PAGEPAGE1三角恒等變換專題復(fù)習(xí)教學(xué)目標(biāo):1.能
利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出
的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式;2、理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:

；3.可熟練運(yùn)用三角函數(shù)見的基本關(guān)系式解決各種問題。教學(xué)重難點(diǎn):可熟練運(yùn)用三角函數(shù)見的基本關(guān)系式解決各種問題【基礎(chǔ)知識(shí)】一、同角的三大關(guān)系:①倒數(shù)關(guān)系tan
?cot
=1②商數(shù)關(guān)系
=tan
;
=cot
=3\*GB3③平方關(guān)系溫馨提示:(1)求同角三角函數(shù)有知一求三規(guī)律,可以利用公式求解,最好的方法是利用畫直角三角形速解。[來源:學(xué)+科+網(wǎng)](2)利用上述公式求三角函數(shù)值時(shí),注意開方時(shí)要結(jié)合角的范圍正確取舍"
"號(hào)。二、誘導(dǎo)公式口訣:奇變偶不變,符號(hào)看象限用誘導(dǎo)公式化簡,一般先把角化成
的形式,然后利用誘導(dǎo)公式的口訣化簡（如果前面的角是90度的奇數(shù)倍,就是“奇”,是90度的偶數(shù)倍,就是“偶”;符號(hào)看象限是,把
看作是銳角,判斷角
在第幾象限,在這個(gè)象限的前面三角函數(shù)的符號(hào)是“+”還是“--”,就加在前面）。用誘導(dǎo)公式計(jì)算時(shí),一般是先將負(fù)角變成正角,再將正角變成區(qū)間
的角,再變到區(qū)間
的角,再變到區(qū)間
的角計(jì)算。三、和角與差角公式:;;變用±=(±)(1)四、二倍角公式:=..五、注意這些公式的來弄去脈這些公式都可以由公式推導(dǎo)出來。六、注意公式的順用、逆用、變用。如:逆用

變用七、合一變形(輔助角公式)把兩個(gè)三角函數(shù)的和或差化為“一個(gè)三角函數(shù),一個(gè)角,一次方”的
形式。
,其中
．八、萬能公式九、用
,
表示
十、積化和差與和差化積積化和差
;
;；.和差化積十一、方法總結(jié)1.三角恒等變換方法觀察(角、名、式)→三變(變角、變名、變式)（1）“變角”主要指把未知的角向已知的角轉(zhuǎn)化,是變換的主線,如α=(α+β)－β=(α－β)+β,2α=(α+β)+(α－β),2α=(β+α)－(β－α),α+β=2·eq\f(α+β,2),eq\f(α+β,2)=(α－eq\f(β,2))－(eq\f(α,2)－β)等.(2)"變名"指的是切化弦(正切余切化成正弦余弦
)
,（3）“變式’指的是利用升冪公式和降冪公式升冪降冪,利用和角和差角公式、合一變形公式展開和合并等。2.恒等式的證明方法靈活多樣①從一邊開始直接推證,得到另一邊,一般地,如果所證等式一邊比較繁而另一邊比較簡時(shí)多采用此法,即由繁到簡.②左右歸一法,即將所證恒等式左、右兩邊同時(shí)推導(dǎo)變形,直接推得左右兩邊都等于同一個(gè)式子.③比較法,即設(shè)法證明:"左邊－右邊=0"或"eq\f(左,右)=1";④分析法,從被證的等式出發(fā),逐步探求使等式成立的充分條件,一直推到已知條件或顯然成立的結(jié)論成立為止,則可以判斷原等式成立.【例題精講】例1已知
為第四象限角,化簡:
解:（1）因?yàn)?為第四象限角所以原式=例2已知
,化簡
解：
,
所以原式=例3tan20°+4sin20°解:tan20°+4sin20°=
=例4(05天津)已知
,求
及
.解:解法一:由題設(shè)條件,應(yīng)用兩角差的正弦公式得
,即
①由題設(shè)條件,應(yīng)用二倍角余弦公式得故
②由①和②式得
,
因此,
,由兩角和的正切公式
解法二:由題設(shè)條件,應(yīng)用二倍角余弦公式得
,解得
,即
由
可得
由于
,且
,故(在第二象限于是
,從而以下同解法一小結(jié):1.本題以三角函數(shù)的求值問題考查三角變換能力和運(yùn)算能力,可從已知角和所求角的內(nèi)在聯(lián)系(均含
)進(jìn)行轉(zhuǎn)換得到.2.在求三角函數(shù)值時(shí),必須靈活應(yīng)用公式,注意隱含條件的使用,以防出現(xiàn)多解或漏解的情形.例5已知
為銳角
的三個(gè)內(nèi)角,兩向量
,

