第7章線性離散系統(tǒng)7.1離散系統(tǒng)的基本概念7.2信號(hào)的采樣7.3信號(hào)的保持7.4z變換理論7.5離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型7.6離散系統(tǒng)性能分析7.7解題示范小結(jié)習(xí)題

7.1離散系統(tǒng)的基本概念

在離散系統(tǒng)中既有連續(xù)信號(hào)又有離散信號(hào)，因此，需要對(duì)同一系統(tǒng)中兩種不同類型的信號(hào)進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換。本節(jié)重點(diǎn)討論離散系統(tǒng)的定義和結(jié)構(gòu)。7.1.1離散系統(tǒng)的定義、分類及典型結(jié)構(gòu)

1.離散系統(tǒng)的幾個(gè)定義

1)離散信號(hào)

若信號(hào)在時(shí)間上是離散的，則該信號(hào)被稱為離散信號(hào)。這類信號(hào)的特點(diǎn)是,它不再是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù)，而只在離散的時(shí)間點(diǎn)上才有定義。離散信號(hào)又可分為兩類：一類是時(shí)間上是離散的，而幅值上是任意的，即幅值上未進(jìn)行量化的信號(hào)，稱之為脈沖序列或采樣信號(hào)，如圖7-1(b)所示；另一類是時(shí)間和幅值上都是離散的，即幅值上是量化的，稱為數(shù)字信號(hào)或數(shù)碼，如圖7-1(c)所示。圖7-1連續(xù)信號(hào)、離散信號(hào)與采樣開關(guān)

2)離散系統(tǒng)

系統(tǒng)中只要有一處的信號(hào)是脈沖序列或數(shù)碼時(shí)，就稱為離散系統(tǒng)。換句話說，系統(tǒng)中只要有一處的信號(hào)是離散信號(hào)，該系統(tǒng)就是離散系統(tǒng)。

3)采樣

把連續(xù)信號(hào)變成脈沖序列或數(shù)碼的過程，稱為采樣。用來實(shí)現(xiàn)采樣的裝置叫采樣器，又稱為采樣開關(guān)。采樣器可以是電子開關(guān)，也可以是A/D轉(zhuǎn)換器。通常，由于計(jì)算機(jī)中A/D轉(zhuǎn)換器有足夠的字長(zhǎng)來表示數(shù)碼，即量化單位q足夠小，因此由量化引起的幅值上的斷續(xù)性可以忽略。這樣在理論上，數(shù)字信號(hào)仍可看做脈沖序列。而A/D轉(zhuǎn)換器就可以用一個(gè)理想的采樣開關(guān)來表示。采樣開關(guān)的輸出稱為采樣信號(hào)，記為x*(t)。采樣開關(guān)的開閉周期記為T，稱為采樣周期，如圖7-1(d)所示。

4)保持

從離散信號(hào)中將連續(xù)信號(hào)恢復(fù)出來的過程，稱為保持。實(shí)現(xiàn)保持的裝置稱為保持器，具有低通濾波特性的電網(wǎng)絡(luò)和D/A轉(zhuǎn)換器都是這類裝置。

2.離散系統(tǒng)的分類

按離散系統(tǒng)中離散信號(hào)的不同，把離散系統(tǒng)分為兩類：一類是離散信號(hào)為脈沖序列的離散系統(tǒng)，稱為采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng)，其特點(diǎn)是離散信號(hào)是脈沖序列；另一類是離散信號(hào)為數(shù)字序列的離散系統(tǒng)，稱為數(shù)字控制系統(tǒng)或計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)，其特點(diǎn)是離散信號(hào)是數(shù)字信號(hào)。由于在理論上數(shù)字信號(hào)又可看做脈沖序列，因此從控制理論的角度來說，這兩類系統(tǒng)在本質(zhì)上沒有什么區(qū)別。

3.離散系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)

1)采樣控制系統(tǒng)

(1)定義。

采樣控制系統(tǒng)是指間斷地對(duì)系統(tǒng)中的某些變量進(jìn)行測(cè)量和控制的系統(tǒng)。

(2)典型結(jié)構(gòu)。

根據(jù)采樣裝置在系統(tǒng)中所處的位置不同,可以構(gòu)成各種采樣系統(tǒng)。例如：

開環(huán)采樣系統(tǒng)：采樣器位于系統(tǒng)閉合回路之外，或系統(tǒng)本身不存在閉合回路。

閉環(huán)采樣系統(tǒng)：采樣器位于系統(tǒng)閉合回路之內(nèi)。

常用誤差采樣控制的閉環(huán)采樣系統(tǒng)如圖7-2所示。圖7-2誤差采樣控制的閉環(huán)采樣系統(tǒng)又如圖7-3所示的多點(diǎn)溫度采樣控制系統(tǒng)。

圖7-3所示的多點(diǎn)溫度采樣控制系統(tǒng)內(nèi)的控制器和對(duì)象均是連續(xù)信號(hào)處理器，用采樣開關(guān)實(shí)現(xiàn)多個(gè)對(duì)象共享一個(gè)控制器。類似的系統(tǒng)稱為采樣控制系統(tǒng)。圖7-3多點(diǎn)溫度采樣控制系統(tǒng)以上兩圖中，r(t)、e(t)、y(t)分別為輸入、誤差、輸出的連續(xù)信號(hào)，如圖7-4(a)所示。其中:

S——采樣開關(guān)或采樣器，為實(shí)現(xiàn)采樣的裝置。

T——采樣周期。

e*(t)——是連續(xù)誤差信號(hào)e(t)經(jīng)過采樣開關(guān)后，獲得的一系列離散的誤差信號(hào)，如圖7-4(b)所示。

e*(t)作為脈沖控制器的輸入,經(jīng)控制器對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理，再經(jīng)過保持器(或?yàn)V波器)將脈沖信號(hào)e*(t)復(fù)現(xiàn)為階梯信號(hào)e(t),如圖7-4(c)所示。當(dāng)采樣頻率足夠時(shí)，e(t)接近于連續(xù)信號(hào)，從而去控制被控對(duì)象，對(duì)象輸出又反饋到輸入端進(jìn)行調(diào)節(jié)。圖7-4信號(hào)的變化過程

(3)幾個(gè)術(shù)語(yǔ)。

①采樣過程：把連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)槊}沖序列的過程稱為采樣過程，簡(jiǎn)稱采樣。

②采樣器：實(shí)現(xiàn)采樣的裝置，或稱采樣開關(guān)。

③保持器：將采樣信號(hào)轉(zhuǎn)化為連續(xù)信號(hào)的裝置(或元件)。

④信號(hào)復(fù)現(xiàn)過程：把脈沖序列轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)信號(hào)的過程。

(4)特點(diǎn)。

采樣系統(tǒng)中既有離散信號(hào)，又有連續(xù)信號(hào)。采樣開關(guān)接通時(shí)刻，系統(tǒng)處于閉環(huán)工作狀態(tài)；而在采樣開關(guān)斷開時(shí)刻，系統(tǒng)處于開環(huán)工作狀態(tài)。

2)數(shù)字控制系統(tǒng)

(1)定義。

數(shù)字控制系統(tǒng)是指含有數(shù)字計(jì)算機(jī)或數(shù)字編碼元件的系統(tǒng)，是一種以數(shù)字計(jì)算機(jī)為控制器去控制具有連續(xù)工作狀態(tài)的被控對(duì)象的閉環(huán)控制系統(tǒng)。

