課后訓(xùn)一幾何法求空間角、空間距離-

日期：2025.時(shí)長：50-60分鐘/次

【題組一異面直線所成角】

1.（2025?青海玉樹,模擬預(yù)測）如圖，在正方體中，E是3C的中點(diǎn)，則異面直線

和QE所成角的大小為.

【答案】45/￡

4

【分析】連接AR、AE,DE,設(shè)正方體AHR-ABCR的棱長為2,推導(dǎo)出物//Bg,則異面直

線BG和RE所成角為或其補(bǔ)角，求出△ARE各邊邊長，利用余弦定理可求得角N4RE的大

小，即為所求.

【解析】如下圖所示，連接4。、AE,DE,設(shè)正方體ABC。-4qQR的棱長為2,

因?yàn)锳BHCR且A8=GR,則四邊形ABCXDX為平行四邊形，取AD、IIBC、,

所以，異面直線BG和QE所成角為NAQE或其補(bǔ)角，

因?yàn)锳E=JAB?+BE。=1級(jí)+f=#,同理可得A2=2&,DE=A,

由勾股定理可得，E=y/DD^+DE2=@+5=3,

由余弦定理可得cosZADE=叫:代|彥=4，

t2AD、?D、E2

所以，/ARE=45,故異面直線8G和所成角的大小為45.

故答案為：45.

2.（23-24高一下,貴州貴陽,期末）如圖，在四面體ABCD中，平面3C。，M是AD的中點(diǎn)，P

是3M的中點(diǎn)，點(diǎn)。在線段AC上，且AQ=3QC.

C

⑴求證：尸?！ㄆ矫?CZ）.

⑵若三角形BCD為邊長為2的正三角形，BD=DA,求異面直線地和AC所成角的余弦值.

【答案】⑴證明見解析

(2)半

【分析】（1）取3D中點(diǎn)。，CO靠近C的四等分點(diǎn)H,利用平行線分線段成比例判定線線平行即可

證明線面平行；

（2）取CO的中點(diǎn)E,將異面直線化為共面直線，解三角形即可.

【詳解】（1）如圖所示，取3。中點(diǎn)0,且尸是中點(diǎn)，

0OP//DM,2OP=DM,

取CD的四等分點(diǎn)X,使DH=3CH,且AQ=3QC,

團(tuán)QH//DAAQH=AD,

02QH=MD=2PO,QHIIPO,

0四邊形。尸。”為平行四邊形，

mQP//OH,尸。在平面BCD外，且OHu平面BCD,

第2頁

0尸?！ㄆ矫鍮CD.

（2）取CO的中點(diǎn)E,連接ME,易知ME//AC,

則或其補(bǔ)角為異面直線BM和AC所成的角,

因?yàn)锳D_L平面BCD,8￡>,C￡>u平面BC。，

所以A￡）_L3￡>,AD_LCD,觀BM=下,EM=應(yīng),BE=拒,

^EM2+BE2=BM2,所以△班以為直角三角形，

通過解三角形可得cosNBME=亞=叵,

BM5

即異面直線B河和AC所成角的余弦值為強(qiáng).

5

3.（2025高三?湖南益陽?期末）已知長方體A8CD-AqGR中，A2=至=2,AD=3,點(diǎn)￡為棱A3

的中點(diǎn)，則異面直線4瓦4c所成角的余弦值為.

【答案】近金底

6565

【分析】延長AB,DC,構(gòu)造一個(gè)與ABCD-全等的長方體BG8C一gMNG，取點(diǎn)尸為棱3G

的中點(diǎn)，可得NCBF（或其補(bǔ)角）為異面直線AE4c所成角，在8。尸中由余弦定理可得答案.

【解析】如圖所示，在長方體ABCD-AqGR中，延長AB,DC,構(gòu)造一個(gè)與ABCD-4片如R全等

的長方體BG8C一gMNG,

且點(diǎn)F為棱BG的中點(diǎn)，所以4&/87，所以NCB/（或其補(bǔ)角）為異面直線耳及4c所成角，

22

由題意得4C=上,4/=6,CF=何，所以由余弦定理得CF=BXF~+BtC-2B,F.qCcos/CB7,

所以cosZCB.F=生叵.

165

故答案為：生畫.

65

【題組二點(diǎn)面距離】

4.（23-24高一下.新疆阿克蘇?期末）如圖，直三棱柱ABC-ABG中，AB=BC=CA=2,AAt=2,N

為AB的中點(diǎn).

⑴求證：AC"/平面NBtC.

（2）求A到平面NgC的距離.

【答案】（1）證明見解析.

⑵孚,

【分析】（1）連接BG交gC于點(diǎn)0,連接N0,利用中位線定理證明NO//AG，由線面平行的判定

定理證明即可；

（2）設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為1,利用等體積法匕一網(wǎng)c=%-3c,結(jié)合錐體的體積公式求解即可.

【詳解】（1）連接8G交與C于點(diǎn)。，連接NO,

在直三棱柱ABC-AB.Q中，四邊形BCC國為平行四邊形，

則點(diǎn)。為BG的中點(diǎn)，

又因?yàn)镹為AB的中點(diǎn)，

所以NO//AC”

又NOu平面NB、C,AG<2平面NB\C,

故AC"/平面NqC.

