1.3不等式的性質與解法

考點1不等式的性質

1.(2022全國甲理,12,5分)已知a=,b=cos,c=4sin,則()

3111

3244

A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

答案A解法一:當x∈時,sinx<x<tanx,又,所以tan.由=1,可得c>b.

π1π11?11

0,24∈0,24>4?=4tan4>4×4

當∈R時,,即22,所以,所以,即,當且僅當時

x|x|≥|sinx|x≥sinx2=1-cosxcosx≥1-2x=0

?2????

2≥sin222≥2sin222

等號成立,所以cos12,即b>a.綜上可知,c>b>a,故選A.

14131

4>1?2=1?32=32

解法二:當x∈時,sinx<x<tanx.

π

0,2

①比較a與b.

b=cos,故b-a==2>0,∴b>a.

2

1111112111

②比較4=b與cosc.2×8=1?2sin2832?2sin28=264?sin88?sin28

當x∈時,由x<tanx可知1,

π11sin4

1

0,24<???4=cos4

∴cos,即b<c.

11

44

綜上可知<,4c?>??b>a.故選A.

2.(2019課標Ⅰ理,4,5分)古希臘時期,人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是

≈0.618,稱為黃金分割比例,著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外,最美人體的頭頂至咽喉

5?15?1

的2長度與咽2喉至肚臍的長度之比也是.若某人滿足上述兩個黃金分割比例,且腿長為105cm,頭頂至脖

5?1

2

子下端的長度為26cm,則其身高可能是()

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

答案B本題主要考查學生的數(shù)學應用意識、抽象概括能力、運算求解能力,以及方程思想;考查的核心素

養(yǎng)為數(shù)學抽象、數(shù)學建模以及數(shù)學運算.

由人體特征可知,頭頂至咽喉的長度應小于頭頂至脖子下端的長度,故咽喉至肚臍的長度應小于≈42

26

0.618

cm,可得到此人的身高應小于26+42+≈178cm;

26+42

同理,肚臍至足底的長度應大于腿長100.651c8m,故此人的身高應大于105+105×0.618≈170cm,結合選項可知,

只有B選項符合題意,故選B.

一題多解用線段代替人,如圖.

已知==≈0.618,c<26,b>105,c+d=a,設此人身高為hcm,則a+b=h,由?a>64.89,

??5?1?>105,

??2

由?d<42.07,?≈0.618?

?<26,

所以?c≈+d0<.6216+84?2.07=68.07,即a<68.07,

由?b<110.15,

?<68.07,

整理?可≈得0.641.88?9+105<a+b<68.07+110.15,

即169.89<h<178.22(單位:cm).故選B.

3.(2015浙江文,6,5分)有三個房間需要粉刷,粉刷方案要求:每個房間只用一種顏色,且三個房間顏色各不

相同.已知三個房間的粉刷面積(單位:m2)分別為x,y,z,且x<y<z,三種顏色涂料的粉刷費用(單位:元/m2)分

別為a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的總費用(單位:元)是()

A.ax+by+czB.az+by+cx

C.ay+bz+cxD.ay+bx+cz

答案B用粉刷費用最低的涂料粉刷面積最大的房間,且用粉刷費用最高的涂料粉刷面積最小的房間,這

樣所需總費用最低,最低總費用為(az+by+cx)元,故選B.

-3

4.(2015北京文,10,5分)2,,log25三個數(shù)中最大的數(shù)是.

1

2

3

答案log25

-3

解析∵2=<1,1<<2,log25>2,

1

12

3

∴這三個數(shù)中8最大的數(shù)為log25.

考點2不等式的解法

1.(2014大綱全國文,3,5分)不等式組的解集為()

?(?+2)>0,

A.{x|-2<x<-1}B.{x|-1<x<0}|?|<1

C.{x|0<x<1}D.{x|x>1}

答案C由x(x+2)>0得x>0或x<-2;

由|x|<1得-1<x<1,

所以不等式組的解集為{x|0<x<1},

故選C.

2.(2014浙江文,7,5分)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,則()

A.c≤3B.3<c≤6

C.6<c≤9D.c>9

答案C由0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,得

0<-1+a-b+c=-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c≤3,

由-1+a-b+c=-8+4a-2b+c,得3a-b-7=0①,

由-1+a-b+c=-27+9a-3b+c,得4a-b-13=0②,

由①②,解得a=6,b=11,

∴0<c-6≤3,即6<c≤9,故選C.

3(2015江蘇,7,5分)不等式<4的解集為.

2

???

答案{x|-1<x<2}2

解析不等式<4可轉化為<22,利用指數(shù)函數(shù)y=2x的性質可得,x2-x<2,解得-1<x<2,故所求解集為

22

??x??x

{x|-1<x<2}.22

4.(2015廣東,11,5分)不等式-x2-3x+4>0的解集為.(用區(qū)間表示)

答案(-4,1)

解析不等式-x2-3x+4>0等價于x2+3x-4<0,解得-4<x<1.

5.(2014湖南文,13,5分)若關于x的不等式|ax-2|<3的解集為x-<x<,則a=.

51

答案-333

解析依題意,知a≠0.|ax-2|<3?-3<ax-2<3?-1<ax<5,當a>0時,不等式的解集為,

15

?,

??

從而有51此