中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)性質(zhì)專題訓(xùn)練題引言函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，而單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性是函數(shù)的四大基本性質(zhì)，它們是連接函數(shù)圖像與代數(shù)表達(dá)式的橋梁，也是解決函數(shù)問題（如求最值、解不等式、求參數(shù)）的關(guān)鍵工具。本專題圍繞這四大性質(zhì)設(shè)計(jì)訓(xùn)練題，從基礎(chǔ)概念到綜合應(yīng)用，梯度分明，旨在幫助學(xué)生深化理解、掌握方法、提升解題能力。一、單調(diào)性專題：從定義到復(fù)合函數(shù)的增減判斷知識(shí)回顧1.定義：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上有定義，若對(duì)任意\(x_1<x_2\inI\)，都有\(zhòng)(f(x_1)<f(x_2)\)（或\(f(x_1)>f(x_2)\)），則稱\(f(x)\)在\(I\)上單調(diào)遞增（或遞減）。2.判定方法：定義法：設(shè)值→作差→變形→定號(hào)→結(jié)論；導(dǎo)數(shù)法（高中）：若\(f'(x)>0\)在\(I\)上恒成立，則\(f(x)\)在\(I\)上遞增；若\(f'(x)<0\)，則遞減；復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：“同增異減”（外層函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)單調(diào)性相同則復(fù)合函數(shù)遞增，相反則遞減）?；A(chǔ)訓(xùn)練題目1（定義法證明單調(diào)性）：證明函數(shù)\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)在區(qū)間\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞增。解析：步驟1：設(shè)\(1<x_1<x_2\)，則\(x_1-x_2<0\)，\(x_1x_2>1\)；步驟2：作差\(f(x_2)-f(x_1)=(x_2+\frac{1}{x_2})-(x_1+\frac{1}{x_1})=(x_2-x_1)+\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}=(x_2-x_1)(1-\frac{1}{x_1x_2})\)；步驟3：變形后，\(x_2-x_1>0\)，\(1-\frac{1}{x_1x_2}=\frac{x_1x_2-1}{x_1x_2}>0\)（因\(x_1x_2>1\)）；步驟4：故\(f(x_2)-f(x_1)>0\)，即\(f(x_2)>f(x_1)\)。結(jié)論：\(f(x)\)在\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞增。題目2（復(fù)合函數(shù)單調(diào)性）：求函數(shù)\(f(x)=\log_2(x^2-2x+3)\)的單調(diào)遞減區(qū)間。解析：步驟1：求定義域：\(x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0\)，定義域?yàn)閈(\mathbb{R}\)；步驟2：分解復(fù)合函數(shù)：令\(t=x^2-2x+3\)（內(nèi)層函數(shù)），則\(f(t)=\log_2t\)（外層函數(shù)，單調(diào)遞增）；步驟3：求內(nèi)層函數(shù)\(t=(x-1)^2+2\)的單調(diào)遞減區(qū)間：開口向上，對(duì)稱軸為\(x=1\)，故遞減區(qū)間為\((-\infty,1)\)；步驟4：根據(jù)“同增異減”，外層遞增，內(nèi)層遞減，則復(fù)合函數(shù)遞減。結(jié)論：\(f(x)\)的單調(diào)遞減區(qū)間為\((-\infty,1)\)。能力提升題目3（含參數(shù)的單調(diào)性問題）：若函數(shù)\(f(x)=kx^2+(k-1)x+2\)在區(qū)間\((-\infty,1]\)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)\(k\)的取值范圍。解析：分類討論：1.當(dāng)\(k=0\)時(shí)，\(f(x)=-x+2\)，是一次函數(shù)，斜率為\(-1<0\)，在\(\mathbb{R}\)上單調(diào)遞減，滿足條件；2.當(dāng)\(k\neq0\)時(shí)，\(f(x)\)是二次函數(shù)，開口方向由\(k\)決定：若\(k>0\)，二次函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸為\(x=-\frac{k-1}{2k}\)，要使\(f(x)\)在\((-\infty,1]\)遞減，則對(duì)稱軸需\(\geq1\)，即\(-\frac{k-1}{2k}\geq1\)，解得\(0<k\leq\frac{1}{3}\)；若\(k<0\)，二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸左側(cè)為遞增區(qū)間，右側(cè)為遞減區(qū)間，無法滿足在\((-\infty,1]\)遞減（因開口向下時(shí)，對(duì)稱軸左側(cè)遞增）。