(2)組成。數(shù)字控制系統(tǒng)包括工作于離散狀態(tài)下的數(shù)字計(jì)算機(jī)和工作于連續(xù)狀態(tài)下的被控對(duì)象兩大部分，如圖7-5所示。圖7-5數(shù)字控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)作為系統(tǒng)的控制器，其輸入和輸出只能是二進(jìn)制編碼的數(shù)字信號(hào)，即在時(shí)間上和幅值上都是離散信號(hào)，而系統(tǒng)中被控對(duì)象和測(cè)量元件的輸入和輸出是連續(xù)信號(hào)，故控制系統(tǒng)內(nèi)必有A/D、D/A轉(zhuǎn)換器以完成連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)之間的相互轉(zhuǎn)換。A/D的作用是對(duì)連續(xù)輸入信號(hào)定時(shí)采樣和把模擬量在采樣時(shí)刻的十進(jìn)制變?yōu)槎M(jìn)制代碼。D/A的作用是把離散的數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換成離散的模擬信號(hào)(即解碼)和經(jīng)保持器把離散模擬信號(hào)復(fù)現(xiàn)為連續(xù)的模擬信號(hào)(即復(fù)現(xiàn))。通常，測(cè)量元件、執(zhí)行元件和被控對(duì)象均為模擬元件。在圖7-5中，A/D相當(dāng)于采樣器(采樣開關(guān))，D/A相當(dāng)于保持器(零階保持器)，計(jì)算機(jī)相當(dāng)于脈沖控制器，所以數(shù)字計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)可在數(shù)學(xué)上等效于一個(gè)典型的采樣控制系統(tǒng)，如圖7-6所示。采樣系統(tǒng)的研究方法可直接應(yīng)用于數(shù)學(xué)控制系統(tǒng)。

無(wú)論是采樣控制系統(tǒng)還是數(shù)字控制系統(tǒng)，它們均面臨一個(gè)共同的問題：怎樣把連續(xù)信號(hào)近似為離散信號(hào)，即“整量化”(連續(xù)信號(hào)在時(shí)間和幅值上均具有無(wú)窮多的值，而在計(jì)算機(jī)上是用有限的時(shí)間間隔和有限的數(shù)值取代之，這種近似的過程稱為整量化，簡(jiǎn)稱量化)問題。

圖7-6采樣控制系統(tǒng)7.1.2離散系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)

由于目前在控制工程中，離散系統(tǒng)一般都是計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)，因此與連續(xù)系統(tǒng)相比，離散系統(tǒng)具有以下優(yōu)點(diǎn)：

(1)系統(tǒng)精度、靈敏度高，抗干擾能力強(qiáng)，可實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)距離傳送。由于離散信號(hào)是以數(shù)碼形式傳送和計(jì)算的，因而信號(hào)傳遞和轉(zhuǎn)換的精度可以做得很高，而且有效地抑制了噪聲，致使系統(tǒng)精度和抗干擾能力得到了提高。另外，數(shù)字計(jì)算機(jī)精度高，允許采用高靈敏度的元件來提高系統(tǒng)的靈敏度。

(2)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，控制靈活。只要改變計(jì)算機(jī)的控制程序，就能靈活地實(shí)現(xiàn)各種所需的控制，如自適應(yīng)控制、最優(yōu)控制及智能控制，從而大大提高了系統(tǒng)的性能。

(3)可采用分時(shí)控制，可實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的控制目標(biāo)，可實(shí)現(xiàn)控制與管理一體化，能實(shí)現(xiàn)多路控制，用一臺(tái)計(jì)算機(jī)對(duì)多個(gè)控制系統(tǒng)進(jìn)行控制，設(shè)備利用率高，經(jīng)濟(jì)性好。

(4)對(duì)于具有大慣性，特別是大延遲的控制系統(tǒng)，采用采樣控制方式可以使系統(tǒng)穩(wěn)定并具有良好的動(dòng)態(tài)性能。

(5)信號(hào)的檢測(cè)精度和轉(zhuǎn)換精度可以做得很高。

7.2信號(hào)的采樣

前已述及，信號(hào)的采樣是把連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)換為離散信號(hào)的手段。而在大量的實(shí)際應(yīng)用中，為了控制連續(xù)式的部件，離散信號(hào)不能直接作為控制對(duì)象的輸入信號(hào)，而要將其轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號(hào)。把離散信號(hào)轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號(hào)的過程稱為(連續(xù))信號(hào)的復(fù)現(xiàn)，通常采用“保持器”來實(shí)現(xiàn)。為定量研究離散系統(tǒng)，必須對(duì)信號(hào)的采樣過程用數(shù)學(xué)方法加以描述。7.2.1采樣過程

為了對(duì)采樣控制系統(tǒng)進(jìn)行定量分析，首先需要對(duì)采樣過程加以定量描述。前已述及，把連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)換成離散信號(hào)的過程叫做采樣過程。在采樣方式中，最常用的工作方式為采樣開關(guān)等周期開閉的工作方式，又稱為周期采樣。以下討論的內(nèi)容均是周期采樣的情況。

1.采樣信號(hào)f*(t)的數(shù)學(xué)表達(dá)式

將連續(xù)信號(hào)f(t)加到采樣開關(guān)S的輸入端，采樣開關(guān)以周期T閉合一次，閉合的持續(xù)時(shí)間為τ，在閉合期間，截取被采樣的f(t)的幅值，作為采樣開關(guān)的輸出。在斷開期間,采樣開關(guān)的輸出為零。于是,在采樣開關(guān)的輸出端就得到了寬度為τ的脈沖序列f*(t)，如圖7-7所示。圖7-7采樣過程由于開關(guān)閉合的持續(xù)時(shí)間τ很短，遠(yuǎn)小于采樣周期T，即τ<<T，因而可近似認(rèn)為f(t)脈沖的幅值在τ時(shí)間內(nèi)變化不大，這樣采樣信號(hào)f*(t)可近似表示為一串高為f(kT)，寬為τ的矩形脈沖序列，如圖7-8所示。其數(shù)學(xué)描述可寫成：

(7-1)由于在控制系統(tǒng)中，當(dāng)t<0時(shí)，f(t)=0，因此序列k取從0到+∞。式(7-1)中,1(t-kT)-1(t-kT-τ)為兩個(gè)階躍函數(shù)之差，表示一個(gè)在kT時(shí)刻，高為1、寬為τ、面積為τ的矩形，如圖7-8所示。由于τ很小，比采樣開關(guān)以后系統(tǒng)各部分的時(shí)間常數(shù)小很多，即可認(rèn)為τ→0，則此矩形可近似用發(fā)生在kT時(shí)刻的δ函數(shù)表示：

(7-2)圖7-8

kT時(shí)刻的矩形波式中,δ(t-kT)為t=kT處的δ函數(shù)。于是式(7-1)可表示為

(7-3)

由于τ為常數(shù)，為了方便，把τ歸到采樣開關(guān)以后的系統(tǒng)中去，則采樣信號(hào)可描述為

(7-4)由于t=kT處f(t)的值就是f(kT)，因此式(7-4)可寫作

(7-5)

式中,稱為單位理想脈沖序列，若用δT(t)表示，則式(7-5)可寫作

(7-6)式(7-6)就是信號(hào)采樣過程的數(shù)學(xué)描述。它表示在不同的采樣時(shí)刻有一個(gè)脈沖，脈沖的幅值由該時(shí)刻的f(t)的值決定。

從物理意義上看，式(7-6)所描述的采樣過程可以理解為脈沖調(diào)制過程(單位理想脈沖序列δT(t)被輸入信號(hào)f(t)進(jìn)行幅值調(diào)節(jié)的過程)。采樣開關(guān)(即采樣器)是一個(gè)幅值調(diào)制器，輸入的連續(xù)信號(hào)f(t)為調(diào)制信號(hào)，而單位理想脈沖序列δT(t)則為載波信號(hào)，采樣器的輸出則為一串調(diào)幅脈沖序列f*(t)，如圖7-9所示。圖7-9采樣器相當(dāng)于幅值調(diào)制器在數(shù)字控制系統(tǒng)中，數(shù)字計(jì)算機(jī)接收和處理的是量化后代表脈沖強(qiáng)度的數(shù)列，即把幅值連續(xù)變化的離散模擬信號(hào)用相近的間斷的數(shù)碼(如二進(jìn)制)來代替，如圖7-10所示。圖中小圓圈表示的是數(shù)碼可以實(shí)現(xiàn)的數(shù)值，是量化單位的整數(shù)倍數(shù)。由于量化單位是很小的，因此數(shù)字控制系統(tǒng)的采樣信號(hào)f(kT)仍認(rèn)為與f(t)成線性關(guān)系，仍用f*(t)表示。圖7-10

f(t)經(jīng)采樣后變成數(shù)碼

2.f*(t)的拉普拉斯變換

對(duì)f*(t)取拉氏變換，即把脈沖序列轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)信號(hào)的過程，即