（2）設(shè)點(diǎn)A到平面NBC的距離為d,

在直三棱柱ABC-AAG中，BB]1平面ABC,

則8耳為三棱錐4-⑷VC的高，

所以力

第4頁

又因?yàn)锳B=BC=CA=2,AA1=2,

所以NB]=次凝百瓦"=4^=技

2

CN=y/3,CBl=^BC+BB；=2點(diǎn),

所以CN?+NB；=CB；,即CNJ_NB、.

所以％「ANCJ.SANC.即4gl

即匕-叫c=!.SNB】c，d=HcN.NBi.d=^~d,

由^B.-ANC=匕一5C解得d=~~~-

所以點(diǎn)A到平面NB?的距離為竽.

（垂線法）

5.（2025高一?全國月考）如圖，M4L平面ABC,在直角三角形BMC中，2300=90。，ZMBC=60°,

BM=5,MA=3,求MC與平面ABC所成角的正弦值.

【答案】孚

【分析】依題意可得NMC4即為MC與平面A3C所成的角，利用銳角三角函數(shù)計(jì)算可得.

【解析】因?yàn)槠矫鍭BC,所以NMC4即為MC與平面ABC所成的角，

5A

又因?yàn)?MBC=60。，ZBCM=9Q）°,BM=5,所以MC=sin/M8C==,

2

.z3_2y/3r-

所以smAMCA=—=—=—即與平面.c所成角的正弦值為平.

2

6.（23-24高一下?甘肅蘭州.期末）如圖，在四棱錐3-尸4?。中，平面以8,且在四邊形B4C。

中，尸?！ˋC,ZPAC=^,二面角3-"一。的大小為g,且AP=AB=PQ=1.

（1）點(diǎn)￡為BC的中點(diǎn)，證明：QE〃平面B43；

（2）求直線BQ與平面PACQ所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵返

4

【分析】（1）運(yùn)用垂直條件找出二面角8-A尸-。的平面角，得到借助中位線證明平行,

進(jìn)而得到四邊形為平行四邊形，再運(yùn)用線面平行的判定定理即可；

（2）過8作BN_LAC于點(diǎn)M,得到P4_L平面ABC］，得到平面PACQJL平面A8C,運(yùn)用面面垂直性

質(zhì)得到平面以CQ,得到即為所求線面角.再結(jié)合勾股定理和余弦定理求線段長度，借

助銳角三角函數(shù)求解角的正弦值即可.

【詳解】（1）證明：平面以8,24匚平面以8；.3（?_￡巳4,

TT

???ZPAC=-：.PALAC,

2

■:BCcAC=C,???PA_L平面ABC,「ABu平面ABC,AP^AB.

TT

VAP±AB,AC±AP,；.二面角3-42一。的平面角即為NC4B,ZCAB=-,

VPAB,ABu平面E48,ABC1AB,

VAP=AB=PQ=1,：.AC=2,

取AB中點(diǎn)F,連接E/，則歷//AC,EF=^AC,

又PQ//AC,尸。=：AC,Z.PQ//EF,PQ=EF,

第6頁

四邊形尸?！晔瑸槠叫兴倪呅?

/.QE//PF,又尸產(chǎn)u平面平面抬8,Q￡V/平面以8；

(2)解：過8作3M_LAC于點(diǎn)M,平面B4C。，上4,平面"G，

平面PAC。，平面4BC,交線為AC,則平面B4C。，連接QW,

/.NBQM即為所求線面角，

2QM$,而BM=^^=立,

BQAC2

由勾股定理可得：CM=^BC2-BM2=-,

2

在-CQM中，過點(diǎn)。作。N,AC于點(diǎn)N,則QN=AP=PQ=4V=1,

因?yàn)锳C=2,則CN=1,.CNQ是等腰直角三角形，所以NQCM=45。，QCf,

由余弦定理得：QM=s]QC2+CM2-2QC-CM-cos45°=—,

由勾股定理得：BQ=y)BM2+QM2=V2,

；?sinZBQM=%與=/，即8。與平面PACQ所成角正弦值為手.

(等體積法)

7.(2025高一?河南商丘?期末)在四棱錐PABCO中，PAL^ABCD,E為尸。的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC

jr

的中點(diǎn)，PA=AD=2,AB=BC=1,NBAD=ZABC=-.

2

⑴求證：平面PAC_L平面AEF；

(2)求直線PA與平面AEF所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見解析

(2)

3

【分析】（1）由勾股定理計(jì)算出AC、CD,再由勾股定理逆定理得出CD，AC,由已知線面垂直證得

線線垂直，又防為中位線證得跖〃CD,由線面垂直的判定定理證得線面垂直，由面面垂直的判定

定理得出面面垂直.

（2）用等體積法計(jì)算出點(diǎn)P到平面AEF的距離，從而求出直線摩與平面出所成角的正弦值.

【解析】（1）證明：因?yàn)锳2=BC=1,AD=2,ZBAD=ZABC=~,AC=CD=^2,AD=2,所以

CDBiAC.

