第09講解直角三角形

知識點1解直角三角形

一、解直角三角形的定義

在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形.解直角三角形只有

兩種情況：已知兩條邊或已知一條邊和一個銳角.

二、解直角三角形的主要依據(jù)

i.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

2.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

3.銳角三角函數(shù)：在直角三角形中，用三條邊的比來表述銳角三角函數(shù)定義，通過銳角三

角函數(shù)可以求出三角形的未知元素.

三、解直角三角形的步驟

1.將實際問題抽象為數(shù)學問題，畫出平面圖形，轉化為解直角三角形的問題，建立適當?shù)?/p>

數(shù)學模型.

試卷第1頁，共18頁

2.根據(jù)條件的特點，適當選用銳角三角函數(shù)，運用直角三角形的有關性質(zhì)，解直角三角形.

3.得到數(shù)學問題的答案，再轉化為實際問題的答案.

四、解直角三角形的注意事項

1.在解直角三角形時，要注意三角形中主要線段的性質(zhì)，利用平面幾何的有關定理，找到

與未知相關聯(lián)的直角三角形.

2.當圖形中沒有直角三角形時，要通過作輔助線構筑直角三角形，作某邊上的高是常用的

輔助線.

3.要注意開掘圖形的幾何性質(zhì)，利用線段和差的等量關系列方程.

4.要熟練地掌握特殊銳角的三角比值，以使解答過程的表述簡潔.

知識點2解直角三角形的實際應用

一、利用直角三角形的性質(zhì)和邊角關系解決實際問題.

這通常需要將實際問題抽象為數(shù)學問題，畫出平面圖形，轉化為解直角三角形的問題，也就

是建立適當?shù)臄?shù)學模型.然后根據(jù)條件的特點，適當選用銳角三角函數(shù)，運用直角三角形的

有關性質(zhì)來解直角三角形，從而得到數(shù)學問題的答案，并進一步得到實際問題的答案.

二、涉及方向角、坡度角、仰角、俯角等問題的題型.

這類問題通常需要根據(jù)題意理清圖形中各角的關系，有時所給的角度并不一定在直角三角形

中，需要用到平行線的性質(zhì)、角的和差關系等知識轉化為所需要的角，或者通過作高或垂線

構造直角三角形，從而將其轉化為解直角三角形的問題.

三、綜合應用題.

這類題目通常涉及多個知識點和多個步驟，需要綜合運用直角三角形的性質(zhì)和邊角關系來解

決.例如，可能會給出一些與直角三角形相關的實際情境，如測量物體高度、計算航行距離、

確定坡度等，然后要求根據(jù)已知條件求出未知量.

sin5=|,

教材習題01如圖，在△/8C中，AD1BC(1)JL8C于點D,/3=10,

33

于點48=10,sin5=-./.AD=ABsinB=10x—=6；

5

試卷第2頁，共18頁

LH攫.

（1）求4D的長；（2）由（1）可得：BD=8,

（2）若BD=2CD,求tanC的值.■：AB=\Q,AD=6,ADIBC,

??BD=yjAB2-AD2=V102-62=8

：BD=2CD,

/.CD=4,

AD63

..tanC==-=—.

CD42

解：如圖，過點尸作PCLZB于點C,

A

教材習題02如圖，一艘海輪位于燈塔P

的北偏東64。方向，距離燈塔200海里的Pr>^L

A島，它沿正南方向航行一段時間后，到

達位于燈塔尸的東南方向上的B島，求M1

A、B兩島之間的距離.（結果保留整數(shù)）

【參考數(shù)據(jù)：sin64°=0.899,在RtZUPC中，//CP=90。，44=64。，

cos64°=0.438,tan64°=2.050].,PCAC

sinA=----,cosAA=-----,

APAPA

PC=&?sin/=200x0.899=179.8（海里）,

NC=PZ?cos/=200x0.438=87.6（海里），

:N在RtZXBPC中，NBCP=9Q°,ZB=45°,

：.BC=PC=179.8（海里），

：.AB=AC+BC=87.6+179.8=267.4?267

（海里），

；.A、B兩島之間的距離約為267海里.

