第3章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法3.1階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)3.2典型二階系統(tǒng)時(shí)域分析3.3高階系統(tǒng)分析3.4線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析3.5線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析3.6解題示范小結(jié)習(xí)題

3.1階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)

通常,系統(tǒng)性能分析有三個(gè)方面，即輸出信號(hào)對(duì)輸入信號(hào)的跟隨性、準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性，即穩(wěn)、快、準(zhǔn)。一個(gè)控制系統(tǒng)的性能取決于這個(gè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，為分析系統(tǒng)的性能優(yōu)劣，通常采用一些簡(jiǎn)單的典型輸入信號(hào)來分析其輸出信號(hào)的變化特點(diǎn)，并從中得到系統(tǒng)性能的定量結(jié)果，作為系統(tǒng)性能的統(tǒng)一衡量標(biāo)準(zhǔn)。在同一系統(tǒng)中，不同形式的輸入信號(hào)所對(duì)應(yīng)的輸出響應(yīng)是不同的，但對(duì)于線性控制系統(tǒng)來說，它們所表征的系統(tǒng)性能是一致的。通常以單位階躍信號(hào)作為典型輸入作用，可在一個(gè)統(tǒng)一的基礎(chǔ)上對(duì)各種控制系統(tǒng)的特性進(jìn)行比較和研究。一般認(rèn)為，階躍輸入對(duì)系統(tǒng)來說是最嚴(yán)峻的工作狀態(tài)，如果系統(tǒng)在階躍輸入作用下的動(dòng)態(tài)性能滿足要求，那么在其他形式輸入的作用下，其動(dòng)態(tài)性能也是令人滿意的。在典型輸入信號(hào)作用下，任何一個(gè)控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)都將經(jīng)歷一個(gè)動(dòng)態(tài)的調(diào)節(jié)過程和一個(gè)穩(wěn)態(tài)工作過程兩個(gè)狀態(tài)，分析這兩個(gè)過程的特點(diǎn)，采用一定的指標(biāo)來衡量，即可對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)、快、準(zhǔn)性能進(jìn)行分析。反之，也可以通過控制要求來設(shè)計(jì)一個(gè)性能良好的控制系統(tǒng)。

自動(dòng)控制系統(tǒng)理想的階躍響應(yīng)如圖3-1所示，這是一個(gè)衰減振蕩的過程。圖3-1單位階躍響應(yīng)圖中定義了工程上常用的以下性能指標(biāo)：

(1)延遲時(shí)間td：指響應(yīng)曲線第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時(shí)間。

(2)上升時(shí)間tr：指響應(yīng)曲線從其穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時(shí)間。對(duì)于振蕩系統(tǒng)，則取響應(yīng)從零到第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間。

(3)峰值時(shí)間tp：指輸出響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值第一次達(dá)到峰值所需要的時(shí)間。

(4)調(diào)節(jié)時(shí)間ts：指輸出響應(yīng)曲線第一次達(dá)到并保持在誤差帶內(nèi)所需要的時(shí)間。取誤差帶為穩(wěn)態(tài)輸出±5%或±2%，如圖3-1所示。

(5)超調(diào)量σ%：指響應(yīng)曲線超過穩(wěn)態(tài)值的最大偏移量占穩(wěn)態(tài)值的百分比，即

(6)穩(wěn)態(tài)誤差ess：當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)定輸出值與期望輸出值之差。延遲時(shí)間td、上升時(shí)間tr、峰值時(shí)間tp均反映系統(tǒng)響應(yīng)調(diào)節(jié)初始段的快慢；調(diào)節(jié)時(shí)間ts表示系統(tǒng)總體上動(dòng)態(tài)過渡過程的快慢；超調(diào)量σ%反映系統(tǒng)響應(yīng)過程的平穩(wěn)性；穩(wěn)態(tài)誤差ess反映系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)的最終精度。

常見的二階系統(tǒng)輸出為振蕩衰減的過程，且要求第一次和第二次超調(diào)比約為4∶1，才能既滿足快速性，又不會(huì)有過大的超調(diào)量，保證動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)平穩(wěn)性。穩(wěn)態(tài)誤差指標(biāo)反映系統(tǒng)的準(zhǔn)確性，是對(duì)系統(tǒng)控制精度或抗干擾能力的一種衡量指標(biāo)。

3.2典型二階系統(tǒng)時(shí)域分析

3.2.1一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

由一階微分方程作為運(yùn)動(dòng)方程的控制系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)，其在工程中極為常見，有些高階系統(tǒng)的特性也常用一階系統(tǒng)來近似分析。

1.一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

一階系統(tǒng)微分方程的形式一般為

其中c(t)為輸出信號(hào)，r(t)為輸入信號(hào)。當(dāng)系統(tǒng)的初始條件為零時(shí)，上式對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為

2.一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

當(dāng)輸入信號(hào)為單位階躍信號(hào)r(t)=1(t)時(shí)，對(duì)應(yīng)輸出的單位階躍響應(yīng)為

一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是一條初始值為零，以指數(shù)規(guī)律上升到終值c(∞)=1的曲線，如圖3-2所示。(t≥0)圖3-2一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)的響應(yīng)具有以下特點(diǎn)：

(1)可以用慣性時(shí)間常數(shù)T來度量系統(tǒng)的輸出。當(dāng)t=T時(shí)，c(t)=0.632；當(dāng)t=2T，3T，4T時(shí)，c(t)分別等于0.865，0.95，0.982。根據(jù)這一特點(diǎn)，可以用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)定一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，或測(cè)定系統(tǒng)是否屬于一階系統(tǒng)。

(2)曲線初始段的斜率為1/T。根據(jù)這一特點(diǎn)，也可以確定一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)。

(3)根據(jù)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的定義，測(cè)得一階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)為

td=0.69T

tr=2.2T

ts=3T

顯然，峰值時(shí)間和超調(diào)量都不存在，可以直接利用上述公式來分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

一階系統(tǒng)若T=1時(shí)，則閉環(huán)傳遞函數(shù)為則單位階躍響應(yīng)驗(yàn)證如下：

輸入MATLAB程序:

>>num=［1］；

>>den=［1,1］;

>>t=0∶0.02∶8;

>>figure

>>step(num,den,t);

>>grid

輸出響應(yīng)如圖3-3所示。圖3-3輸出響應(yīng)3.2.2典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