,若
與
是共線向量.(1)求
的大小;(2)求函數(shù)
取最大值時(shí),
的大小.解:(1）



,(2)


,
.小結(jié)：三角函數(shù)與向量之間的聯(lián)系很緊密,解題時(shí)要時(shí)刻注意
例6設(shè)關(guān)于x的方程sinx＋cosx＋a＝0在(0,2π)內(nèi)有相異二解α、β.(1)求α的取值范圍;(2)求tan(α＋β)的值.解:(1)∵sinx＋cosx＝2(sinx＋cosx)＝2sin(x＋),∴方程化為sin(x＋)＝－.∵方程sinx＋cosx＋a＝0在(0,2π)內(nèi)有相異二解,∴sin(x＋)≠sin＝.又sin(x＋)≠±1(∵當(dāng)?shù)扔诤汀?時(shí)僅有一解),∴|－|<1.且－≠.即|a|<2且a≠－.∴a的取值范圍是(－2,－)∪(－,2).(2)∵α、β是方程的相異解,∴sinα＋cosα＋a＝0①.sinβ＋cosβ＋a＝0②.①－②得(sinα－sinβ)＋(cosα－cosβ)＝0.∴2sincos－2sinsin＝0,又sin≠0,∴tan＝.∴tan(α＋β)＝＝.小結(jié):要注意三角函數(shù)實(shí)根個(gè)數(shù)與普通方程的區(qū)別,這里不能忘記(0,2π)這一條件.例7已知函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞減,試求實(shí)數(shù)
的取值范圍．解:已知條件實(shí)際上給出了一個(gè)在區(qū)間
上恒成立的不等式.任取

,且
,則不等式
恒成立,即

恒成立.化簡得
由
可知：
,所以
上式恒成立的條件為:
.由于且當(dāng)
時(shí),
,所以
,從而,有,故的取值范圍為.【基礎(chǔ)精練】1.已知α是銳角,且sin

＝

,則sin

的值等于()A.

B.－

C.

D.－

2.若－2π＜α＜－

,則

的值是()A.sin

B.cos

C.－sin

D.－cos

3.eq\f(sin(180°＋2α),1＋cos2α)·eq\f(cos2α,cos(90°＋α))等于()A.－sinαB.－cosαC.sinαD.cosα4.已知角α在第一象限且cosα＝

,則

等于()A.eq\f(2,5)B.eq\f(7,5)C.eq\f(14,5)D.－eq\f(2,5)5.定義運(yùn)算

＝ad－bc.若cosα＝

,

＝

,0<β<α<

,則β等于()A.eq\f(π,12)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,3)6.已知tanα和tan(

－α)是方程ax2＋bx＋c＝0的兩個(gè)根,則a、b、c的關(guān)系是()A.b＝a＋cB.2b＝a＋cC.c＝b＋aD.c＝ab7.設(shè)a＝

(sin56°－cos56°),b＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°,c＝

,d＝

(cos80°－2cos250°＋1),則a,b,c,d的大小關(guān)系為()A.a＞b＞d＞cB.b＞a＞d＞cC.d＞a＞b＞cD.c＞a＞d＞b8.函數(shù)y＝

sin2x＋sin2x,x∈R的值域是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)＋\f(1,2)，\f(\r(2),2)＋\f(1,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)－\f(1,2)，\f(\r(2),2)－\f(1,2)))9.若銳角α、β滿足(1＋

tanα)(1＋

tanβ)＝4,則α＋β＝.10.設(shè)α是第二象限的角,tanα＝－

,且sin

<cos

,則cos

＝.11.已知sin(
x)=
,0<x<
,求
的值。12.若
,
,求α+2β。【拓展提高】1.設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(

