第8章采樣控制系統的分析與設計

8-1引言8-2信號的采樣與復現8-3Z變換與Z反變換8-4脈沖傳遞函數8-5采樣系統的分析8-6最少拍采樣系統的校正8-1引言前面各章分析了連續(xù)控制系統，這些系統中的變量是時間上連續(xù)的；隨著被控系統復雜性的提高，對控制器的要求也越來越高，控制的成本隨著數學模型的復雜化而急劇上升—模擬實現；隨著數字元件,特別是數字計算機技術的迅速發(fā)展，采樣控制系統得到了廣泛的應用；在采樣控制系統中,有一處或多處的信號不是連續(xù)信號,而在時間上是離散的脈沖序列或數碼,這種信號稱為采樣信號。計算機直接數字控制系統上面控制系統框圖實際控制系統中是不存在采樣開關的。計算機控制系統的優(yōu)點：1、有利于實現系統的高精度控制；2、數字信號傳輸有利于抗干擾；3、可以完成復雜的控制算法，而且參數修改容易；4、除了采用計算機進行控制外，還可以進行顯示，報警等其它功能；5、易于實現遠程或網絡控制。采樣控制系統也是一類動態(tài)系統；該系統的性能也和連續(xù)系統一樣可以分為動態(tài)和穩(wěn)態(tài)兩部分；這類系統的分析也可以借鑒連續(xù)系統中的一些方法，但要注意其本身的特殊性；采樣系統的分析可以采用Z變換方法，也可以采用狀態(tài)空間分析方法。8-2信號的采樣與復現1、采樣：把連續(xù)信號變成脈沖或數字序列的過程叫做采樣；2、采樣器：實現采樣的裝置，又名采樣開關；3、復現：將采樣后的采樣信號恢復為原來的連續(xù)信號的過程；4、采樣方式：（1）等周期采樣：（2）多階采樣：采樣是周期性重復的（3）多速采樣：有兩個以上不同采樣周期的采樣開關對信號同時進行采樣（4）隨機采樣：采樣是隨機進行的,沒有固定的規(guī)律一個連續(xù)信號經采樣開關變成了采樣信號采樣脈沖的持續(xù)時間遠小于采樣周期T和系統的時間常數可以將窄脈沖看成是理想脈沖，從而可得采樣后的采樣信號為1、信號的采樣過程=是理想脈沖出現的時刻因此采樣信號只在脈沖出現的瞬間才有數值，于是采樣信號變?yōu)?/p>

因此采樣過程可以看作一個調制過程。

采樣信號的調制過程

考慮到時，因此，可以將原來采樣信號表達式變?yōu)槿缦滦问剑簩⒄}沖看作理想脈沖的條件是采樣持續(xù)時間遠遠小于采樣周期和被控對象的時間常數例1

設，試求的拉氏變換。解：顯然，對于給定的，其拉式變換為，根據式(8-6)定義，可得

這是一個無窮等比級數，公比為，求級數和可得閉合形式

顯然是的有理函數，但對于是超越函數。例2設，≥0，試求的拉氏變換。

解：對于給定的，其拉氏變換為根據式（8-6），采樣信號的拉氏變換為2、采樣定理由前面的分析可知，采樣窄脈沖為周期性的，采樣后的信號取該信號的拉氏變換,并令:說明采樣后信號頻譜是以

s為周期的。采樣時間滿足什么條件？才能復現原信號！連續(xù)信號在時域上是連續(xù)的，但頻域中的頻譜是孤立的；連續(xù)信號采樣之后，具有以采樣角頻率為周期的無限多個頻譜。采樣定理：為使采樣后的脈沖序列頻譜互不搭接，采樣頻率必須大于或等于原連續(xù)信號所含的最高頻率的兩倍，這樣方可通過適當的理想濾波器把原信號毫無畸變的復現出來。

