數(shù)學(xué)二次根式知識(shí)點(diǎn)及練習(xí)題含答案(1)一、選擇題1.下列計(jì)算正確的是

A.
B.
C.
D.
2.下列計(jì)算正確的為().A.
B.
C.
D.
3.下列運(yùn)算正確的是()A.
B.3
＝3 C.
＝﹣2 D.
4.計(jì)算
的結(jié)果正確的是()A.
B.3 C.6 D.
5．下列運(yùn)算中,正確的是()A.
=3 B.(
-
)÷
=-1C.
÷
=2 D.(
+
)×
=
6.下列式子一定是二次根式的是()A.
B.－
C.
D.
7．若化簡(jiǎn)|1-x|-
的結(jié)果為2x﹣5,則x的取值范圍是()A.x為任意實(shí)數(shù) B.1≤x≤4 C.x≥1 D.x≤48．設(shè)S=
,則不大于S的最大整數(shù)[S]等于()A.98 B.99 C.100 D.1019.下列計(jì)算正確的是()A.
B.
C.
D.
10．若|x2﹣4x+4|與
互為相反數(shù),則x+y的值為()A.3 B.4 C.6 D.911．已知實(shí)數(shù)x、y滿足
,則yx值是()A.﹣2 B.4 C.﹣4 D.無(wú)法確定12.估計(jì)(
)
的值應(yīng)在()A.1和2之間 B.3和4之間 C.4和5之間 D.5和6之間二、填空題13.若
,把
化成最簡(jiǎn)二次根式為_(kāi)_______.14.（1）已知實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示,化簡(jiǎn)
=_____________；(2)已知正整數(shù)
,
滿足
,則整數(shù)對(duì)
的個(gè)數(shù)是_______________;(3)△ABC中,∠A=50°,高BE.CF所在的直線交于點(diǎn)O,∠BOC的度數(shù)__________.15．設(shè)a﹣b=2+
,b﹣c=2﹣
,則a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc=_____．16.計(jì)算
=________________.17．將1、
、
、
按右側(cè)方式排列.若規(guī)定(m,n)表示第m排從左向右第n個(gè)數(shù),則(5,4)與(9,4)表示的兩數(shù)之積是______.18.已知整數(shù)
,
滿足
,則
__________.19.代數(shù)式
有意義,則x的取值范圍是_____.20．若
與最簡(jiǎn)二次根式
能合并成一項(xiàng),則a=______．三、解答題21.先觀察下列等式,再回答問(wèn)題:①
=1+1=2;②
=2+
=2
;③
=3+
=3
;…(1)根據(jù)上面三個(gè)等式提供的信息,請(qǐng)猜想第四個(gè)等式;（2）請(qǐng)按照上面各等式規(guī)律,試寫(xiě)出用n（n為正整數(shù)）表示的等式,并用所學(xué)知識(shí)證明.【答案】（1）


；（2）

,證明見(jiàn)解析．【分析】(1)根據(jù)"第一個(gè)等式內(nèi)數(shù)字為1,第二個(gè)等式內(nèi)數(shù)字為2,第三個(gè)等式內(nèi)數(shù)字為3",即可猜想出第四個(gè)等式為
4
4
;（2）根據(jù)等式的變化,找出變化規(guī)律“
n
”,再利用
開(kāi)方即可證出結(jié)論成立．【詳解】(1)∵①
1+1=2;②
2
2
;③
3
3
;里面的數(shù)字分別為1.2.3,∴④


.(2)觀察,發(fā)現(xiàn)規(guī)律:
1+1=2,
2
2
3
3
4
4
,…,∴

．證明:等式左邊
=n
右邊.故
n
成立.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)以及規(guī)律型中數(shù)的變化類,解題的關(guān)鍵是:(1)猜測(cè)出第四個(gè)等式中變化的數(shù)字為4;(2)找出變化規(guī)律"
n
".解決該題型題目時(shí),根據(jù)數(shù)值的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵.22.已知x=2﹣
,求代數(shù)式(7+4
)x2+(2+
)x+
的值.【答案】2+【解析】試題分析:先求出x2,然后代入代數(shù)式,根據(jù)乘法公式和二次根式的性質(zhì),進(jìn)行計(jì)算即可.試題解析：x2=（2﹣
)2=7﹣4
,則原式=(7+4
）(7﹣4
）+(2+
）(2﹣
）+
=49﹣48+1+=2+
.23.閱讀下面的解答過(guò)程,然后作答:有這樣一類題目：將
化簡(jiǎn),若你能找到兩個(gè)數(shù)m和n,使m2+n2=a且mn=
,則a+2
