培優(yōu)點(diǎn)04切（割）線放縮

題型梳理

題型方法

題型一單切線放縮

題型二雙切線放縮

?知識(shí)清單

導(dǎo)數(shù)方法證明不等式中，最常見的是3和In尤與其他代數(shù)式結(jié)合的問題，對(duì)于這類問題，可以考慮先對(duì)3和In尤

進(jìn)行放縮，使問題簡(jiǎn)化，簡(jiǎn)化后再構(gòu)建函數(shù)進(jìn)行證明.常見的放縮公式如下：（l）e，21+x,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)；

（2）lnxW尤一1,當(dāng)且僅當(dāng)尤=1時(shí)取等號(hào).

3題型方法

【題型一】單切線放縮

【例1】（2025?湖南邵陽?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)=l）x3_x_sinx（aeR）.

⑴當(dāng)。=1時(shí)，證明：“力20恒成立；

⑵若對(duì)任意的xeR,/（x）+應(yīng)sin[x+?]-220恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）利用不等式式2彳+1對(duì)原函數(shù)放縮可證結(jié)化成立；

（2）令人（x）="（x）=e*-sinx-3（a-l）%2-1,仍⑺=或（無）=ex-cosr-6（a-l）x,0（x）=*（x）=e*+sinx-6（a-l）.

777

分〃〉a<'〃=:三種情況討論，求得實(shí)數(shù)，的取值范圍.

666

【詳解】(1)當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=ex-x-sinx,XGR.

令b(x)二e"一九一1,XGR,貝ij尸'(x)=e"—1.

當(dāng)％<0時(shí)，F(xiàn)(x)<0,尸(x)單調(diào)遞減；當(dāng)％>0時(shí)，F(xiàn)(x)>0,尸(x)單調(diào)遞增.

.*.F(x)>F(0)=0..-.ex>x+l

???/(%)=e"-x-sinx>x+l-x-sinx=l-sinx>0.

.??當(dāng)4=1時(shí)，在R上恒成立.

(2)令0(x)=/(x)+夜sin(x+；)—2,xeR,

貝U(p^x)=ex一-x-sinx+sinx+cosx-2=ex+cosx-((2-l)j;3-x-2.

若對(duì)任意xeR,/(x)+應(yīng)sin［x+：］-220恒成立，貝I］。(%)2°(0)=0.

(x)=^(x)=ex-sinx-3(tz-l)x2-1,夕？(x)=(x)=e*-cosx-6(d!-l)x,

x

(p3(x)=(p；(x)=e+sinx-6(tz-l).

7,

①當(dāng)〃=%時(shí)，夕2(x)-(P：(x)=ex—cosx—x.

由(1)知e"2x+l.，92(%)N1-COSXN0在R上恒成立，且囚⑺不恒為。.

.??/(%)在R上單調(diào)遞增.

/(0)=0,

?二當(dāng)工<0時(shí)，(px(X)<0,0(%)單調(diào)遞減；當(dāng)％>0時(shí)，例(無)>0,0(%)單調(diào)遞增.

...0(九)之0(。)=。,符合題意.

7「兀］

②當(dāng)〃〉公時(shí)，(x)=ex+cosx--,0時(shí)，ex>0,cosx>0,

ON

二.夕3’(工)〉0；當(dāng)%￡(。,+oo)時(shí)，ex>1,cosx>-1,03'(%)>O；

.?.03（尤）在-|'，+COJ上單調(diào)遞增.

0（0）=7-6〃<0,

處卜6（"-1））>匕6（1）+l+sine6"。-6（々-1）>6（tz-l）+2+sine6^-1^-6（a-1）=

2+sine6（fl-1）>0"?存在無。已（。，e6"”）,使得0（毛）=。.

當(dāng)。<無</時(shí)，（p3（x）<0,則02（x）在（。，/）上單調(diào)遞減;0（*）<0（0）=0,則V（x）在（0,%）上單調(diào)遞減;

.,.務(wù)（力<例（0）=0,則夕（x）在（0,%）上單調(diào)遞減;

故當(dāng)。<x<Xo時(shí)，9（力<°（0）=0,不合題意.

7

③當(dāng)時(shí)，夕3（°）=7—6a>0.

若03H<0,由②知必（x）在（最，。）上單調(diào)遞增.

則存在玉,使得必（xj=。，且當(dāng)xeQ,。）時(shí)，/⑺〉。，/⑺在國團(tuán)上單調(diào)遞增；

若|4]>0,由②知必⑺在[-,。）上單調(diào)遞增.