香農定理的物理意義是：滿足香農定理的采樣信號中含有連續(xù)信號的信息，該信息可以通過具有低通濾波特性的濾波器復現出來。

例3

，求和。解：由拉式變換的一般公式，可得所以，有兩個極點。時，，由式（8-7）得由此可見，X*的極點有無窮多個。3、零階保持器保持器是采樣系統的一個基本單元，功能是將采樣信號恢復成連續(xù)信號。理想濾波器可以將采樣信號恢復成連續(xù)信號；理想濾波器是物理上不可實現的，因此要尋找一種物理上可實現，特性上又接近于理想濾波器的設備——保持器。采樣信號只在采樣點上有定義,e*(KT)和e*((K+1)T)都是有定義的,但是在這兩者之間的時間段上連續(xù)信號應該是什么樣子呢?這就是保持器要解決的問題.保持器是一種時域外推裝置，即將過去時刻或現在時刻的采樣值進行外推。通常把按照常數、線性函數和拋物線函數外推的保持器稱為零階、一階和二階保持器。如果取則當前時刻的采樣值將被保持到下一個采樣時刻.這種保持器稱為零階保持器.如何用數學語言描述這種特性呢?零階保持器:把采樣時刻KT的采樣值恒定保持到下一個采樣時刻（K＋1）T。零階保持器的輸入和輸出信號由于在采樣時刻故保持器的輸出拉氏變換為零階保持器的傳遞函數為零階保持器的傳遞函數為零階保持器的頻率特性為零階保持器的頻率特性如圖所示零階除了允許主頻譜分量通過之外，還允許一部分附加高頻分量通過。因此復現出的信號與原信號是有差別的。4、小結采樣控制系統的結構；計算機控制的采樣系統的優(yōu)點；采樣過程和采樣定理；零階保持器的傳函和特性。8-3Z變換與反變換線性連續(xù)控制系統可用線性微分方程來描述，用拉普拉斯變換分析它的暫態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能。對于線性采樣控制系統則可用線性差分方程來描述，用Z變換來分析它的暫態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能。Z變換是研究采樣系統主要的數學工具，由拉普拉斯變換引導出來，是采樣信號的拉普拉斯變換。連續(xù)信號f（t）的拉普拉斯變換為連續(xù)信號f（t）經過采樣得到采樣信號f*（t）為其拉普拉斯變換為定義新的變量采樣信號的Z變換有1、常用的Z變換方法級數求和法：將采樣信號f*（t）展開如下對上式逐項進行拉普拉斯變換，得在一定條件下，常用函數的Z變換都能夠寫成閉合形式。

例4試求單位脈沖函數的變換。解：由于，只有在時，方有，根據變換定義有例5

求單位階躍函數1（t）的Z變換。

解：單位階躍函數的采樣脈沖序列為代入E(z)的級數表達式，得對上列級數求和，寫成閉合形式，得例6試求單位理想脈沖序列的變換。解：由于T為采樣周期，所以顯然只有當時，所以其z變換式為這說明單位階躍信號的z變換式與單位理想脈沖序列是相同的。例7求單位斜坡信號的z變換。解：由于,采樣后，,所以z變換為。根據單位階躍函數式的z變換式可知對上式兩邊同時求關于z的導數，可得上式兩邊同乘,得

例8求指數函數的z變換。解：由于為實數，采樣后，根據定義z變換為上式為等比級數，對級數求和有

例9求正弦信號的z變換。解：由于，而按指數函數z變換的結果，有部分分式法

當連續(xù)信號是以拉普拉斯變換式F（S）的形式給出,且F（S）為有理函數時,可以展開成部分分式的形式，即

可得與其對應的z變換為

由此可得F（S）的z變換為

對應的時域表達式

例10

已知，試求其Z變換.

解：將G（s）展開成部分分式

其對應的時域表示式為

兩個時域信號的疊加留數法設連續(xù)信號f(t)的拉普拉斯變換式F（S）及其全部極點pi為已知，可利用留數法求其Z變換F(z)，即當s=pi為一階極點時，其留數為當s=pj為q階極點時，其留數為s=pi處的留數式中為例11求f（t）=t的z變換[t

0]

在s=0處有二階極點，f(t)的z變換F(z)為

解：由于2、Z變換基本定理1.線性定理若

i為常數，則

線性定理表明,時域函數線性組合的z變換等于各時域函數z變換的線性組合。

設有連續(xù)時間函數2.滯后定理

設e(t)的z變換為E（z），且t＜0時，e(t)=0,則滯后定理說明，原函數在時域中延遲k個采樣周期求z變換,相當于它的z變換乘以z-k。因此z-k可以表示時域中的滯后環(huán)節(jié),它把采樣信號延遲k個采樣周期3.超前定理4.初值定理