綜上，\(k\)的取值范圍是\([0,\frac{1}{3}]\)。二、奇偶性專題：從定義到對(duì)稱性質(zhì)的應(yīng)用知識(shí)回顧1.定義：奇函數(shù)：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且\(f(-x)=-f(x)\)（圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）；偶函數(shù)：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且\(f(-x)=f(x)\)（圖像關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱）。2.常見結(jié)論：奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義，則\(f(0)=0\)；奇偶函數(shù)的和/差：奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇+偶=非奇非偶；奇偶函數(shù)的積/商：奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇?；A(chǔ)訓(xùn)練題目4（判斷奇偶性）：判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）\(f(x)=x^3+\sinx\)；（2）\(f(x)=|x|+1\)；（3）\(f(x)=x^2+2x+1\)。解析：（1）定義域?yàn)閈(\mathbb{R}\)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；\(f(-x)=(-x)^3+\sin(-x)=-x^3-\sinx=-f(x)\)，故奇函數(shù)；（2）定義域?yàn)閈(\mathbb{R}\)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；\(f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x)\)，故偶函數(shù)；（3）定義域?yàn)閈(\mathbb{R}\)，但\(f(-x)=(-x)^2+2(-x)+1=x^2-2x+1\)，既不等于\(f(x)\)也不等于\(-f(x)\)，故非奇非偶。題目5（利用奇偶性求參數(shù)）：已知函數(shù)\(f(x)=ax^3+bx+1\)（\(a,b\)為常數(shù)），若\(f(1)=3\)，求\(f(-1)\)的值。解析：構(gòu)造輔助函數(shù)\(g(x)=ax^3+bx\)，則\(f(x)=g(x)+1\)；因\(g(-x)=-ax^3-bx=-g(x)\)，故\(g(x)\)是奇函數(shù)；由\(f(1)=g(1)+1=3\)，得\(g(1)=2\)；因此\(f(-1)=g(-1)+1=-g(1)+1=-2+1=-1\)。能力提升題目6（奇偶性與不等式結(jié)合）：已知\(f(x)\)是定義在\(\mathbb{R}\)上的偶函數(shù)，且在\([0,+\infty)\)上單調(diào)遞增，解不等式\(f(x-1)<f(2)\)。解析：因\(f(x)\)是偶函數(shù)，故\(f(x-1)=f(|x-1|)\)，\(f(2)=f(|2|)=f(2)\)；又\(f(x)\)在\([0,+\infty)\)上單調(diào)遞增，故不等式等價(jià)于\(|x-1|<2\)；解得\(-2<x-1<2\)，即\(-1<x<3\)。結(jié)論：解集為\((-1,3)\)。三、周期性專題：從定義到周期函數(shù)的簡(jiǎn)化計(jì)算知識(shí)回顧1.定義：若存在非零常數(shù)\(T\)，使得對(duì)任意\(x\)在定義域內(nèi)，都有\(zhòng)(f(x+T)=f(x)\)，則\(T\)稱為\(f(x)\)的周期，最小的正周期稱為最小正周期（如正弦函數(shù)\(\sinx\)的最小正周期為\(2\pi\)）。2.常見周期結(jié)論：若\(f(x+a)=-f(x)\)，則周期\(T=2a\)；若\(f(x+a)=\frac{1}{f(x)}\)（\(f(x)\neq0\)），則周期\(T=2a\)；若\(f(x+a)=f(x-a)\)，則周期\(T=2a\)?；A(chǔ)訓(xùn)練題目7（求周期）：已知函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f(x+2)=-f(x)\)，求\(f(x)\)的周期。解析：由\(f(x+2)=-f(x)\)，得\(f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=-(-f(x))=f(x)\)；故\(f(x)\)的周期\(T=4\)。題目8（利用周期求函數(shù)值）：已知\(f(x)\)是周期為3的函數(shù)，且\(f(1)=2\)，\(f(2)=3\)，求\(f(7)\)和\(f(8)\)的值。解析：\(f(7)=f(3\times2+1)=f(1)=2\)；\(f(8)=f(3\times2+2)=f(2)=3\)。