.,.當(dāng)口（-5，0）時(shí),03（x）>O,吸（X）單調(diào)遞增.

7

.?.當(dāng)時(shí)，函數(shù)/在（仆。）上單調(diào)遞增.

6

當(dāng)尤€（石,0）時(shí)，02（*<。2（°）=°，二。1（3）在（加°）上單調(diào)遞減，

■,■0a）><P\（0）=0,9（x）在（%,0）上單調(diào)遞增.

故xeQ,0）時(shí)，°（力<0（0）=0,不合題意.

綜上所述，存在〃=（,使得任意xeR,都有/（x）+&$出|^+：）-2t0恒成立.

7

實(shí)數(shù)。的取值范圍為

解題技巧

該方法適用于凹函數(shù)與凸函數(shù)且它們的凹凸性相反的問題（拆成兩個(gè)函數(shù)），兩函數(shù)有斜率相同的切線，這

是切線放縮的基礎(chǔ)，引入一個(gè)中間量，分別證明兩個(gè)不等式成立，然后利用不等式的傳遞性即可，難點(diǎn)在

合理拆分函數(shù)，尋找它們斜率相等的切線隔板.

【舉一反三X變式1X2025?四川資陽?模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝滿足％=1,an+2（a?+1-）=an（a?+2-an+x）（//eN,

T-12

記7；=4%+a2a3+...+aa,

nn+l1011

（D證明ill是等差數(shù)列;

⑵求數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式;

50

⑶證明I>>3.

i=l

【答案】（1）證明見解析

n

（3）證明見解析

【分析】（1）將條件式化簡(jiǎn)后結(jié)合等差中項(xiàng)公式即可證明；

（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為d,可得4=i+J_i”，由裂項(xiàng)相消法結(jié)合。求得力從而即可求得;

（3）借助x>ln（x+l）（x>0）放縮后求和即可證明.

【詳解】（1）證明：因?yàn)槭?2（%+「生）=為（%+2一4+1），

所以『EV，暇*臺(tái)吟即卜占高,

所以數(shù)列

(2)設(shè)等差數(shù)列]，，的公差為d,

因?yàn)椤=l,所以，=1+(〃-1)",則?！?i+，

__________1_________j_ri________i_

、nn+i口+(幾_1"](1+幾dl+(n-l)Jl+nd'

aa=

所以北=。1。2+〃2〃3+-'+nn+\~\\，

則解得4=1，所以%=，；

a\l+lOtzJ11n

(3)證明：設(shè)根(x)=lnx—x+l,,

則當(dāng)％>1時(shí),mr(x)=--1<0,m(x)單調(diào)遞減,當(dāng)0<%<1時(shí)，加(無)>0,m(x)單調(diào)遞增,

x

故加(無)工根(1)=0,故InxWx-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號(hào)，

因止匕龍>ln(x+l)(尤>0),

5050150(1、50/1,

所以、￡>?n"Nin",

4=11=11Z=1\1JZ=1\1J

Di獸1i+1I213I4I511「I3。

又因?yàn)閕ln-----=In—+ln—+ln—++ln-=ln51>Ine=3,

Mi12350

50

故＞3.

Z=1

3sinx

【變式2](2025?河北邯鄲?二模)已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=..........-.

2+cosx

(1)討論函數(shù)h(x)=ax-f(x)的單調(diào)性；

(2)證明:V(x)＞g(x)-1.

【答案】(1)當(dāng)aWO時(shí)，函數(shù)〃(x)在(0,+3上單調(diào)遞減；當(dāng)。＞0時(shí)，函數(shù)”(x)在上單調(diào)遞減，在[)+3)上單調(diào)

遞增

(2)證明見解析

【分析】(1)由函數(shù)以x)的解析式可知函數(shù)〃3的定義域?yàn)?0,+?0及導(dǎo)函數(shù)版劃=竺匚，對(duì)。分aWO和。>0兩類

X

討論即可求解；

3einX

(2)由(1)知當(dāng)4=1時(shí)，h(x)>hm=l即尤―In尤21,進(jìn)而可得l+jdnx?%.令“(%)=%-------(%>0),對(duì)函數(shù)"(%)

f2+cosx

求導(dǎo)可知”(無)在(0,+8)上單調(diào)遞增，可得x>3smx,故i+xinx?x兇UL,原不等式得證.

