排列組合經(jīng)典例題解析及訓(xùn)練教程一、排列組合基礎(chǔ)概念回顧排列組合是組合數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，研究從有限集合中選取元素的方式數(shù)，廣泛應(yīng)用于概率統(tǒng)計(jì)、計(jì)算機(jī)算法、組合設(shè)計(jì)等領(lǐng)域。其核心區(qū)別在于：排列關(guān)注順序，組合不關(guān)注順序。1.排列數(shù)（Permutation）從\(n\)個(gè)不同元素中選取\(k\)個(gè)（\(k\leqn\)），并按一定順序排列的方式數(shù)，記為\(P(n,k)\)或\(A(n,k)\)，公式為：\[P(n,k)=n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}\]例：從5人中選2人擔(dān)任正、副班長(zhǎng)，排列數(shù)為\(P(5,2)=5\times4=20\)（正班長(zhǎng)有5種選法，副班長(zhǎng)有4種選法）。從\(n\)個(gè)不同元素中選取\(k\)個(gè)（\(k\leqn\)），不考慮順序的方式數(shù)，記為\(C(n,k)\)或\(\binom{n}{k}\)，公式為：\[C(n,k)=\frac{P(n,k)}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\]例：從5人中選2人參加會(huì)議，組合數(shù)為\(C(5,2)=\frac{5\times4}{2\times1}=10\)（不關(guān)心兩人的順序）。3.核心性質(zhì)組合數(shù)對(duì)稱性：\(C(n,k)=C(n,n-k)\)（選\(k\)個(gè)等價(jià)于不選\(n-k\)個(gè)）；排列與組合關(guān)系：\(P(n,k)=C(n,k)\timesk!\)（組合后再排列）。二、經(jīng)典例題分類解析排列組合問題的關(guān)鍵是識(shí)別問題類型，選擇對(duì)應(yīng)方法。以下是六大經(jīng)典類型及解法：1.相鄰問題——捆綁法問題特征：要求某些元素必須相鄰。解法步驟：（1）將相鄰元素“捆綁”為一個(gè)整體元素，減少元素?cái)?shù)量；（2）計(jì)算整體元素與其他元素的排列數(shù)；（3）計(jì)算捆綁內(nèi)部元素的排列數(shù)；（4）兩者相乘得總排列數(shù)。例1：5人排成一排，甲、乙必須相鄰，有多少種排法？解析：捆綁甲、乙為一個(gè)整體，此時(shí)相當(dāng)于4個(gè)元素（整體+丙+丁+戊）排列，排列數(shù)為\(P(4,4)=4!\)；甲、乙內(nèi)部有\(zhòng)(2!\)種排列方式；總排法：\(4!\times2!=24\times2=48\)種。2.不相鄰問題——插空法問題特征：要求某些元素不能相鄰。解法步驟：（1）先排列無限制條件的元素，形成“空位”；（2）將不相鄰元素插入空位中（空位數(shù)量=無限制元素?cái)?shù)+1）；（3）兩者相乘得總排列數(shù)。例2：7人排成一排，丙、丁不能相鄰，有多少種排法？解析：先排其他5人（甲、乙、戊、己、庚），排列數(shù)為\(P(5,5)=5!\)；5人排好后，有6個(gè)空位（如\_甲\_乙\_戊\_己\_庚\_），插入丙、丁，排列數(shù)為\(P(6,2)=6\times5\)；總排法：\(5!\times6\times5=120\times30=3600\)種。3.分組與分配問題問題特征：將元素分成若干組，或分配給不同對(duì)象。核心區(qū)別：分組：組與組之間無區(qū)別（如“分成3組”），需避免重復(fù)計(jì)數(shù)；分配：組與組之間有區(qū)別（如“分給3個(gè)人”），無需去重。例3：將6本不同的書分成3組，每組2本，有多少種分法？解析（均勻分組，去重）：第一步選2本：\(C(6,2)\)；第二步選2本：\(C(4,2)\)；第三步選2本：\(C(2,2)\)；由于三組無順序，需除以\(3!\)（避免重復(fù)計(jì)數(shù)，如{AB,CD,EF}與{CD,AB,EF}視為同一分組）；總分組數(shù)：\(\frac{C(6,2)\timesC(4,2)\timesC(2,2)}{3!}=\frac{15\times6\times1}{6}=15\)種。例4：將6本不同的書分給3人，每人2本，有多少種分法？解析（分配問題，無需去重）：直接分組后分配給3人，每組對(duì)應(yīng)不同的人，無需除以\(3!\)；總分配數(shù)：\(C(6,2)\timesC(4,2)\timesC(2,2)=15\times6\times1=90\)種。4.錯(cuò)位排列（Derangement）問題特征：所有元素都不排在原來的位置（如“信裝錯(cuò)信封”“鑰匙開錯(cuò)鎖”）。