第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年江蘇省無錫第六高級中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.一個小球從5米的高處自由下落，其運(yùn)動方程為y(t)=?4.9t2，則t=1秒時小球的瞬時速度為(

)A.?9.8米/秒 B.?4.9米/秒 C.9.8米/秒 D.4.9米/秒2.函數(shù)f(x)=x3?3x+1在閉區(qū)間[?2,3A.0 B.1 C.2 D.33.某單位要邀請10位教師中的6人參加一個研討會，其中甲、乙兩位教師不能同時參加，則不同的邀請方法有(

)A.84種 B.98種 C.112種 D.140種4.在8件同一型號的產(chǎn)品中，有3件次品，5件合格品，現(xiàn)不放回的從中依次抽取2件，在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率是(

)A.128 B.110 C.195.若3An3?6AA.8 B.7 C.6 D.56.已知函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示，則下列說法一定正確的是(

)A.x∈[0,a]時，f(x)的值為常數(shù)

B.x∈[a,c]時，f(x)單調(diào)遞減

C.x=d時，f(x)取得極小值

D.x=c時，f(x)取得最小值7.(x+2x2A.672 B.684 C.84 D.728.已知f(x)定義域?yàn)?0,+∞)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f(x)<?xf′(x)，則不等式A.(0,1) B.(1,+∞) C.(1,2) D.(2,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列求導(dǎo)正確的是(

)A.[(3x+5)3]′=9(3x+5)2 B.(x10.若(2x+1)10=a0+A.a0=1

B.ar=C10r210?r(?1)r，r=0，111.已知函數(shù)g(x)=ax2?6ax?lnx，則g(x)在(2,4)上不單調(diào)的一個充分不必要條件有A.a∈(?∞,?14) B.a∈(?∞,?13)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，且f(x)=2f′(2)x+x3，則f(x)=______．13.學(xué)校有a，b兩個餐廳，小明同學(xué)的早餐和午餐一定在其中某個餐廳用餐．如果小明同學(xué)早餐在a餐廳用餐，那么他午餐也在a餐廳用餐的概率是34；如果小明同學(xué)早餐在b餐廳用餐，那么他午餐在a餐廳用餐的概率是14.若小明同學(xué)早餐在a餐廳用餐的概率是34，那么他午餐在14.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.30.3若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y=2X+1，則E(Y)=

；D(Y)=

．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

某旅行團(tuán)要從8個景點(diǎn)中選2個景點(diǎn)作為當(dāng)天的旅游地，滿足下列條件的選法各有多少種？

(1)甲、乙2個景點(diǎn)至少選1個；

(2)甲、乙2個景點(diǎn)至多選1個；

(3)甲、乙2個景點(diǎn)必須選1個且只能選1個．16.(本小題15分)

設(shè)函數(shù)f(x)=x3+x2?x?2．

(1)求f(x)在x=?2處的切線方程；

(2)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；

17.(本小題15分)

已知(x2+23x)n的展開式中，第5項的二項式系數(shù)與第3項的系數(shù)之比為76．

(1)求n18.(本小題17分)

隨著五一黃金周的到來，各大旅游景點(diǎn)熱鬧非凡，為了解A、B兩個旅游景點(diǎn)游客的滿意度，某研究性學(xué)習(xí)小組采用隨機(jī)抽樣的方法，獲得關(guān)于A旅游景點(diǎn)的問卷100份，關(guān)于B旅游景點(diǎn)的問卷80份.問卷中，對景點(diǎn)的滿意度等級為：非常滿意、滿意、一般、差評，對應(yīng)分?jǐn)?shù)分別為：4分、3分、2分、1分，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表：非常滿意滿意一般差評A景點(diǎn)5030515B景點(diǎn)353078假設(shè)用頻率估計概率，且游客對A，B兩個旅游景點(diǎn)的滿意度評價相互獨(dú)立．

(1)從所有(人數(shù)足夠多)在A旅游景點(diǎn)的游客中隨機(jī)抽取2人，從所有(人數(shù)足夠多)在B旅游景點(diǎn)的游客中隨機(jī)抽取2人，估計這4人中恰有2人給出“非常滿意”的概率；

(2)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，你若旅游，你會選擇A、B哪個旅游景點(diǎn)？說明理由．19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=(x+m)?ex．

