專題27數(shù)列求和【考點預(yù)測】一．公式法（1）等差數(shù)列的前n項和，推導(dǎo)方法：倒序相加法．（2）等比數(shù)列的前n項和，推導(dǎo)方法：乘公比，錯位相減法．（3）一些常見的數(shù)列的前n項和：①；②；③；=4\*GB3④二．幾種數(shù)列求和的常用方法（1）分組轉(zhuǎn)化求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．（2）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．（3）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么求這個數(shù)列的前項和即可用錯位相減法求解．（4）倒序相加法：如果一個數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項和即可用倒序相加法求解．【方法技巧與總結(jié)】常見的裂項技巧積累裂項模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）積累裂項模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）積累裂項模型3：指數(shù)型（1）（2）（3）（4）（5）（6），設(shè)，易得，于是（7）積累裂項模型4：對數(shù)型積累裂項模型5：三角型（1）（2）（3）（4），則積累裂項模型6：階乘（1）（2）常見放縮公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．【題型歸納目錄】題型一：通項分析法題型二：公式法題型三：錯位相減法題型四：分組求和法題型五：裂項相消法題型六：倒序相加法題型七：并項求和題型八：先放縮后裂項求和題型九：分段數(shù)列求和【典例例題】題型一：通項分析法例1．（2022·全國·高三專題練習）求和．例2．數(shù)列9，99，999，的前項和為A． B． C． D．例3．求數(shù)列1，，，，，的前項之和．【方法技巧與總結(jié)】先分析數(shù)列通項的特點，再選擇合適的方法求和是求數(shù)列的前項和問題應(yīng)該強化的意識．題型二：公式法例4．已知等差數(shù)列中，，．（1）求的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和．例5．如圖，從點做軸的垂線交曲線于點，曲線在點處的切線與軸交于點，再從做軸的垂線交曲線于點，依次重復(fù)上述過程得到一系列點：，；，；，，記點的坐標為，，2，，．（Ⅰ）試求與的關(guān)系；（Ⅱ）求．【方法技巧與總結(jié)】針對數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，確定數(shù)列的類型，符合等差或等比數(shù)列時，直接利用等差、等比數(shù)列相應(yīng)公式求解．題型三：錯位相減法例6．（2022·全國·高三專題練習）“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”出自我國古代典籍《莊子·天下》，其中蘊含著等比數(shù)列的相關(guān)知識.已知長度為4的線段，取的中點，以為邊作等邊三角形（如圖①），該等邊三角形的面積為，在圖①中取的中點，以為邊作等邊三角形（如圖②），圖②中所有的等邊三角形的面積之和為，以此類推，則___________；___________.例7．（2022·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列的前n項和，記，則數(shù)列的前n項和_______.例8．（2022·全國·高三專題練習）在平面四邊形中，的面積是面積的倍，又數(shù)列滿足，當時，恒有，設(shè)的前項和為，則所有正確結(jié)論的序號是___________.①為等比數(shù)列；②為遞減數(shù)列；③為等差數(shù)列；④例9．（2022·云南師大附中高三階段練習）已知數(shù)列的前n項和為，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．例10．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））若數(shù)列滿足，，．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．例11．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且，．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．例12．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列{}為等差數(shù)列，，，數(shù)列{}的前n項和為，且滿足．(1)求{}和{}的通項公式；(2)若，數(shù)列{}的前n項和為，且對恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【方法技巧與總結(jié)】錯位相減法求數(shù)列的前n項和（1）適用條件若是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和．（2）基本步驟（3）注意事項①在寫出與的表達式時，應(yīng)特別注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準確寫出；②作差后，應(yīng)注意減式中所剩各項的符號要變號．等差乘等比數(shù)列求和，令，可以用錯位相減法．①②得：．整理得：．題型四：分組求和法例13．（2022·廣西柳州·模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列{}滿足，．(1)證明{}是等比數(shù)列，并求{}的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．例14．（2022·青海·海東市第一中學模擬預(yù)測（文））已知正項數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．例15．（2022·上海松江·二模）在等差數(shù)列中，已知，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和．【方法技巧與總結(jié)】（1）分組轉(zhuǎn)化求和數(shù)列求和應(yīng)從通項入手，若無通項，則先求通項，然后通過對通項變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求前n項和的數(shù)列求和．（2）分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型題型五：裂項相消法例16．（2022·全國·高三專題練習）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)證明：．例17．（2022·全國·高三專題練習）記為數(shù)列的前項和，已知，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知數(shù)列滿足________，記為數(shù)列的前項和，證明：．從①