1.典型二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

采用微分方程描述二階系統(tǒng)的形式一般為

其中，r(t)為系統(tǒng)的輸入信號(hào)，c(t)為系統(tǒng)的輸出信號(hào)。設(shè)初始條件為零，相應(yīng)的傳遞函數(shù)為令，二階系統(tǒng)?？杀硎緸槿缦聵?biāo)準(zhǔn)形式:

式中的ωn、ξ取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，若系統(tǒng)固定，則ωn、ξ均為常數(shù)參數(shù)?？刂葡到y(tǒng)多采用閉環(huán)形式，上述傳遞函數(shù)對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖可表示成如圖3-4所示的標(biāo)準(zhǔn)形式。

二階系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為閉環(huán)特征根為

閉環(huán)特征根的類型直接影響系統(tǒng)的性能。下面分別討論不同類型的根對(duì)系統(tǒng)性能的影響。圖3-4二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)形式

2.典型二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)

當(dāng)輸入信號(hào)為單位階躍信號(hào)1(t)時(shí)，即，則輸出信號(hào)為下面分幾種情況進(jìn)行討論。

(1)欠阻尼(0＜ξ＜1):閉環(huán)特征根為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，且具有負(fù)實(shí)部。令則有

式中，σ稱為衰減系數(shù)，ωd稱為阻尼振蕩角頻率。二階系統(tǒng)輸出為對(duì)上式經(jīng)反拉氏變換，得

其中，β=arccosξ。上式表明，欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由兩部分組成。第一部分為穩(wěn)態(tài)分量1；第二部分是按幅值衰減振蕩的暫態(tài)分量，按指數(shù)e-σt衰減(σ稱為衰減系數(shù))，以ωd為阻尼振蕩頻率，最終暫態(tài)分量振蕩衰減為零，系統(tǒng)最終不存在穩(wěn)態(tài)誤差，如圖3-5曲線②所示。二階系統(tǒng)要求工作在欠阻尼狀態(tài)。

由此可見，-σ和ωd決定了系統(tǒng)的暫態(tài)分量情況，即系統(tǒng)的閉環(huán)特征根的情況決定了系統(tǒng)的暫態(tài)分量。

(2)無(wú)阻尼(ξ=0):閉環(huán)特征根為一對(duì)共軛虛根，即

s1,2=±jωn

系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為

顯然，響應(yīng)曲線為等幅振蕩曲線，如圖3-5曲線①所示。其中ωn為無(wú)阻尼振蕩頻率。

(3)臨界阻尼(ξ=1):閉環(huán)特征根為一對(duì)相等的負(fù)實(shí)根，即

s1,2=-ωn

系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為

上式表明：臨界阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的暫態(tài)部分只衰減不振蕩，暫態(tài)部分最終衰減為零，系統(tǒng)輸出為無(wú)超調(diào)的單調(diào)上升的過程，系統(tǒng)無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差，如圖3-5曲線③所示。

(4)過阻尼(ξ>1)：閉環(huán)特征根為兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根，即

系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為經(jīng)反拉氏變換得

上式表明：在s平面上，s1、s2均位于負(fù)實(shí)軸上，若ξ遠(yuǎn)大于1，|s1||s2|，則含有s2的指數(shù)項(xiàng)比含有s1的指數(shù)項(xiàng)衰減得更快一些，因此，可以忽略s2的指數(shù)項(xiàng)而保留s1的指數(shù)項(xiàng)。系統(tǒng)輸出響應(yīng)為緩慢上升的過阻尼過程，如圖3-5曲線④所示。(t≥0)圖3-5二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線

3.二階系統(tǒng)各工作狀態(tài)的分析

綜合控制系統(tǒng)穩(wěn)、快、準(zhǔn)三方面性能的影響，結(jié)合圖3-4可得出如下結(jié)論：

(1)為保證無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差，控制系統(tǒng)不能工作在無(wú)阻尼狀態(tài)；為保證系統(tǒng)的快速性，過阻尼狀態(tài)也不理想；欠阻尼有比較好的快速性，但有超調(diào)，臨界阻尼無(wú)超調(diào)，平穩(wěn)性好，但上升時(shí)間不如欠阻尼，兼顧兩個(gè)方面，由圖3-4可知，阻尼比ξ越大，超調(diào)量越小,平穩(wěn)性越好。二階系統(tǒng)通常工作在欠阻尼且接近臨界阻尼的狀態(tài)，即通常取0.4<ξ<0.8，這樣既保證了快速性，又沒有太大的超調(diào)，保證了平穩(wěn)性。二階系統(tǒng)最佳阻尼比ξ=0.707。

(2)顯然，當(dāng)ξ<0時(shí)，閉環(huán)特征根具有了正的實(shí)部，系統(tǒng)輸出為振蕩發(fā)散的狀態(tài)，作為一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)是不可能正常工作在此狀態(tài)的，因?yàn)檩敵鲂盘?hào)無(wú)限量的增大是不可能的，否則將損壞系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)部件，這樣的系統(tǒng)也就是一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng)。因此，系統(tǒng)的穩(wěn)定性決定于系統(tǒng)閉環(huán)特征根在s平面的位置，后續(xù)的章節(jié)將進(jìn)一步進(jìn)行穩(wěn)定性的分析。3.2.3欠阻尼二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的估算

為滿足動(dòng)態(tài)性能，常常需要調(diào)整兩個(gè)參數(shù)ξ、ωn來設(shè)計(jì)合適的系統(tǒng)。下面推導(dǎo)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)指標(biāo)和這兩個(gè)參數(shù)ξ、ωn之間的關(guān)系。

1.上升時(shí)間tr

根據(jù)定義c(tr)=1，即

則由于振幅不為零，則必有

取k=1時(shí)，

按定義第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值1，因此取k=1。由上式可得，增大自然振蕩頻率ωn或減小阻尼比ξ，均能減小tr,加快系統(tǒng)的初始上升速度。

2.峰值時(shí)間tp

由圖3-1可知，當(dāng)t=tp

時(shí)，函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為零，由此可求得峰值時(shí)間,即則得

可得

按定義第一次出現(xiàn)峰值，取k=1，可得

峰值時(shí)間只與阻尼振蕩頻率有關(guān)。

3.超調(diào)量σ%

按定義，超調(diào)量出現(xiàn)在峰值時(shí)時(shí)刻的輸出，因此

由上式可得，超調(diào)量只與阻尼比ξ有關(guān)，ξ越小，超調(diào)量越大。

4.調(diào)節(jié)時(shí)間ts

欠阻尼二階系統(tǒng)的響應(yīng)曲線為振蕩衰減的曲線，其衰減按指數(shù)遞減，該曲線應(yīng)包含在由幅值組成的包絡(luò)線之內(nèi)，如圖3-6所示。

