期末復(fù)習(xí)必考解答壓軸題（15大題型）

【滬科版】

＞題型梳理

【題型1二次根式的運(yùn)算與求值技巧】..........................................................1

【題型2復(fù)合二次根式的化簡】.................................................................6

【題型3利用分母有理化求值】................................................................10

【題型4由一元二次方程的解求參數(shù)】.........................................................13

【題型5一元二次方程的特殊解法】...........................................................18

【題型6根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系的綜合】.................................................22

【題型7一元二次方程的應(yīng)用】...............................................................28

【題型8勾股定理在網(wǎng)格中的運(yùn)用】...........................................................31

【題型9勾股定理在折疊問題中的運(yùn)用】.......................................................36

【題型10由勾股定理構(gòu)造圖形解決實(shí)際問題】...................................................52

【題型11由勾股定理求最短距離】.............................................................59

【題型12四邊形中的最值問題】...............................................................65

【題型13四邊形中的動態(tài)問題】...............................................................78

【題型14四邊形中的存在性問題】.............................................................88

【題型15四邊形中的探究問題】...............................................................101

＞舉一反三

【題型1二次根式的運(yùn)算與求值技巧】

【例1】（24-25八年級?江西贛州?期中）定義：我們將（VH+VF）與（VH—VF）稱為一對“對偶式”.因?yàn)?/p>

（VS+Vfo）（VH-Vb）=（、@2—（逐）2=a—b,可以有效的去掉根號，所以有一些問題可以通過構(gòu)造“對偶

式”來解決.

例如：已知，18—X—一久=L求”8—4+”1一丁的值,可以這樣解答:

_______________________________________________________2___________2

因?yàn)?418—％-V11-%)x(V18—%+V11-%)=(V18—%)-(V11-%)=18-%-11+%=7,

所以A/18—x+V11—%—7.

(1)已知：V20—x+V4—x=8,求加20—%—>4—丁的值;

(2)結(jié)合已知條件和第①問的結(jié)果，解方程：V20^+V4^=8；

(3)計(jì)算.——-——+---+---+…+----1----；^=

I八?殲.3V1+V^5V3+3V57V5+5V72023V2021+2021V2023,

【答案】(1)2

(2)x=-5

zl)2023

(ax與4046

【分析】(1)仿照題意，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；

(2)根據(jù)二次根式有意義的條件列出方程組，解方程組即可得到答案；

(3)利用平方差公式，對原式進(jìn)行變形后，即可得到答案.

此題考查了二次根式的性質(zhì)、二次根式的混合運(yùn)算、二次根式有意義的條件、平方差公式以及分母有理化,

熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則和靈活變形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：?(V20—x+V4—%)(V20—x—V4—x)=(V20—%)—(V4—%)

=20—%—4+%=16,

且，20—%+V4—x=8,

???V20—%—V4—x=2；

(八眄(V20—x+V4—%=8

-,-2V4—%=6,

化簡后兩邊同時平方得：4一%=9,

?,?％=—5,

經(jīng)檢驗(yàn)：％=—5是原方程的解;

(3)解?------+-------+-------+...4-------—=---------=

3V1+V35V3+3V57V5+5V72023V2021+2021V2023

3-V35V3-3V57V5-5V7202342021—202142023

---------+----------------+---------------+…H--------------------------------------------

6307020232X2021-20212X2023

1V3V3V5V5V7V2021V2023

2-T+-r-10+10-14+"+4042-4046

1V2023

5-4046

【變式1-1](24-25八年級?上海長寧?階段練習(xí))計(jì)算

(1)西-1。陣+嘯

(2)2,3%2y-|V6x+

62近_V6

(^V6-V102V3+3V2；

【答案】(1)—翁

(2)2%,2孫+^7%

⑶一2舊-V5+V2

(4)6V3+6V2

⑸一。

【分析】本題考查二次根式的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則，正確的計(jì)算，是解題的關(guān)鍵:

(1)先化簡，再合并同類二次根式即可；

(2)先化簡，再進(jìn)行乘法運(yùn)算，然后合并同類二次根式即可;

(3)先分母有理化，再合并同類二次根式即可；

(4)先計(jì)算括號內(nèi)，再進(jìn)行除法運(yùn)算即可；

(5)先計(jì)算括號內(nèi)，再進(jìn)行除法運(yùn)算即可；

(6)根據(jù)乘除運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】⑴解：原式=舊-10電+40

V10L1L

=—-—-2V10+-V10

__22V10

―15-；

(2)解：原式=辰+??

=2x^2xy+^Jx.

