第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年廣東省深圳市明德外語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若函數(shù)f(x)滿足f′(2)=2，則Δx→0limf(2+Δx)?f(2)2ΔxA.?1 B.4 C.1 D.22.A，B，C，D，E，F(xiàn)六人站成一排，如果B，C必須相鄰，那么排法種數(shù)為(

)A.240 B.120 C.96 D.603.設(shè)函數(shù)f(x)=ln(2?3x)，則f′(1A.12 B.13 C.?3 4.(1?x)10的展開(kāi)式中x3A.?120 B.120 C.?45 D.455.已知集合M={1,?2,3}，N={?4,5,6,7}，從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則在直角坐標(biāo)系中第一，二象限不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(

)A.18 B.14 C.16 D.106.中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙.假設(shè)中國(guó)空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天員開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，設(shè)事件A=“有4名航天員在天和核心艙”，事件B=“甲乙二人在天和核心艙”，則P(B|A)=(

)A.35 B.25 C.137.某款品牌牛奶生產(chǎn)企業(yè)開(kāi)展有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)：將16盒這種牛奶裝一箱，每箱中都放置2盒能夠中獎(jiǎng)的牛奶.若從一箱中隨機(jī)抽出2盒，能中獎(jiǎng)的概率為(

)A.18 B.29120 C.3168.已知函數(shù)f(x)=ax2?(a+2)x+lnx+1(a∈R)，若?x1，x2∈(0,+∞)，當(dāng)x1A.(?∞,?1) B.(?∞,?1] C.(0,8] D.[0,8]二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，f′(x)的部分圖象如圖所示，則(

)A.f(x)在(x1,x2)上單調(diào)遞增

B.f(x)在(x2,x3)上單調(diào)遞減

10.下列求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的有(

)A.(sinx)′=cosx B.(cosπ2)′=?sinπ11.現(xiàn)有編號(hào)依次為1，2，3的三個(gè)盒子，其中1號(hào)盒子裝有1個(gè)紅球和3個(gè)白球，2號(hào)盒子裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，3號(hào)盒子裝有4個(gè)紅球，這些球除顏色外完全相同.某人先從三個(gè)盒子中任取一盒，再?gòu)闹腥我饷鲆磺?，記事件A表示“取得紅球”，事件B表示“取得白球”，事件Ci表示“球取自i號(hào)盒子”，則(

)A.P(A)=12 B.P(B)=512 C.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.函數(shù)f(x)=(x?1)ex的單調(diào)遞減區(qū)間是______．13.(2+x)4展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)的和是______.(用數(shù)字作答14.若10張彩票中有2張有獎(jiǎng)，兩位顧客按照先后順序各抽一張，則第二位顧客中獎(jiǎng)的概率為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知(x?2x)n的二項(xiàng)式系數(shù)之和是64．

(Ⅰ)求展開(kāi)式中含x2的項(xiàng)的系數(shù)；

(16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=xlnx+a．

(1)若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程是y=mx+2，求a和m；

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．17.(本小題15分)

設(shè)甲、乙、丙三個(gè)地區(qū)爆發(fā)了某種流行病，三個(gè)地區(qū)感染此病的比例分別為17，15，14.現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)任抽取一個(gè)人，假設(shè)這個(gè)人來(lái)自三個(gè)地區(qū)的可能性相同．

(1)求此人感染此病的概率；

18.(本小題17分)

寒假有來(lái)自不同大學(xué)的3名男生和2名女生來(lái)母校開(kāi)展大學(xué)宣講活動(dòng)．

(1)若要將這5名同學(xué)分配到三個(gè)班進(jìn)行宣講，每班至少一名同學(xué)，有多少種不同的分配方案？

(2)宣講完畢，這五位同學(xué)和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同學(xué)中間，有多少種不同的排法？