圖3-6欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)根據(jù)調(diào)節(jié)時(shí)間的定義，實(shí)際響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)輸出的誤差為

根據(jù)要求的誤差帶，取ξ=0.8,可得出調(diào)節(jié)時(shí)間的估算式為由上兩式可以看出，調(diào)節(jié)時(shí)間與阻尼比和無(wú)阻尼自然振蕩頻率的乘積成反比。通常,先由超調(diào)量來確定ξ的值，再由調(diào)節(jié)時(shí)間確定ωn。

當(dāng)阻尼比在0.4~0.8之間時(shí)，以上兩估計(jì)式比較準(zhǔn)確，同時(shí)超調(diào)量對(duì)應(yīng)為25%~2.5%之間。一般選取ξ=0.707，超調(diào)量小于5%，調(diào)節(jié)時(shí)間也接近最小值，0.707為最佳阻尼參數(shù)。

【例題3-1】單位反饋控制系統(tǒng)如圖3-7所示，若參數(shù)K=16，T=0.25，試計(jì)算系統(tǒng)的各動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。

解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

圖3-7單位反饋控制系統(tǒng)與典型二階系統(tǒng)比較，得

將ωn、ξ的值代入各動(dòng)態(tài)指標(biāo)計(jì)算公式,求得，

MATLAB程序如下：

>>num=［64］;

>>den=［1464］;

>>t=0∶0.02∶4;

>>figure

>>step(num,den,t);

>>grid

單位階躍響應(yīng)輸出曲線如圖3-8所示。圖3-8單位階躍響應(yīng)曲線從圖3-8中可以看出：

峰值時(shí)間tp=0.4s

超調(diào)量σ%=45%

調(diào)節(jié)時(shí)間ts=1.7s

上升時(shí)間tr=0.24s

【例題3-2】已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-9所示，要求系統(tǒng)阻尼比ξ=0.6，試確定參數(shù)Kf的值，并計(jì)算動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)tp、σ%、ts。

解由結(jié)構(gòu)圖寫出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為圖3-9系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式

相比較得出解得

Kf=0.56

計(jì)算動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)如下：

MATLAB程序如下：

>>wn=［3.16］;

>>kos=［0.6］;

>>num=wn^2;

>>den=［1,2*kos*wn,wn^2］;

>>figure

>>t=0∶0.02∶5;

>>step(num,den,t);

>>grid

輸出單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-10所示。圖3-10單位階躍響應(yīng)曲線

【例題3-3】典型二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-11所示，試確定系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。

解依題意，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)形式為圖3-11二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線由圖3-11可見，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值為2，所以

系統(tǒng)峰值時(shí)間tp=2s，超調(diào)量σ%=

×100%=25%，所以解得

所以3.2.4二階系統(tǒng)的性能改善

調(diào)整典型二階系統(tǒng)的兩個(gè)特征參數(shù)ξ和ωn，可以改善系統(tǒng)性能，但這種改善有限。下面討論比例—微分控制和測(cè)速反饋控制兩種常用的改善系統(tǒng)性能的方法。

1.比例—微分控制的二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)指標(biāo)的估算

若系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)的形式如圖3-12所示，則上述控制系統(tǒng)對(duì)應(yīng)閉環(huán)傳遞函數(shù)有如下形式，為帶有微分環(huán)節(jié)的二階系統(tǒng)：

其中:圖3-12比例—微分控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖當(dāng)階躍輸入時(shí)，動(dòng)態(tài)指標(biāo)的估算如下：

令則系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)為

2.測(cè)速反饋控制

如圖3-13所示的結(jié)構(gòu)被稱為測(cè)速反饋系統(tǒng)，將輸出量的速度信號(hào)反饋到輸入端，并與誤差信號(hào)E(s)比較后，可以用來改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為圖3-13測(cè)速反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖其中開環(huán)增益為

閉環(huán)傳遞函數(shù)為

式中。顯然，測(cè)速反饋控制和比例—微分控制一樣，不但不改變自然頻率ωn，而且增大了阻尼比。

盡管如此，但是它們對(duì)系統(tǒng)的改善效果仍不一樣，因?yàn)楸壤⒎挚刂瓢粋€(gè)零點(diǎn)，而測(cè)速反饋控制不包含零點(diǎn)。比例—微分控制的附加阻尼作用產(chǎn)生于輸入端誤差信號(hào)的變化；速度反饋控制的附加阻尼來自系統(tǒng)輸出量的變化。比例—微分控制提供了一個(gè)實(shí)零點(diǎn)，可縮短系統(tǒng)的初始響應(yīng)，但是在相同的阻尼比時(shí)，超調(diào)量也大于速度反饋控制。

【例題3-4】試分別求出圖3-14中各系統(tǒng)的自然振蕩頻率和阻尼比，并分析其動(dòng)態(tài)性能。

解

(1)圖3-14(a)所示系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

則

tp=3.142s

σ%=100%

(2)圖3-14(b)所示系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

則

tp=2.418s

σ%=29.9%

ts=8.0s(Δ=2%)

(3)圖3-14(c)所示系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

則

tp=3.628s

σ%=16.3%

ts=8.8s(Δ=2%)圖3-14控制系統(tǒng)MATLAB程序如下：

>>num1=［1］;

>>den1=［101］;

>>sys1=tf(num1,den1);

>>num2=［11］;

>>den2=［111］;

>>sys2=tf(num2,den2);

>>num3=［1］;

>>den3=［111］;

>>sys3=tf(num3,den3);

>>t=0∶0.1∶20;

>>figure(1)

>>step(sys1,t);grid

>>figure(2)

>>step(sys2,t);grid

>>figure(3)

>>step(sys3,t);grid

輸出單位階躍響應(yīng)曲線分別如圖3-15(a)、(b)、(c)所示。圖3-15輸出單位階躍響應(yīng)

3.3高階系統(tǒng)分析

采用二階以上微分方程描述的系統(tǒng)稱為高階系統(tǒng),幾乎所有的控制系統(tǒng)都是高階系統(tǒng)。對(duì)于高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析是比較復(fù)雜的，常常采用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)對(duì)高階系統(tǒng)進(jìn)行近似處理，對(duì)動(dòng)態(tài)性能近似估算。3.3.1高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

設(shè)n階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)形式為

式中:；pi為閉環(huán)的極點(diǎn)；zj為閉環(huán)零點(diǎn)。閉環(huán)零點(diǎn)zj和極點(diǎn)pi可能是實(shí)數(shù)或者成對(duì)共軛復(fù)數(shù)。(n≥m)單位階躍響應(yīng)輸出為