又因?yàn)锽4EI平面ABC。，且直線CD在平面ABC。內(nèi)，所以CO3B4.又因?yàn)镋為尸。的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC

的中點(diǎn)，所以CD〃EF,所以或?4c且EF3B4

又因?yàn)镻AAC=A,所以E/但平面B4c

又因?yàn)镋F在平面AEE內(nèi)，所以平面BIOS平面AEF.

（2）由（1）可知，9迥平面E4C,所以EE3AE

又因?yàn)镋F」CD=2AF=-PC=^4+2=—,

22222

所以SAAEF=；XEPXA尸=#?

在直角三角形B4C中，出=2,ACf，S=-X-XPAXAC=—.

^APAAFF222

設(shè)點(diǎn)尸到平面A跖的距離為d,可由％得立的又八立2歷.

所以工里d工1蟲,故d=空.

343223

2^3

又因?yàn)镻A=2,故直線PA與平面AEF所成角的正弦值為2=工=73

~PA~2

【題組四二面角的求解】

（定義法）

8.（2025高一?全國月考）假設(shè)尸是VABC所在平面外一點(diǎn)，而△尸3c和VABC都是邊長為2的正三

角形，PA=R，那么二面角P-3C-A的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】D

【分析】取BC的中點(diǎn)。，連接。4,OP,則NPQA為二面角尸—BC-A的平面角，在BPQ4中，即可

求解得到答案.

【解析】取BC的中點(diǎn)0,連接OAOP,

第8頁

aAPBC和VABC都是邊長為2的正三角形，則。4，BC,OP±BC,

所以NPOA為二面角P—3C—A的平面角，

又因?yàn)?。?。4=石，尸A=G，則Op2+OA2=PA2,

所以NPQ4=90。，即二面角尸-8C-A的大小為90。.

故選：D.

9.（2025高三?全國月考）如圖在三棱錐S-ABC中，&L國底面ABC,ABS\BC,OE垂直平分SC,

且分別交AC、SC于D、E,又81=AB,BS=BC,則以3D為棱，平面與平面即C的二面角

的大小為.

【答案】60°

【分析】證明出線面垂直，得到/匹C是平面與平面3DC的二面角，設(shè)S4=人石=。，求

出其他邊長，得到tan/SCA=走，得至I]N&1C=3。。，二面角的大小為60。.

3

【解析】團(tuán)5S=3C,又點(diǎn)E為SC的中點(diǎn)，

SBE±SC,

EIDE垂直平分SC,BEcDE=E,BE,DEu平面BDE,

團(tuán)封團(tuán)平面BDE,

EIBDu平面雙汨，

^SC^\BD,

團(tuán)5A團(tuán)平面ABC,u平面ABC

團(tuán)S4團(tuán)

ElSCiSA=S,SC,SAu平面54C,

El3DEI平面SAC,

^\DE,AC<^^-\^SAC,

0BD0DE,BD0AC,

故NEOC是平面3DE與平面BDC的二面角，

設(shè)SA=AB=a,則SB=41a，故BC=缶，

ElABEIBC,

^AC=YIAB2+BC2=A/3?>

故tanNSG4=A=-^=g

AC73a3

故ZSAC=30。，

ElNCDE=90°-ZSAC=60°.

故答案為：60°.

（三垂線法）

10.（2025高一,云南曲靖,期末）正四棱柱ABC。-A4G2中，8C=2,441=3,則二面角A-BD-G

的余弦值為（）

A電RV22「叵n722

22112211

【答案】D

【分析】連接AC交于0,連接。G，A￡,可得44?！隇槎娼茿-BO-G的平面角，在。C&

中求出/C0C的余弦值，從而可求出ZAOG的余弦值.

【解析】連接AC交8。于0,連接。G，AG，

因?yàn)樗睦庵鵄BC。-A"G，為正四棱柱，

所以CC]_L平面ABCD,AC.LBD,

因?yàn)?￡>u平面ABCD,所以CCJ.B。，

因?yàn)锳CCQ=C,AC,CC|U平面AC。，所以3D1平面ACC一

因?yàn)?。Gu平面AC￡,所以BDLOG，

所以ZAOQ為二面角A-BD-Q的平面角,

第10頁

22

在Rt^OCG中，CIC=3,OC=|AC=1XV2+2=>/2,

所以O(shè)G=.+（何=VTT,

PCV2V22

所以cosNCQC=

因?yàn)?AOC|+ZCjOC=it,所以cosNAOC]=-cos/CQC=——j-j—.

故選：D

（垂面法）

IL（2025高一?四川宜賓?期末）如圖，已知二面角C—AB-/?,且a/3=AB,PCVa,PD工。，

C,。是垂足，平面PC。與42交于點(diǎn)a.

P

（1）求證：A龐平面PCC；

（2）若PC=PD=CD=L試求二面角e-AB—分的大小.

【答案】⑴證明見解析

（2）120°

【分析】（1）先證得尸O3AB.同理尸ZfflAB,利用線面垂直的判定定理證得結(jié)論；（2）先證得回CHO

是二面角a-A3-分的平面角，然后在四邊形PCH