(1)若f(x)在(?∞,1]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)當(dāng)m=0時，若對任意的x≥0，不等式ax?f(x)≤e答案解析1.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查導(dǎo)數(shù)的計算，涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意，求出y(t)的導(dǎo)數(shù)，將x=1代入計算可得答案．

【解答】

解：根據(jù)題意，小球的運(yùn)動方程為y(t)=?4.9t2，則y′(t)=?9.8t，

則有y′(1)=?9.8，

即t=1秒時小球的瞬時速度為?9.8米/秒；

故選：2.【答案】D

【解析】解：f′(x)=3x2?3=3(x+1)(x?1)，

令f′(x)=0得，x=?1或1，

當(dāng)x∈[?2,?1)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈[?1,1]時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1,32]時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)f(x)的極大值為f(?1)=3，極小值為f(1)=?1，

又因?yàn)閒(?2)=?1，f(32)=?18，

所以函數(shù)f(x)=x3?3x+1在閉區(qū)間3.【答案】D

【解析】解：若甲、乙兩位教師都不參加，則有C86=C82=28

種不同方法；

若甲、乙兩位教師只有一人參加，則有C21C85=1124.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意得：在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率是A3217A31A=25.【答案】D

【解析】解：由題意知，3n(n?1)(n?2)?6n(n?1)=4×(n+1)n2×1，

化簡整理解得n=5．

故選：D．

用排列數(shù)、組合數(shù)公式化簡整理，解方程可得結(jié)果．6.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)圖象判斷原函數(shù)的單調(diào)性問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．

結(jié)合圖像求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷答案即可．

【解答】

解：結(jié)合圖像：x∈[0,a]時，f′(x)>0，則f(x)單調(diào)遞增，則A錯誤，

x∈[a,c]時，結(jié)合f′(x)圖象可得，x∈[a,b]時，f(x)單調(diào)遞增，x∈(b,c]時，f(x)單調(diào)遞減，則B錯誤；

x∈(c,d)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；x∈(d,e)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

所以x=d時，f(x)取得極小值，則C正確、D錯誤，

故選：C．7.【答案】A

【解析】解：∵(x+2x2)9的展開式的通項公式為Tr+1=C9r?2r?x9?3r，令9?3r=0，可得r=3，

故展開式中常數(shù)項為8.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了由條件構(gòu)造函數(shù)和用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性對不等式進(jìn)行判斷．

由題意構(gòu)造函數(shù)g(x)=xf(x)，再由導(dǎo)函數(shù)的符號判斷出函數(shù)g(x)的單調(diào)性，不等式f(x+1)>(x?1)f(x2?1)，構(gòu)造為g(x+1)>g(x2?1)，問題得以解決．

【解答】

解：設(shè)g(x)=xf(x)，

則g′(x)=[xf(x)]′=f(x)+xf′(x)<0，

∴函數(shù)g(x)在(0,+∞)上是減函數(shù)，

∵f(x+1)>(x?1)f(x2?1)，

∴(x+1)f(x+1)>(x+1)(x?1)f(x9.【答案】ABD

【解析】解：[(3x+5)3]′=3(3x+5)2?(3x+5)′=9(3x+5)2，A正確；

(x3lnx)′=3x2lnx+x3?1x=310.【答案】AD

【解析】解：設(shè)x+1=t，則2x+1=2t?1，

結(jié)合(2x+1)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a10(x+1)10，可得(2t?1)10=a0+a1t+a2t2+a3t3+…+a10t10，

對于A，取t=0，可得a0=(?1)10=1，所以A項正確；

對于B，在(2t?1)10的展開式中，第r+1項為Tr+1=C10r(2t)10?r(?1)r，r=0、1、2、…、10，

用10?r代換r，可得T11?r=C1011.【答案】ABC

【解析】解：因?yàn)間(x)=ax2?6ax?lnx，

所以g′(x)=2ax?6a?1x=2ax2?6ax?1x，

由題意知，a≠0，設(shè)f(x)=2ax2?6ax?1，對稱軸為x=32；

則f(x)在(2,4)上是單調(diào)函數(shù)，

由題意，令f(2)f(4)<0，得(8a?12a?1)(32a?24a?1)<0，解得a<?112.【答案】?24x+x【解析】解：因?yàn)閒(x)=2f′(2)x+x3，