若pi均為單重極點(diǎn)，則上式中

(若存在多重極點(diǎn)pi，則上式的部分分式形式及求取方法見第2章中的拉普拉斯反變換)。輸出響應(yīng)為

假若其中的p1,2=-σ±jωd是一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)，則由上式可求得對(duì)應(yīng)的A1,2=c±jd，也為共軛的留數(shù)，對(duì)應(yīng)的輸出分量為

式中：。由上述可見，高階系統(tǒng)的輸出一部分為穩(wěn)態(tài)分量A0，其余為暫態(tài)分量。暫態(tài)分量中，由實(shí)極點(diǎn)構(gòu)成的是指數(shù)暫態(tài)分量，若為負(fù)實(shí)極點(diǎn)，則輸出分量為衰減的指數(shù)分量；由復(fù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的輸出分量為振蕩的暫態(tài)分量，若復(fù)極點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部，則輸出為振蕩衰減的暫態(tài)分量，幅值按指數(shù)最終衰減為零。

由此可以得到一個(gè)結(jié)論：如果高階系統(tǒng)所有的閉環(huán)極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部，即所有閉環(huán)極點(diǎn)都位于復(fù)平面s左半平面，則輸出的暫態(tài)分量最終都衰減為零，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，穩(wěn)定輸出為A0；若系統(tǒng)閉環(huán)函數(shù)存在右半平面的極點(diǎn)，則系統(tǒng)輸出量將會(huì)發(fā)散，而系統(tǒng)也一定是一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng)。3.3.2偶極子和閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)

1.偶極子

在s平面上，若一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)的附近存在閉環(huán)的零點(diǎn)，或者說存在一對(duì)靠得很近或者相等的零極點(diǎn)，則在閉環(huán)函數(shù)分子分母中，這兩個(gè)因子將近似抵消或者抵消。這種情況的極點(diǎn)會(huì)使暫態(tài)分量中的對(duì)應(yīng)留數(shù)系數(shù)很小或等于零，對(duì)系統(tǒng)的輸出影響很小，這類零極點(diǎn)稱為偶極子。偶極子對(duì)輸出對(duì)暫態(tài)分量的影響很小，因此可以忽略。

2.主導(dǎo)極點(diǎn)

對(duì)穩(wěn)定的高階系統(tǒng)而言，如果在所有的閉環(huán)極點(diǎn)中，距離虛軸最近的極點(diǎn)，且周圍沒有閉環(huán)零點(diǎn)(即不構(gòu)成偶極子)，而其它閉環(huán)極點(diǎn)又遠(yuǎn)離虛軸，那么距離虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量，隨著時(shí)間的推移衰減相對(duì)緩慢，無(wú)論從指數(shù)系數(shù)還是從留數(shù)系數(shù)上來看，在輸出響應(yīng)暫態(tài)分量中都起主導(dǎo)作用，這樣的閉環(huán)極點(diǎn)稱為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)可以是實(shí)數(shù)極點(diǎn)，也可以是復(fù)數(shù)極點(diǎn)，或者是它們的組合。

除閉環(huán)極點(diǎn)外，所有其它遠(yuǎn)離虛軸的閉環(huán)極點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的留數(shù)系數(shù)較小，指數(shù)衰減速度也快，隨著時(shí)間的推移迅速衰減，持續(xù)時(shí)間很短，對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為影響很小，因而統(tǒng)稱為非主導(dǎo)極點(diǎn)。3.3.3高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)指標(biāo)的估算

在實(shí)際工程動(dòng)態(tài)性能分析中，可以忽略非主導(dǎo)極點(diǎn)而保留主導(dǎo)極點(diǎn)，將高階系統(tǒng)近似為一階和二階系統(tǒng)，以實(shí)現(xiàn)對(duì)高階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的估算，因此高階系統(tǒng)的增益常常調(diào)整到使系統(tǒng)具有一對(duì)閉環(huán)共軛主導(dǎo)極點(diǎn)。這時(shí)可用二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)來估算高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，但實(shí)際上也要考慮非主導(dǎo)零極點(diǎn)對(duì)動(dòng)態(tài)性能的影響。若選取一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)作為主導(dǎo)極點(diǎn)p1,2=-σ±jωd，其余非主導(dǎo)極點(diǎn)或偶極子均忽略，構(gòu)成一個(gè)新的二階系統(tǒng)，近似二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的表達(dá)式如下:

可利用二階系統(tǒng)的指標(biāo)估算得到高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)指標(biāo)。

【例題3-5】已知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

試估算該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。

解由閉環(huán)傳遞函數(shù)可知，該系統(tǒng)是一個(gè)三階系統(tǒng)，其閉環(huán)零、極點(diǎn)在s平面上的分布如圖3-16所示。圖3-16閉環(huán)零、極點(diǎn)分布圖閉環(huán)零點(diǎn)：z1=-1.7

閉環(huán)極點(diǎn)：p1=-1.5,p2,3=-4±j9.2

顯然，p1與z1構(gòu)成一對(duì)偶極子，則共軛極點(diǎn)p2、p3是系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)，于是系統(tǒng)可近似為二階系統(tǒng)，即

按標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)可以確定:

ωn=10

ξ=0.4所以估算動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)為

閉環(huán)傳遞函數(shù)整理后為

MATLAB程序如下：

>>num=［0.591］;

>>den=［0.00670.06360.751］;

>>sys=tf(num,den);

>>t=0∶0.01∶5;

>>figure

>>step(sys,t);

>>grid

輸出單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-17所示。

由圖像所得結(jié)果與近似計(jì)算的結(jié)果相當(dāng)。

圖3-17單位階躍響應(yīng)曲線

3.4線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

3.4.1穩(wěn)定的定義

所謂穩(wěn)定性，是指系統(tǒng)恢復(fù)平衡狀態(tài)的一種能力。當(dāng)系統(tǒng)處于一種平衡狀態(tài)時(shí)，由于擾動(dòng)的作用，系統(tǒng)將偏離原來的平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動(dòng)消失后，經(jīng)過足夠長(zhǎng)的時(shí)間，系統(tǒng)可恢復(fù)到原來的起始平衡狀態(tài)，則稱這樣的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