可變?yōu)閙2+n2+2mn,即變成(m+n)2,從而使得
化簡(jiǎn)．例如:∵5+2
=3+2+2
=（
）2+（
）2+2
=（
+
）2∴==+請(qǐng)你仿照上例將下列各式化簡(jiǎn)(1)
,(2)
.【答案】（1）1+
;（2）
.【分析】參照范例中的方法進(jìn)行解答即可.【詳解】解:(1)∵
,∴；(2)∵
,∴.24.在學(xué)習(xí)了二次根式后,小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)有的二次根式可以寫(xiě)成另一個(gè)二次根式的平方的形式.比如:
.善于動(dòng)腦的小明繼續(xù)探究:當(dāng)
為正整數(shù)時(shí),若
,則有
,所以
,
.請(qǐng)模仿小明的方法探索并解決下列問(wèn)題:(1)當(dāng)
為正整數(shù)時(shí),若
,請(qǐng)用含有
的式子分別表示
,得：
,
;（2)填空:
=
-
;(3）若
,且
為正整數(shù),求
的值.【答案】（1）
,
；（2）
；（3）
或46.【解析】試題分析:(1)把等式
右邊展開(kāi),參考范例中的方法即可求得本題答案;（2)由（1)中結(jié)論可得:
,結(jié)合
都為正整數(shù)可得:m=2,n=1,這樣就可得到:
；(3）將
右邊展開(kāi),整理可得：
,
結(jié)合
為正整數(shù),即可先求得
的值,再求
的值即可.試題解析:（1）∵
,∴，∴；(2)由(1)中結(jié)論可得:
,∵
都為正整數(shù),∴
或
,∵當(dāng)m=1,n=2時(shí),
,而當(dāng)m=2,n=1時(shí),
,∴m=2,n=1,∴；(3)∵
,∴
,
,又∵
為正整數(shù),∴
,或者
,∴當(dāng)
時(shí),
;當(dāng)
,
,即
的值為:46或14.25.小明在解決問(wèn)題:已知a=
,求2a2﹣8a+1的值,他是這樣分析與解的:∵a===2﹣∴a﹣2=﹣∴(a﹣2)2=3,a2﹣4a+4=3∴a2﹣4a=﹣1∴2a2﹣8a+1=2(a2﹣4a)+1=2×(﹣1)+1=﹣1請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程,解決如下問(wèn)題：(1)化簡(jiǎn)
+
+
+…+
(2）若a=
,求4a2﹣8a+1的值．【答案】（1）9；（2）5.【解析】試題分析:(1)此式必須在把分母有理化后才能實(shí)現(xiàn)化簡(jiǎn),即各分式分子分母同乘以一個(gè)因式,使得與分母相乘后,為平方差公式結(jié)構(gòu),如
.(2)先對(duì)a值進(jìn)行化簡(jiǎn)得
,若就接著代入求解,計(jì)算量偏大．模仿小明做法,可先計(jì)算
的值,就能較為簡(jiǎn)單地算出結(jié)果;也可對(duì)這個(gè)二次三項(xiàng)式進(jìn)行配方,再代入求值．后兩種方法都比直接代入計(jì)算量小很多.解:（1）原式=
(2)∵
,解法一:∵
,∴
,即
∴原式=解法二∴原式=點(diǎn)睛:(1)把分母
有理化的方法:分子分母同乘以分母的有理化因式
,得
,去掉根號(hào),實(shí)現(xiàn)分母有理化.（2）當(dāng)已知量為根式時(shí),求這類二次三項(xiàng)式的值,直接代入求值,計(jì)算量偏大,若能巧妙利用完全平方公式或者配方法,計(jì)算要簡(jiǎn)便得多.26.計(jì)算:(1)
;（2）【答案】(1)
;(2)
【解析】試題分析:根據(jù)二次根式的性質(zhì)及分母有理化,化簡(jiǎn)二次根式,然后合并同類二次根式即可解答.試題解析:（1）
=2-=；（2）===27.計(jì)算:
【答案】【分析】先化為最簡(jiǎn)二次根式,再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.【詳解】解：===．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減運(yùn)算,在進(jìn)行此類運(yùn)算時(shí),先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式的形式后再運(yùn)算.28.先化簡(jiǎn),再求值:
,其中
.【答案】

.【解析】分析:先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式,再將m的值代入計(jì)算可得.詳解:原式=
÷（
﹣
）=÷=?=﹣=當(dāng)m=
﹣2時(shí),原式=﹣
=﹣=﹣1+2=．點(diǎn)睛:本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值,解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則.29.計(jì)算:
