3．2.1常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用導(dǎo)數(shù)的定義求比較簡單的冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2.準(zhǔn)確記憶基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并靈活運(yùn)用公式求某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．知識點(diǎn)一冪函數(shù)與一次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思考1函數(shù)y＝kx(k≠0)增(減)的快慢與什么有關(guān)？思考2你能結(jié)合x′＝1，(x2)′＝2x，(x－1)′＝－x－2及(x)′＝eq\f(1,2)x歸納出f(x)＝xn的導(dǎo)數(shù)有怎樣的規(guī)律嗎？梳理(1)(kx＋b)′＝k(k，b為常數(shù))，特別地C′＝0(C為常數(shù))．(2)(xα)′＝α·xα－1(α為常數(shù))．知識點(diǎn)二基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式思考1計(jì)算過程(coseq\f(π,6))′＝－sineq\f(π,6)＝－eq\f(1,2)正確嗎？思考2如何利用(lnx)′推出(logax)′？梳理原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)f(x)＝xα(α為常數(shù))f′(x)＝αxα－1類型一利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x12；(2)y＝eq\f(1,x4)；(3)y＝eq\r(5,x3)；(4)y＝2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)；(5)y＝logx；(6)y＝3x.反思與感悟若題目中所給出的函數(shù)解析式不符合導(dǎo)數(shù)公式，需通過恒等變換對解析式進(jìn)行化簡或變形后求導(dǎo)，如根式化成指數(shù)冪的形式求導(dǎo)．跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝(1－eq\r(x))(1＋eq\f(1,\r(x)))＋eq\r(x)；(2)y＝2cos2eq\f(x,2)－1.類型二導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用命題角度1利用導(dǎo)數(shù)公式解決切線問題例2已知點(diǎn)P(－1,1)，點(diǎn)Q(2,4)是曲線y＝x2上兩點(diǎn)，是否存在與直線PQ垂直的切線，若有，求出切線方程；若沒有，說明理由．引申探究若本例條件不變，求與直線PQ平行的曲線y＝x2的切線方程．反思與感悟解決切線問題，關(guān)鍵是確定切點(diǎn)，要充分利用：(1)切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；(2)切點(diǎn)在切線上；(3)切點(diǎn)又在曲線上這三個條件聯(lián)立方程解決．跟蹤訓(xùn)練2已知兩條曲線y＝sinx，y＝cosx，是否存在這兩條曲線的一個公共點(diǎn)，使在這一點(diǎn)處兩條曲線的切線互相垂直？并說明理由．命題角度2利用導(dǎo)數(shù)公式求最值問題例3求拋物線y＝x2上的點(diǎn)到直線x－y－2＝0的最短距離．反思與感悟利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，可求其圖象在某一點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程，可以解決一些與距離、面積相關(guān)的幾何的最值問題，一般都與函數(shù)圖象的切線有關(guān)．解題時可先利用圖象分析取最值時的位置情況，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義準(zhǔn)確計(jì)算．1．設(shè)函數(shù)f(x)＝logax，f′(1)＝－1，則a＝________.2．下列結(jié)論：①(sinx)′＝－cosx；②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq\f(1,x2)；③(log3x)′＝eq\f(1,3lnx)；④(lnx)′＝eq\f(1,x).其中正確的結(jié)論是________．3．在曲線y＝eq\f(4,x2)上求一點(diǎn)P，使得曲線在該點(diǎn)處的切線傾斜角為135°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為__________．4．設(shè)正弦函數(shù)y＝sinx上一點(diǎn)P，以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是________．5．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝coseq\f(π,6)；(2)y＝eq\f(1,x5)；(3)y＝eq\f(x2,\r(x))；(4)y＝lgx；(5)y＝5x；(6)y＝cos(eq\f(π,2)－x)．1．利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以比較簡便地求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其關(guān)鍵是牢記和運(yùn)用好導(dǎo)數(shù)公式．解題時，能認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進(jìn)行聯(lián)想化歸．2．有些函數(shù)可先化簡再應(yīng)用公式求導(dǎo)．如求y＝1－2sin2eq\f(x,2)的導(dǎo)數(shù)．因?yàn)閥＝1－2sin2eq\f(x,2)＝cosx，所以y′＝(cosx)′＝－sinx.3．對于正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一是注意函數(shù)名稱的變化，二是注意函數(shù)符號的變化．提醒：完成作業(yè)第3章§3.23.2.1

