裝一箱，每箱中都放置2罐能夠中獎的飲料，若從一箱中隨機(jī)抽出2罐，能中獎的概率為多少？分析：從一箱中隨機(jī)抽出2罐飲料，共有4種情況：第一種情況：兩罐都中獎；第二種情況：第一罐中獎，第二罐不中獎；第三種情況：第一罐不中獎，第二罐中獎；第四種情況：兩罐都不中獎．在一次試驗(yàn)中，有一種情況發(fā)生，則另外三種情況不可能同時(shí)發(fā)生．從一箱中隨機(jī)抽出2罐能夠中獎的飲料，包含前三種情況．解：我們不妨用事件A=“中獎”，事件“第一罐中獎”，事件“第二罐中獎”，那么事件=“兩罐都中獎”，事件=“第一罐中獎，第二罐不中獎”，事件=“第一罐不中獎，第二罐中獎”，且．因?yàn)閮蓛苫コ?，所以根?jù)互斥事件的概率加法公式，可得．借助樹狀圖，來求相應(yīng)事件的樣本點(diǎn)數(shù)．樣本空間包含的樣本點(diǎn)總個(gè)數(shù)，每個(gè)樣本點(diǎn)都是等可能的，是古典概型問題．因?yàn)?，所以利用互斥事件的概率加法公式，可得：．所以，從一箱中隨機(jī)抽出2罐，能中獎的概率等于．上述解法需要分若干種情況計(jì)算概率，有沒有更簡便的方法呢？對于這個(gè)問題也可以這樣進(jìn)行思考：分析：事件A=“中獎”的對立事件是“不中獎”，即“兩罐都不中獎”，所以只要求出兩罐都不中獎的概率，這樣就可以利用對立事件的概率公式來求事件A=“中獎”發(fā)生的概率．另解：事件=“兩罐都不中獎”，通過樹狀圖，可得：，由概率的定義，可得，因此，利用對立事件的概率公式，可得．所以，從一箱中隨機(jī)抽出2罐，能中獎的概率等于．利用互斥事件、對立事件概率公式解決問題遇到一個(gè)較復(fù)雜的概率問題，首先要不重不漏地將試驗(yàn)結(jié)果分類，用簡單事件表示復(fù)雜事件，分析清楚事件的關(guān)系和運(yùn)算，再利用概率的性質(zhì)，運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算．總結(jié)以古典概型為具體的實(shí)例支撐，由特殊到一般地研究概率的研究概率的取值范圍；特殊事件的概率；事件有某些特殊關(guān)系（互斥、對立、包含）時(shí)，它們的概率之間的關(guān)系，得到概率的6條性質(zhì)，利用概率的性質(zhì)，可以簡化概率的計(jì)算．作業(yè)已知．（1）如果，那么，．（2）如果互斥，那么，．指出下列表述中的錯(cuò)誤：（1）某地區(qū)明天下雨的概率為0.4，明天不下雨的概率是0.5；（2）如果事件A與事件B