設函數e(t)的z變換為E(z)，則

設e(t)的z變換為E(z)，而且存在，則5.終值定理

6.復數位移定理

設函數e(t)的z變換為E(z)，且在z平面上的以原點為圓心的單位圓上和圓外均沒有極點，則設函數e(t)的z變換為E(z)，則例12已知，求。解：根據滯后定理，可以求得（3）復數位移定理設函數的z變換為，則有（8-26）證明：根據z變換定義又因并令，則原式為例13已知，求。解：單位斜坡函數的z變換為根據復數移位定理可得

例14

求的變換。解：已知函數的變換為根據z域尺度定理可得

3、Z反變換

由E(z)求e*(t)過程稱為z反變換，表示為

由于z變換只表征連續(xù)函數在采樣時刻的特性,并不反映采樣時刻之間的特性,因此z反變換只能求出采樣函數e*(t),不能求出其連續(xù)函數e(t)。即有

常用的Z反變換方法1、長除法

將E(z)的分子、分母多項式按z的降冪形式排列,用分子多項式除以分母多項式,可得到E(z)關于z-1的無窮級數形式,在根據延遲定理得到e*(t)。對上式求z反變換,得

2、部分分式法

將E(z)/z展開成部分分式。由于在E(z)式中,分子表達式中通常含有z。得到部分分式后,再將z乘到各部分分式的分子部分,再查表進行反變換即可,所以也稱為查表法。例15

求的z反變換。

解：將E(z)/z展開成部分分式為

則對應的時間函數e*(t)為

則有3.留數法由z變換的定義有

用zm-1乘上式兩端,得根據復變函數理論,知

當z=pi為單極點時，其留數為

當z=pj為n重極點時，其留數為

例16已知z變換函數，試用留數法求其反變換。解：因為，有兩個單極點。根據式（8-33）,極點和處的留數為

根據式（8-32），有

所以，4差分方程描述n階線性連續(xù)系統的數學模型為微分方程，而描述線性采樣系統的教學模型為差分方程。差分的定義：一階前向差分定義為二階前向差分定義為一階后向差分定義為：二階后向差分定義為：

例17一階采樣系統的差分方程為

解:對方程兩邊進行在z變換，并由實移定理其中b為常數,

因為

所以

例18

用z變換法解下列差分方程：已知初始條件，求。解：對方程兩邊進行變換，并且根據實數移位定理化簡并代入初始條件所以查表8-1進行z變換得

此方程的輸入信號，輸出是由初始條件激勵的。8-4脈沖傳遞函數一、脈沖傳遞函數的基本概念

線性采樣系統初始條件為零時,系統輸出信號的z變換與輸入信號的z變換之比,稱為線性采樣系統的脈沖傳遞函數,或簡稱為z傳遞函數。

實際采樣系統的輸出信號通常是連續(xù)信號,為了應用脈沖傳遞函數概念,可在系統的輸出端虛設一個同步采樣開關,使輸出成為采樣信號。

實際采樣系統設輸入脈沖序列為由疊加原理可求出系統對脈沖序列的響應為

根據z變換的卷積定理，上式的z變換為

式中：G(z)、R(z)、Y(z)分別為g(t)、r(t)、y(t)的z變換。

即采樣系統脈沖傳遞函數為采樣脈沖傳函為連續(xù)系統的脈沖響應的Z變換脈沖傳遞函數和連續(xù)系統的傳遞函數一樣表征了采樣系統的固有特性；它除了與系統的結構、參數有關系，還與采樣開關在系統中的具體位置有關。1、兩個環(huán)節(jié)有采樣開關時根據脈沖傳遞函數的定義：當環(huán)節(jié)之間有采樣開關時，等效脈沖傳遞函數為各串聯環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數之積。該結論也可推廣到n個環(huán)節(jié)串聯的情況二、串聯環(huán)節(jié)的脈沖傳函2、兩個環(huán)節(jié)沒有采樣開關時當串聯環(huán)節(jié)之間無采樣開關時,系統脈沖傳遞函數為各串聯環(huán)節(jié)傳遞函數乘積的z變換。該結論可推廣到相互間無采樣開關的n個環(huán)節(jié)串聯的情況。3、有零階保持器時的開環(huán)系統脈沖傳遞函數