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一思考1當(dāng)k>0時，函數(shù)增加的快慢與系數(shù)k有關(guān)，k越大，增加的越快；當(dāng)k<0時，函數(shù)減少的快慢與|k|有關(guān)，|k|越大，函數(shù)減少的越快．思考2f′(x)＝(xn)′＝nxn－1.知識點(diǎn)二思考1不正確．因?yàn)閏oseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)為常數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為0.思考2(logax)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,lna)))′＝eq\f(1,lna)(lnx)′＝eq\f(1,lna)·eq\f(1,x)＝eq\f(1,x·lna).題型探究例1解(1)y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.(2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－eq\f(4,x5).(3)y′＝(eq\r(5,x3))′＝(x)′＝eq\f(3,5)x＝eq\f(3,5)x＝eq\f(3,5\r(5,x2)).(4)∵y＝2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝sinx，∴y′＝cosx.(5)y′＝(logx)′＝eq\f(1,xln\f(1,2))＝－eq\f(1,xln2).(6)y′＝(3x)′＝3xln3.跟蹤訓(xùn)練1解(1)∵y＝(1－eq\r(x))(1＋eq\f(1,\r(x)))＋eq\r(x)＝eq\f(1－x,\r(x))＋eq\r(x)＝eq\f(1,\r(x))＝x，∴y′＝－eq\f(1,2)x.(2)∵y＝2cos2eq\f(x,2)－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.例2解因?yàn)閥′＝(x2)′＝2x，假設(shè)存在與直線PQ垂直的切線．設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則PQ的斜率為k＝eq\f(4－1,2＋1)＝1，而切線與PQ垂直，所以2x0＝－1，即x0＝－eq\f(1,2).所以切點(diǎn)為(－eq\f(1,2)，eq\f(1,4))．所以所求切線方程為y－eq\f(1,4)＝(－1)(x＋eq\f(1,2))，即4x＋4y＋1＝0.引申探究解因?yàn)閥′＝(x2)′＝2x，設(shè)切點(diǎn)為M(x0，y0)，則y′|＝2x0，又因?yàn)镻Q的斜率為k＝eq\f(4－1,2＋1)＝1，而切線平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝eq\f(1,2).所以切點(diǎn)為M(eq\f(1,2)，eq\f(1,4))．所以所求切線方程為y－eq\f(1,4)＝x－eq\f(1,2)，即4x－4y－1＝0.跟蹤訓(xùn)練2解設(shè)存在一個公共點(diǎn)(x0，y0)，使兩曲線的切線垂直，則在點(diǎn)(x0，y0)處的切線斜率分別為k1＝y(tǒng)′|＝cosx0，k2＝y(tǒng)′|＝－sinx0.要使兩切線垂直，必須有k1k2＝cosx0(－sinx0)＝－1，即sin2x0＝2，這是不可能的．所以兩條曲線不存在公共點(diǎn)，使在這一點(diǎn)處的兩條切線互相垂直．例3解依題意知拋物線y＝x2與直線x－y－2＝0平行的切線的切點(diǎn)到直線x－y－2＝0的距離最短，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，xeq\o\al(2,0))．∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝eq\f(1,2)，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(1,2)，eq\f(1,4))，∴所求的最短距離d＝eq\f(|\f(1,2)－\f(1,4)－2|,\r(2))＝eq\f(7\r(2),8).跟蹤訓(xùn)練3解設(shè)M(x0，y0)為切點(diǎn)，過點(diǎn)M與直線l平行的直線斜率k＝y(tǒng)′＝2x0，∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0＝1.故可得M(1,1)，∴切線方程為2x－y－1＝0.由于直線l:2x－y＋4＝0與拋物線y＝x2相交于A、B兩點(diǎn)，∴AB為定值，要使△ABP的面積最大，只要P到AB的距離最大，當(dāng)堂訓(xùn)練1.eq\f(1,e)2.④3.(2,1)4．[0，eq\f(π,4)]∪[eq\f(3π,4)，π)5．解(1)y′＝0.(2)∵y＝eq\f(