(3)隨后這五位同學(xué)合影留念時(shí)，同學(xué)甲不站在最左端，同學(xué)乙不站在最右端，有多少種不同的排法？(寫(xiě)出必要的數(shù)學(xué)式，結(jié)果用數(shù)字作答)19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=2lnx?(k2+1)x2?kx+1(x>0)．

(1)當(dāng)k=0時(shí)，證明：f(x)≤0；

(2)若f(x)存在極大值，且極大值大于0答案解析1.【答案】C

【解析】解：f′(2)=2，

則Δx→0limf(2+Δx)?f(2)2Δx=12f′(2)=1．

2.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，由于B，C必須相鄰，則將BC捆綁在一起，與其他4人全排列即可，

共有A55×A22=240種排法．

故選：A．

3.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)求導(dǎo)以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，屬于基礎(chǔ)題．

先求導(dǎo)，再代值計(jì)算即可．

【解答】

解：f′(x)=12?3x?(2?3x)′=?32?3x，

則4.【答案】A

【解析】解：(1?x)10的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r+1=C10r?(?x)r，令r=3，可得展開(kāi)式中x3的系數(shù)為?C103=?120．5.【答案】B

【解析】解：由題意知本題是一個(gè)分類(lèi)和分步的綜合問(wèn)題，

M中的元素作點(diǎn)的橫坐標(biāo)，N中的元素作點(diǎn)的縱坐標(biāo)，在第一象限的點(diǎn)共有2×2個(gè)，

在第二象限的點(diǎn)共有1×2個(gè)．

N中的元素作點(diǎn)的橫坐標(biāo)，M中的元素作點(diǎn)的縱坐標(biāo)，在第一象限的點(diǎn)共有2×2個(gè)，

在第二象限的點(diǎn)共有2×2個(gè)．

∴所求不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2×2+1×2+2×2+2×2=14(個(gè))．

故選B．

本題首先分類(lèi)在每一類(lèi)中又分步，M中的元素作點(diǎn)的橫坐標(biāo)，N中的元素作點(diǎn)的縱坐標(biāo)，N中的元素作點(diǎn)的橫坐標(biāo)，M中的元素作點(diǎn)的縱坐標(biāo)，分別可以得到在第一和第二象限中點(diǎn)的個(gè)數(shù)，根據(jù)分類(lèi)加法原理得到結(jié)果．

本題考查分步計(jì)數(shù)原理和分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，是一個(gè)綜合題目，首先分類(lèi)，每類(lèi)方法并不都是一步完成的，必須在分類(lèi)后又分步，綜合利用兩個(gè)原理解決．6.【答案】B

【解析】解：由題意可知，P(A)=C64×2×236，P(AB)=C42×2×236，7.【答案】B

【解析】解：將16盒牛奶裝一箱，每箱中都放置2盒能夠中獎(jiǎng)的牛奶．

從一箱中隨機(jī)抽出2盒，基本事件總數(shù)n=C162=120，

其中能中獎(jiǎng)包含的基本事件個(gè)數(shù)m=C22+C21C141=29，

∴能中獎(jiǎng)的概率為P=8.【答案】D

【解析】解：不妨設(shè)0<x1<x2，

若?x1，x2∈(0,+∞)，當(dāng)x1≠x2時(shí)，f(x1)?f(x2)x1?x2>?2恒成立，

此時(shí)f(x1)+2x1<f(x2)+2x2對(duì)一切0<x1<x2都成立，

令m(x)=f(x)+2x，

此時(shí)m(x)=ax2?ax+lnx+1，函數(shù)定義域?yàn)?0,+∞)，

此時(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成m(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

又m′(x)=2ax?a+1x=2ax2?ax+1x，

當(dāng)a=0時(shí)，m′(x)=1x>0，

所以函數(shù)m(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a≠0時(shí)，9.【答案】AC

【解析】解：根據(jù)圖可知：當(dāng)x∈(x1,x3)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)>0，

因此f(x)在x∈(x1,x3)上單調(diào)遞增，

因此f(x)在(x1,x2)上單調(diào)遞增，在(x2,x3)上也單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)BD錯(cuò)誤；