.【答案】【分析】根據(jù)二次根式的意義和性質(zhì)以及零次冪的定義可以得到解答.【詳解】解:原式
.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算,熟練掌握二次根式的運(yùn)算和零次冪的意義是解題關(guān)鍵.30.先閱讀下面的解題過(guò)程,然后再解答.形如
的化簡(jiǎn),我們只要找到兩個(gè)數(shù)a,b,使
,
,即
,
,那么便有:
.例如化簡(jiǎn):
.解:首先把
化為
,這里
,
,由于
,
,所以，所以.根據(jù)上述方法化簡(jiǎn):
.【答案】見(jiàn)解析【分析】應(yīng)先找到哪兩個(gè)數(shù)的和為13,積為42.再判斷是選擇加法,還是減法.【詳解】根據(jù)題意,可知
,
,由于
,
,所以
,
,所以.【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn),解題關(guān)鍵在于求得
,
.【參考答案】***試卷處理標(biāo)記,請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、選擇題1．D解析：D【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則逐項(xiàng)計(jì)算即可判斷.【詳解】解:A.
和
不是同類二次根式,不能合并,故錯(cuò)誤;B.
=2
,故錯(cuò)誤;C、
=
,故錯(cuò)誤;D、
=
=2
,故正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的四則運(yùn)算.2．D解析：D【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)、二次根式的加法以及混合運(yùn)算的法則逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】A.
,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;B.
與
不能合并,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;C.
,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．
,正確,故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算,熟練掌握各運(yùn)算的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.3．D解析：D【分析】直接利用二次根式的混合運(yùn)算法則分別判斷得出答案.【詳解】解:A.
與
,不是同類二次根式,無(wú)法合并,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;B.3
﹣
＝2
,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;C.
＝2,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;D、
÷
＝2
,正確;故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算,熟練掌握計(jì)算法則是關(guān)鍵.4．A解析：A【分析】分別根據(jù)二次根式的除法和乘法法則以及二次根式的平方計(jì)算每一項(xiàng),再合并即可.【詳解】解:原式=
.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題型,熟練掌握二次根式的乘除法則是解題的關(guān)鍵.5．D解析：D【分析】根據(jù)二次根式的加減乘除法則逐項(xiàng)判斷即可得.【詳解】A.
,此項(xiàng)錯(cuò)誤B.
,此項(xiàng)錯(cuò)誤C.
,此項(xiàng)錯(cuò)誤D.
,此項(xiàng)正確故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減乘除運(yùn)算,熟記二次根式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.6．A解析：A【分析】根據(jù)二次根式的定義,直接判斷得結(jié)論.【詳解】A.
的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù),是二次根式,故A正確;B.
時(shí),－
不是二次根式,故B錯(cuò)誤;C.