如圖3-18所示兩個(gè)靜止的平衡系統(tǒng)，當(dāng)外力F作用于圖中的小球時(shí)，就會(huì)打破原平衡狀態(tài)，當(dāng)外力去掉以后，(a)圖返回原平衡位置，而(b)圖將永遠(yuǎn)不會(huì)再回到原平衡狀態(tài)。所以稱(a)圖為穩(wěn)定的系統(tǒng)，(b)圖為不穩(wěn)定的系統(tǒng)。圖3-18平衡系統(tǒng)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性也一樣。控制系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行過程中總會(huì)受到外界和內(nèi)部的一些因素干擾作用，例如負(fù)載和電源的波動(dòng)，系統(tǒng)參數(shù)的變化，環(huán)境條件的改變等。當(dāng)系統(tǒng)受到擾動(dòng)的作用時(shí)，系統(tǒng)也會(huì)偏離原平衡狀態(tài)，如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則系統(tǒng)就會(huì)克服這種擾動(dòng)的作用，隨著時(shí)間的推移最終恢復(fù)到原平衡狀態(tài)；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定，將不能克服干擾，系統(tǒng)不能正常工作。例如前面分析的二階系統(tǒng)，若系統(tǒng)工作在欠阻尼狀態(tài)，當(dāng)階躍輸入時(shí)，隨著時(shí)間的推移，階躍響應(yīng)最終振蕩衰減收斂到某一穩(wěn)定狀態(tài)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；反之，如果系統(tǒng)ξ<0，輸出量振蕩發(fā)散，則系統(tǒng)將最終遭到破壞而不能正常工作，系統(tǒng)為不穩(wěn)定的系統(tǒng)。

穩(wěn)定性是系統(tǒng)能夠正常工作的首要條件。線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身的一種屬性，僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，與初始條件和外輸入無(wú)關(guān)。3.4.2線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

由穩(wěn)定性的定義可知，穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的固有特性，與外界條件無(wú)關(guān)。設(shè)系統(tǒng)初始條件為零，當(dāng)輸入單位脈沖信號(hào)時(shí)，這相當(dāng)于擾動(dòng)信號(hào)的作用，使得輸出信號(hào)偏離原平衡點(diǎn)，隨著時(shí)間的推移，脈沖響應(yīng)

即輸出恢復(fù)原平衡點(diǎn)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)的輸出脈沖響應(yīng)拉氏變換為

式中，閉環(huán)零點(diǎn)zj和極點(diǎn)pi可能是實(shí)數(shù)或者成對(duì)共軛復(fù)數(shù)pk1,k2

=σk±jωk。

對(duì)應(yīng)的脈沖響應(yīng)輸出為

式中，q+2r=n。上式表明，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的特征根全部具有負(fù)實(shí)部時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出才為零，系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)；否則，若存在一個(gè)或一個(gè)以上的正實(shí)部根，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定；若系統(tǒng)存在一個(gè)或一個(gè)以上零實(shí)部根，其余根均具有負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)的輸出等幅振蕩，系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。

由此可見，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負(fù)實(shí)部；或者說，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均位于s平面的左半平面。3.4.3勞斯穩(wěn)定判據(jù)

根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，要判斷一個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要求出全部閉環(huán)特征根。但對(duì)于高階系統(tǒng)，這個(gè)工作會(huì)很麻煩，因此，希望尋求一種更為簡(jiǎn)單的判斷方法來代替解特征方程。勞斯于1877年提出了判斷穩(wěn)定性的代數(shù)判據(jù)，稱為勞斯判據(jù)。這種判據(jù)以線性系統(tǒng)特征方程的系數(shù)為依據(jù)，其數(shù)學(xué)推導(dǎo)從略。

1.系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件

設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

(a0>0)

兩邊除以a0，得

由于對(duì)比以上兩式，即可得：從上述關(guān)系中可以看出，如果特征方程的根p1,p2,…,pn都具有負(fù)實(shí)部，則特征方程的系數(shù)a0,a1,…,an均為正。因此,線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是：閉環(huán)特征方程的系數(shù)均為正，即ai>0。若存在等于零或等于負(fù)值的系數(shù)，則必定存在虛根或正實(shí)部的根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。在閉環(huán)方程系數(shù)為正這一必要條件的基礎(chǔ)上，可進(jìn)一步應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2.勞斯穩(wěn)定判據(jù)

如果所有的系數(shù)都是正的，則可由系數(shù)排列成如下的勞斯表：從第三行開始的系數(shù)可由以下公式求得：

每行系數(shù)利用前兩行系數(shù)通過上式得到，共n+1行。在計(jì)算過程中，給某一行同乘一個(gè)正數(shù)，可以簡(jiǎn)化后面的運(yùn)算，而不會(huì)影響穩(wěn)定性的判斷。勞斯穩(wěn)定判據(jù)的內(nèi)容：

(1)若勞斯表第一列的系數(shù)全為正，則表明閉環(huán)特征根均在s左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。這也是系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。

(2)若第一列的系數(shù)不全為正，存在負(fù)值，則表明存在正實(shí)部閉環(huán)特征根，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且正實(shí)部根的個(gè)數(shù)等于第一列系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)。注意，有以下兩種特殊情況：

(1)若某一行中的第一列系數(shù)等于零，其余列系數(shù)不全等于零或沒有其余項(xiàng)，這時(shí)下一行系數(shù)將會(huì)無(wú)窮大，無(wú)法排列勞斯表。如果要繼續(xù)排列勞斯表，則可用一個(gè)小正數(shù)ε代替第一列中的零，繼續(xù)排列勞斯表。

通過得到的勞斯表，可利用勞斯判據(jù)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。若第一列系數(shù)符號(hào)改變，則系統(tǒng)不穩(wěn)定的原因是由于存在正實(shí)部根；若第一列系數(shù)符號(hào)不改變，則一定存在臨界虛根，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定?？傊?，在這種情況下系統(tǒng)不穩(wěn)定。

(2)若某一行系數(shù)全為零，使得勞斯表無(wú)法繼續(xù)，這種情況表明閉環(huán)特征根存在等值反號(hào)的實(shí)根、虛根或共軛虛根對(duì)。這些根的特點(diǎn)是以原點(diǎn)為對(duì)稱點(diǎn)，呈對(duì)稱形式，由此可知，

系統(tǒng)肯定是不穩(wěn)定系統(tǒng)?？衫蒙弦恍邢禂?shù)構(gòu)成輔助多項(xiàng)式，并用該多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)式的系數(shù)代替全零行，使勞斯表繼續(xù)下去。也可以利用多項(xiàng)式構(gòu)成的方程求得這些等值反號(hào)的根。