公式：設(shè)\(D(n)\)為\(n\)個(gè)元素的錯(cuò)位排列數(shù)，則：\[D(n)=(n-1)\times[D(n-1)+D(n-2)]\]初始條件：\(D(1)=0\)（1個(gè)元素?zé)o法錯(cuò)位），\(D(2)=1\)（2個(gè)元素交換位置）。常用值：\(D(3)=2\)，\(D(4)=9\)，\(D(5)=44\)。例5：4封信投入4個(gè)信封，全部裝錯(cuò)的情況有多少種？解析：直接用錯(cuò)位排列數(shù)\(D(4)=9\)種。5.容斥原理應(yīng)用——“至少/至多”問題問題特征：求“至少有一個(gè)滿足條件”或“至多有\(zhòng)(k\)個(gè)滿足條件”的情況數(shù)。解法：利用容斥原理計(jì)算并集或補(bǔ)集（“至少一個(gè)”=總數(shù)-“都不滿足”）。例6：5個(gè)元素排列，至少有一個(gè)元素在原來位置的排列數(shù)？解析（補(bǔ)集法）：總排列數(shù)：\(5!=120\)；都不在原來位置的錯(cuò)位排列數(shù)：\(D(5)=44\)；至少一個(gè)在原位的排列數(shù)：\(120-44=76\)種。例7：從1到10的整數(shù)中選5個(gè)數(shù)，至少有一個(gè)偶數(shù)的選法有多少種？解析（補(bǔ)集法）：總選法：\(C(10,5)=252\)；都不選偶數(shù)（即選5個(gè)奇數(shù)）的選法：\(C(5,5)=1\)；至少一個(gè)偶數(shù)的選法：\(252-1=251\)種。6.相同元素分配——隔板法問題特征：將\(n\)個(gè)相同元素分給\(k\)個(gè)不同對(duì)象，每個(gè)對(duì)象至少1個(gè)（或允許0個(gè)）。公式：每個(gè)對(duì)象至少1個(gè)：\(C(n-1,k-1)\)（\(n-1\)個(gè)間隙插\(k-1\)個(gè)隔板）；每個(gè)對(duì)象允許0個(gè)：\(C(n+k-1,k-1)\)（先給每個(gè)對(duì)象補(bǔ)1個(gè)，轉(zhuǎn)化為至少1個(gè)的情況）。例8：將5個(gè)相同的蘋果分給3個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友至少1個(gè)，有多少種分法？解析：5個(gè)蘋果有4個(gè)間隙，插2個(gè)隔板，分法為\(C(4,2)=6\)種（如“||”表示第一個(gè)小朋友1個(gè)，第二個(gè)2個(gè)，第三個(gè)2個(gè)）。三、專項(xiàng)訓(xùn)練題集以下訓(xùn)練題按基礎(chǔ)-中等-進(jìn)階梯度設(shè)計(jì)，覆蓋上述所有類型。1.基礎(chǔ)題（鞏固概念）（1）從8人中選3人排列，有多少種排法？（答案：\(P(8,3)=336\)）（2）從10個(gè)元素中選4個(gè)組合，有多少種選法？（答案：\(C(10,4)=210\)）（3）3個(gè)相同的球放進(jìn)2個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少1個(gè)，有多少種分法？（答案：\(C(2,1)=2\)）2.中等題（應(yīng)用方法）（4）6人排成一排，甲必須在第一個(gè)位置，有多少種排法？（提示：固定甲的位置，排剩余5人，答案：\(5!=120\)）（5）7人排成一排，甲、乙不相鄰，丙、丁必須相鄰，有多少種排法？（提示：先捆綁丙、丁，再用插空法排甲、乙，答案：\(2!\times5!\timesP(6,2)=2\times120\times30=7200\)）（6）將8本不同的書分給2人，每人4本，有多少種分法？（提示：分配問題，無需去重，答案：\(C(8,4)=70\)）3.進(jìn)階題（綜合能力）（7）5個(gè)元素排列，恰好有2個(gè)元素在原來位置的排列數(shù)？（提示：先選2個(gè)元素固定，剩余3個(gè)錯(cuò)位排列，答案：\(C(5,2)\timesD(3)=10\times2=20\)）（8）從1到9的整數(shù)中選5個(gè)數(shù)，至少有一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)的選法有多少種？（提示：補(bǔ)集法，總選法-全奇數(shù)-全偶數(shù)，答案：\(C(9,5)-C(5,5)-C(4,5)=____=125\)）（9）將7個(gè)相同的玩具分給4個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友至少1個(gè)，有多少種分法？（提示：隔板法，答案：\(C(6,3)=20\)）四、總結(jié)與方法提煉排列組合問題的解決關(guān)鍵是“識(shí)別類型+選擇方法”，以下是核心方法的總結(jié)：?jiǎn)栴}類型核心方法注意事項(xiàng)相鄰問題捆綁法捆綁后內(nèi)部需排列不相鄰問題插空法先排無限制元素均勻分組組合數(shù)÷組數(shù)!組無區(qū)別