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解：如圖，連接CE并延長，交4B

于點G,設/G=x

教材習題03某校數(shù)學興趣小組學完“三角函數(shù)的應

用”后，在校園內(nèi)利用三角尺測量教學樓N8的高度,

如圖，小明同學站在點。處，將含45。角三角尺的一

條直角邊水平放置，此時三角尺的斜邊剛好落在視線由題意可知，四邊形CD/7E,四邊

C4上.沿教學樓向前走7.7米到達點廠處，將含30。形CDBG是矩形，

角三角尺的短直角邊水平放置,此時三角尺的斜邊也,-.BG=CD=1.6,DF=CE=7.7,

剛好落在視線EA上.已知小明眼睛到地面的距離為NCGB=9?！?

1.6米，求教學樓的高度.（點。，F(xiàn),B在同一"AGE=90°.

在RL/CG中，ZACG=45°,

水平線上.結果精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：石。1.73,

ZCAG=ZACG=45°.

72?1.41）

*'.CG=AG=x.

EG=CG—CE=x—7.7.

在Rta/￡G中，ZAEG=60°,

tanZAEG=—

EG

??EG=——x.

3

,77g

??x-7.7=——x?

3

23.123.1

解得,X=-------r=?-?--1--8--.-2----

3-V33-1.73

??./3=4G+3G=18.2+1.6=19.8

（米）

答：教學樓45的高約為19.8米.

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解：如圖，過點8作于點￡,過

點。作于點尸，交BL于點、G,

過點。作于點J,交BE于點、

_____________C不先垢

一;大化飯

教材習題04圖1為某大型商場的自動扶梯，圖H.3X%B\G%J而

2中的N8為從一樓到二樓的扶梯的側面示圖，MAEFN地面

小東站在扶梯起點A處時，測得天花板上日光燈四邊形BEFG,4VF是矩形，

C的仰角為37。，此時他的眼睛。與地面的距離

???48的坡度比為1:2,BE=3V5m,

AD=1.7m,之后他沿一樓扶梯到達頂端B后又

AE=6>/5m.

沿向正前方走了1m,發(fā)現(xiàn)日光燈

根據(jù)題意，得：BG=\m,NCDJ=37。,

C剛好在他的正上方.已知自動扶梯N8的坡度

/.EF=BG=Im,AD=FJ=1.7m,

比為1:2,頂端3到一樓地面的高度是3如m.求

AF=DJ,

日光燈C到一樓地面的高度.（結果精確到

AF^AE+EF^(6A/5+l)m,

0.1m.參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.6,cos37°?0.8,

.?.DJ=(6>/5+l)m.

tan37°?0.75,75?2.24）

在RL^CD/中，

tanZC￡>J=—=tan37°,

DJ

圖1圖2C7=A7?tan37°=(6石+l)x0.75?10.83m

??.C尸=G/+7V=10.83+1.7p12.5m.

.??日光燈c到一樓地面的高度約為

12.5m.

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aa

B.a-colaC.D.

COSOfsina

4

2.如圖，RtZ\/3C中，ZACB=90°,CD1AB,^AC=4,cos/=,則8。的長度為

3

3.如圖，在A48C中，NB=45。，tanC=-,AD/BC于點D,若40=6,求8c的長.

考點二、解非直角三角形

4.如圖，在四邊形中，ZABC=ZADC=90°,AB=7,BC=9,CD=3,則四邊形

5.如圖，在四邊形N8CD中，連接NC、BD,AABD=ABCD=90°,ZDAB=60°,

BC=CD,則tanZACD的值為

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D

(1)求的面積；

(2)求48的值；

(3)求COS//BC的值.

考點三、解直角三角形的應用-仰角、俯角問題

7.2025年4月24日17時17分，搭載“神舟二十號”載人宇宙飛船的長征二號廠遙運載火

箭在酒泉衛(wèi)星中心點火發(fā)射.如圖，當火箭上升到點/處時，位于海平面8處的“遠望六號”

測量船測得點B到點C的距離為m千米,仰角為則此時火箭距海平面的高度/C為

）

D

A.千米B.mtana千米C.mcosa千米-。千米

tana

8.如圖，。，R是同一水平線上的兩點,無人機從。點豎直上升到A點時，測得A到R點

的距離為40m,R點的俯角為24.2。，無人機繼續(xù)豎直上升到8點，測得五點的俯角為

36.9°.則無人機從A點到8點的上升高度為（精確到0.1m）.參考數(shù)據(jù)：

sin24.2°~0.41,cos24.2°?0.91,tan24.2°?0.45,sin36.9°~0.60,cos36.9°?0.80,

tan36.9°?0.75.