故

(7-7)幾點(diǎn)說明:

(1)f*(t)只描述了f(t)在采樣瞬時(shí)的數(shù)值，故F*(s)不能給出連續(xù)函數(shù)f(t)在采樣間隔之間的信息。

(2)采樣拉氏變換F*(s)與連續(xù)信號(hào)f(t)的拉氏變換F(s)類似，如f(t)為有理函數(shù)，則F*(s)也總可以表示成eTs的有理函數(shù)形式。

(3)求F*(s)的過程中，初始值常規(guī)定采用f(0+)。7.2.2采樣定理

在解決了采樣信號(hào)的數(shù)學(xué)描述后，就要進(jìn)一步研究如何從采樣信號(hào)f*(t)中將原連續(xù)信號(hào)f(t)復(fù)現(xiàn)出來的問題。前已指出，要對(duì)對(duì)象進(jìn)行控制，通常要把采樣信號(hào)恢復(fù)成原連續(xù)信號(hào)(實(shí)際上信號(hào)經(jīng)過處理、運(yùn)算以后，要恢復(fù)的則是原連續(xù)信號(hào)的函數(shù)，為了方便起見，討論時(shí)仍認(rèn)為要恢復(fù)的是原連續(xù)信號(hào))。此工作一般是由低通濾波器來完成的。但是信號(hào)能否恢復(fù)到原來的形狀，主要決定于采樣信號(hào)是否包含反映原信號(hào)的全部信息。實(shí)際上這又與采樣頻率有關(guān)，因?yàn)檫B續(xù)信號(hào)經(jīng)采樣后，只能給出采樣時(shí)刻的數(shù)值，不能給出采樣時(shí)刻之間的數(shù)值，亦即損失掉f(t)的部分信息。由圖7-7可以直觀地看出，同樣的采樣頻率下，連續(xù)信號(hào)變化越緩慢，或連續(xù)信號(hào)周期不變而采樣頻率越高，則采樣信號(hào)f*(t)就越能反映原信號(hào)f(t)的變化規(guī)律，即越多地包含反映原連續(xù)信號(hào)的信息。采樣定理則是定量地給出采樣頻率與被采樣的連續(xù)信號(hào)的“變化快慢”的關(guān)系。下面分析采樣前后信號(hào)頻譜的關(guān)系。首先將式(7-6)中的δT(t)展開成復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)：

(7-8)式中:ωs——采樣角頻率；

fs——采樣頻率；

T——采樣周期；

ck——傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)，由下式?jīng)Q定:

(7-9)由于δT(t)在-T/2到+T/2區(qū)間僅在t=0時(shí)取值為1，因此系數(shù)

(7-10)

因?yàn)楫?dāng)t≤0時(shí)，f(t)=0，所以由式(7-4)、式(7-8)和式(7-10)可得

(7-11)這是采樣信號(hào)f*(t)的傅立葉級(jí)數(shù)表達(dá)式。對(duì)此式進(jìn)行拉氏變換，由復(fù)位移定理可得采樣信號(hào)的拉氏變換式為

(7-12)于是，得到采樣信號(hào)的頻率特性為

(7-13)

式中:F(jω)——原輸入信號(hào)f(t)的頻率特性；

F*(jω)——采樣信號(hào)f*(t)的頻率特性。

|F(jω)|為原輸入信號(hào)f(t)的幅頻特性，即頻譜。|F*(jω)|為采樣信號(hào)f*(t)的頻譜。假定|F(jω)|為一孤立的頻譜，它的最高角頻率為ωmax，如圖7-11(a)所示，則采樣信號(hào)f*(t)的頻譜|F*(jω)|為無(wú)限多個(gè)原信號(hào)f(t)的頻譜|F(jω)|之和，且每?jī)蓷l頻譜曲線的距離為ωs,見圖7-11(b)。其中k=0時(shí)，就是原信號(hào)的頻譜，只是幅值為原來的1/T；而其余的是由采樣產(chǎn)生的高頻頻譜。如果|F*(jω)|中各個(gè)波形不重復(fù)搭接，相互間有一定的距離(頻率)，即

(7-14)

則可以用理想低通濾波器(其頻率特性如圖7-11(b)中虛線所示)，把ω>ωmax的高頻分量濾掉，只留下|F(jω)|/T部分，就

能把原連續(xù)信號(hào)復(fù)現(xiàn)出來。否則，如果ωs/2<ωmax，那么會(huì)使|F*(jω)|中各個(gè)波形互相搭接，如圖7-11(c)所示，就無(wú)法通過濾波器濾除F*(jω)中的高頻部分，復(fù)現(xiàn)為F(jω)，也就不能從

f*(t)恢復(fù)為f(t)。這就是香農(nóng)(Shannon)采樣定理。圖7-11原連續(xù)信號(hào)與采樣信號(hào)的頻譜采樣定理可敘述如下：如果采樣周期滿足下列條件，即

(7-15)

或

式中ωmax為連續(xù)信號(hào)f(t)的最高次諧波的角頻率,則采樣信號(hào)f*(t)就可以無(wú)失真地再恢復(fù)為原連續(xù)信號(hào)f(t)。這就是說，如果選擇的采樣角頻率足夠高，使得對(duì)連續(xù)信號(hào)所含的最高次諧波，能做到在一個(gè)周期內(nèi)采樣兩次以上的話，那么經(jīng)采樣后所得到的脈沖序列，就包含了原連續(xù)信號(hào)的全部信息,就有可能通過理想濾波器把原信號(hào)毫無(wú)失真地恢復(fù)出來。否則,若采樣頻率過低，信息損失很多，則原信號(hào)不能準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)。采樣定理給出了從采樣信號(hào)中不失真地復(fù)現(xiàn)出原連續(xù)信號(hào)所必須的理論上的最小采樣頻率，也就是說,在設(shè)計(jì)離散系統(tǒng)時(shí)采樣頻率必須足夠高。同時(shí),采樣頻率或采樣周期還與離散系統(tǒng)的性能好壞有關(guān)，還要考慮到工程上便于實(shí)現(xiàn)。因此，在確定采樣頻率或采樣周期時(shí)，必須通盤考慮上述因素。需要指出的是，采樣定理只是在理論上給出了信號(hào)準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)的條件,但還有兩個(gè)實(shí)際問題需要解決。其一，實(shí)際的非周期連續(xù)信號(hào)的頻譜中最高頻率是無(wú)限的，如圖7-12(a)所示，因此不可能選擇一個(gè)有限采樣頻率，使信號(hào)采樣后頻譜波形不重復(fù)搭接,即不論采樣頻率選得多高，采樣后信號(hào)頻譜波形總是重復(fù)搭接的，如圖7-12(b)所示，經(jīng)過濾波后，信息總是有損失的。為此,實(shí)際上采用一個(gè)折中的辦法：給定一個(gè)信息容許損失的百分?jǐn)?shù)b，即選擇原信號(hào)頻譜的幅值由|F(0)|降至b|F(0)|時(shí)的頻率為最高頻率ωmax，按此選擇采樣頻率ωs=2ωmax。這樣可以做到信息損失允許，采樣頻率又不致太高。圖7-12非周期連續(xù)信號(hào)采樣前后的頻譜