【例題3-6】已知線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為D(s)=

s4+2s3+3s2+4s+5=0，試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解因?yàn)閍i>0(i=1，2，3，4)，所以系統(tǒng)滿足穩(wěn)定的必要條件。

列勞斯表如下：或用s3行除以2，則勞斯表如下：計(jì)算結(jié)果表明，第一列系數(shù)的符號(hào)改變次數(shù)為2，則說明多項(xiàng)式有兩個(gè)正實(shí)部的根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。在計(jì)算勞斯表的過程中，如果某些系數(shù)不存在，則在陣列中可以用零來取代，繼續(xù)勞斯表計(jì)算；可見當(dāng)給某行乘以或除以一個(gè)正數(shù)時(shí)，得到的勞斯表不會(huì)影響穩(wěn)定性的判定。

MATLAB程序如下：

>>den=［12345］;

>>p=roots(den)輸出結(jié)果如下：

p=

0.2878+1.4161i

0.2878-1.4161i

-1.2878+0.8579i

-1.2878-0.8579i

由此可以看出，系統(tǒng)存在兩個(gè)正實(shí)部的根0.2878+1.4161i、0.2878-1.4161i，與以上結(jié)論一致。

【例題3-7】已知線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為D(s)=

s4+3s3+1s2+3s+1=0，試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解因?yàn)閍i>0(i=1，2，3，4)，所以系統(tǒng)滿足穩(wěn)定的必要條件。

列勞斯表如下：因?yàn)棣拧?，所以3-3/ε<0，勞斯表第一列系數(shù)變符號(hào)兩次，系統(tǒng)有兩個(gè)正實(shí)部的根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

MATLAB程序如下：

>>den=［13131］;

>>p=roots(den)

p=

-2.9656

0.1514+0.9885i

0.1514-0.9885i

-0.3372

由此可以看出,系統(tǒng)存在兩個(gè)正實(shí)部的根0.1514+0.9885i、0.1514-0.9885i，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

【例題3-8】已知線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為D(s)=

s3+2s2+s+2=0，試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解因?yàn)閍i>0(i=1，2，3，4)，所以系統(tǒng)滿足穩(wěn)定的必要條件。

列勞斯表如下：由于ε>0，第一列系數(shù)沒有變號(hào)，雖然沒有s右半平面的根，但實(shí)際上存在一對(duì)虛根s=±j，使系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。

MATLAB程序如下：

>>den=［1212］;

>>p=roots(den)

輸出以下結(jié)果：

p=

-2.0000

0.0000+1.0000i

0.0000-1.0000i

由于系統(tǒng)存在成對(duì)的虛根，因此系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，與勞斯判據(jù)判斷結(jié)果一致。

【例題3-9】系統(tǒng)特征方程如下:

試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解列勞斯表為由s2行的系數(shù)構(gòu)造輔助方程為

對(duì)輔助方程進(jìn)行求導(dǎo)，得導(dǎo)數(shù)方程用導(dǎo)數(shù)方程的系數(shù)代替全零行，繼續(xù)列勞斯表:

第一列系數(shù)沒有變號(hào)，故系統(tǒng)無(wú)正實(shí)部的根。但因出現(xiàn)全零行，解輔助方程F(s)得到一對(duì)共軛虛根，所以系統(tǒng)屬于臨界穩(wěn)定。

MATLAB程序：

>>den=［11016160］;

>>p=roots(den)

輸出結(jié)果為：

p=

-10.0000

-0.0000+4.0000i

-0.0000-4.0000i

由此可以看出，系統(tǒng)存在一對(duì)共軛虛根，所以臨界穩(wěn)定，與勞斯判據(jù)判斷結(jié)果一致。3.4.4勞斯穩(wěn)定判據(jù)在系統(tǒng)分析中的應(yīng)用

勞斯穩(wěn)定判據(jù)的一個(gè)重要應(yīng)用就是可以通過檢查系統(tǒng)的參數(shù)值，確定一個(gè)或兩個(gè)系統(tǒng)參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，界定參數(shù)值的穩(wěn)定范圍問題。

【例題3-10】已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-19所示，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。

解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為圖3-19系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖特征方程為

s3+3s2+2s+K=0

列勞斯表如下：

為了使系統(tǒng)穩(wěn)定，K必須為正值，并且第一列中所有系數(shù)必須為正值,因此得到

0<K<6例如，當(dāng)K=0、2、4、6時(shí)，采用MATLAB仿真檢驗(yàn)

如下:

>>K=［0,2,4,6］;

>>t=0∶0.01∶40;

>>fori=1∶4

k=K(i);

numg=［k］;

deng=［1320］；

numh=［1］;

denh=［1］;［num,den］=feedback(numg,deng,numh,denh);

sys=tf(num,den);

figure(i)

step(sys,t);

gridon;

end

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)K=0、2、4、6時(shí),單位階躍響應(yīng)分別如圖3-20(a)、(b)、(c)、(d)所示。

圖3-20單位階躍響應(yīng)曲線

【例題3-11】討論特征方程126s3+219s2+258s+85=0中有多少根的實(shí)部落在開區(qū)間(0，-1)內(nèi)？

解系統(tǒng)特征根有3個(gè)，首先用勞斯判據(jù)判定有幾個(gè)根不在左半s平面，然后再做代換s=s1-1，判斷有幾個(gè)根不在s=-1的左面，便可得出結(jié)論。列勞斯表如下：

可見，3個(gè)根全在s=0的左面。令s=s′－1代入特征方程,整理后有

126s′3－159s′2+225s′－107=0列勞斯表如下：

可見第一列系數(shù)變號(hào)3次，3個(gè)根全部位于s=－1的右面。因此得出結(jié)論：3個(gè)根的實(shí)部全部位于開區(qū)間(－1，0)之內(nèi)。

3.5線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析

穩(wěn)態(tài)誤差是衡量控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的指標(biāo)，反映控制系統(tǒng)的控制精度。在線性控制系統(tǒng)中，由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、輸入作用形式和類型的不同，系統(tǒng)將產(chǎn)生不同的響應(yīng)，造成不同的穩(wěn)態(tài)誤差。本節(jié)主要介紹穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算方法及減小穩(wěn)態(tài)誤差的方法。3.5.1穩(wěn)態(tài)誤差的定義

典型控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-21所示。

按照誤差的定義，誤差等于系統(tǒng)的期望輸出與實(shí)際輸出值之差，即

e′(t)=c*(t)－c(t)