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5;'<36:95

牛式斗汴:、

40市'、、、、'

--------------*R

9.隨著科技的發(fā)展，無人機在實際生活中應用廣泛.如圖，。，C是同一水平線上的兩點,

無人機從。點豎直上升到/點，在/點測得C點的俯角為30。，A,C兩點的距離為

24m.無人機繼續(xù)豎直上升到8點，在8點測得C點的俯角為36.9。.求無人機從/點到8

點的上升高度（結果精確到0.1m）.（點。A,B,C在同一平面內(nèi)，參考數(shù)據(jù)：

sin36.9°a0.60,cos36.9°拉0.80,tan36.9°?0.75,^3?1.73)

考點四、解直角三角形的應用-方位角問題

10.如圖，海中一漁船在/處且與小島C相距7海里，若該漁船由西向東航行3海里到達2

處，此時測得小島C位于8的北偏東30。方向上，則該漁船此時與小島C之間的距離是

()

C.5海里D.5.5海里

11.如圖，巡邏船和漁船同時從港口A出發(fā)，巡邏船向港口A的正西方向航行，漁船向港口

A的北偏西60。方向航行，漁船航行30海里到達C處時發(fā)生故障求救，巡邏船在8處收到

漁船的求救信號，此時漁船在巡邏船的北偏東48。方向，則8,C之間的距離為海里

（精確到0。海里）.（參考數(shù)據(jù)：sin48°?0.74,cos48°?0.67,tan48°?1.11）

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北

12.【綜合與實踐】

煙臺山燈塔被譽為“黃海夜明珠”，它坐落在煙臺山上，為過往船只提供導航服務.為了解漁

船海上作業(yè)情況，某日，數(shù)學興趣小組開展了實踐探究活動.

如圖，一艘漁船自東向西以每小時10海里的速度向碼頭A航行，小組同學收集到以下信息、:

碼頭A在燈塔B北偏西14。方向

位置信

14：30時，漁船航行至燈塔8北偏東53。方向的。處

息

15：00時，漁船航行至燈塔B東北方向的。處

天氣預受暖濕氣流影響，今天17：30到夜間，碼頭A附近海域?qū)⒊霈F(xiàn)濃霧天氣.請注

壑意防范.

(1)求漁船在航行過程中到燈塔3的最短距離；

(2)若不改變航行速度，請通過計算說明漁船能否在濃霧到來前到達碼頭A(參考數(shù)據(jù)：

sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75,sin14°?0.24,cos14°a0.97,

tan14°?0.25).

考點五、解直角三角形的應用-坡度、坡比問題

13.如圖，在坡角為1的山坡上有/、2兩棵樹，兩樹間的坡面距離=6米，則這兩棵樹

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的豎直距離可表示為（）

D.—^―米

C.6cosa米

smacosa

14.為了提高地下車庫出入口車輛的通行效率，車牌識別系統(tǒng)被廣泛應用.如圖1是生活中

某一地下車庫，出口為斜坡，圖2是其側面示意圖.43為斜坡，坡角為30。，車牌識別設

備的攝像頭在立柱。8的點。處，可識別的最大范圍DR與立柱的夾角為45。，立柱

的高度為L5m,且立柱。5垂直于車庫地面，點、D,B,C均在同一直線上，則有效識別區(qū)

域點尸到點2的距離約為m.（結果精確到1m,參考數(shù)據(jù)：也al.73）

圖1

15.如圖，一架無人機靜止懸浮在空中P處，小明在山坡/處測得無人機的仰角為45。，小

亮在水平地面C處測得無人機的仰角為53。，已知山坡的坡度i=l:2.4,A處到地面8c

的距離為10米，水平地面3c長為30米.

（1）求山坡的長；

_4

⑵求此時無人機離地面的高度尸Q的長（精確到0.1米）.（參考數(shù)據(jù)：sin53°?-,

43

tan53°?—,cos53°）

35

考點六、解直角三角形的最值問題

16.如圖，在矩形中，4B=5,BC=5。，點尸在線段3c上運動（含2、C兩點）,

將點尸繞點/逆時針旋轉60。到點。,連接。。，則線段。。的最小值為（）

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e

-------------------1c

55C

A.-B.5>/2C.把D.3

23

17.如圖，菱形48CZ）中，NB4D=60。，點、E為4B上一點,點F為BC上一動點、,點G

為對角線NC上一動點，當GE+G尸取得最小值為6時，則8E+B尸的值是.