【例題7-1】設(shè)連續(xù)信號(hào)f(t)=e-2t，試選擇采樣頻率，使信息損失不超過5%。

解取f(t)=e-2t的拉氏變換得

則其幅頻特性為其零頻振幅為

若b＝0.05，則ωmax可由下式確定:

所以ωmax≈40，根據(jù)采樣定理應(yīng)取ωs≥80。

其二，需要一個(gè)幅頻特性為矩形的理想低通濾波器，才能把原信號(hào)不失真地復(fù)現(xiàn)出來，而這樣的濾波器實(shí)際上是不存在的。因此復(fù)現(xiàn)的信號(hào)與原信號(hào)是有差別的。

7.3信號(hào)的保持

信號(hào)保持是指從采樣信號(hào)f*(t)中恢復(fù)出原連續(xù)信號(hào)的過程。用于實(shí)現(xiàn)這種過程的裝置稱為保持器。

1.信號(hào)保持的基本原理

由采樣定理可知，若采樣頻率ωs=2π/T>2ωmax，則可用一個(gè)理想的低通濾波器把全部高頻頻譜分量濾掉，從而把原連續(xù)信號(hào)不失真地恢復(fù)出來。這種濾波器的頻率特性應(yīng)該是具有銳截止特性的低通濾波器。根據(jù)前面的分析可知，連續(xù)信號(hào)經(jīng)采樣后變成脈沖序列，其頻譜中除原信號(hào)的頻譜外，還有無(wú)限多個(gè)在采樣過程中產(chǎn)生的高頻頻譜。因此，為了從采樣信號(hào)復(fù)現(xiàn)出原連續(xù)信號(hào)，而又不使上述高頻分量進(jìn)入系統(tǒng)，應(yīng)在采樣開關(guān)后面串聯(lián)一個(gè)信號(hào)復(fù)現(xiàn)濾波器，它的功能是濾去高頻分量，而無(wú)損失地保留原信號(hào)頻譜。能使采樣信號(hào)不失真地復(fù)現(xiàn)為原連續(xù)信號(hào)的低通濾波器應(yīng)具有理想的矩形頻率特性,即

(7-16)式中,ωs滿足采樣定理，即ωs>2ωmax。ωmax為原連續(xù)信號(hào)頻譜的最高頻率。圖7-13所示為理想低通濾波器的頻率特性。經(jīng)過這樣的濾波器濾波之后，信號(hào)的頻譜變?yōu)?/p>

(7-17)圖7-13理想低通濾波器的頻率特性上式意味著，經(jīng)過理想濾波以后，脈沖序列的頻譜與原連續(xù)信號(hào)的頻譜一樣，只是幅值為原來的1/T。實(shí)際上，具有圖7-13所示理想頻率特性的濾波器是不存在的,工程上只能采用具有低通濾波功能的保持器來代替，最常用的就是零階保持器。

2.零階保持器

零階保持器是一種低通濾波器，設(shè)其傳遞函數(shù)用Gh(s)來表示。其工作原理是：把kT時(shí)刻的采樣值恒定不變地保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻(k+1)T。也就是說，在時(shí)間區(qū)間［kT,(k+1)T］內(nèi)，保持器的輸出值一直保持為f*(kT)，其變化率為零。

保持器將采樣信號(hào)轉(zhuǎn)換成連續(xù)信號(hào)的過程恰好是采樣過程的逆過程。而從數(shù)學(xué)上說，保持器的任務(wù)是解決采樣時(shí)刻之間的插值問題。在kT時(shí)刻，采樣信號(hào)f*(kT)直接轉(zhuǎn)換成連續(xù)信號(hào)f(t)|t=kT。同理，在(k+1)T時(shí)刻，連續(xù)信號(hào)為f(t)|t=(k+1)T=f*［(k+1)T］。但在kT和(k+1)T之間，即當(dāng)kT<t<(k+1)T時(shí)，連續(xù)信號(hào)應(yīng)取何值就是保持器要解決的問題。實(shí)際上，保持器具有“外推”作用，即保持器現(xiàn)時(shí)刻的輸出信號(hào)取決于過去時(shí)刻離散信號(hào)值的外推。實(shí)現(xiàn)外推常用的方法是采用多項(xiàng)式外推公式，即

f(kT+Δt)=a0+a1Δt+a2Δt2+…+amΔtm

(7-18)

式中:

Δt——以kT為時(shí)間原點(diǎn)的時(shí)間坐標(biāo)，0<Δt<T。

a0,a1,a2,…,am——由過去各采樣時(shí)刻的采樣信號(hào)值f(kT)、f［(k-1)T］、f［(k-2)T］等確定的系數(shù)。

工程上一般按式(7-18)的第一項(xiàng)或前二項(xiàng)組成外推裝置。只按第一項(xiàng)組成的外推裝置，因所用外推多項(xiàng)式是零階的，故稱為零階保持器；同理，按前二項(xiàng)組成的外推裝置稱為一階保持器。應(yīng)用最廣泛的是零階保持器。零階保持器的外推公式為

f［(kT+Δt)］=a0

(7-19)由于ΔT=0時(shí)上式也成立，因此a0=f(kT)，從而得到

f［(kT+Δt)］=f(kT)

0≤Δt<T

(7-20)

上式表明，零階保持器的作用是把kT時(shí)刻的采樣值，保持到

下一個(gè)采樣時(shí)刻(k+1)T到來之前，或者說按常值外推,如圖7-14所示。圖7-14零階保持器的作用為了對(duì)零階保持器進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，需求出它的傳遞函數(shù)。由圖7-14可以看出，零階保持器的單位脈沖響應(yīng)是一個(gè)幅值

為1、寬度為T的矩形波fh(t)，實(shí)際上就是一個(gè)采樣周期應(yīng)輸

出的信號(hào)。此矩形波可表達(dá)為兩個(gè)單位階躍函數(shù)的疊加，即

gh(t)=1(t)-1(t-T)

或

gh(t)=1(t-kT)-1(t-kT-T)

(7-21)根據(jù)傳遞函數(shù)就是單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的拉氏變換，可求得零階保持器的傳遞函數(shù)為

(7-22)其頻率特性則為

(7-23)因?yàn)門=2π/ωs，代入上式，則有

據(jù)此可繪出零階保持器的幅頻特性和相頻特性曲線，如圖7-15所示。由幅頻特性可以看出，其幅值隨頻率增高而減小，所以零階保持器是一個(gè)低通濾波器，但不是所要求的理想濾波器。在主頻譜之內(nèi)，放大系數(shù)逐漸減小，不是理想銳截止特性。在主頻譜之外，幅值很小，但不等于零，因此高頻頻譜分量還可通過一部分。故復(fù)現(xiàn)出的連續(xù)信號(hào)與原連續(xù)信號(hào)是有差別的。從相頻特性上看，零階保持器會(huì)產(chǎn)生正比于頻率的滯后相移，且隨頻率增高而加大。因此，由零階保持器恢復(fù)的信號(hào)f(t)是與原信號(hào)f(t)是有差別的：一方面含有一定的高頻分量；另外，在時(shí)間上滯后T/2。把階梯狀信號(hào)fh(t)的每個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)光滑連接起來，所得到的曲線的形狀與f(t)相同，但滯后了T/2，如圖7-14(c)所示。圖7-15零階保持器的頻率特性零階保持器比較簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)，相位滯后比一階保持器小得多，因此被廣泛采用。步進(jìn)電機(jī)、數(shù)控系統(tǒng)中的寄存器、數(shù)/模轉(zhuǎn)換器等都是零階保持器的實(shí)例。