式中，c*(t)表示期望輸出量，其在實(shí)際系統(tǒng)中是無(wú)法測(cè)量的，因此按照這種從輸出端定義誤差的方法是很難求取穩(wěn)態(tài)誤差的。圖3-21系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖還可從系統(tǒng)輸入端定義誤差，即

e(t)=r(t)－b(t)

即E(s)=R(s)－B(s)

由結(jié)構(gòu)圖可以解釋這種方法定義的誤差。r(t)是系統(tǒng)的給定輸入，必然對(duì)應(yīng)系統(tǒng)對(duì)該輸入的期望輸出c*(t)；b(t)是c(t)反饋到輸入端的量，也反映系統(tǒng)實(shí)際輸出c(t)，但b(t)的量綱與r(t)一致。因此，在輸入端定義的誤差與輸出端定義的誤差原理上完全一致，兩種誤差存在一定的關(guān)系——E′(s)H(s)=E(s)。由于r(t)、b(t)可測(cè)量，因此這種方法更有實(shí)用性。誤差本身是時(shí)間的函數(shù)，所謂穩(wěn)態(tài)誤差是指在時(shí)間t趨于無(wú)窮時(shí)的誤差，用ess表示,即

上式利用拉普拉斯終值定理將誤差轉(zhuǎn)化為復(fù)域表達(dá)式，便于后面通過傳遞函數(shù)分析穩(wěn)態(tài)誤差。3.5.2系統(tǒng)類型

分子階次為m、分母階次為n的控制系統(tǒng)開環(huán)函數(shù)可表示成如下的形式：

式中，K為開環(huán)增益，τi、Tj為時(shí)間常數(shù)，v為開環(huán)結(jié)構(gòu)中含有積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)。系統(tǒng)的類型以v的數(shù)值來劃分：v=0，稱為0型系統(tǒng)；v=1，稱為1型系統(tǒng)；v=2，稱為2型系統(tǒng)；以此類推。3型及3型以上的系統(tǒng)，穩(wěn)定性很難保證，幾乎不采用。3.5.3穩(wěn)態(tài)誤差的分析

通過結(jié)構(gòu)圖圖3-21，可得到誤差傳遞函數(shù)的表達(dá)式為

則

穩(wěn)態(tài)誤差為

1.階躍輸入作用下穩(wěn)態(tài)誤差的分析

在單位階躍輸入下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

式中，Ｋp稱為靜態(tài)位置誤差系數(shù)。

0型系統(tǒng)

1型及1型以上系統(tǒng)當(dāng)階躍輸入信號(hào)r(t)=A時(shí)，即，則穩(wěn)態(tài)誤差為習(xí)慣上把系統(tǒng)在階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差稱為靜差。由以上分析可知，若系統(tǒng)前向通道中沒有積分環(huán)節(jié)，則系統(tǒng)對(duì)階躍輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差不為零。因此，0型系統(tǒng)又稱為位置有靜差系統(tǒng)；1型及1型以上系統(tǒng)，其階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差為零，這樣的系統(tǒng)又稱為位置無(wú)靜差系統(tǒng)。

2.斜坡輸入作用下穩(wěn)態(tài)誤差的分析

單位斜坡輸入下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

其中，Kv稱為靜態(tài)速度誤差系數(shù)。

0型系統(tǒng)

1型系統(tǒng)

2型及2型以上系統(tǒng)

當(dāng)斜坡輸入信號(hào)r(t)=At(t>0)，即時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差為以上分析表明:0型系統(tǒng)不能跟蹤斜坡輸入信號(hào),誤差無(wú)限大，即實(shí)際系統(tǒng)不可??；1型系統(tǒng)可以跟蹤斜坡輸入信號(hào)，但存在一定的誤差；2型及2型以上系統(tǒng)可以跟蹤斜坡輸入信號(hào)，且穩(wěn)態(tài)誤差為零。

3.拋物線輸入作用下穩(wěn)態(tài)誤差的分析

單位拋物線輸入信號(hào)作用下，穩(wěn)態(tài)誤差為

其中，Ka稱為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。

0、1型系統(tǒng)

2型系統(tǒng)

3型及3型以上系統(tǒng)

當(dāng)加速度輸入信號(hào)(t>0)，即時(shí),穩(wěn)態(tài)誤差為由此可見：0、1型系統(tǒng)不能跟蹤拋物線輸入信號(hào)，誤差無(wú)限大，即實(shí)際系統(tǒng)不可??；2型系統(tǒng)可以跟蹤拋物線輸入信號(hào)，但穩(wěn)態(tài)誤差不為零；3型及3型以上系統(tǒng)可以跟蹤拋物線輸入信號(hào)，且穩(wěn)態(tài)誤差為零，為無(wú)靜差系統(tǒng)。

注意：當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號(hào)為幾種典型信號(hào)的疊加時(shí)，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差也滿足疊加原理，為幾種誤差的疊加之和。如：r(t)=(A+Bt+Ct2/2)·1(t)，可根據(jù)線性疊加原理求穩(wěn)態(tài)誤差，即

【例題3-12】已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下:

(1)

(2)

(3)

試求輸入分別為r(t)=2t和r(t)=2+2t+t2時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

解

(1)由于系統(tǒng)為單位負(fù)反饋系統(tǒng)，因此根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)可以求得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

通過穩(wěn)定性判據(jù)，可知系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由開環(huán)函數(shù)

可知，系統(tǒng)是0型系統(tǒng)，且K=20。由于0型系統(tǒng)在1(t)、t、信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差分別為、∞、∞，故根據(jù)線性疊加原理有：

①當(dāng)系統(tǒng)輸入為r(t)=2t時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess1=∞；

②當(dāng)系統(tǒng)輸入為r(t)=2+2t+t2時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

。

(2)由于系統(tǒng)為單位負(fù)反饋系統(tǒng)，因此根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)可以求得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

通過穩(wěn)定性判據(jù)，可知系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由開環(huán)函數(shù)

可知，系統(tǒng)是1型系統(tǒng)，且K=10。由于1型系統(tǒng)在1(t)、t、

信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差分別為0、、∞，故根據(jù)線性疊加原理有：

①當(dāng)系統(tǒng)輸入為r(t)=2t時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差;

②當(dāng)系統(tǒng)輸入為r(t)=2+2t+t2時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

。

(3)由于系統(tǒng)為單位負(fù)反饋系統(tǒng)，因此根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)可以求得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

通過穩(wěn)定性判據(jù)，可知系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

已知開環(huán)函數(shù)按照定義求解系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為①當(dāng)系統(tǒng)輸入為r(t)=2t，即時(shí)，則