是三次根式,故C錯(cuò)誤;D、
時(shí),
不是二次根式,故D錯(cuò)誤;故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義,形如
(
)是二次根式,注意二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù).7．B解析：B【分析】根據(jù)完全平方公式先把多項(xiàng)式化簡(jiǎn)為|1-x|-|x-4|,然后根據(jù)x的取值范圍分別討論,求出符合題意的x的值即可.【詳解】原式可化簡(jiǎn)為|1-x|-|x-4|,當(dāng)1-x≥0,x-4≥0時(shí),可得x無(wú)解,不符合題意;當(dāng)1-x≥0,x-4≤0時(shí),可得x≤1時(shí),原式=1-x-4+x=-3;當(dāng)1-x≤0,x-4≥0時(shí),可得x≥4時(shí),原式=x-1-x+4=3;當(dāng)1-x≤0,x-4≤0時(shí),可得1≤x≤4時(shí),原式=x-1-4+x=2x-5,據(jù)以上分析可得當(dāng)1≤x≤4時(shí),多項(xiàng)式等于2x-5,故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值及二次根式的化簡(jiǎn),要注意正負(fù)號(hào)的變化,分類討論.8．B解析：B【分析】由
,代入數(shù)值,求出S=
+
+
+…+
=99+1-
,由此能求出不大于S的最大整數(shù)為99.【詳解】∵==，∴S=+++…+===100-
,∴不大于S的最大整數(shù)為99.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值,知道
是解答本題的基礎(chǔ).9．B解析：B【分析】根據(jù)二次根式加減運(yùn)算和二次根式的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可.【詳解】
與
不能合并,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤;
,所以B選項(xiàng)正確;
,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤;
與
不能合并,所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤;故選答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式加減運(yùn)算和二次根式的性質(zhì),掌握同類二次根式的定義和二次根式的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.10．A解析：A【解析】根據(jù)題意得:|x2–4x+4|+
=0,所以|x2–4x+4|=0,
=0,即（x–2）2=0,2x–y–3=0,所以x=2,y=1,所以x+y=3．故選A．11．C解析：C【分析】依據(jù)二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)求得x的值,然后可得到y(tǒng)的值,最后代入計(jì)算即可.【詳解】∵實(shí)數(shù)x、y滿足
,∴x＝2,y＝﹣2,∴yx＝
＝-4.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次根式有意義的條件,熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.12．B解析：B【分析】原式利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算,估算確定出范圍即可.【詳解】解:原式＝
＝＝；∵1＜2＜4,∴1＜
＜2,即3＜2+
＜4,則原式的值應(yīng)在3和4之間.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算,以及無(wú)理數(shù)的估算,解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則進(jìn)行解題.二、填空題13.【分析】先判斷b的符號(hào),再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.【詳解】解：∵∴∴所以答案是:【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì).解析：【分析】先判斷b的符號(hào),再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.【詳解】解：∵∴∴所以答案是:
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì).14.(1)2a－2b＋1;(2)3;(3)130°或50°.【解析】(1)∵-1<a<0,b>1,∴＝|a+1|-|a-2b|=1+a-2b+a=2a-2b+1.(2)∵,∴,p=20解析:（1）2a－2b＋1；（2）3；（3）130°或50°.【解析】(1)∵-1<a<0,b>1,∴＝|a+1|-|a-2b|=1+a-2b+a=2a-2b+1.(2)∵
,∴
,p=2016-6
+9q,∴p=14x3(其中x為正整數(shù)),同理可得:q=14y2（其中y為正整數(shù)）,則x+3y=12(x、y為正整數(shù))∴,∴整數(shù)對(duì)有(p,q)=(14
81,14
),或(14
,或(
)。∴滿足條件的整數(shù)對(duì)有3對(duì).(3)①當(dāng)交點(diǎn)在三角形內(nèi)部時(shí)(如圖1),在四邊形AFOE中,∠AFC=∠AEB=90°,∠A=50°,根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°得,∠EOF=180°-∠A=180°-50°=130°,故∠BOC=130°;②當(dāng)交點(diǎn)在三角形外部時(shí)（如圖2）,在△AFC中,∠A=50°,∠AFC=90°,故∠1=180°-90°-50°=40°,∵∠1=∠2,∴在△CEO中,∠2=40°,∠CEO=90°,∴∠EOF=180°-90°-40°=70°,即∠BOC=50°,綜上所述:∠BOC的度數(shù)是130°或50°.故答案是:(1).2a－2b＋1(2).3(3).130°或50°.15.15【解析】根據(jù)題意,由a﹣b=2+,b﹣c=2﹣,兩式相加得,得到a﹣c=4,然后根據(jù)配方法,把式子各項(xiàng)變?yōu)?a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=====15.故答案為:15.解析:15【解析】根據(jù)題意,由a﹣b=2+
,b﹣c=2﹣
,兩式相加得,得到a﹣c=4,然后根據(jù)配方法,把式子各項(xiàng)變?yōu)?a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=
=
=
=
=15.故答案為:15.16.【解析】=，故答案為.解析：【解析】=，故答案為.17.【解析】試題解析:(5,4)表示第5排從左向右第4個(gè)數(shù)是:,(9,4）表示第9排從左向右第4個(gè)數(shù),可以看出奇數(shù)排最中間的一個(gè)數(shù)都是1,第9排是奇數(shù)排,最中間的也就是這排的第5個(gè)數(shù)是1,那么第解析：【解析】試題解析:(5,4)表示第5排從左向右第4個(gè)數(shù)是:
,(9,4)表示第9排從左向右第4個(gè)數(shù),可以看出奇數(shù)排最中間的一個(gè)數(shù)都是1,第9排是奇數(shù)排,最中間的也