18.【問題原型】如圖①，在RtZ\/8C中，ZBAC^90°,AB^AC=4.點。是8c邊上的一

個動點，連結將線段繞點/逆時針旋轉90。得到線段/E.點尸是邊/C的中點,

連結￡尸，求線段斯的最小值.

【問題解決】如圖②，將圖①中的點尸繞點/順時針旋轉90。至點G,易知點G恰好為線

段48的中點，連結。G.

（1）求證：DG=EF.

（2）若求線段E尸的最小值，即求線段。G的最小值.由于點。是5c邊上的一個動點，所

以作GH,8c于點X,線段G8的長即為訪的最小值，則這個最小值為,這樣做依

據(jù)的是（填序號）；

①兩點之間，線段最短；

②直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短；

③過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

【類比應用】如圖③，等邊三角形/8C的邊長為4,點￡是中線上的動點，連結CE,

將CE繞點C逆時針旋轉60。得到線段CF,連結。尸.當。尸取得最小值時，△CD廠的周長

為.

試卷第11頁，共18頁

考點七、無刻度尺網(wǎng)格作圖

19.如圖是由小正方形組成的6x6網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點/,&是格點，C是

網(wǎng)格線上一點.僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成如下兩個問題，每問的畫線不得超過四

(1)在圖(1)中，先在NC上畫點D,使ZADB=ZA；再在上畫點E,使NCDE=N4.

(2)在圖(2)中，先在8c上畫點尸，使tan/A4尸=g；再畫△4BC的高CG.

20.如圖，是由邊長為1的小正方形構成的網(wǎng)格，各個小正方形的頂點稱之為格點，點A、

C、E、尸均在格點上，根據(jù)不同要求，選擇格點，畫出符合條件的圖形；

(1)在圖1中，畫一個以/C為直角邊的等腰Rt4/BC；并用無刻度的直尺畫出斜邊的中

線CZ)(保留作圖痕跡).

(2)在圖2中，畫一個以所為一邊的AZ郎，使tanNEZ)P=J,并直接寫出線段。尸的長.

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21.圖1、圖2、圖3、圖4、圖5均為7x4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1,每

個小正方形的頂點叫做格點，點/、B、C、。都是格點.

⑴如圖1,連接48、CD交于點E,則▼的值為；

BE

(2)僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖(保留作圖痕跡并用2B鉛筆或黑色

水筆加黑加粗，不寫作法).

AP7

①如圖2,在線段上確定一點尸，使羌=：；

②如圖3,將線段繞點8順時針旋轉90。得到線段8尸，在線段3尸上確定一點。，使

4

tanZBAQ=—；

③如圖4,在/C上確定一點X,使“GHsUBC；

1Q

④如圖5,在5c上確定一點使的面積為亍.

知識導圖記憶

試卷第13頁，共18頁

22.如圖是梯子兩梯腿張開的示意圖，/8=/C=2米，梯腿與地面的夾角=則

梯子頂端離水平地面的高度可表示為（）

C.2米D.2米

A.2sin。米B.2cos。米

sint/cosy

23.如圖，48為垂直于地面放置的竹竿,/B=切米,當太陽光線與竹竿所夾銳角為a時,

竹竿在地面上的影子BC長為（）

m、,，

A.加米B.m-sintz米C.旦米D.------米

tanacosa

24.如圖是正六邊形與矩形疊拼成的一個組合圖形，若正六邊形的邊長為2,那么矩形的面

積是（）

A.12B.873C.16D.12^/3

25.如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形/8C,其中=ZABC=21°,

BC=44cm,則高NO約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin27°?0.45,cos27°?0.89,tan27°?0.51）

A.9.98cmB.11.22cmC.19.58cmD.22.44cm

試卷第14頁，共18頁

26.如圖，在中，AD1BC,垂足為。，￡為4。的中點，連接?！?若

()

C.4D.8

3

27.如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡的坡角為二，sina=~,堤壩高5C=12m,則迎水坡

此斜坡的坡面長45=50m,斜坡的坡角是/"C,若

2

sinZBAC=-f則坡頂8離地面的高度3C為m

29.如圖，在三角形中，以點A為圓心畫弧，交線段3C于點E和點八分別以點E,F

為圓心，以大于gEF的長為半徑畫弧，兩弧交于點直線NM交線段8c于點。.若

cosC=1-,AB=5,AC=3,則AD的長為.

