第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年福建省莆田八中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在四邊形ABCD中，若AC=AB+ADA.ABCD為矩形 B.ABCD是菱形

C.ABCD是正方形 D.ABCD是平行四邊形2.如圖，矩形O′A′B′C′是用斜二測畫法畫出的水平放置的一個平面四邊形OABC的直觀圖，其中O′A′=4，O′C′=1，那么?OABC的面積為(

)A.4B.42

C.83.在△ABC中，點D在線段BC上，且BC=4BD，E是線段AB的中點，則DE=A.?14AC?14AB B.4.已知單位向量a,b滿足a?b=13，則A.13a B.23a C.5.已知復(fù)數(shù)z=1+i1?i，則z?zA.?1 B.1 C.?2 D.26.在△ABC中，a2+b2?A.π6 B.π3 C.2π37.底面半徑為3的圓錐被平行底面的平面所截，截去一個底面半徑為1、高為2的圓錐，所得圓臺的側(cè)面積為(

)A.85π B.95π8.如圖，在三棱臺ABC?A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，CC1與底面ABC所成的角為A.22

B.24

C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z=?a2+25+(a?5)i，a∈R，則下列結(jié)論正確的是A.若a=0，則z的實部為25 B.若a=0，則z的虛部為?5i

C.若z為實數(shù)，則a=5 D.若z為純虛數(shù)，則a=±510.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.下列各組條件中使得△ABC恰有一個解的是(

)A.a=12,b=24,A=π6 B.a=18,b=20,A=π3

C.11.如圖，AC為圓錐SO底面圓O的直徑，點B是圓O上異于A，C的動點，SO=OC=3，則下列結(jié)論正確的是(

)A.圓錐SO的側(cè)面積為9π

B.三棱錐S?ABC體積的最大值為9

C.∠SAB的取值范圍是(π4,π3)

D.若AB=BC，E為線段三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.復(fù)平面上有A、B、C三點，點A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+i，BA對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+2i，BC對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3?i，則點C的坐標(biāo)為______．13.定義運(yùn)算abcd=ad?bc，如果(x+y)+(x+3)i=3x+2yi?y1(i14.如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AD=AA1=6,AB=33,E,F分別在棱A四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a=(1,2)，b=(2,?1)，c=(m,2)，m∈R．

(1)當(dāng)(a+b)⊥(λa?b)時，求實數(shù)λ16.(本小題15分)

如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，點P為棱DD1的中點．

(1)17.(本小題15分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若acosB=bsinA．

(1)求角B；

(2)若b=3，a=2，求△ABC18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB⊥AD，AB//CD，PC=AB=2CD=2AD=2，PC⊥底面ABCD，E是PB上一點．

(1)求證：平面PAC⊥平面PBC；

(2)若E是PB的中點，求平面PAC與平面ACE的夾角的正弦值．19.(本小題17分)

某高中高一學(xué)生成立了課外實踐數(shù)學(xué)小組，計劃通過數(shù)學(xué)建模的方法來測量某人工圓形湖泊的直徑，如圖為該人工湖泊的大致俯視圖，該小組成員首先在湖泊邊緣處A點處固定一旗幟，從A點沿逆時針方向繞著湖泊邊緣走到B點處固定一旗幟，然后從B點沿逆時針方向繞著湖泊邊緣走至C點處，并在紅外線測量儀的幫助下測得∠ABC=120°，BC=20米，AB=10米．

(1)求該人工圓形湖泊的直徑；

(2)若D為人工圓形湖泊優(yōu)弧AC上一動點(異于A，C兩點)，求四邊形ABCD面積的最大值．

答案解析1.【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查了向量的平行四邊形法則的簡單運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)向量的加法的平行四邊形法則即可判斷．【解答】

解：根據(jù)向量的加法的平行四邊形法則可得，以AB，AD為鄰邊做平行四邊形ABCD，

則可得AC=AB+AD，

所以四邊形ABCD為平行四邊形，

2.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，直觀圖矩形O′A′B′C′的面積S′=O′A′?O′C′=4×1=4，

則原圖面積S=22S′=82．

故選：D3.【答案】A

【解析】解：因為BC=4BD，所以BD=14BC=14AC?14AB，

因為E是線段AB的中點，所以BE=?124.【答案】B

【解析】解：由題意可知，(a?b)?a=a2?a?b=5.【答案】B

【解析】解：由z=1+i1?i=(1+i)2(1?i)(1+i)=1+i2+2i26.【答案】C

【解析】解：由題意得到a2+b2?c2=?ab，由余弦定理得到cosC=a2+b27.【答案】A

【解析】解：底面半徑為3的圓錐被平行底面的平面所截，截去一個底面半徑為1、高為2的圓錐，

如圖，設(shè)截面圓的圓心為C，截面圓的半徑CD=1，底面圓半徑OB=3，PC=2，

由于OB/?/CD，所以PCPO=CDBO?2PO=13?PO=6，

所以PB=PO2+OB8.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題目：在三棱臺ABC?A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，