7.4

z

變換理論

前面對(duì)于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，應(yīng)用拉普拉斯變換作為數(shù)學(xué)工具，將系統(tǒng)的微分方程變換成代數(shù)方程，從而對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行建模、分析和設(shè)計(jì)。與此相似，對(duì)于線性定常離散系統(tǒng)，也可應(yīng)用基于拉普拉斯變換方法的所謂z變換法進(jìn)行建模、分析和設(shè)計(jì)。z變換法是離散系統(tǒng)理論的數(shù)學(xué)工具。7.4.1

z變換的定義及求法

1.z變換的定義

z變換實(shí)質(zhì)上是拉氏變換的一種擴(kuò)展，也稱做采樣拉氏變換。在采樣系統(tǒng)中，連續(xù)函數(shù)信號(hào)f(t)經(jīng)過采樣開關(guān)，變成采樣信號(hào)f*(t)，由式(7-4)給出，即

對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換:

(7-24)從此式可以看出，任何采樣信號(hào)的拉氏變換中，都含有超越函數(shù)e-kTs。因此，若仍用拉氏變換處理采樣系統(tǒng)的問題，就會(huì)給運(yùn)算帶來很多困難。為此，引入新變量z，令

(7-25)

則將F*(s)記做F(z)，則式(7-24)可以改寫為

(7-26)

這樣就變成了以復(fù)變量z為自變量的函數(shù)，稱此函數(shù)為f*(t)的z變換,記做：

F(z)=z［f*(t)］

因?yàn)閦變換只對(duì)采樣點(diǎn)上的信號(hào)起作用，所以上式也可以寫為

F(z)=z［f(t)］應(yīng)注意，F(xiàn)(z)是f(t)的z變換，其定義就是式(7-26)，不要誤以為它是f(t)的拉氏變換式F(s)中的s以z簡(jiǎn)單置換的結(jié)果。將式(7-26)展開:

F(z)=f(0)z0+f(T)z-1+f(2T)z-2+…+f(kT)z-k+…

(7-27)

可見，采樣函數(shù)的z變換是變量z的冪級(jí)數(shù)。其一般項(xiàng)f(kT)z-k具有明確的物理意義：f(kT)表示采樣脈沖的幅值；z的冪次表示該采樣脈沖出現(xiàn)的時(shí)刻。因此它包含著量值與時(shí)間的概念。正因?yàn)閦變換只對(duì)采樣點(diǎn)上的信號(hào)起作用，因此，如果兩個(gè)不同的時(shí)間函數(shù)f1(t)和f2(t)，它們的采樣值完全重復(fù)(見圖

7-16)，則其z變換是一樣的。即f1(t)≠f2(t),但由于f*1(t)=f*2(t)，故F1(z)=F2(z)，就是說,采樣函數(shù)f*(t)與其z變換函數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的,但采樣函數(shù)所對(duì)應(yīng)的連續(xù)函數(shù)不是唯一的。圖7-16連續(xù)函數(shù)與z變換的非一一對(duì)應(yīng)

2.z變換的求法

z變換有多種求法，下面介紹兩種常用的方法。

1)用定義求(級(jí)數(shù)求和法)

已知時(shí)間函數(shù)f(t)，則顯然，只要知道連續(xù)函數(shù)f(t)在各采樣時(shí)刻的采樣值，再根據(jù)無(wú)窮級(jí)數(shù)求和公式

其中|q|<1

即可求出函數(shù)的z變換。

【例題7-2】求下列序列的z變換:

u(kT)=e-akT

其中：k=0,1,2,…；a為常數(shù)。

解

則將上式兩邊同時(shí)乘以e-(s+a)T，得到的結(jié)果再與上式兩邊對(duì)應(yīng)相減，若滿足e-(s+a)T<1，則可以得到

其中，δ是s的實(shí)部，由此我們可以得到u*(t)的z變換，即

在本例中，假如a=0，我們可以得到

u(kT)=1,

k=0,1,2,…

這個(gè)式子表示其序列值均為單位值，則這個(gè)表達(dá)式可寫為

或

2)用查表法求(部分分式法)

利用這種方法求z變換時(shí)，若已知函數(shù)的拉氏變換(象函數(shù))，用部分分式法將其展開，直接逐項(xiàng)查z變換表，便可很快得到F(z)。這是工程中常用的方法。

設(shè)連續(xù)函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換F(s)為s的有理分式，并具有如下形式：

將上式展成部分分式，得兩邊取拉普拉斯反變換，得

利用已知的指數(shù)函數(shù)z變換公式，即可求出對(duì)應(yīng)的z變換，即

【例題7-3】求的z變換。

解

所以

e(t)=1-e-at

對(duì)上式兩邊取z變換，得7.4.2

z變換的性質(zhì)

由于z變換實(shí)質(zhì)上是拉普拉斯變換的擴(kuò)展，因此和拉普拉斯變換的性質(zhì)相類似，z變換也有線性，位移(時(shí)位移、復(fù)位移)，初、終值定理等若干性質(zhì)或定理。利用這些性質(zhì)或定理，可以方便地求出某些函數(shù)的z變換，或根據(jù)z變換求出原函數(shù)，也可以根據(jù)函數(shù)的z變換推知原函數(shù)的性質(zhì)。所以,z變換的性質(zhì)在分析和研究離散系統(tǒng)時(shí)是很有用的。下面不加證明地給出z變換的幾個(gè)常用性質(zhì)或定理，嚴(yán)格的證明請(qǐng)參考有關(guān)資料。

1.時(shí)域性定理

若z［f1(t)］=F1(z),z［f2(t)］=F2(z),a、b均為常數(shù)，則

z［af1(t)+bf2(t)］=aF1(z)+bF2(z)

(7-28)

上式的含義是，函數(shù)線性組合的z變換，等于各函數(shù)z變換的線性組合。

【例題7-4】求sinωt

的z變換。

解，根據(jù)線性定理，則

2.延遲定理

若z［f(t)］=F(z)，且t<0時(shí)，f(t)=0，則有

z［f(t-nT)］=z-nF(z)

(7-29)

該定理說明,原函數(shù)f(t)在時(shí)域中延遲n個(gè)采樣周期，相當(dāng)于在象函數(shù)F(z)上乘以z-n。算子z-n可表示時(shí)域中的時(shí)滯環(huán)節(jié)，把脈沖延遲n個(gè)采樣周期。

【例題7-5】求1(t-nT)的z變換。

解

3.超前定理

若z［f(t)］=F(z)，則

(7-30)

zn相當(dāng)于把時(shí)間信號(hào)超前n個(gè)周期。

特殊情況，當(dāng)m=0,1,2,…,n-1時(shí)，f(kT)=0,則z［f(t+nT)］=znF(z)。

【例題7-6】求f(t)=1(t+T)的z變換。

解

4.復(fù)位移定理

若z［f(t)］=F(z)，則

(7-31)

【例題7-7】求e-αtsinωt的z變換。

解因?yàn)?，所?/p>

5.復(fù)微分定理

若z［f(t)］=F(z)，則

(7-32)

【例題7-8】求f(t)=t的z變換。

解因?yàn)閠=t·1(t),z［1(t)］=，所以

6.初值定理

若z［f(t)］=F(z)且

則

(7-33)

【例題7-9】求f(t)=e-αt的初值。

解因?yàn)?/p>

所以

7.終值定理

若z［f(t)］=F(z)，且(z-1)F(z)在平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓上和圓外沒有極點(diǎn)或(z-1)F(z)全部極點(diǎn)位于z平面單位圓內(nèi)，則

(7-34)

【例題7-10】設(shè)f(t)的z變換為

試求f(t)的終值。

解

8.卷積定理

若z［f1(t)］=F1(z)，z［f2(t)］=F2(z)，則

(7-35)7.4.3

z反變換

正如在拉氏變換方法中一樣，z變換方法的一個(gè)主要目的是要先獲得時(shí)域函數(shù)f(t)在z域中的代數(shù)解，其最終的時(shí)域解可通過反z變換求出。當(dāng)然，F(xiàn)(z)的反z變換只能求出f*(t)，即只能是f(kt)。如果是理想采樣器作用于連續(xù)信號(hào)f(t)，則在t=kT瞬間的采樣值f(kT)可以獲得。z反變換可以記做：

z-1［F(z)］=f*(t)