(3)解.序式=2—).佩3口-2a_

I，用牛.樂隊(duì)(V6-V10)(V6+V10)(2V3+3V2)(3V2-2V3)

4V3+4V56V3-6V2

==4—6

=—V3—V5—V3+V2

=-2V3-V5+V2；

(4)解：原式=連+(孝—日)

l3V2-2V3

=V6-——------

O

L6

=V6----------

3V2-2V3

6(3近+2圾

一(3V2-2V3)(3V2+2V3)

=V6-(3V2+2V3)

=6V3+6V2；

（5）解:原式=（今》而一36?華）+E

=-a；

(6)解：原式=叵普答應(yīng)《6+逐)2

(Va-VF)?(VH-Vb)2(Va+VF)2

(a-b)2

(Va—VF)?(a—b)

(Q—5)2

_VH—VK

a-b

【變式1-2]（24-25八年級?安徽宣城?期中）觀察下列各式:1_1__LJ_=1-I———,

,丁12T221X2’

1+/++=1+白，

1+工+工=14—--,

,于32423x4’

請利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.

(1)寫出第4個式子；

(2)寫出第九個式子,并證明其正確性(用九含的等式表示，九為正整數(shù)).

(3)計(jì)算+工+工+/1+—+—+11+—+—+???+11+—+

V771222q2232q32429921002

【答案】(1)J1+++1=1+言

(2小+9+二1+事證明見解析

99

⑶99礪

【分析】本題考查了分式，二次根式的運(yùn)算以及配方法，熟練掌握分式和二次根式的運(yùn)算性質(zhì)，配方法，

理解題干中的規(guī)律并且證明其規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題干給的規(guī)律，可直接寫出結(jié)果；

(2)根據(jù)題干給的規(guī)律，可直接寫出第n個式子；要證明等式成立，由于左側(cè)是二次根式的形式，右側(cè)是

分式的形式，因此考慮對于左側(cè)二次根式的被開方式子湊成完全平方形式，然后可以去掉根號.所以對于

左側(cè)二次根式被開方式子通分整理后，得到=/[1+-^-12,由此即可證明等式成

7n(n+l)Ln(n+l)J\Ln(n+l)J

立；

(3)根據(jù)前面證明所得到的式子，利用1+微+二=1+白石,以及而%—熹化簡，即可求得

、/n2(n+1)2n(n-rL)n(n+i)nn+1

結(jié)果；

【詳解】(1)解：根據(jù)題干中的規(guī)律，可得

第4個式子為：小++++=1+2;

(2)解：根據(jù)題干中的規(guī)律，可得

(n+I)2n2

J1+n2(n+l)2+n2(n+I)2

2n2+2n+1

1H-----------------

n2(n+l)2

2n(n+1)1

1+n2(n+l)2+n2(n+l)2

21]2

1-I---------------1-------------

n(n+1)ln(n+1)J

1『

1+~7?.、

n(n+1)J

=i+品y=右邊，

???等式成立;

1

L1—1,]_____

(3)解:[十薪+(九+1)2-n(n+iyn(n+l)-nn+1

111

原式=1+京+1+西+……

111111

"+1-2+2-3……99-100

99

=99—

100,

【變式1-3](24-25八年級,安徽安慶?階段練習(xí))若m滿足關(guān)系式J2%+3y+J4%+5y—TH=-Jx—2012+y

+J2012—%—y,求m的值.

【答案】4024

【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及二次根式有意義的條件，得到％+y=2012是關(guān)鍵.根據(jù)二次根式的

性質(zhì)：被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)求得J2%+3y+J4%+5y--=0,然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于%和y的方程

組，然后結(jié)合％+y=2012即可求得TH的值.

【詳解】解：由修濡”/可得x+y=2012,

(x+y=2012

???,2x+3y=0

14%+5y—m=0

??.m=4x+5y=2(%+y)+(2x+3y)=4024

【題型2復(fù)合二次根式的化簡】

【例2】(24-25八年級?安徽合肥?專題練習(xí))有這樣一類題目：將Ja±2VF化簡,如果你能找到兩個數(shù)小

n,使爪2+n2=a且nm=Vb,則可將a±2VF將變成+n2±2mn,即變成(zn+n)2,從而使得Ja士

化簡.例如，5±2V6=3+2±2V6=(V3)2+(V2)2+2近xV3=(V3±V2)\：.Js±2屈=J(V3±V2)2

=(V3±V2).這種方法叫做配方法，換一種思路，假設(shè)化簡5±26的結(jié)果是石土打0>y>0),可知

5±2>/6=(Vx±Vy)2-整理，得5±2逐=x+y±2於%比較等式兩邊的組成，可得x+y=5,xy-6,

即x=3,y=2,所以,5±2乃=(8土衣).

嘗試化簡下列各式：

(1)77+473；

(2)78-V60.

【答案】(1)2+汽

(2)V5-V3

2

【分析】(1)根據(jù)完全平方公式得出7+4百=(2+進(jìn)而求出即可；

(2)根據(jù)完全平方公式得出8—鬧=(追—場進(jìn)而求出即可.