2+cosx2+cosx

【詳解】(1)由題知：/?(無)=分-/(尤)=5-Inx,其定義域?yàn)?0,+8),\股尤)=。-'=竺］.

XX

當(dāng)Q(0時(shí)，則"(x)W0,力(%)在(0,+°°)上單調(diào)遞減;

當(dāng)。>0時(shí)，令//(尤)>0,解得x>L；令〃(x)<0,解得0<x<L,

aa

???函數(shù)/X)在］。,￡|上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)/尤)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)。>0時(shí)，函數(shù)做x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

3?inx

(2)要證4(%)>g(%)—1,gpffixlnx+l>----------.

2+cosx

由(1)知：當(dāng)々=1時(shí)，九(%)=%-In%在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

/z(x)?h(l)l-lnl=l,BPx-lnx>l,

\—+lnx?1,\1+xlnx?x.

x

令〃(尤)=”^^(》>。)，\Sx)=l-3cosx(2+c°sx)：3sin%=(cosx-1)：?0,

2+cos%(2+cosx)(2+cosx)

?,?”(%)在(。,+8)上單調(diào)遞增，

.?.當(dāng)x>0時(shí)，H(x)>H(0)=0,即x-3smx>o,

2+cosx

2+cosx2+cosx

原不等式成立.

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)討論含參函數(shù)的單調(diào)性，證明函數(shù)不等式恒成立問題，屬于難題.

研究含參函數(shù)的單調(diào)性常用分類討論的數(shù)學(xué)思想；

對(duì)于函數(shù)不等式的證明，常采用放縮法，如本題中，證明不等式恒成立的問題關(guān)鍵在于不等式l+xlnx?x的等價(jià)轉(zhuǎn)化.

【變式3】(2025?河北?模擬預(yù)測(cè))設(shè)r>l,n>\,“eN,若各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛外｝滿足;凡<見包<凡，則稱數(shù)列｛%｝

具有性質(zhì)嚇⑺”.

(1)已知數(shù)列｛叫的前w項(xiàng)和為3且試判斷數(shù)列｛g｝是否具有性質(zhì)“尸(4)”，并說明理由；

fl

(2)若數(shù)列｛%｝滿足q=g,且an+1=ln(e--l)-lna?(?eN,).

(i)證明：數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)“尸⑶”；

(ii)記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為(，證明：

【答案】(1)具有，理由見解析；

⑵(i)證明見解析；(ii)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用數(shù)列前〃項(xiàng)和與第〃項(xiàng)的關(guān)系求出通項(xiàng)公式，再利用否具有性質(zhì)“P(4)”的定義推理

判斷

(2)(i)根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性再證明不等式；

(ii)由(i)的結(jié)論，利用放縮法，結(jié)合等比數(shù)列前w項(xiàng)和公式推理得證.

【詳解】(1)數(shù)列｛。"｝中，S“=l-a“，當(dāng)”22時(shí)，an=S?-Sn_1=-an+an_x,貝！］為=；?！?，

而q=工=1-％,解得生=:，因此數(shù)列｛〃“｝是首項(xiàng)和公比都為J的等比數(shù)列，

，,+2+1

則??=(1y>o,??+1=(1)<(!)"=%，

正項(xiàng)數(shù)列｛為｝滿足;凡<4用<%,所以數(shù)列｛q｝具有性質(zhì)“尸(4)”.

(2)(i)函數(shù)/(x)=ln(eX—l)—ln%,x>0,令函數(shù)7z(x)=x—e"+1,%>0,求導(dǎo)得//(%)=1-e"v0,

函數(shù)%(%)在(0,+oo)上單調(diào)遞減,貝!Jh｛x)</z(0)=0,即/一1>%,ln(ex-1)>lnx,

2

任意%>0,/(x)=ln(ex-l)-lnx>0,而。用=/(4),^=—>0,則〃〃>0,〃eN*,

于是an+l-an=ln(e°"—1)—lna〃-an=ln(e°”—1)—1口(。盧°"),

令g(x)=xe"-(ex-l),x>0,求導(dǎo)得g'(x)=e"+xex-ex=xex>0,

函數(shù)g(x)=xex-(e%-1)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，g(%)>g(0)=0,