(7-36)求z反變換的方法通常有以下三種：

(1)部分分式展開法；

(2)級(jí)數(shù)展開法(綜合除法)；

(3)留數(shù)法。

在求z反變換時(shí)，仍假定當(dāng)k<0時(shí)，f(kT)=0。下面分別介紹求z反變換的方法。

1.部分分式展開法

此法是將F(z)通過部分分式分解為低階的分式之和，直接從z變換表中求出各項(xiàng)對(duì)應(yīng)的z反變換，然后相加得到f(kT)。具體步驟如下：

(1)先將變換式寫成，展開成部分分式:

(2)兩端乘以z:

(3)查z變換表。

【例題7-11】已知，求f(kT)。

解由于F(z)中通常含有一個(gè)z因子，因此首先將式展成部分分式較容易些，即再求F(z)的分解因式：

查z變換表，得到：所以

f(kT)=-1+2k

即

f(0)=0,f(T)=1,f(2T)=3,

f(3T)=7,f(4T)=15,f(5T)=31

2.級(jí)數(shù)展開法

級(jí)數(shù)展開法又稱綜合除法,即把式F(z)展開成按z-1升冪排列的冪級(jí)數(shù)。因?yàn)镕(z)的形式通常是兩個(gè)z的多項(xiàng)式之比，即

(n≥m)所以，很容易用綜合除法展成冪級(jí)數(shù)。對(duì)上式用分母去除分子，所得之商按z-1的升冪排列，即

(7-37)

這正是z變換的定義式。z-k項(xiàng)的系數(shù)ck就是時(shí)間函數(shù)f(t)在采樣時(shí)刻t=kT時(shí)的值。因此，只要求得上述形式的級(jí)數(shù)，就可知道時(shí)間函數(shù)在采樣時(shí)刻的函數(shù)值序列，即f(kT)。

【例題7-12】設(shè)，求z反變換。

解整理得則可見此法計(jì)算f*(t)較為簡(jiǎn)單，在實(shí)際應(yīng)用中，常常只需計(jì)算有限的幾項(xiàng)就夠了。

3.留數(shù)法(反演積分法)

設(shè)連續(xù)函數(shù)f(t)的拉氏變換F(s)及全部極點(diǎn)zi已知，則

(7-38)

式中,

,為在s=zi時(shí)的留數(shù)。當(dāng)F(s)具有一階極點(diǎn)s=z1時(shí)，其留數(shù)Ri為

(7-39)

當(dāng)F(s)具有一階極點(diǎn)n階重復(fù)極點(diǎn)時(shí)，則相應(yīng)的留數(shù)為

(7-40)計(jì)算時(shí)，直接利用反演積分分式進(jìn)行求解，即

(7-41)

表示函數(shù)F(z)=zn-1在極點(diǎn)處的函數(shù)留數(shù)。若zi(i=1,2,…)為一階極點(diǎn)，則相應(yīng)的留數(shù)為

(7-42)

若zj為n階重極點(diǎn)，則相應(yīng)的留數(shù)為

(7-43)

【例題7-13】

,試用留數(shù)法求z反變換。

解

有z1=1和z2=0.5兩個(gè)極點(diǎn)，極點(diǎn)處的留數(shù)為,則故采樣函數(shù)為7.5離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

線性定常連續(xù)系統(tǒng)有兩種基本的數(shù)學(xué)模型：微分方程和傳遞函數(shù)。與此類似，線性離散系統(tǒng)也有兩種基本的數(shù)學(xué)模型：時(shí)域模型差分方程和復(fù)數(shù)域模型脈沖傳遞函數(shù)。由于這兩類系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在形式、分析計(jì)算的方法和物理意義的理解方面都有很大的相似性，因此在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)，注意到這種平行對(duì)應(yīng)關(guān)系，并與連續(xù)系統(tǒng)中的相應(yīng)內(nèi)容進(jìn)行比較，只要把握住兩者之間的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，就會(huì)很容易掌握。7.5.1差分方程

從基本概念來說，差分與微分類似，差分方程與微分方程類似。微分方程是描述連續(xù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的最基本的數(shù)學(xué)模型，差分方程是離散系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。由于在離散系統(tǒng)中采樣時(shí)間的離散性，因而要描述采樣信號(hào)即脈沖序列隨時(shí)間的變化規(guī)律(動(dòng)態(tài)過程)，只能采用相鄰脈沖之間的差值即差分的概念。

1.差分的概念

所謂差分，是指在采樣信號(hào)的脈沖序列中，相鄰脈沖之間的差值。因此，一系列插值變化的規(guī)律，可反映出采樣信號(hào)的變化規(guī)律。按序列數(shù)減少的方向取差值，還是在增大的方向取差值，差分又分為前向差分和后向差分。

如圖7-17所示，連續(xù)函數(shù)f(t)，經(jīng)采樣后為f*(t)，在kT時(shí)刻，其采樣值為f(kT)，為簡(jiǎn)便計(jì)，常寫做f(k)。圖7-17前向差分與后向差分一階前向差分的定義為

Δf(k)=f(k+1)-f(k)

(7-44)

二階前向差分的定義為

Δ2f(k)=Δ［Δf(k)］

=Δ［f(k+1)-f(k)］

=f(k+2)-f(k+1)-［f(k+1)-f(k)］

=f(k+2)-2f(k+1)+f(k)

(7-45)

n階前向差分的定義為

Δnf(k)=Δn-1f(k+1)-Δn-1f(k)

(7-46)

同理，一階后向差分的定義為

(7-47)

二階后向差分的定義為

(7-48)

n階后向差分的定義為

(7-49)

從上述定義可以看出，前向差分所采用的是kT時(shí)刻未來的采樣值，而后向差分所采用的是kT時(shí)刻過去的采樣值。在實(shí)際中后向差分用得更廣泛。

2.差分方程

在連續(xù)系統(tǒng)中，描述系統(tǒng)的輸入信號(hào)與輸出信號(hào)之間動(dòng)態(tài)關(guān)系的方程是微分方程。在離散系統(tǒng)中，描述系統(tǒng)的輸入和輸出這兩個(gè)采樣信號(hào)之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，只能用這兩個(gè)脈沖序列之間的差值，即差分的變化規(guī)律來反映，這就是差分方程。因此，差分方程就是用來描述離散系統(tǒng)的輸入和輸出這兩個(gè)采樣信號(hào)之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系的方程，方程的變量除了含有f(k)本身外，還有f(k)的各階差分Δf(k)、Δ2f(k)、…、Δnf(k)等。對(duì)于輸入、輸出為采樣信號(hào)的線性采樣系統(tǒng)，描述其動(dòng)態(tài)過程的差分方程的一般形式為

(7-50)

式中u(k)、y(k)分別為輸入信號(hào)和輸出信號(hào)，an,…,a0;bm,…,b0均為常系數(shù)，且有n≥m。差分方程的階次是由最高階差分的階次而定的，其在數(shù)值上等于方程中自變量的最大值和最小值之差。式(7-55)中，最大自變量為k+n，最小自變量為k，因此方程的階次為(k+n)-k=n階。

3.差分方程的解法

與微分方程的解法類似，差分方程也有三種解法：常規(guī)解法、z變換法和數(shù)值遞推法。常規(guī)解法比較煩瑣，數(shù)值遞推法適于用計(jì)算機(jī)求解，下面重點(diǎn)介紹z變換法。

應(yīng)用z變換的線性定理和時(shí)移定理，可以求出各階前向差分的z變換函數(shù)為:

(7-51)

(7-52)

(7-53)