此題主要考查了二次根式的化簡與性質(zhì)，熟練應(yīng)用完全平方公式是解題關(guān)鍵.

【詳解】(1)V7+4V3=J(2+V3)2=2+V3；

(2)解:78-V60=V8-2V15=J(遙一V3)2=V5-V3.

【變式2-1](24-25八年級?安徽安慶?專題練習(xí))化簡：

(1)V12-2V35；

(2)75-724：

(3)74+V15+V4-V15.

【答案】⑴V7Y

(2)V3-V2

⑶V1U

【分析】本題考查二次根式根號內(nèi)含有根號的式子化簡，二次根式的性質(zhì)及完全平方公式，先把各題中的

無理式變成土2傷的形式,進(jìn)而可得出結(jié)論.解題的關(guān)鍵是理解和掌握：二次根式根號內(nèi)含有根號的式

子化簡主要是根據(jù)完全平方公式的特點(diǎn)將該式子轉(zhuǎn)化為平方的形式.

(1)把被開方數(shù)化為完全平方的形式即可得解，

(2)將,5—舊轉(zhuǎn)化為,5—2份,再根據(jù)解答過程即可得解,

(3)將+后+—后轉(zhuǎn)化為小4+2巧+J4-2J5再根據(jù)解答過程即可得解;

【詳解】(1)解：V12-2V35

=J(5+7)-275x7

=J(V7)2-2XV5XV7+(V5)2

=J(V7-Vs)2

=V7—Vs；

(2)解:V5-V24=V5-2V6=J(V3-V2)2-V3-V2

=J(3+2)-272x3

-J(V3)2-2xV3xV2+(V2)2

=J(V3-V2)2

=V3—V2;

(3)解：V4++V4—

=V10.

【變式2-2](24-25八年級?陜西西安?階段練習(xí))像AU/后…這樣的根式叫做復(fù)合二次根式,

有些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡，如：V4-2V3=73-2V3+1=

J(V3)2-2xV3x1+12=J(V3-1)2=遮-1請用上述方法探索并解決下列問題：

(1)化簡：V10-2V21

(2)若a+6西=(m+加后了，且0,m,〃為正整數(shù)，求a的值

【答案】(1)V7-

(2)a=14或a=46

【分析】本題考查化簡復(fù)合二次根式：

(1)根據(jù)題意，構(gòu)造完全平方公式，進(jìn)行化簡即可；

(2)根據(jù)題意得到a+6店是一個完全平方式，進(jìn)而推出a+6療=(3+遮了或a+6西=(1+3V5)2,進(jìn)

行求解即可.

(詳解】(1)解：V10-2Vn=V7-2VH+3=J(V7)2-2XV7XV3+(V3)2=J(V7-V3)2=V7-

V3；

(2)va+6V5=(TH+nV5)2

???a+6乃是一個完全平方式，

va,m,幾均為正整數(shù)，且a+6西=a+2x3xf或a+6西=a+2x1x3西，

???a+6V5=(3+店)2或a+6A/S=(1+3㈣；

.-.m=3,n=1,此時a—32+(V5)2=14或m=l,n—3,此時a=/+(375)2—46.

【變式2-3](24-25八年級?安徽安慶?期中)像5/4一2b,VV96-V63……這樣的根式叫做復(fù)合二次根

式.有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡，

如:V4-2V3=V3-2V3+1=J(V3)2-2XV3+12=J(V3-l)2=V3-1；

再如：75+2V6=73+2V6+2=J(V3)2+2x遙+(V2)2=J(8+V2)2=<3+42.請用上述方法探

索并解決下列問題：

(1)請你嘗試化簡：

?V11+2V3O=；

@V13-2V42=.

(2)若a+6西=(m+乃7?)2,且a,m,n為正整數(shù)，求a的值.

【答案】⑴①迷+通；@V7—V6

(2)46或14

【分析】(1)將被開方數(shù)寫成完全平方式，再化簡.

(2)變形已知等式，建立a,m,n的方程組求解.

【詳解】(1)解：①J11+2項(xiàng);

②J13-2屈

=J7-2XV7XV6+6

=J(V7-V6)2

=V7-V6；

故答案為：①遮+迷；②V7-歷；

(2)解：(m+V5n)2

=m2+5n2+2V5mn

=Q+6V5?

2+5n2=a

rmn=3'

???m,n,。均為正整數(shù).

=1-txfm=3

C=3或tn=1'

???a=1+45=46或a=9+5=14.

a=46或14.

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡，將二次根式的被開方數(shù)變?yōu)橥耆椒绞绞乔蠼獗绢}的關(guān)鍵.