30.《海島算經(jīng)》是中國古代測量術的代表作，原名《重差》，這本著作建立了從直接測量到

間接測量的橋梁，直至近代，重差測量法仍有借鑒意義.某實踐小組利用重差法測量海島上

試卷第15頁，共18頁

一座山峰45的高度，分別在C,。兩點觀察山頂點A,測得仰角分別為45。，26.5°,同時

測得CD長為200米，則山峰的高度約為___米.仁山26.5。=0.45,cos26.5°?0.89,

tan26.5°?0.50）

A

31.如圖，在口/BCD中，點E為2C的中點，點尸在邊CD上，NE”=60。，CF=3DF,

AB=—,AF=4,則4E的長為.

7

32.圖1是一盞臺燈的照片，圖2是其示意圖.臺燈底部立柱CD（與桌面兒W垂直）的高

為6cm,支架2C長為20cm,支架N8長為25cm.若支架48,的夾角為106。，支架BC

與底部立柱的夾角為150。，求臺燈的旋鈕/到桌面的距離（精確到1cm）.（參考數(shù)

33.2022年11月29日，搭載神舟十五號載人飛船的運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)

射.運載火箭從發(fā)射點。處發(fā)射，當火箭到達/處時、在地面雷達站C處測得點/的仰角

為30。，在地面雷達站3處測得點/的仰角為45。.已知/C=20km,。、B、C三點在同一

條直線上，求8、C兩個雷達站之間的距離（結果精確到0.01km,參考數(shù)據(jù)上.1.732）.

試卷第16頁，共18頁

34.在綜合實踐活動中，為了測得摩天輪的高度CF,在/處用高為1.6米的測角儀/。測

得摩天輪頂端C的仰角a=37。，再向摩天輪方向前進30米至2處，又測得摩天輪頂端C

的仰角￡=50。.求摩天輪CF的高度.(結果精確到0.1米)

(參考數(shù)據(jù):sin37°=0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75,sin50°?0.77,cos50°~0.64,

tan50°~1.19)

(1)求菱形4BCD的面積；

⑵求2D的長.

36.定義：如果四邊形的某條對角線平分一組對角，那么這個四邊形叫做“等分對角四邊

形”，這條對角線叫做這個四邊形的“等分線”.

試卷第17頁，共18頁

圖①圖②圖③

(1)如圖①，在四邊形23C。中，AB=AD,CB^CD,試判斷四邊形是否為“等分對

角四邊形”，并說明理由；

(2)如圖②，四邊形48CD是“等分對角四邊形”，/C是“等分線”，AC,8。交于點O,E

是NC下方一點，且AE4CSAB4D,延長AB交CE于點尸，猜想C尸與EF的數(shù)量關系，并

說明理由；

(3)如圖③，在(2)的條件下，連接。尸，若四邊形瓦是“等分對角四邊形”，2C是“等

分線”，當四邊形NOCE的一組對邊平行時，記尸的面積為H，四邊形/OCE面積為

$2,求］的值.

試卷第18頁，共18頁

1.D

【分析】本題考查了解直角三角形，熟練掌握解直角三角形是解題的關鍵.根據(jù)題意畫出示

意圖，再利用銳角三角函數(shù)的定義即可解答.

?.?4=90°,

Be

在RtA^C中，sin=-----=sina,

J4.C

sinasina

故選：D.

2-i

NN的鄰邊

【分析】本題考查余弦的定義，掌握cos/=表示工。和的長是解題的關鍵,

斜邊

根解直角三角形的方法求解即可.

ADAC

【詳解】解…。s/=一方

416AB=-^-A

AD=AC-cosA=4x—=cosA

55

169

：.BD=AB-AD=5——=-

55

o

故答案為：—

3.16

【分析】本題考查了解直角三角形，熟練掌握正切的定義是解題的關鍵.

先根據(jù)正切的定義得出的長，再利用NC的正切值得出的長，再計算助+C。即可.

【詳解】解：???4。，5。,/5=45。，

tanB==1,

BD

??,AD=6,

BD=6,

答案第1頁，共29頁

???tanC1=絲

5CD

.-.0)=10,

,-.BC=BD+CD=6+10=16.

4.A

【分析】連接AC,利用勾股定理求出AC,再根據(jù)%.=巨雄+用應進行計算即可求出

結果.