其中:Δ0f(0)=f(0)。同理，各階后向差分的z變換函數(shù)為：

(7-54)

(7-55)

(7-56)

式中:t<0時(shí)，f(t)=0。

【例題7-14】已知一階差分方程為

設(shè)輸入為階躍信號(hào)u(kT)=A，初始條件y(0)=0，試求響應(yīng)y(kT)。

解將差分方程兩端取z變換，得代入初始條件，求得輸出的z變換為

為求得時(shí)域響應(yīng)y(kT)，需對(duì)Y(z)進(jìn)行反變換，先將Y(z)/z展成部分分式，即于是

查變換表，求得上式的反變換為

k=0,1,2,…

【例題7-15】試用z變換法解下面的差分方程:

已知初始條件為y(0)=0,y(1)=1，求y(k)。

解對(duì)方程兩邊取z變換，并應(yīng)用時(shí)移定理，得代入初始條件，整理后得

查變換表，進(jìn)行反變換得

k=0,1,2,…7.5.2脈沖傳遞函數(shù)

在連續(xù)系統(tǒng)中，傳遞函數(shù)定義為在零初始條件下，系統(tǒng)輸出的拉普拉斯變換與輸入的拉普拉斯變換之比。傳遞函數(shù)是基于拉普拉斯變換下的連續(xù)系統(tǒng)的一種復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型。對(duì)于離散系統(tǒng)，在z變換的基礎(chǔ)上也有類似的定義，稱為脈沖傳遞函數(shù)。這是離散系統(tǒng)的第二種數(shù)學(xué)模型。

1.脈沖傳遞函數(shù)的定義

在分析和研究離散控制系統(tǒng)的性能時(shí)，一般均是已知控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。我們知道,在連續(xù)系統(tǒng)中,傳遞函數(shù)是分析和設(shè)計(jì)基于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的有力工具。類似地，我們也可定義脈沖傳遞函數(shù)。對(duì)于如圖7-18所示的離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，定義脈沖傳遞函數(shù)為：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，系統(tǒng)輸出采樣信號(hào)的z變換與輸入采樣信號(hào)的z變換之比，即

(7-57)

所謂零初始條件，是指t<0時(shí)，輸入脈沖序列各采樣值以及輸出脈沖序列各采樣值均為0。式(7-57)中，g(kT)是單位沖激響應(yīng)g(t)的離散表示；U(z)、Y(z)分別是離散過程輸入離散信號(hào)和輸出離散信號(hào)的z變換，即:

U(z)=z［u*(t)］

Y(z)=z［y*(t)］

如果有一個(gè)系統(tǒng)如圖7-19所示，則此時(shí)有圖7-18離散過程的結(jié)構(gòu)圖圖7-19開環(huán)采樣系統(tǒng)方框圖嚴(yán)格地說，G(s)和U*(s)表示不同類型的函數(shù)，不能直接用拉氏變換求出其對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)。作為一種轉(zhuǎn)換，可以假定在輸出端存在一個(gè)采樣開關(guān)S2，其采樣周期與S1的相同，且S2與S1同步動(dòng)作，則在S2后可表示為y*(t)，上式可轉(zhuǎn)換為

Y*(s)=G(s)U*(s)

則有

Y(z)=G(z)U(z)

即當(dāng)一個(gè)環(huán)節(jié)的輸出不是離散信號(hào)時(shí)，嚴(yán)格說來，其脈沖傳遞函數(shù)不能求出。這時(shí)，可采用虛擬開關(guān)的辦法經(jīng)轉(zhuǎn)換后來求。

2.脈沖傳遞函數(shù)的求法

(1)由差分方程求脈沖傳遞函數(shù)。用z變換的實(shí)位移定理，并假設(shè)初始條件為零，對(duì)差分方程兩端取z變換，整理后得到Y(jié)(z)，用Y(z)除以U(z)可得脈沖傳遞函數(shù)G(z)。

(2)由傳遞函數(shù)求脈沖傳遞函數(shù)。

傳遞函數(shù)G(z)的拉氏反變換是單位脈沖響應(yīng)函數(shù)δ(t)，將δ(t)離散化得單位脈沖響應(yīng)序列δ(nT)，將δ(nT)進(jìn)行z變換得G(z)。這一變換過程可表示如下：

上式表明，G(s)到G(z)的變換，中間過程可以省略，只要將G(s)表示成z變換表中的標(biāo)準(zhǔn)形式，直接查表可得G(z)。7.5.3由結(jié)構(gòu)圖求脈沖傳遞函數(shù)

和連續(xù)系統(tǒng)一樣，若已知離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，則也可以由結(jié)構(gòu)圖求出系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。

1.串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)

假定輸出變量前有采樣開關(guān)(或有一理想的虛擬采樣開關(guān))，或者輸入變量后有采樣開關(guān)，則我們分析下面兩種情況。

(1)串聯(lián)環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)。

圖7-20(a)所示兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)間有采樣器隔開，所以有：

U1(z)=G1(z)U(z)

(7-58)

Y(z)=G2(z)U1(z)

(7-59)

式中:G1(z)、G2(z)分別為線性環(huán)節(jié)G1(s)、G2(s)的脈沖傳遞函數(shù)，即G1(z)=z［G1(s)］，G2(z)=z［G2(z)］，則由式(7-58)和式(7-59)可得

Y(z)=G1(z)G2(z)U(z)所以，圖7-20(a)所示系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為

可見，兩個(gè)環(huán)節(jié)間有采樣器隔開時(shí)，環(huán)節(jié)串聯(lián)等效脈沖傳遞函數(shù)為兩個(gè)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)的乘積。同理，n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)，且所有環(huán)節(jié)之間均有采樣器隔開時(shí)，等效脈沖傳遞函數(shù)為所有環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)的乘積,即

G(z)=G1(z)·G2(z)…Gn(z)

(7-60)圖7-20環(huán)節(jié)串聯(lián)的開環(huán)系統(tǒng)

(2)串聯(lián)環(huán)節(jié)間無(wú)采樣器。

如圖7-20(b)所示，由于環(huán)節(jié)間沒有采樣器，因而G2(s)環(huán)

節(jié)輸入的信號(hào)不是脈沖序列，而是連續(xù)函數(shù)，所以不能像圖

7-20(a)那樣求G2(z)=Y(z)/U1(z)，而應(yīng)先把G1(s)、G2(s)進(jìn)行串聯(lián)運(yùn)算,求出等效環(huán)節(jié)G1(s)·G2(s)，則G1(s)G2(s)的z變換才是U(z)、Y(z)之間的脈沖傳遞函數(shù)，即

(7-61)

式中,G1G2(z)表示G1(s)·G2(s)乘積經(jīng)采樣后的z變換。顯然,

z［G1(s)G2(s)］=G1G2(z)≠G1(z)G2(z)(7-62)

即各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積的z變換，不等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)z變換的乘積。

由此可知，兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)間無(wú)采樣器隔開時(shí)，等效脈沖傳遞函數(shù)等于兩個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積經(jīng)采樣后的z變換。同理，此結(jié)論也適用于多個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)而無(wú)采樣器隔開的情況，即

G(z)=z［G1(s)G2(s)…Gn(s)］=G1G2…Gn(z)

(7-63)

如果串聯(lián)的多個(gè)環(huán)節(jié)中存在上述兩種情況，則可分段按上述原則處理。如果把離散后的傳遞函數(shù)或變量記為G*(s)，則可以把上述兩種情況簡(jiǎn)單歸納為下面兩個(gè)重要公式：

若Y(s)=E*(s)G(s),則

Y*(s)=［E*(s)G(s)］*=E*(s)G*(s)

即

Y(z)=E(z)·G(z)

(7-64)

若Y(s)=E(s)G(s)，則

Y*(s)=［E(s)G(s)］*=EG*(s)=GE*(s)

即

Y(z)=EG(z)=GE(z)(7-65)