【題型3利用分母有理化求值】

【例3】(24-25八年級?山東煙臺?期末)閱讀下列材料，解答后面的問題：

11,-

11]

V2+1V3+V2+2+V3_2_1_;

1111「

~pH左H--------方+—v5-1；…

V2+1V3+V22+V3V5+2

(1)寫出下一個等式；

(2)計(jì)算短+1+存后+2+V3+.■■+V1UU+何的值;

(3)請求出(,_1,_+,_],_+...+,_],_)X(VH22+V1U6)的運(yùn)算結(jié)果.

VA<101+A/100V102+V101V2122+VH217

11111l

【答案】(1)可+;^+赤+將+;^=遍—1

⑵9

(3)2022

【分析】(1)直接根據(jù)前面的等式，仿寫出下一個等式即可；

(2)先分母有理化，然后合并同類二次根式即可；

(3)先分母有理化，然后合并同類二次根式，再利用平方差公式計(jì)算即可.

-11111

【詳解】(1)解：京1+爾+春石+品+高后=遍-1

(2)解：+V3+V2+wf+'"+V100+V99

=V2-1+V3-V2+2-V3+---+V100-V99

=V100-1

=10—1=9.

⑶解：(_+、―1_+…+,_1,__z)X+V1UU)

vV101+V100V102+V101VH22+V21217

=(V10T-V100+V102-V10T+-??+V2122-V2121)x(V2122+V100)

=(V2122-V100)x(V2122+V100)

=2122-100

=2022

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算、分母有理化、平方差公式等知識點(diǎn)，在處理二次根式混合

運(yùn)算時，先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能

結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.

【變式3-1］（24-25八年級?湖南婁底?期末）計(jì)算：

1111

-----------1------------------1F???H

2+V23V2+2V34V3+3V4----------100V99+99V100

【答案】L

【分析】先對代數(shù)式的每一部分分母有理化，然后再進(jìn)行運(yùn)算

【詳解】解：彳后+3V2+2V3+4V3+3V4+…+100V99+99V100

2-V2,3V2-2V3,4V3-3V4,,100V99+99V100

=------十--------------十----------H十---------------------

26129900

1V2,V2V3,V3V4,,V99V100

2233499100

=]

一—100

=1-擊

9

10

【點(diǎn)睛】本題看似計(jì)算繁雜，但只要找到分母有理化這個突破口，就會化難為易.

【變式3-2］（24-25八年級?上海?期中）已知T=2—乎且a+6=2,請化簡并求值：普辛Vx+l+Vx

a°Vx+1+VxVx+l—V%

【答案】4%+2;10

【分析】解方程得出％=2,再分母有理化，化簡得出原式=4X+2,最后代入x求值即可.

【詳解】解：蓼=2—m

b(x—b)=2ab—a(%—a)

6%+ax=(a+b)2

va+b=2

-,.2x=4

?,?%=2

V%+1—VxVx+1+V%

Vx+1+VxVx+1—V%

_(一久+l-々)21(正+1+?)2

(Vx+l+Vx)(Vx+1—Vx)(Vx+1—\/x)(Vx+l+V%)

=%+1—2^x(%+1)+%+%+1+2+1)4-x=4x+2

4x2+2=10

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的化簡求值，難度較大，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

【變式3-3](24-25八年級?湖南長沙?開學(xué)考試)閱讀下列材料，然后回答問題：在進(jìn)行二次根式的化簡與

運(yùn)算時，我們有時會碰上如;J|,嵩

一樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡:

5__5V3

V3-V3xV3-3

22x3_V6

3x3-3，

2_2x(V3-1)2(V3-1)

=V3-1

V3+1(V3+1)(V3-1)(V3)2-12

以上這種化簡的步驟叫做分母有理化.

22_.1

(1)化簡：方5-V5+V3

111

+V5+V3+V7+V5-I—+,―,?

(2)化簡：V2019+V2017,

已加=霖，”寓，求灣的值?

(3)

【答案】(1)鋁半，安^(2)誓二(3)62

【分析】(1)分子分母分別乘心店西一值即可.

(2)每一個分母都乘以它的有理化因式化簡后合并即可.

(3)將x,y化簡后，對后面算式運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行變形，代入即可.

【詳解】⑴專=看舟

22x5

5x5

1V5-V3V5-V3

V5+V3-(V5+V3)(V5-V3)2

故答案為等，V10V5-V3

52

(2)原式一1+V5-V3+V7-V5+???+V2019-V2017)

-2-

煙一用_8-2V15_遮+6_8+2V15

(3)x=

V5+V32'-

?,?%+y=8,xy=1

y%(%+y)264

-+-=-———--2=---2=62

%yxy1

【點(diǎn)睛】考查二次根式的有理化.根據(jù)二次根式的乘除法法則進(jìn)行二次根式有理化.二次根式有理化主要

利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點(diǎn)的式子.