【詳解】解：連接4C,如圖所示

A3=J應+透=切+4=7130

-ZADC=90°,CD=3

AD=A/加-B=Vl30-32=Vl2i=11

?e_eiQ

…Ta刀—丁

=-x11x3+-x7x9=48

22

二四邊形/8C。的面積為48

故選：A.

【點睛】本題主要考查了四邊形面積，解直角三角形的應用，勾股定理等知識，解題的關鍵

是學會巧妙添加輔助線，構造直角三角形解決問題.

5.V3+1

【分析】延長交于點E,過點A作/尸，。于點尸，根據(jù)直角三角形邊角關系，等

腰三角形的性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)的定義，進行計算即可.

【詳解】解：如圖，延長DC相交于點E,過點A作/尸，CD于點尸，

答案第2頁，共29頁

D

???ZCDB=/CBD=45°,

?：/ABD=/BCD=90°,ZDAB=60°,

??.ZADB=30°,

???乙4?！?30。+45。=75。，

ZDAF=90°-75°=15°f

ZFAB=60°-15°=45°f

:?XAFE,ABCD,是等腰直角三角形,

設=則/。=2〃，BD=BE=y/ia,/￡=45+BE=（百+1）。,

:?CE=—BE=—a,EF=-AE=痛+血。,

2222

心+匈。46a_V2

-FC=EF-EC=-------------------------=-----a

V6+V2

.■AanZACD=—=—2=——=有+1,

FCV2

----Q

2

故答案為：V3+1.

【點睛】本題考查解直角三角形.正確的添加輔助線，構造直角三角形，熟記直角三角形的

邊角關系，是解題的關鍵.

6.(1)12

(2)275

⑶?

【分析】(1)過點/作NDLBC,根據(jù)NC的正切值確定NC的度數(shù)，再利用直角三角形的

邊角間關系求出40、CD,最后利用三角形的面積公式算出ANBC的面積；

(2)先利用線段的和差關系求出8。，然后在此△45。中利用勾股定理求出/8；

答案第3頁，共29頁

(3)在此中利用直角三角形的邊角間關系求出的余弦值.

【詳解】(1)解：過點/作垂足為。，

???/ADC=/ADB=90。，

??,”為銳角且tanC=l,

.-.ZC=45°,

ZDAC=90°-ZC=45°,

ZDAC=ZC=45°,

??.AD=DC,

在RMACD,

sinC=——,AC=4y[2，

AC

5

???DC=AD=AC^smC=442x—=A,

2

BC=6,

S/\ABC=-BC*AD=-x6x4=n.

22

??.△4BC的面積為12.

(2)-DC=AD=4,BC=6,

：,BD=BC—DC=6—4=2,

在心△ZB。中,

AB=dAD?+BD?=V42+22=25

???的值為2石.

(3)在出中，AB=25BD=2,

…/4R「_BD_2_V5

cos/A.BC-———=

AB2755

cosZABC的值為

5

答案第4頁，共29頁

【點睛】本題主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關系、特殊角的三角函數(shù)值、

三角形的面積公式及勾股定理是解題的關鍵.

7.B

【分析】本題考查解直角三角形的應用.根據(jù)正切函數(shù)的定義求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，ZC=90°,=加千米，

由tana=----得/C=AB-tana=mtana千米,

BC

故選：B.

8.10.9m

【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，先解RM/OR求出04OR的長度，再

解RSBOT?求出08的長度即可得到答案.

【詳解】解：由題意可知，ZORB=36.9°,ZORA=24.2°,

在RtA/07?中，AR=40m,ZORA=24.2°,

OA=AR-sinZORA=40-sin24.2°?16,4m,OR=AR-cosXORA=40-cos24.2°?36.4m,

在RtABOR中，

OB=OR-tan/ORB=36.4-tan36.9°?27.3m,

AB=OB—OA=27.3-16.4=10.9m,

二無人機上升高度約為10.9m,

故答案為：10.9m.

9.無人機從/點到2點的上升高度48為3.6m

【分析】本題考查解直角三角形的實際應用，解RM/0C,求出40,。。的長，解RMB。。,

求出2。的長，利用線段的和差關系求出的長即可.熟練掌握三角函數(shù)，是解題的關鍵.

【詳解】解：由題意得：ZAOC=90°,ZACO=30°,ABCO=36.9°,/C=24.