能力提升題目9（周期與奇偶性結(jié)合）：已知\(f(x)\)是定義在\(\mathbb{R}\)上的奇函數(shù)，且周期為4，若\(f(1)=1\)，求\(f(7)\)的值。解析：步驟1：利用周期性，\(f(7)=f(4+3)=f(3)\)；步驟2：\(f(3)=f(4-1)=f(-1)\)（因周期為4，\(f(x+4)=f(x)\)，故\(f(3)=f(-1+4)=f(-1)\)）；步驟3：利用奇偶性，\(f(-1)=-f(1)=-1\)；故\(f(7)=-1\)。四、對(duì)稱性專題：從軸對(duì)稱到中心對(duì)稱的應(yīng)用知識(shí)回顧1.軸對(duì)稱：若函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f(a+x)=f(a-x)\)，則\(f(x)\)關(guān)于直線\(x=a\)對(duì)稱（圖像關(guān)于\(x=a\)對(duì)稱）；2.中心對(duì)稱：若函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f(a+x)+f(a-x)=2b\)，則\(f(x)\)關(guān)于點(diǎn)\((a,b)\)對(duì)稱（圖像關(guān)于\((a,b)\)對(duì)稱）；3.特殊對(duì)稱：關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱（偶函數(shù)）：\(f(-x)=f(x)\)（即\(a=0\)的軸對(duì)稱）；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（奇函數(shù)）：\(f(-x)=-f(x)\)（即\(a=0,b=0\)的中心對(duì)稱）。基礎(chǔ)訓(xùn)練題目10（判斷對(duì)稱軸）：已知函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f(3+x)=f(3-x)\)，求\(f(x)\)的對(duì)稱軸。解析：由軸對(duì)稱定義，\(f(a+x)=f(a-x)\)對(duì)應(yīng)對(duì)稱軸\(x=a\)，故\(f(x)\)的對(duì)稱軸為\(x=3\)。題目11（中心對(duì)稱求函數(shù)值）：已知函數(shù)\(f(x)\)關(guān)于點(diǎn)\((2,1)\)對(duì)稱，若\(f(1)=3\)，求\(f(3)\)的值。解析：由中心對(duì)稱定義，\(f(2+x)+f(2-x)=2\times1=2\)；令\(x=1\)，則\(f(2+1)+f(2-1)=f(3)+f(1)=2\)；代入\(f(1)=3\)，得\(f(3)+3=2\)，故\(f(3)=-1\)。能力提升題目12（對(duì)稱性與單調(diào)性結(jié)合）：已知函數(shù)\(f(x)\)關(guān)于直線\(x=2\)對(duì)稱，且在\((2,+\infty)\)上單調(diào)遞減，比較\(f(0)\)與\(f(5)\)的大小。解析：步驟1：利用對(duì)稱性，\(f(x)\)關(guān)于\(x=2\)對(duì)稱，故\(f(0)=f(2+(-2))=f(2-(-2))=f(4)\)；步驟2：比較\(f(4)\)與\(f(5)\)：\(f(x)\)在\((2,+\infty)\)上單調(diào)遞減，且\(4<5\)，故\(f(4)>f(5)\)；因此\(f(0)>f(5)\)。五、綜合應(yīng)用專題：四大性質(zhì)的交匯問題題目13（單調(diào)性+奇偶性+周期性）：已知\(f(x)\)是定義在\(\mathbb{R}\)上的奇函數(shù)，周期為4，且在\([0,2]\)上單調(diào)遞增，求\(f(7)\)與\(f(9)\)的大小關(guān)系。解析：步驟1：利用周期性化簡(jiǎn)自變量：\(f(7)=f(4\times1+3)=f(3)\)；\(f(9)=f(4\times2+1)=f(1)\)；步驟2：利用奇偶性轉(zhuǎn)化：\(f(3)=f(-1+4)=f(-1)=-f(1)\)（因周期為4，\(f(3)=f(-1)\)；又奇函數(shù)，\(f(-1)=-f(1)\)）；步驟3：比較大?。篭(f(7)=-f(1)\)，\(f(9)=f(1)\)；因\(f(x)\)在\([0,2]\)上單調(diào)遞增，故\(f(1)>f(0)=0\)（奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義，\(f(0)=0\)）；因此\(f(7)=-f(1)<0<f(1)=f(9)\)；結(jié)論：\(f(7)<f(9)\)。題目14（對(duì)稱性+單調(diào)性+不等式）：已知函數(shù)\(f(x)\)關(guān)于直線\(x=1\)對(duì)稱，且在\([1,+\infty)\)上單調(diào)遞增，解不等式\(f(x-2)>f(3)\)。解析：步驟1：利用對(duì)稱性轉(zhuǎn)化：\(f(x)\)關(guān)于\(x=1\)對(duì)稱，故\(f(x)=f(2-x)\)（令\(a=1\)，則\(f(1+x)=f(1-x)\)，即\(f(t)=f(2-t)\)，\(t=1+x\)）；因此\(f(3)=f(2-3)=f(-1)\)；步驟2：將不等式轉(zhuǎn)化為\(f(x-2)>f(-1)\)；步驟3：利用單調(diào)性：因\(f