【題型4由一元二次方程的解求參數(shù)】

【例4】(24-25八年級?遼寧丹東?期末)“新定義”問題就是給出一個從未接觸過的新規(guī)定，要求同學(xué)們現(xiàn)學(xué)

現(xiàn)用，更多考查閱讀理解能力、應(yīng)變能力和創(chuàng)新能力.定義：方程c/+版+a=0是一元二次方程a/

+bx+c=O的倒方程，其中a,b,c為常數(shù)(且a,c芋0).根據(jù)此定義解決下列問題：

(1)一元二次方程一4久2+3x+1=。的倒方程是；

(2)若x=—1是一元二次方程久2一2尤+c=0的倒方程的解，求出c的值；

(3)若小是一元二次方程-6/+%+1=0的倒方程的一個實(shí)數(shù)根，則血3+m2—6m+2025的值為.

【答案】(l)/+3x—4=0

(2)c=-3

(3)2025

【分析】此題考查了新定義一倒方程.熟練掌握倒方程的定義，一元二次方程根的概念，是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)新定義的含義可得答案；

(2)根據(jù)題意得到方程#—2x+c=0的倒方程為c%2—2x+1=0,把x=—1代入即可得到c的值；

(3)根據(jù)題意得到方程一6%2+x+l=0的倒方程為好+x—6=0,再結(jié)合方程根的性質(zhì)進(jìn)一步解答即可.

【詳解】(1)解：方程一4/+3%+1=0的倒方程是；%2+3%-4=0；

故答案為：“2+3%—4=0；

(2)解：由題意得：方程%2一2久+C=0的倒方程為c%2一2%+1=0,

把x=-1代入方程，

得c+2+1=0,

AC=-3

(3)解：由題意得：方程一6/+刀+1=0的倒方程為%2+X一6=0,

■■m是方程N(yùn)+久一6=0的一個實(shí)數(shù)根，

■,■m2+m—6=0,

：.m?+m2—6m+2025=m(m2+m—6)+2025=0+2025=2025.

故答案為：2025.

【變式4-1](24-25八年級?安徽六安?階段練習(xí))已知實(shí)數(shù)。是一元二次方程久2—2025久+1=0的一個根,

求代數(shù)式a?—2024a—魏的值.

【答案】-1

【分析】本題考查的是一元二次方程的解的含義，由方程的解可得a?—2025a+l=0,可得a?

+1=2025a,a2-2024a-a-1,再代入a2—2024a—裝計(jì)算即可.

【詳解】解：?；a是方程久2-2025%+1=。的一個根，

a2—2025a+1=0.

.,.a2+1=2025a,a2—2024a=a—1.

2|a2+l2025a

,a-2Qn0Q2/4a一礪=。-41—K=a—l—a=-1.

【變式4-2]（24-25八年級?浙江?期中）已知關(guān)于萬的一元二次方程/—2x=—}n.

（1）若方程有兩個實(shí)數(shù)根，求小的范圍；

（2）設(shè)方程的兩個實(shí)數(shù)根是a,b,若y=a?-2a—26（b-2）-3,試求y的取值范圍.

【答案】（1加W2

（2）y<-2

【分析】本題考查一元二次方程根的判別式、一元二次方程的解，

（1）根據(jù)方程的根的判別式A20,即可得出關(guān)于小的一元一次不等式，解之可得出山的取值范圍；（2）

根據(jù)一元二次方程的解，可得出a?—2a=—加，b2—2b=—^rn,將其代入y=a2—2a—2b（b—2）—3=

-1

a2—2a—2（/?2-2h）-3,可得出丫=/一3,再結(jié)合（1）中m的取值范圍即可得到y(tǒng)的取值范圍；

解題的關(guān)鍵：（1）利用根的判別式AN0可確定他的取值范圍；（2）利用一元二次方程的解得出2a=—

|m,b2—2b=—|m.

【詳解】（1）解：,??關(guān)于》的一元二次方程/—2%=——即％2—2%+}n=0有兩個實(shí)數(shù)根，

-1

=（—2）2—4x-m>0,

???解得：m<2,

.?.m的范圍是m<2；

（2）va,力是方程的兩個實(shí)數(shù)根

.-.a2—2a=—|m,b2—2b=—1m,

?>y—Q2—2a—2b(Jj—2)―3

=a2—2a—2(fo2—2b)—3

1

=—m—3

vm<2,

」.y4一2.

【變式4-3](24-25八年級?江蘇宿遷?期中)規(guī)定：我們用F@b,c)表示一元二次方程a%2+b%+c=o,用

數(shù)組表示一元二次方程的兩個解(其中XiW%2)，當(dāng)爐-4GLC>0時，尸(a,6,c)唯一對應(yīng)一個數(shù)組(久1,%2)，

可記作:P{a,b,c)<=(%i，%2)-如方程：久2+2%-3=0的兩個解分別為1,-3；則有尸(1,2,-3)u(一3,1),

又如氣2,0,—8)U(_2,2),F(1,10,25)C(-5,-5),反之，當(dāng)數(shù)組(巧,久2)確定時，卻有無數(shù)個一元二次方

程與之對應(yīng)，如方程尸(1,0,—4)和尸(2,0,—8)的解都是(一2,2)則稱方程尸(1,0,—4)和尸(2,0,—8)為同解方程,

記作方程F(l,0,—4)=F(2,0,—8).研作發(fā)現(xiàn):當(dāng)m#0時，總有F(a,b,c)=F(ma,mb,7nc)成立.