有零階保持器時的開環(huán)采樣系統

三、閉環(huán)系統的脈沖傳遞函數閉環(huán)系統的誤差脈沖傳遞函數

閉環(huán)系統脈沖傳遞函數為系統輸出當系統有擾動作用時,可得閉環(huán)系統的誤差與擾動間的脈沖傳遞函數為

系統輸出與擾動之間的脈沖傳遞函數

由于系統中有采樣器的存在，所以一般情況下

例19

設閉環(huán)采樣系統結構圖如圖所示，試證其閉環(huán)脈沖傳遞函數為

閉環(huán)采樣系統結構圖對于有些采樣控制系統，無法寫出閉環(huán)脈沖傳遞函數只能寫出輸出的Z變換8-5采樣系統的分析穩(wěn)定性分析閉環(huán)極點分布與瞬態(tài)響應的關系穩(wěn)態(tài)誤差分析1、采樣穩(wěn)定性分析（1）穩(wěn)定性的基本概念穩(wěn)定性是指在擾動的作用下，系統會偏離原來的平衡位置，在擾動撤除后，系統恢復到原來平衡狀態(tài)的能力；根據穩(wěn)定性的定義，可以采用脈沖響應的情況來研究系統的穩(wěn)定性；系統的脈沖響應如果能夠衰減到0，則系統是穩(wěn)定的；否則系統是不穩(wěn)定的。采樣系統的脈沖響應：由Z反變換得由上式可若，即系統的所有極點位于Z平面的單位圓內，則（2）穩(wěn)定條件：采樣系統穩(wěn)定的充分必要條件是：

系統閉環(huán)脈沖傳遞函數的所有極點位于Z平面上的單位圓內?；蛘哒f，所有極點的模都小于1,即，單位圓就是穩(wěn)定區(qū)域的邊界。S平面的左半平面，z的幅值在0和1之間變化，對應z平面單位圓內；S平面的虛軸，對應z平面的單位圓；當由變到時，（3）s平面與z平面的映射關系線性采樣系統不能直接使用勞斯穩(wěn)定判據，因為采樣系統穩(wěn)定邊界是z平面上以原點為圓心的單位圓周，而不是虛軸。為能使用勞斯判據，可將z平面上單位圓周映射到新坐標系中的虛軸，這種變換稱為w變換，或稱雙線性變換。（4）線性采樣系統勞斯判據式中，z、w均為復變量，可分別寫為

代入雙線性變換公式，得w平面虛軸上的點對應于上式中實部為零的點，即

則設z平面上單位圓內(x2+y2＜1)對應著w平面實部為負數的左半平面。z平面上單位圓外(x2+y2＞1)對應著w平面實部為正數的右半平面。z平面與w平面的映射關系所示。

例20

設采樣控制系統的方框圖如圖所示。采樣周期T=1s,T=0.5s試求使系統穩(wěn)定的K值范圍。

解：系統的開環(huán)脈沖傳遞函數為相應的閉環(huán)系統特征方程為將T=1s代入上式，得

進行w變換可求得w域系統的特征方程為

根據代數判據，閉環(huán)系統穩(wěn)定條件為所以穩(wěn)定時K的取值為

同理可得T=1s時，穩(wěn)定時K的取值為

穩(wěn)定時K的取值為

同理可得,T=0.5s時，

開環(huán)增益K和采樣周期T對采樣系統穩(wěn)定性有如下影響：(1)采樣周期T一定時，增加開環(huán)增益K會使采樣系統穩(wěn)定性變差，甚至使系統不穩(wěn)定。(2)開環(huán)增益K一定時,采樣周期T越長，丟失的信息越多，對采樣系統穩(wěn)定性及動態(tài)性能均不利，甚至使系統不穩(wěn)定。2、閉環(huán)脈沖傳遞函數零、極點分布與暫態(tài)響應的一般關系