【例題7-16】結(jié)構(gòu)圖如圖7-21(a)所示，求零階保持器與環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)的脈沖傳遞函數(shù)。

解已知，由于GH(s)與GP(s)之間無(wú)采樣開關(guān)，因此串聯(lián)環(huán)節(jié)的z變換不等于單個(gè)環(huán)節(jié)z變換后的乘積。圖7-21有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)為分析方便起見，將圖7-21(a)等效為圖7-21(b)的形式。由圖可見，采樣信號(hào)u*(t)分兩條通道作用于開環(huán)系統(tǒng):一條直接作用于；另一條通過純滯后環(huán)節(jié)，滯后一個(gè)采樣周期作用于GP′(s)，其響應(yīng)分別為:所以

最后求得開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

(7-66)

【例題7-17】若圖7-21所示系統(tǒng)中

試求開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。

解

查變換表，進(jìn)行z變換，得

根據(jù)式(7-66)和上述結(jié)果得

2.并聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)

與環(huán)節(jié)串聯(lián)一樣，在離散系統(tǒng)中，環(huán)節(jié)并聯(lián)的情況也不是唯一的。首先介紹兩個(gè)等效圖形，如圖7-22(a)、(b)所示。

注意，并聯(lián)環(huán)節(jié)后的變量是相加減關(guān)系，只有同類型的變量才能相加減。因此，我們討論圖7-23所示的并聯(lián)環(huán)節(jié)。圖7-22并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效圖7-23并聯(lián)環(huán)節(jié)方框圖顯然有:

即

(7-67)

3.閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)

根據(jù)不同結(jié)構(gòu)，我們把離散系統(tǒng)分為下面兩種情況：

①輸入信號(hào)在進(jìn)入反饋回路后，至回路輸出節(jié)點(diǎn)前，至少有一個(gè)真實(shí)的采樣開關(guān)，則可用簡(jiǎn)易法計(jì)算。

②不滿足①中條件的一般不能用簡(jiǎn)易法計(jì)算。

(1)閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的一般計(jì)算方法。

求閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)時(shí)，一般按定義的方法進(jìn)行計(jì)算，即在已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖中注明各環(huán)節(jié)的輸入、輸出信號(hào)，用代數(shù)消元法求出系統(tǒng)輸入、輸出關(guān)系式。眾所周知，對(duì)于比較復(fù)雜的離散控制系統(tǒng),用這種方法計(jì)算將是十分復(fù)雜和困難的。本文對(duì)脈沖傳遞函數(shù)準(zhǔn)確的計(jì)算是指求取輸出的z變換關(guān)系式(對(duì)于脈沖傳遞函數(shù)不存在的系統(tǒng))。如圖7-24所示，在這個(gè)系統(tǒng)中，連續(xù)的輸入信號(hào)直接進(jìn)入連續(xù)環(huán)節(jié)G1(s)，如前所述，在這種情況下，只能求輸出信號(hào)的z變換表達(dá)式Y(jié)(z)，而求不出系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。下面我們來求圖7-24所示系統(tǒng)的Y(z)。圖7-24閉環(huán)采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖對(duì)于連續(xù)環(huán)節(jié)G1(s)，其輸入為u(t)-b(t)，輸出為d(t)，于

是有

D(s)=G1(s)［U(s)-B(s)］=G1(s)U(s)-G1(s)B(s)

(7-68)

對(duì)于連續(xù)環(huán)節(jié)G2(s)H(s)，其輸入為d*(t)，輸出為b(t)，于是有

B(s)=G2(s)H(s)·D*(s)

(7-69)

將式(7-69)代入式(7-68)，有

D(s)=G1(s)U(s)-G1(s)G2(s)H(s)·D*(s)對(duì)上式采樣，有

D*(s)=［G1(s)U(s)］*-［G1(s)G2(s)H(s)］*D*(s)

取z變換得

D(z)=G1U(z)-G1G2H(z)·D(z)

所以

(7-70)因?yàn)?/p>

Y(s)=G2(s)·D*(s)

采樣后得

Y*(s)=G*2(s)·D*(s)

z變換為

Y(z)=G2(z)D(z)

(7-71)將式(7-70)代入式(7-71)，得

(7-72)

由式(7-72)知，解不出，但有了Y(z)，仍可由z反變換求輸出的采樣信號(hào)y*(t)。

部分離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及其脈沖傳遞函數(shù)如表7-1所示。

(2)閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的簡(jiǎn)易計(jì)算方法。

這里我們介紹一種脈沖傳遞函數(shù)的簡(jiǎn)易計(jì)算方法：

①將離散系統(tǒng)中的采樣開關(guān)去掉，求出對(duì)應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的輸出表達(dá)式。②對(duì)表達(dá)式中各環(huán)節(jié)乘積項(xiàng)逐個(gè)決定其“*”號(hào)。方法是：乘積項(xiàng)中某項(xiàng)與其余相乘項(xiàng)兩兩比較，當(dāng)且僅當(dāng)該項(xiàng)與其中任一相乘項(xiàng)均被采樣開關(guān)分隔時(shí)，該項(xiàng)才能打“*”號(hào)；否則,需相乘后才打“*”號(hào)。

③取z變換，把有“*”號(hào)的單項(xiàng)中的s變換為z，多項(xiàng)相乘后僅有一個(gè)“*”號(hào)的,其z變換等于各項(xiàng)傳遞函數(shù)乘積的z變換。下面舉例說明。

【例題7-18】系統(tǒng)如圖7-25所示，求該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。

解顯然該系統(tǒng)可用簡(jiǎn)易法計(jì)算，去掉采樣開關(guān)后，連續(xù)系統(tǒng)的輸出表達(dá)式為圖7-25系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖對(duì)上式進(jìn)行脈沖變換(加“*”)：

變量置換得

【例題7-19】系統(tǒng)如圖7-26所示，求該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。

解用代數(shù)消元法求出系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系式：圖7-26系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖所以所以

即

其中關(guān)鍵是求出U*1(s)。如果在圖7-26中的Gc(s)前增加采樣開關(guān)(根據(jù)圖7-22(a)，此時(shí)等價(jià)于在綜合點(diǎn)前分別增加兩個(gè)采樣開關(guān))，則

該結(jié)果與用簡(jiǎn)易法獲得的結(jié)果一致(此時(shí)滿足簡(jiǎn)易法計(jì)算條件)。如果在圖7-26中的Gc(s)后增加采樣開關(guān)(根據(jù)圖7-22(b)，此時(shí)等價(jià)于在H2(s)前增加采樣開關(guān))，則

該結(jié)果仍與用簡(jiǎn)易法計(jì)算得到的結(jié)果一致(此時(shí)仍滿足簡(jiǎn)易法計(jì)算條件)。

【例題7-20】系統(tǒng)如圖7-27所示，求該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。

解用代數(shù)消元法求得圖7-27系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖其中：YU(z)是輸出對(duì)應(yīng)于U輸入時(shí)的響應(yīng)，從圖7-27可知，此時(shí)滿足簡(jiǎn)易法條件，其結(jié)果亦與簡(jiǎn)易法計(jì)算所得結(jié)果一致；YD(z)是輸出對(duì)應(yīng)于D輸入時(shí)的響應(yīng)，從圖7-27可知，此時(shí)不滿足簡(jiǎn)易法條件，其結(jié)果便與簡(jiǎn)易法計(jì)算所得結(jié)果不同。7.5.4數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換

和連續(xù)系統(tǒng)一樣，對(duì)于離散系統(tǒng)，其兩種數(shù)學(xué)模型——差分方程與脈沖傳遞函數(shù)之間也可以相互轉(zhuǎn)換。由差分方程求脈沖傳遞函數(shù)的問題，前面已經(jīng)討論過，下面主要討論由脈沖傳遞函數(shù)如何建立差分方程。差分方程的建