(1)若F(l,—2,a)<=(—2,4)貝！|a=,若F(3,l力)=F(15,c,5b)則c=；

⑵若F(l,—2,t—1)u(nvi),K|m|+|n|=6,求才的值；

(3)如果實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足a*c,F(l,—3a,—4b)u(c,d),F(l,-3c,—4d)<=(砌,探究k=a+b+c+d

是否為定值？如果是，請求出左的值，如果不是，請說明理由.

【答案】⑴—8；5

(2)t=-7

(3)是定值，k=48

【分析】本題考查了新定義，解一元二次方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的變形應(yīng)用,

理解新定義，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

(1)由題意知，表明一元二次方程2x+a=0有兩個實(shí)數(shù)解—2與4,由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

即可求解；當(dāng)小彳0時，總有F(a,b,c)=F(?na,nib,nic),由此可求得c的值；

(2)由尸(1,一24一1)<=(瓶,冗)知，加、〃是一元二次方程x2—2x+t—l=0的兩個實(shí)數(shù)解，且znWn;由根

與系數(shù)的關(guān)系知爪+n=2,mn=t-l；結(jié)合+|n|=6,則巾<。<n,再利用完全平方公式的變形即

可求得t的值；

(3)由F(l,—3a,—4b)u(c,d),尸(1,—3c,—4d)u(a,b),則c、d是方程/-3ax-4b=0的兩個實(shí)數(shù)解,

則。、6是方程/-3cx-4d=0的兩個實(shí)數(shù)解，由根與系數(shù)的關(guān)系得c+d=3a,cd=-4b；a+b=3c,

ab=—4d,則a+b+c+d=3a+3c,abed—16bd,從而有b+d=2(a+c),ac=16；再由c是/

—3ax—4b=0的解，有c2—3ac—4b=0,同理層—3。。—4d=0,整理得M+c?—8(a+c)=96,利用

完全平方公式變形可求得a+c的值，而k=a+b+c+d=3(a+c),即可判定左為定值.

【詳解】⑴解：由題意知，一2與4是一元二次方程%2—2%+。=0的兩個實(shí)數(shù)解，

由根與系數(shù)的關(guān)系得：a=-2x4=-8；

當(dāng)HiH0時，總有尸(見瓦c)=F(jYia,mb,mc),而F(3,l,b)=F(15,c,5b)

15_c

=i9

AC=5；

故答案為：一8；5；

(2)解：由穴1,一2/一1)(=(血刀)知，加、〃是一元二次方程%2—2%+￡—1=0的兩個實(shí)數(shù)解，且mW%

：.m+n=2,mn=t—1；

+\n\—6,

當(dāng)冽、〃全為正或全為負(fù)時，貝!J|?n|+|川=±(6+兀)=±6,這與7n+?i=2矛盾；

.,.m<0<n,

+|n|=—m+n=6,

則有(一6十九尸=36,

即(zn+n)2—4mn=36,

--.4-4(t-1)=36,

解得：t=-7；

(3)解：”(1,—3a,—4b)u(c,d),F(l,—3c,—4d)<=

??.c>d是方程%2-3a%—4b=0的兩個實(shí)數(shù)解，a、b是方程%2-3c%-4d=0的兩個實(shí)數(shù)解，

由根與系數(shù)的關(guān)系得：c+d=3a,cd=—4b；a+b=3cfab=—4d,

.-.a+b+c+d=3a+3c,abed=16bd,

.,.b+d=2(a+c),ac=16；

vc是%2—3a%—4b=0的解，

2

.-.c—3ac—4b=0f即/—4/)=48；

t-a是方程/—3cx—4d=0的解，

/.a2—Sac-4d=0,即層—4d=48；

.,.a2+c2—4(b+d)=96,

即小+c2—8(a+c)=96,

.,.(a+c)2—2ac—8(a+c)=96,

整理得：(a+c)2—8(a+c)—128=0,

解得：a+c=16或Q+c=—8；

???當(dāng)ac=16,a+c=—8時，a、c是方程m?+8m+16=0的兩個實(shí)數(shù)解,

解此方程得：m1=m2=-4,

即a=c

這與題設(shè)aWc矛盾，

.,.a+c=16,

：.k=a+b+c+d=3(a+c)=48,

.4為定值48.

