第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古包頭九十三中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知向量a=(?3,4),b=(x,2)，且a⊥bA.32 B.?32 C.82.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且ab=53,sinA=A.310 B.910 C.153.若sinα+cosαsinα?cosα=?A.?14 B.14 C.?44.已知復(fù)數(shù)z1=?2+3i，z2=1+4iA.|z2|>|z1|>|z1?5.已知點(diǎn)A(3,1)，B(?6,5)，且C為AB上靠近B的三等分點(diǎn)，則C的坐標(biāo)為(

)A.(0,73) B.(?3,113)6.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若A=2π3,D為BC邊上的點(diǎn)，且∠CAD=π2A.4 B.43 C.37.已知D為△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，4AB=3AD，E為CD的中點(diǎn)，則AEA.43AB+12AC B.18.正六邊形在中國(guó)傳統(tǒng)文化中象征著“六合”與“六順”，這種形狀常被用于各種傳統(tǒng)裝飾和建筑中，如首飾盒、古建筑的窗戶、古井口等.已知6個(gè)邊長(zhǎng)均為2的正六邊形的擺放位置如圖所示，C是這6個(gè)正六邊形內(nèi)部(包括邊界)的動(dòng)點(diǎn)，則AC?AB的最大值為(

)A.12 B.16 C.18 D.20二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知x?y+2i=3+2xi(x,y∈R)，則(

)A.x=?1 B.y=?2

C.x+(y+6)i的虛部為4 D.x+(y+6)i的共軛復(fù)數(shù)為?1?4i10.如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的上一點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，且AB=mAM,AC=nA.BC=mAM?nAN

B.若O是BC的中點(diǎn)，則AO=12AB+12AC

C.若O是BC的中點(diǎn)，則m+n=2

D.若m=13,n=3，則|BO|A.473 B.443 C.14 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.向量a、b滿足|a|=2，|b|=3，且a與b夾角的余弦值為16，則13.把函數(shù)f(x)=tan12x的圖象向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象，且g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(6a,0)對(duì)稱，則a14.如圖，某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°方向且與該港口相距20nmile的A處，并以15nmile/?的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以57nmile/?的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t?與輪船相遇，則t

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復(fù)數(shù)z=12m2?6+(m?23)i,m∈R．

(1)若z為純虛數(shù)，求m的值；16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的最小正周期為π，且f(x)的圖象關(guān)于直線x=π6對(duì)稱．

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(3)求f(x)17.(本小題15分)

已知tan2α=?34．

(1)求tanα的值．

(2)已知α為第四象限角．

①求sinα，cosα的值；

②求cos18.(本小題17分)

如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為AD的中點(diǎn)．

(1)求EC?AB；

(2)求EC與BD夾角的余弦值；

(3)若F為線段EC上一點(diǎn)，且AF⊥DF，求|EF||EC|；

(4)19.(本小題17分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且5sin2B+5sin2C=6sinBsinC+5sin2A.

(1)求cosA；

(2)若a=25，求△ABC面積的最大值；

(3)若△ABC的垂心為M(M在△ABC的內(nèi)部)，直線BM與AC交于點(diǎn)參考答案1.C

2.D

3.B

4.A

5.B

6.D

7.C

8.C

9.BC

10.BCD

11.ABC

12.1513.π514.2

15.(1)由題意得12m2?6=0且m?23≠0，解得m=?23；

(2)由題設(shè)，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(12m2?6,m?23)，

因?yàn)閦16.(1)由題意得ω=2ππ=2．

因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x=π6對(duì)稱，所以π3+φ=π2+kπ(k∈Z)，

得φ=π6+kπ(k∈Z)，

又0<φ<π2，所以φ=π6，故f(x)=2sin(2x+π6)；

(2)令π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ(k∈Z)，

得π17.(1)由tan2α=2tanα1?tan2α=?34，

得3tan2α?8tanα?3=(3tanα+1)(tanα?3)=0，解得tanα=?13或3；

(2)①由題意得tanα=?13，且sinα<0，cosα>018.(1)建系如圖：

則A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，E(0,1)，

所以EC=(2,1),AB=(2,0)，

所以EC?AB=4；

(2)因?yàn)锽D=(?2,2)，EC=(2,1)，

所以cos<EC，BD>=EC?BD|EC||BD|=?4+25×22=?1010；

(3)設(shè)EF=λEC(0≤λ≤1)，

則EF=λEC=(2λ,λ)，所以F(2λ,λ+1)，

因?yàn)锳F=(2λ,λ+1),DF=(2λ,λ?1),AF⊥DF，

19.解；(1)因?yàn)?sin2B+5sin2C=6sinBsinC+5sin2A，

由正弦定理得5b2+5c2=6bc+5a2，即b2+c2?a2=65bc，

由余弦定理可得b2+2?a2=2bc