②當(dāng)系統(tǒng)輸入為r(t)=2+2t+t2，即

時(shí)，則3.5.4擾動(dòng)信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

控制系統(tǒng)除了受到給定輸入信號(hào)的作用外，還經(jīng)常受到各種擾動(dòng)信號(hào)的作用，例如負(fù)載的變化，環(huán)境溫度變化，電源電壓和頻率的波動(dòng)，組成元件的零位輸出等。系統(tǒng)在這些擾動(dòng)的作用下，同樣也會(huì)引起穩(wěn)態(tài)誤差。由于擾動(dòng)信號(hào)和輸入信號(hào)作用在系統(tǒng)的位置不同，因此它們分別作用的穩(wěn)態(tài)誤差也會(huì)不同。

含有擾動(dòng)信號(hào)作用的系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖如圖3-22所示。圖3-22含擾動(dòng)作用的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖由結(jié)構(gòu)圖圖3-22可以寫出在干擾信號(hào)N(s)單獨(dú)作用下擾動(dòng)誤差傳遞函數(shù)(令R(s)=0)為

擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差為由于,

因此當(dāng)擾動(dòng)輸入信號(hào)N(s)分別為典型信號(hào)(階躍信號(hào)、斜坡信號(hào)、拋物線信號(hào))時(shí)，可以通過上式得到擾動(dòng)作用的穩(wěn)態(tài)誤差，與輸入穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算過程類似。由上式可見，擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差只與擾動(dòng)作用前的函數(shù)G1(s)有關(guān)，增大G1(s)函數(shù)的放大系數(shù)K1和積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)v1，就可以減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差。

需要特別指出，在反饋控制系統(tǒng)中，設(shè)置串聯(lián)積分環(huán)節(jié)或增大開環(huán)增益可以消除或減小穩(wěn)態(tài)誤差，同時(shí)必然會(huì)降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性，甚至造成系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，要在保證穩(wěn)定的同時(shí)滿足穩(wěn)態(tài)誤差、動(dòng)態(tài)性能，需要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正設(shè)計(jì)，或采用復(fù)合控制。

【例題3-13】系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-23所示，試問是否可以選擇某一合適的K1值，使系統(tǒng)在擾動(dòng)信號(hào)n(t)=1(t)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差essn=－0.099？

解擾動(dòng)作用下的誤差傳遞函數(shù)為圖3-23系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖令

解出

K1=10系統(tǒng)的特征方程為列勞斯表確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K1值范圍:

由第一列系數(shù)大于零，可得K1值范圍為

－0.1<K1<1.26

當(dāng)K1=10時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定，故不存在使essn=－0.099的合適K1值。

3.6解題示范

【例題3-14】已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-24所示，其中

，加上K0、KH環(huán)節(jié)，使ts減小為原來的1/10，且總放大倍數(shù)不變，求K0、KH。

解依題意，要使閉環(huán)系統(tǒng)t*s=0.1×ts，且閉環(huán)增益為10。圖3-24系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為一階系統(tǒng)調(diào)整時(shí)間為系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)T的常數(shù)倍，依題意，則閉環(huán)系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)為原來的1/10，即閉環(huán)系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)T=0.1×0.2=0.02，且閉環(huán)增益不變，即等于10。

令

聯(lián)立解出:

KH=0.9,

K0=10

【例題3-15】已知某單位反饋系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為

求：(1)閉環(huán)傳遞函數(shù)Φ(s)；(2)單位脈沖響應(yīng)；(3)開環(huán)傳遞函數(shù)。

解

(1)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(2)單位脈沖響應(yīng)為

(3)因?yàn)閯t

所以開環(huán)傳遞函數(shù)為

【例題3-16】系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-25所示，試求：(1)當(dāng)K=10時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能；(2)使系統(tǒng)阻尼比ξ=0.707的K值；(3)當(dāng)K=1.6時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

解

(1)當(dāng)K=10時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為圖3-25系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)的對(duì)照，得動(dòng)態(tài)指標(biāo)估算為

MATLAB程序如下：

>>num=［100］;

>>den=［110100］;

>>sys=tf(num,den);

>>t=0:0.01:3;

>>step(sys,t);

>>grid

單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-26所示。圖3-26系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)

(2)當(dāng)系統(tǒng)阻尼比ξ=0.707時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)函數(shù)為則所以

(3)當(dāng)K=1.6時(shí)，閉環(huán)函數(shù)為

,為過阻尼狀態(tài);閉環(huán)極點(diǎn)p1=-2,p2=-8,且。因此，系統(tǒng)可以近似為一階系統(tǒng)

所以

MATLAB程序如下:

>>num=［16］;

>>den=［11016］;

>>sys=tf(num,den);

>>t=0:0.01:10;

>>step(sys,t);

>>grid

單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-27所示。圖3-27系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)

【例題3-17】系統(tǒng)如圖3-28所示，r(t)=1(t)時(shí)的響應(yīng)為h(t)，求K1,K2,a。

解依題意可知圖3-28系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及階躍響應(yīng)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

其中：由

可解得帶入上式可得:

閉環(huán)傳遞函數(shù)為

MATLAB程序如下：

>>num=［54.8］;

>>den=［16.3727.4］;

>>sys=tf(num,den);

>>t=0:0.01:5;

>>step(sys,t);

>>grid

單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-29所示。圖3-29單位階躍響應(yīng)

【例題3-18】

D(s)=s3－3s+2=0,判定右半s平面中閉環(huán)根的個(gè)數(shù)。

解列勞斯表如下:

第一列系數(shù)變號(hào)兩次，有兩個(gè)正實(shí)部的根，實(shí)際上D(s)=

(s－1)2(s+2)。

MATLAB程序如下：

>>den=［10-32］;

>>p=roots(den)

輸出結(jié)果：

p=

-2.0000

1.0000

1.0000

【例題3-19】

D(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0,試求系統(tǒng)在右半s平面的根數(shù)及虛根值。

解

可見:

(1)右半s平面無(wú)根。

(2)存在虛根值：由輔助方程s2+5=0,得。

(3)由D(s)系數(shù)看，偶次項(xiàng)系數(shù)和等于奇次項(xiàng)系數(shù)和，所以，s=－1是根。所以，特征根為：

MATLAB程序如下：

>>den=［1312203525］;

>>p=roots(den)

輸出結(jié)果：

p=

0.0000+2.2361i

0.0000-2.2361i

-1.0000+2.0000i

-1.0000-2.0000i

-1.0000