又根據(jù)圖可知f′(x10.【答案】ACD

【解析】解：(sinx)′=cosx，故A正確．

(cosπ2)′=0，故B錯(cuò)誤．

(lnx)′=1x，故C正確．

(3?2x)′=1211.【答案】BCD

【解析】解：根據(jù)題意，P(C1)=P(C2)=P(C3)=13，

P(A|C1)=14，P(A|C2)=24=12，P(A|C3)=1，

依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，P(A)=P(C1)P(A|C1)+P(C2)P(A|C2)+P(C1)P(A|C2)=13×14+112.【答案】(?∞,0)

【解析】解：∵f(x)=(x?1)ex，

∴f′(x)=xex，

由f′(x)=0，得x=0，由f′(x)<0得x<0，

故f(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞減，

故答案為：(?∞,0)．

由題意得f′(x)=xe13.【答案】81

【解析】解：令x=1，則(2+x)4展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)的和為(2+1)4=34=81．14.【答案】15【解析】解：10張彩票中有2張有獎(jiǎng)，兩位顧客按照先后順序各抽一張，

分為第一位顧客抽中和沒(méi)抽中兩種情況，

∴第二位顧客中獎(jiǎng)的概率為15×19+45×215.【答案】(Ⅰ)60；

(Ⅱ)T4【解析】(Ⅰ)因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)之和為2n=64，所以n=6，

故含x2的項(xiàng)為C62?x4(?2x)2=60x2，

所以展開(kāi)式中含x2的項(xiàng)的系數(shù)為60．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知展開(kāi)式共有7項(xiàng)，

根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的單調(diào)性可知二項(xiàng)式系數(shù)最大的是第四項(xiàng)：T3+1=16.【答案】解：(1)由函數(shù)f(x)=xlnx+a，可得f′(x)=lnx+1，則f′(1)=1且f(1)=a，

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程是y=mx+2，

可得m=1a=m+2，解得a=3，m=1．

(2)由函數(shù)f(x)=xlnx+a的定義域?yàn)?0,+∞)，且f′(x)=lnx+1，

令f′(x)<0，即lnx+1<0，即lnx<?1，可得0<x<1e；

令f′(x)>0，即lnx+1>0，即lnx>?1，可得x>1e，

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為【解析】(1)求得f′(x)=lnx+1，得到f′(1)=1且f(1)=a，根據(jù)題意，列出方程組，即可求解；

(2)求得f′(x)=lnx+1，結(jié)合f′(x)<0和f′(x)>0的解集和定義域，即可求解．

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．17.【答案】解：(1)設(shè)B表示“此人感染此病”，

A1，A2，A3表示此人選自甲、乙、丙三個(gè)地區(qū)，

由題意得P(A1)=P(A2)=P(A3)=13，

P(B|A1)=17，P(B|A【解析】(1)利用全概率公式能求出此人感染此病的概率．

(2)利用貝葉斯公式能求出若此人感染此病，此人選自乙地區(qū)的概率．

本題考查概率的求法，考查全概率公式、貝葉斯公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．18.【答案】150．

48．

78．

【解析】解：(1)由題意，先將5名同學(xué)分成三個(gè)組，則有“1，2，2”和“1，1，3”兩種分法，

∴分組方法總共有C52C32A22+C51C41A22=25種，再將其分配給三個(gè)班，則有25A33=150種；

(2)利用捆綁法，先排班主任與甲乙有A19.【答案】證明見(jiàn)解析；

k∈(?2,0)．

【解析】解：(1)證明：根據(jù)已知：函數(shù)f(x)=2lnx?(k2+1)x2?kx+1(x>0)．

k=0時(shí)，f(x)=2lnx?x2+1，f′(x)=2x?2x=2(1+x)(1?x)x，

0<x<1時(shí)，f′(x)>0；x>1時(shí)，f′(x)<0，

所以f