所以f′(x)=2f′(2)+3x2，

故f′(2)=2f′(2)+12，

所以f′(2)=?12，

所以f(x)=?24x+x3．

故答案為：?24x+x13.【答案】58【解析】解：由題意，得小明同學(xué)早餐在a餐廳用餐的概率是34，在b餐廳用餐的概率是14，

他午餐在a餐廳用餐的概率是34×34+1414.【答案】5.8；8.96

【解析】【分析】

利用數(shù)學(xué)期望計算公式、方差的性質(zhì)即可得出．

本題考查了數(shù)學(xué)期望計算公式、方差的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

【解答】

解：E(X)=0+1×0.1+2×0.1+3×0.3+4×0.3=2.4，

D(X)=0?2.42×0.2+1?2.42×0.1+2?2.42×0.1+3?2.42×0.3+4?2.415.【答案】解：(1)甲、乙2個景點(diǎn)都不去有C62，則甲乙2個景點(diǎn)至少選1個的選法有C82?C62=28?15=13種；

(2)若甲、乙2個景點(diǎn)都不去有C62=15種，甲、乙2個景點(diǎn)只去一個有C21C61=12種，

則甲、乙【解析】(1)利用間接法先計算都不去的方法，然后進(jìn)行求解即可

(2)利用分類討論思想進(jìn)行計算即可

(3)利用分步計數(shù)進(jìn)行計算即可

本題主要考查簡單的計數(shù)問題，利用組合數(shù)公式是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．16.【答案】7x?y+10=0；

f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間(?1,13)單調(diào)遞增區(qū)間是(?∞,?1)，(13,+∞)；

【解析】(1)函數(shù)f(x)=x3+x2?x?2，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=3x2+2x?1，

f′(?2)=12?4?1=7，f(?2)=?8+4+2?2=?4，

f(x)在x=?2處的切線方程：y+4=7(x+2)，即7x?y+10=0；

(2)令f′(x)=0，3x2+2x?1=0，解得x1=13，x2=?1，

當(dāng)?1<x<13時，可得f(x)<0，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間(?1,13)，

x<?1或x>13，可得f′(x)>0，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間是(?∞,?1)，(13,+∞)，

綜上，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間(?1,13)單調(diào)遞增區(qū)間是(?∞,?1)，(13,+∞)；

(3)由(2)可知當(dāng)x<?1時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)?1<x<13時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>13時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．

令f′(x)=0，解得x1=13，x2=?117.【答案】n=10；

T6=8064x253；【解析】(1)(x2+23x)n展開式的通項為Tr+1=Cnrx2(n?r)2rx?13r=Cnr2rx2n?73r．

因?yàn)榈?項的二項式系數(shù)與第3項的系數(shù)之比為76，

所以Cn4Cn2?22=76，即(n?2)(n?3)=56，解得n=10；

(2)由(1)知：n=10，所以Tr+1=C10r2rx20?73r，

所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為T6=C10525x253=8064x253；

18.【答案】解：(1)設(shè)“這4人中恰有2人給出“非常滿意”的評價”為事件C，

由表中數(shù)據(jù)可知，游客在A景點(diǎn)給出“非常滿意”評價的概率為50100=12，

游客在B景點(diǎn)給出“非常滿意”評價的概率為3580=716，

則P(C)=(12)2(1?716)X1234P3131Y的分布為：Y1234P1737則E(X)=4×0.5+3×0.3+2×0.05+1×0.15=3.15，

D(X)=0.852×0.5+(?0.15)2×0.3+(?1.15)2×0.05+(?2.15)2×0.15=1.1275，

E(Y)=4×7【解析】本題主要考查了互斥事件、獨(dú)立重復(fù)事件的概率公式，考查了期望和方差的計算，屬于中檔題．

(1)求出游客在A，B景點(diǎn)給出“非常滿意”評價的概率，再利用互斥事件、獨(dú)立重復(fù)事件的概率公式計算作答；

(2)列出游客對A，B景點(diǎn)評分的分布列，并求出期望和方差，再比較大小作答．19.【答案】解：(1)因?yàn)閒(x)=(x+m)?ex，所以f′(x)=(x+m+1)?ex，

令f′(x)≤0，得x≤?m?1，則f(x)的單調(diào)遞減