－

)－2cos2

＋1(1)求f(x)的最小正周期.(2)若函數(shù)y＝g(x)與y＝f(x)的圖像關(guān)于直線x＝1對稱,求當(dāng)x∈[0,

]時(shí)y＝g(x)的最大值2.已知向量a＝(cosα,sinα),b＝(cosβ,sinβ),|a－b|＝

(1)求cos(α－β)的值;(2)若0<α<

,－

<β<0,且sinβ＝－

,求sinα.3.求證:
－2cos(α+β)=
.【基礎(chǔ)精練參考答案】4.C【解析】原式＝

＝eq\f(1＋cos2α＋sin2α,cosα)＝eq\f(2cos2α＋2sinαcosα,cosα)＝2×(cosα＋sinα)＝2×(eq\f(3,5)＋eq\f(4,5))＝eq\f(14,5).5.D【解析】依題設(shè)得:sinα·cosβ－cosα·sinβ＝sin(α－β)＝

.∵0<β<α<

,∴cos(α－β)＝

.又∵cosα＝

,∴sinα＝

.sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinα·cos(α－β)－cosα·sin(α－β)＝

×

－

×

＝

,∴β＝

.6.C【解析】
∴tan

＝tan[(

－α)＋α]＝

＝1,∴－

＝1－

,∴－b＝a－c,∴c＝a＋b.7.B【解析】a＝sin(56°－45°)＝sin11°,b＝－sin40°cos52°＋cos40°sin52°＝sin(52°
－40°)＝sin12°,c＝

＝cos81°＝sin9°,d＝

(2cos240°－2sin240°)＝cos80°＝sin10°∴b＞a＞d＞c.8.C【解析】y＝

sin2x＋sin2x＝

sin2x－

cos2x
＋

＝

sin

＋

,故選擇C.9.

【解析】由(1＋

tanα)(1＋

tanβ)＝4,
可得

＝

,即tan(α＋β)＝

.又α＋β∈(0,π),∴α＋β＝

.10.－

解析：∵α是第二象限的角,∴

可能在第一或第三象限,又sin

<cos

,∴

為第三象限的角,∴cos

<0.∵tanα＝－

,∴cosα＝－

,∴cos

＝－

＝－

.12.【解析
】∵
,
∴

∴
,α+2β
,又tan2β=
,
,[來源:Zxxk.Com]∴α+2β=
【拓展提高參考答案】1.【解析】(1)f(x)＝sin

cos

－cos

sin

－cos

x＝

sin

x－

cos

x＝

sin(

x－

),故f(x)的最小正周期為T＝

＝8(2)法一:在y＝g
(x)的圖象上任取一點(diǎn)(x,g(x)),它關(guān)于x＝
1的對稱點(diǎn)(2－x,g(x)).由題設(shè)條件,點(diǎn)(2－x
,g(x))在y＝f(x)的圖象上,從而g(x)＝f(2－x)＝

sin[

(2
－x)－

]＝

sin[

－

x－

]＝

cos(

x＋

),當(dāng)0≤x≤

時(shí),

≤

x＋

≤

,因此y＝g(x)在區(qū)間[0,

]上的最大值為g(x)max＝

cos

＝

.法二:因區(qū)間[0,

]關(guān)于x＝1的對稱區(qū)間為[

,2],且y＝g(x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝1對稱,故y＝g(x)在[0,

]上的最大值為y＝f(x)在[

,2]上的最大值,由(1)知f(x)＝

sin(

x－

),當(dāng)

≤x≤2時(shí),－

≤

x－

≤

,因此y＝g(x)在[0,

]上的最大值為g(x)max＝

sin

＝

.2.【解析】(1)∵a＝(cos