【題型5一元二次方程的特殊解法】

【例5】（24-25八年級?安徽合肥?階段練習(xí)）閱讀與思考：

下面是八（1）班學(xué)習(xí)小組研究性學(xué)習(xí)報(bào)告的部分內(nèi)容，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).研究一元二次方程的

新解法討論一種關(guān)于一元二次方程的新解法一一消去未知數(shù)的一次項(xiàng)，將原方程轉(zhuǎn)化為可以開平方的形式,

將其開平方，從而進(jìn)一步求得方程的解.

【例如】解一元二次方程N(yùn)-4x-6=0,

設(shè)刀=丫+?。訛槌?shù)），

將原方程化為0+爪）2—4（丫+?。?6=。，①

方程①整理，得y2+（2g—4）y+機(jī)2一4爪一6=0,②

令2m—4=0,解得?n=2.

當(dāng)zn=2時，m2-4m-6=22-4x2-6=-10,

?1?方程②化為y2-10=0,解得加=V10,72=-V10.

???=yi+m=

,X2=72=

任務(wù):

（1）直接寫出材料中“二部分方程的解%1=，%2=

（2）按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程3%2+12%+1=0.

【答案】+2,—V10+2；

⑵/=亨-2,亞=_亨_2

【分析】本題考查一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，

(1)根據(jù)材料中的方法求出解即可；

-1

(2)設(shè)％=y+m(m為常數(shù))，將原方程化為(y+m)2+4(y+m)+-=0,方程整理，得/+(2m+4)y+

m2+4m+1=0,令2m+4=0解得m=-2,當(dāng)？TI=—2時，m2+4m+1=-y方程化為y2—日=0,

解得以=苧，，>2=—苧，即可求出答案.

【詳解】(1)解：解一元二次方程%2—4x—6=0,

設(shè)％=y+zn(加為常數(shù))，

將原方程化為('+血)2—4(丫+血)-6=0,①

方程①整理，得丫2+(2小一4)'+血2-4血一6=0,(2)

令2m—4=0,解得?n=2.

當(dāng)m=2時，m2—4m—6=22—4X2—6=—10,

?,?方程②化為y2-10=0,解得yi=W0y2=-V10,

二%i=yi+m=V10+2,冷=丫2+血=—V10+2

故答案為：VTo+2,—VTo+2；

(2)設(shè)％=y+zn(加為常數(shù))，

將原方程化為(y+m)2+4(y4-m)+1=0①

方程①整理，得

y2+(2m+4)y+m2+4m+g=0②

令27n+4=0解得m=—2,

當(dāng)?n=—2時，m2+4m+-1=一三11，

方程②化為y2—9=o

解得以=亨，及=—亨，

,V33n?V33?->

A%i=yi+m=—---2,x2=72+血=-------2.

【變式5-1](24-25八年級?江西景德鎮(zhèn)?期中)解方程：

⑴爐+(3)2=3

(2)(1999-x)2+(x-1998)3=1

【答案】(1)K1=號,電=空

(2)%1=1998,%2=1996,向=1999

【分析】本題考查解分式方程，一元二次方程，熟練掌握解分式方程的步驟和解一元二次方程的方法，是

解題的關(guān)鍵：

(1)去分母，將方程轉(zhuǎn)化為/+2爐—6x—3=0,利用因式分解，將方程化為二個一元二次方程進(jìn)行

求解即可；

(2)令y=x—1998,得到x=1998+y,進(jìn)而得至IJ1999—x=1—y,利用換元法解方程即可.

【詳解】⑴解：久2+(喜了=3,

?4+記9=3,

.,.%2(%+I)2+x2=3(x+I)2,

.,-x2(%2+2x+1)4-x2=3(x2+2%+1),

.,.%4+2x3+/+%2—3/—6%—3=0,

.,.%4+2/—%2—6%—3=0,

???(x2+3%+3)(%2—x—1)=0,

.,.%2+3%+3=。或％2—x—1=0,

當(dāng)％2+3%+3=0時，△=3?—3x4V0,此方程無解；

當(dāng)%2一％―1=0時，△=(-1)2+4x1x1=5>0,

.r-1±V5

,?人—2'

.”_1+V5寸_1-V5

~~—2-9

經(jīng)檢驗(yàn)肛=苧,用=臂，是原方程的解；

???原方程的解為久1=竽犯=管.

(2)令y=%—1998,貝U：x=1998+y,

.,.1999—x=1—y,

?,?原方程化為(1-y)2+y3=i,

.,.1—2y+y2+y3=i,

—2y+y2+y3=0,

???y(y2+y—2)=0,

+2)(y-1)=0,

：.y=0或y+2=0或y—1=0,

.-.%-1998=0或x-1998+2=0或x-1998-1=0,

.,.%!=1998,x2=1996,%3=1999.