CC1與底面ABC所成的角為45°，AB=2，A1C1=AA1=1，

因為AA1⊥底面ABC，AA1?平面ACC1A1，所以平面ACC1A1⊥底面ABC．

所以∠C1CA即為CC9.【答案】AC

【解析】解：復(fù)數(shù)z=?a2+25+(a?5)i，

若a=0，則z=25?5i的實部為25，虛部為?5，故A正確；

若a=0，則z=25?5i的虛部為?5，故B錯誤；

若z為實數(shù)，則a?5=0，得a=5，故C正確；

若z為純虛數(shù)，則?a2+25=0,a?5≠0,即a=?5，故D錯誤．

故選：AC．

應(yīng)用復(fù)數(shù)定義分別判斷實部及虛部判斷A，B10.【答案】ACD

【解析】解：對于A，由正弦定理asinA=bsinB，可得sinB=bsinAa=24sinπ612=1，

結(jié)合B為三角形的內(nèi)角可知B=π2，

所以△ABC中，c=b2?a2=123，△ABC唯一確定，故A項符合題意；

對于B，由正弦定理asinA=bsinB，可得sinB=bsinAa=20sinπ318=539>sinA，

結(jié)合b>a，且B∈(0,2π3)，

可知有兩個符合條件的角B，故△ABC有兩個解，B項不符合題意；

對于C，由A=π2，a=4，b=211.【答案】BD

【解析】解：在Rt△SOC中，SC=SO2+OC2=32+32=32，

則圓錐的母線長l=32，半徑r=OC=3．

對于A，圓錐SO的側(cè)面積為πrl=π×3×32=92π，故A選項錯誤；

對于B，當(dāng)OB⊥AC時，△ABC的面積最大，此時S△ABC=12×6×3=9，

則三棱錐S?ABC體積的最大值為：V=13×S△ABC×SO=13×9×3=9，故B選項正確；

對于C，當(dāng)點B與點A重合時，∠ASB=0，為最小角；

當(dāng)點B與點C重合時，∠ASB=π2，為最大值，

又因為點B與A，C不重合，則∠ASB∈(0,π2)．

又2∠SAB+∠ASB=π，可得∠SAB∈(π4,π2)，故C選項錯誤；

對于D，因為AB=BC，∠ABC=90°，AC=6，所以AB=BC=32．

又SA=SB=32，所以△SAB為等邊三角形，所以∠SBA=60°．

將△SAB以AB為軸旋轉(zhuǎn)到與△ABC共面，得到△S1AB，

則△S1AB為等邊三角形，∠S1AB=60°．

如圖所示，則12.【答案】(4,?2)

【解析】解：因為BA對應(yīng)的復(fù)數(shù)是1+2i，BC對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3?i，又AC=BC?BA，

所以AC對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3?i)?(1+2i)=2?3i，又OC=OA+AC，

所以點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(2+i)+(2?3i)=4?2i，

所以點C的坐標(biāo)為(4,?2)．

故答案為：(4,?2)．

根據(jù)13.【答案】?1，2

【解析】解：由定義運(yùn)算可知，(x+y)+(x+3)i=(3x+2y)+yi，

所以x+y=3x+2yx+3=y，解得x=?1y=2．

故答案為：?1，2．

由題意，結(jié)合復(fù)數(shù)相等，建立方程組，可得答案．14.【答案】75π

4【解析】解：因為在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AD=AA1=6,AB=33,E,F分別在棱A1B1，CD上，

且A1E=CF=3，

所以以EF為直徑的球的球心O是長方體ABCD?A1B1C1D1的中心，

則點O到平面A1ADD1的距離d=12AB=332，

由題中數(shù)據(jù)可得EF=62+62+(3)2=53，

則球O的半徑R=532,S=4πR2=75π．

如圖，設(shè)O在平面A1ADD1的投影為O′15.【答案】1；

?17【解析】解：(1)已知向量a=(1,2)，b=(2,?1)，c=(m,2)，m∈R，

可得a+b=(3,1),λa?b=(λ,2λ)?(2,?1)=(λ?2,2λ+1)，

因為(a+b)⊥(λa?b)，所以3(λ?2)+(2λ+1)=0?λ=1；

(2)a+c=(1+m,4)，

因為b//(a+c)，所以8+m+1=0?m=?916.【答案】(1)證明：設(shè)AC和BD交于點O，則O為BD的中點．

連結(jié)PO，又因為P是DD1的中點，所以PO//BD1．

又因為PO?平面PAC，BD1?平面PAC

所以直線BD1//平面PAC．

(2)解：由(1)知，PO//BD1，所以∠APO即為異面直線BD1與AP所成的角．

因為AB=AD=1，AA1=2

PA=PC=12+12=【解析】本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的求法，屬于基礎(chǔ)題．

(1)AC和BD交于點O，則O為BD的中點．推導(dǎo)出PO/?/BD1,由此能證明直線BD1//平面PAC．

(2)由PO//BD1，得∠APO即為異面直線B17.【答案】π4；

1+【解析】解：(1)因為acosB=bsinA，

所以由正弦定理可得：sinAcosB=sinBsinA，

因為A、B∈(0,π)，所以sinA>0，

所以cosB=sinB，即tanB=1，所以B=π4；

(2)因為b=3，a=2，B=π4，

所以由余弦定理：c2+a2?2accosB=b2，

得c2+2?218.【答案】解：(1)證明：在四棱錐P?ABCD中，AB⊥AD，AB/?/CD，CD=AD=1，

則∠CAB=∠ACD=45°，AC=2，

在△ABC中，AB=2，則BC=AC2+AB2?2AC?ABcos45°=2，

即AC2+BC2=4=AB2，

于是AC⊥BC，由PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，

得PC⊥AC，又PC∩BC=C，PC，BC?平面PBC，

則AC⊥平面PBC，又AC?平面PAC，

所以平面PAC⊥平面PBC．

(2)由(1)知，AC⊥平面PBC，而CE?平面PBC，

則AC⊥CE，又PC⊥AC，

因此∠PCE是二面角P?AC?E的平面角，

在△PBC中，PC⊥BC，PC=2，BC=2，

則【解析】詳細(xì)解答和解析過程見【答案