②兩個條件中任選一個，補充在第（2）問中的橫線上并作答.例18．（2022·全國·高三專題練習（理））已知正項數(shù)列{}中，，是其前n項和，且滿足(1)求數(shù)列{}的通項公式：(2)已知數(shù)列{}滿足，設(shè)數(shù)列{}的前n項和為，求的最小值.例19．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的首項為正數(shù)，其前項和滿足．(1)求實數(shù)的值，使得是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．例20．（2022·湖南·一模）已知等差數(shù)列中，前項和為，，為等比數(shù)列且各項均為正數(shù)，，且滿足，.(1)求與；(2)設(shè)，，求的前項和.例21．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列前n項和為，且，記.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，求.例22．（2022·河南·洛寧縣第一高級中學一模（文））已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．例23．（2022·山西大同·高三階段練習）已知數(shù)列的前n項和滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，求證：.例24．（2022·江西九江·三模（理））已知數(shù)列的前項和為，且滿足，.(1)求；(2)求數(shù)列的前項和.例25．（2022·廣東·大埔縣虎山中學高三階段練習）已知各項均不相等的等差數(shù)列的前4項和為10，且是等比數(shù)列的前3項.(1)求；(2)設(shè)，求的前n項和.例26．（2022·全國·高三專題練習）等比數(shù)列中，首項，前項和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．例27．（2022·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的前n項和為，且，；數(shù)列的前n項和，且，數(shù)列的，．(1)求數(shù)列、的通項公式；(2)若數(shù)列滿足：，當時，求證：．例28．（2022·廣東惠州·高三階段練習）記是公差不為零的等差數(shù)列的前項和，若，是和的等比中項.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前20項和.例29．（2022·河北衡水·高三階段練習）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，數(shù)列滿足，，.(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)設(shè)，且數(shù)列的前n項和為，若，恒成立，求常數(shù)k的最小值.例30．（2022·全國·高三專題練習）已知等比數(shù)列公比為正數(shù)，其前項和為，且.數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項公式：(2)求證：.例31．（2022·廣東佛山·二模）已知數(shù)列{}的前n項和為，且滿足(1)求、的值及數(shù)列{}的通項公式：(2)設(shè)，求數(shù)列{}的前n項和例32．（2022·全國·高三專題練習）已知正項數(shù)列的前n項和為，且滿足，，，數(shù)列滿足．(1)求出，的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，求證：．例33．（2022·天津南開·三模）已知數(shù)列是公比的等比數(shù)列，前三項和為13，且，，恰好分別是等差數(shù)列的第一項，第三項，第五項．(1)求和的通項公式；(2)已知，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項和；(3)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【方法技巧與總結(jié)】裂裂項相消法求和（1）基本步驟（2）裂項原則一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止．（3）消項規(guī)律消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項．題型六：倒序相加法例34．（2022·河北·高三階段練習）德國大數(shù)學家高斯年少成名，被譽為數(shù)學屆的王子，19歲的高斯得到了一個數(shù)學史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，若，則的前n項和_________．例35．（2022·黑龍江齊齊哈爾·三模（文））已知數(shù)列的前n項和為，且，設(shè)函數(shù)，則______．例36．（2022·全國·高三專題練習（文））已知數(shù)列，滿足，，.（1）證明為等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）求.例37．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，數(shù)列的前n項和為，點均在函數(shù)的圖象上，函數(shù).(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求的值；(3)令，求數(shù)列的前2020項和.例38．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，正項等比數(shù)列滿足，則值是多少？.例39．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)對任意的，都有，數(shù)列滿足….求數(shù)列的通項公式.例40．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，數(shù)列的前項和為，點均在函數(shù)的圖象上．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若函數(shù)，令，求數(shù)列的前2020項和．【方法技巧與總結(jié)】將一個數(shù)列倒過來排列，當它與原數(shù)列相加時，若有規(guī)律可循，并且容易求和，則這樣的數(shù)列求和時可用倒序相加法（等差數(shù)列前項和公式的推導(dǎo)即用此方法）．題型七：并項求和例41．（2022·全國·高三專題練習）已知的通項公式為，求的前n項和．例42．（2022·福建·廈門一中模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和，，，．(1)計算的值，求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．例43．（2022·河北·滄縣中學模擬預(yù)測）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前n項和，若．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前18項和．例44．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，且滿足.(1)求的通項公式；(2)在和中插入個相同的數(shù)，構(gòu)成一個新數(shù)列，，，，，，，，，，，求的前項和．例45．（2022·河南·汝州市第一高級中學模擬預(yù)測（理））在數(shù)列中，，且.(1)證明：為等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前項和.例46．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列.(2)求數(shù)列的前n項和.【方法技巧與總結(jié)】兩兩并項或者四四并項題型八：先放縮后裂項求和例47．（2022·天津市寶坻區(qū)第一中學二模）已知為等差數(shù)列，前n項和為是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，．(1)和的通項公式；(2)求數(shù)列的前8項和；(3)證明：．例48．（2022·浙江·效實中學模擬預(yù)測）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足.(1)求的值：(2)求數(shù)列的通項公式：(3)證明：對一切正整數(shù)，有.例49．（2022·廣東汕頭·一模）已知數(shù)列的前n項和為，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的前n項和為；(2)設(shè)，證明：.例50．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的首項為，且，數(shù)列滿足．(1)求和；(2)設(shè)，記，證明：當時，．例51．（2022·天津·一模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項和為，，；數(shù)列的前n項和為，.(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和；(3)求證：.例52．（2022·全國·高三專題練習）求證:.【方法技巧與總結(jié)】先放縮后裂項，放縮的目的是為了“求和”，這也是湊配放縮形式的目標．題型九：分段數(shù)列求和例53．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)數(shù)列的前n項和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前15項的和.例54．（2022·山東師范大學附中模擬預(yù)測）已知是數(shù)列的前n項和，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和.例55．（2022·湖南·長郡中學模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，.(1)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.例56．（2022·遼寧·撫順市第二中學三模）已知數(shù)列中，滿足對任意都成立，數(shù)列的前n項和為．(1)若是等差數(shù)列，求k的值；(2)若，且是等比數(shù)列，求k的值，并求．例57．（2022·湖南·高三階段練習）已知數(shù)列中，，，令.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前14項和.例58．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，(1)令，求，及的通項公式；(2)求數(shù)列的前2n項和.例59．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前n項和為，且（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前20項和．例60．（2022·重慶·高三階段練習）已知數(shù)列的前項和，且，正項等比數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【方法技巧與總結(jié)】（1）分奇偶各自新數(shù)列求和（2）要注意處理好奇偶數(shù)列對應(yīng)的項：①可構(gòu)建新數(shù)列；②可“跳項”求和【過關(guān)測試】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習）數(shù)列的前2022項和等于（