在RM/OC中，ZACO=30°,AC=24,

:.AO=^AC=12,OC=ylAC2-AO2=7242-122=12A/3-

在RSBOC中，NBC。=36.9°,

/.BO=CO-tanNBCO=COtan36.9°q12岳0.75=9百，

=80-/0=9。-12。9x1.73-12=3.57。3.6（m）

答：無人機從/點到2點的上升高度為3.6m.

答案第5頁，共29頁

10.c

【分析】本題考查了解直角三角形的應用■方向角問題，過點。作CCZ3于點。，由題

意得NBCD=30。,設8C=x,解直角三角形即可得到8。=8C-sin30。=、

A1

CD=BCcos30°=—x./D=3+:x,根據(jù)“/。2+。2=/。2,,列方程求解可得.

22

【詳解】解：過點C作CD_L48于點。，

由題意得/BCD=30°,設BC=x,

1/7

在RtABCD中，BD=BC-sin30°=-x,CD=BC-cos30°=-x,

22

AD=AB+BD=3H—x,

2

■■AD2+CD2AC2,

解得：尤=5（負值舍去），

即漁船此時與C島之間的距離為5海里.

故選：C.

11.22.4

【分析】本題考查了解直角三角形的應用，過點C作CDL/8于點。，求得

/BCD=NCBF=48。,NACD=NCAE=60。，再解直角三角形進行計算即可，構造正確的

直角三角形是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，過點C作CDL/8于點D,

答案第6頁，共29頁

北

由題意可得4c=30海里，EALAB.FBLAB,

-CD1AB,

.-.FB//CD//EA,

；"BCD=/CBF=48°,ZACD=ZCAE=60°,

在RtzX/CZ)中，CD=^Ccos60°=15(海里)，

CD

在RtASCQ中，BC=——?22.4(海里).

cos48°

故答案為:22.4.

12.(1)漁船在航行過程中到燈塔8的最短距離為15海里

(2)不改變航行速度，漁船能在濃霧到來前到達碼頭A

【分析】本題考查了解直角三角形的應用，構造直角三角形是解題的關鍵；

(1)過點B作BEL4C于點E,設BE=x,根據(jù)題意得出EC=ED+DC=x+5,解

4

Rt^BCE,得出EC=gx,建立方程，即可求解；

(2)求得/￡的距離，計算NC的距離，根據(jù)路程除以速度得到航行時間，結合題意，即可

求解.

【詳解】(1)解：如圖，過點8作BE以C于點E,

設BE=x,

依題意，NEBC=53°,ZEBD=45°,CZ)=10x-=5,

一2

：.NC=9Q°-ZEBC=37°,ED=x,

EC=ED+DC=x+5,

答案第7頁，共29頁

BExx4

在RM5CE中,EC=

tanC~tan37°0/753

.-.-x=x+5,

3

解得：x=15,

???漁船在航行過程中到燈塔B的最短距離為15海里;

(2)解：在中，NABE=14°,BE=15,

/E=BEtan14°合15x0.25=3.75,

.-.AC=AE+DE+DC^15+3.75+5^23.75,

23.75+10=2.375小時=142.5分鐘，

從14：30,經(jīng)過142.5分鐘是16：52：30,在17:30之前到達，

???不改變航行速度，漁船能在濃霧到來前到達碼頭A.

13.A

【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，根據(jù)題意可得=a,ZACB=90°,

則BC=AB-sinZBAC=6sina米.

【詳解】解：在RtZ\48C中，ZBAC=a,ZACB=90°,

BC=AB-sinZBAC=6sina米，

故選：A.

14.4

【分析】本題考查了解直角三角形的應用，先過點尸作尸打LCD于點X,得

NBFH=NBAC=30°,則￡>"=""=xm,故3〃=,把數(shù)值代入

tan450'

8"=尸tan30。進行計算，即可作答.

【詳解】解：如圖，過點尸作尸于點凡

貝lj2FHD=90°,

???ZACD=90°,

FH//AJ,

ZBFH=ABAC=30°,

答案第8頁，共29頁

^FH=xm,

…FH

DH=------=xm,

tan45°

57/=(x-1,5)m,

h

貝！J5〃=燈/?tan30。=Jxm,

3

?，,x—1.5———■x,

3

解得x=2±￡Im,

4

即FH二21￡lm,

4

FH

BF=---------?4m,

cos30°

.??有效識別區(qū)域點尸到點B的距離約為4m.

故答案為：4

15.⑴山坡的長為26米

(2)此時無人機離地面的高度P