【變式5-2](24-25八年級?安徽安慶?專題練習(xí))求方程14K2-4xy+lly2-88x+34y+149=0的實(shí)數(shù)

解

【答案】x=3,y=-1

【分析】本題考查了換元法一元二次方程解，先把方程化為關(guān)于X的方程14/—(4y+88)x+

(lly2+34y+149)=0,利用根的判別式求出y的值，然后代入原方程即可求解出x的值，轉(zhuǎn)化為一元二次

方程是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：將方程化為關(guān)于x的方程14x2—(4y+88)x+(lly2+34y+149)=0,

該方程的根的判別式/=[-(4y+88)]2-4x14x(lly2+34y+149),

即/=-600y2-1200y-600=-600(y+l)2<0,

???方程有實(shí)數(shù)解，

>0,

.?.(y+I)2=0,

解得y=-1

將y=—1代入原方程，

得14/+4x+11-88x-34+149=0,即/-6x+9=0,

：.(x—3)2=0,

解得=%2=3,

故原方程的實(shí)數(shù)解是x=3,y=-1.

【變式5-3](24-25八年級?甘肅定西?階段練習(xí))如果讓你去解方程產(chǎn)―5y+4=0,相信你一定可以很容

易地完成，那么對于方程(/——5(始—1)+4=0,我們應(yīng)該如何去解呢？我們不防將/—1看成一個

整體，設(shè)%2-l=y,則原方程可化為川-5y+4=0.①

解得yi=l,y2=4.

當(dāng)>=1時，x2-l=1,x2=2,x=±V2.

當(dāng)y=4時，久2_I=4,/=5,x=±V5.

即該方程的根為句=V2,%2=—V2,X3=VS,x4=—V5.

問題：

⑴在由原方程得到①的過程中，利用一達(dá)到降次的目的，表現(xiàn)了_的數(shù)學(xué)思想；

(2)解方程(爐+x)(x2+x-2)=-1.

【答案】(1)換元，轉(zhuǎn)化

(2)X1=安。2=T

【分析】本題考查解一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，會用換元法解方程.

(1)換元法的目的是降次；

(2)利用換元法解決問題.

【詳解】(1)解：在由原方程得到方程①的過程中，利用換元法達(dá)到降次的目的，表現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想;

故答案為：換元，轉(zhuǎn)化；

(2)解：設(shè)%2+%=y,那么原方程可化為y(y—2)=—1,

則(y—1)2=0,

所以，y1==1，

/.X2+x=1,

解得，X1=甘黑2=若空

【題型6根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系的綜合】

【例6】(24-25八年級?四川內(nèi)江?期中)我們在探究一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系中發(fā)現(xiàn)：如果關(guān)于x的

方程+6久+c=o的兩個根是久2，那么由求根公式可推出久1+%2=—今久「久2=1請根據(jù)這一結(jié)

論，解決下列問題：

(1)若a,/?是方程2/+%—5=0的兩根,則a+S=，a,B=；若2,3是方程第2+px+q=0

的兩根，則p=，q=;

(2)已知兩個不相等的實(shí)數(shù)"z,〃滿足3m2+2024爪+1=0,層+2024幾+3=0且nmK1,求等■的值.

(3)已知a,b,c,滿足a+b—2c=0,abc=9,則正整數(shù)c的最小值為.

【答案】⑴-—p—5,6

QST

(3)3

【分析】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式等知識點(diǎn)：若一元二次方程a/+"+c=0(aR0)

的兩個根是X］尤2，那么小+刀2=-3，X1-X2=

(1)直接利用根與系數(shù)的關(guān)系可得a+S和a￡的值，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到2+3=-p,2x3=q,即可

得到°、g的值；

(2)等式話+2024幾+3=0變形為39)2+20243+1=0,m、:可看作方程3/+2024%+1=0的兩根,

利用根與系數(shù)的關(guān)系即可解答；

(3)利用已知條件變形得到a+b=2c,ab.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，則a、6為一元二次方程/—2cx+

9=0的兩根，再根據(jù)根的判別式的意義得到A=(—2c)2—4x^20,然后確定c的最小整數(shù)值.

【詳解】(1)解：ra,3是方程2/+x一5=0的兩根，

二a+￡=—：,a-

■■2,3是方程/+px+q=0的兩根，

???2+3=—p,2X3=q,解得p=—5,q=6.

故答案為：-T，——5,6；

(2)解：???九2+2024幾+3=0,

/.1+—+4=°?即3(工)2+2024」+1=0,

nnz\n/n

,??兩個不相等的實(shí)數(shù)加，〃滿足3nI?+2024?n+1=0,n2+2024n+3=0,

-i__

：.m.G可看作方程3/+2024%+1=。的兩根，

12024m1

Vm+n=--7=?

mn+1,12024

???---------=TH+—=--------;

nn3

(3)解：va+h—2c=0,abc=9,

9

：.a+b=2c,ab-

c

■■■a.b為一元二次方程/-2ex+9=0的兩根,

,?,A=(-2c)2—4x|>0