）A． B．2022 C． D．20192．（2022·江西·臨川一中模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列的通項公式為為數(shù)列的前n項和，（

）A．1008 B．1009 C．1010 D．10113．（2022·四川·射洪中學模擬預(yù)測（文））已知首項為1的等差數(shù)列的前項和為，滿足，則（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·高三專題練習）己知數(shù)列滿足，在之間插入n個1，構(gòu)成數(shù)列：，則數(shù)列的前100項的和為（

）A．178 B．191 C．206 D．2165．（2022·河南·南陽中學高三階段練習（文））已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列滿足，則數(shù)列的前2021項的和為（

）A． B．C． D．6．（2022·全國·高三專題練習）已知公比為2的等比數(shù)列滿足，記為在區(qū)間（為正整數(shù)）中的項的個數(shù)，則數(shù)列的前100項的和為（

）A．360 B．480 C．600 D．1007．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，用表示不超過的最大整數(shù)，則（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（2022·全國·哈師大附中模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前5項和為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2022·全國·高三專題練習）已知下圖的一個數(shù)陣，該陣第行所有數(shù)的和記作，，，，，數(shù)列的前項和記作，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．10．（2022·全國·高三專題練習）已知正項數(shù)列的首項為2，前項和為，且，，數(shù)列的前項和為，若，則的值可以為（

）A．543 B．542C．546 D．54411．（2022·全國·高三專題練習）我們把()叫作“費馬數(shù)”(費馬是十七世紀法國數(shù)學家).設(shè)，，表示數(shù)列的前項和，則使不等式成立的正整數(shù)的值可以是（

）A．7 B．8 C．9 D．1012．（2022·河北·模擬預(yù)測）將數(shù)列與的公共項從小到大排列得到數(shù)列，則下列說法正確的有（

）A．數(shù)列為等差數(shù)列 B．數(shù)列為等比數(shù)列C． D．數(shù)列的前n項和為三、填空題13．（2022·四川成都·模擬預(yù)測（理））楊輝三角，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.在歐洲，這個表叫做帕斯卡三角形.帕斯卡（1623-1662）是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年.這是我國數(shù)學史上的又一個偉大成就.其實，中國古代數(shù)學家在數(shù)學的許多重要領(lǐng)域中處于遙遙領(lǐng)先的地位.中國古代數(shù)學史曾經(jīng)有自己光輝燦爛的篇章，而楊輝三角的發(fā)現(xiàn)就是十分精彩的一頁.下圖的表在我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里就出現(xiàn)了.該表中，從上到下，第次出現(xiàn)某行所有數(shù)都是奇數(shù)的行號記為，比如，則數(shù)列的前10項和為___________.第1行

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