（1）系統的單位階躍響應

設閉環(huán)采樣系統的脈沖傳遞函數為式中M(Z)、D(Z)——閉環(huán)脈沖傳遞函數分子多項式和分母多項式

設

i——閉環(huán)極點

zj——閉環(huán)零點當輸入為單位階躍信號時系統輸出信號的z變換為

將上式展成部分分式可得式中：對上式進行z反變換，得采樣系統輸出采樣信號為

上式右邊第一項為系統的穩(wěn)態(tài)響應分量，第二項為暫態(tài)響應分量。

顯然,隨極點在平面位置的不同，它所對應的暫態(tài)分量也不同。

實數極點：若實數極點分布在單位圓內，其對應的分量呈衰減變化。正實數極點對應的單調衰減，負實數極點對應的振蕩衰減；共軛極點：有一對共軛復數極點

i與

i，即

當|

i|＞1時,yi(k)為發(fā)散振蕩函數；當|

i|＜1時，yi(k)為衰減振蕩函數,振蕩角頻率為

i為共軛復數系數Ai的幅角。

暫態(tài)響應與極點位置關系

1)當閉環(huán)脈沖傳遞函數的極點位于z平面上以原點為圓心的單位圓內時,其對應的暫態(tài)分量是衰減的。2)要使控制系統具有比較滿意的暫態(tài)響應,其閉環(huán)極點應盡量避免分布在Z平面單位圓內的左半部,最好分布在單位圓內的右半部。3)極點盡量靠近坐標原點,相應的暫態(tài)分量衰減速度較快。4)離單位圓周最近且附近無閉環(huán)零點的共軛復數極點為主導極點。3、采樣系統的穩(wěn)態(tài)誤差與連續(xù)系統類似地求穩(wěn)態(tài)誤差有兩種方法：

1)應用z變換終值定理計算穩(wěn)態(tài)誤差的終值；

2)應用誤差脈沖傳遞函數計算靜態(tài)誤差系數,進而得到穩(wěn)態(tài)誤差。誤差脈沖傳遞函數為閉環(huán)采樣控制系統

由z變換終值定理得穩(wěn)態(tài)誤差為與連續(xù)系統類似,開環(huán)脈沖傳遞函數的一般形式為

=0稱為0型系統；

=1稱為I型系統；……

=n稱為n型系統。定義為靜態(tài)位置誤差系數對于0型系統為一常量，穩(wěn)態(tài)誤差為對于Ⅰ型及以上系統1）單位階躍輸入：定義靜態(tài)速度誤差系數對于0型系統，穩(wěn)態(tài)誤差為對于Ⅰ型為常值,也為常值對于Ⅱ型及以上系統2）單位斜坡輸入：定義靜態(tài)加速度誤差系數對于0型和Ⅰ型系統，穩(wěn)態(tài)誤差為對于Ⅱ型為常值,也為常值3）單位加速度輸入：采樣系統誤差除了與系統的結構、參數和輸入信號有關外，還與采樣周期有關，縮小采樣周期可以減小穩(wěn)態(tài)誤差。系統型別位置誤差速度誤差加速度誤差0型1型02型00例21采樣系統結構圖如圖所示，設T=0.2s，輸入信號為，求系統的穩(wěn)態(tài)誤差。

解：系統的開環(huán)脈沖傳遞函數為解：系統的開環(huán)脈沖傳遞函數為T=0.2s時系統特征方程為

所以系統穩(wěn)定

所以采樣時刻的穩(wěn)態(tài)誤差為

關于采樣時刻之間的波紋引起的誤差

由于采樣，系統中增加了高頻分量，造成了采樣間隔的紋波如圖所示。它們同樣影響到采樣點的穩(wěn)態(tài)誤差，所以在用上述方法求誤差時，嚴格說還應將它們也考慮進去。分析紋波須應用修正z變換法。

采樣時刻間的紋波

8-6最少拍采樣系統的校正在采樣系統中通常將一個采樣周期稱之為一拍，若在典型輸入信號作用下，經過最少采樣周期，系統的采樣誤差信號減小為零實現完全跟蹤，則稱之為最少拍系統。

具有數字控制器的采樣控制系統

閉環(huán)脈沖傳遞函數

誤差脈沖傳遞函數為求出數字控制器的脈沖傳遞函數為

或

最小拍系統的