當(dāng)%>0時(shí)，xex>ex-l>0,lnxex>ln(e%-1),而?！?gt;0,

aa

則n+x~n=ln(e/—1)—In/e/<0,因此an+i<an；

flz,a

依題意，/+i-ln(e-1)-Inan~~n>

人1L

令u(x)=ln(e%-1)-lux--x=ln(e%-1)-luxe3,x>0,

1LiLlli

令函數(shù)t｛x)=ex-l-x^X,x>0'求導(dǎo)得f'(x)=e*-e3*x-§xe3x'=e3x"d"x-1-§x),

2ir\2i

令函數(shù)°(x)=e3-l--x,x>0,求導(dǎo)得夕'(x)=§e『-g>0,函數(shù)°(無)在(。,+℃)上單調(diào)遞增，

當(dāng)尤>0時(shí)，°0)>0(0)=0,r'(x)>o,函數(shù)*x)在(0,+<?)上單調(diào)遞增，

%x5,

當(dāng)尤>°時(shí)，?(x)>r(0)=0,即當(dāng)x>o時(shí)，_i>xe3>0,ln(e-1)>ln(xe')

因此當(dāng)x>0時(shí)，"(x)>0,又4>。，則"(a“)>0,

于是ln(e""-l)-lna“-ga“>0，a?+1>|a?,則卜“<%+1<凡，

所以數(shù)列｛4｝具有性質(zhì)"P（3）”.

1Qji1

(ii)由⑴知，a>-a>0,則--->-,

n+i3na〃3

n-1

當(dāng)〃eN*時(shí)，an=......--ax>ax-(―)=2-f—，

?！?12"13

當(dāng)〃=1時(shí)，7；=?i=|=1-1>

2(i__L)

111102〃J1

當(dāng)心2時(shí)，Tn=ax+a2+--+an>2[-+(-)+(-)+’+(§)〃]=------1-二]一歹

1—

3

1*

所以).

【題型二】雙切線放縮

【例2】已知函數(shù)己(x)=xlnx.

⑴求函數(shù)在x=I處的切線方程；

(2)若不等式/(x)W依-2有且只有兩個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(3)若方程〃司=6有兩個(gè)實(shí)數(shù)根%,%,且玉<%，求證：be+]<x「xa『+；+2.

【答案】⑴2x+y+L=。

(2)In3+g,ln4+gj

(3)證明見解析

【分析】(1)導(dǎo)數(shù)幾何意義即可求得曲線/(%)在1=相處的切線方程；

(2)問題轉(zhuǎn)化為aNlnx+*在(0,+8)上有且只有兩個(gè)整數(shù)解，令g(x)=lnx+—,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，求實(shí)數(shù)。

XX

的取值范圍；

(3)不等式左邊是割線放縮，這兩條割線為函數(shù)的最低點(diǎn)與(0,0)及(1,0)的連線，即/i(x)=-x與

/(元)==(》-1),設(shè)兩割線與直線y=b］>-：)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為馬，“可證明〃X)</(X),有

/?(%1)>/(xi)=/l(x3)=/(x4)=/(x2)=&</(x2),根據(jù)單調(diào)性，可得玉<尤3,龍2>無4，有無2-占>龍4-尤3=加+1；不等式

右側(cè)是切線放縮，這兩條切線分別是了=不和尤=1時(shí)的兩條切線，同理可證.

33

【詳解】(1)函數(shù)/(x)=xlnx,尤=?一3時(shí)，/(e)=-3e,

/x)=lnx+l,r(e-3)=-2,

曲線在x=1處的切線斜率為-2,切點(diǎn)坐標(biāo)為(e-3,-3e-3),

所以切線方程為y-(-3e-3)=-2(x-e-3),即2彳+丁+廠=0.

(2)函數(shù)/(x)=xlnx,定義域?yàn)?0,+8),

若不等式/(X)w依-2有且只有兩個(gè)整數(shù)解,即。2Inx+：在(0,+8)上有且只有兩個(gè)整數(shù)解，

令g(x)=lnx+2,貝!|8，(可」一々=土黃，

xe(O,2)時(shí),g，(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;xe(2,+oo)時(shí),g,(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

2i

g⑴=2,g(3)=ln3+-,g(4)=ln4+-,g(l)>g(4),

—在(0,+。)上有且只有的兩個(gè)整數(shù)解為x=2和x=3,

則有g(shù)⑶<a<g(4),所以實(shí)數(shù)0的取值范圍為In3+|,ln4+^.

(3)函數(shù)/(x)=xlnx,定義域?yàn)?0,+8),

f(x)=kvc+l,/(司<0解得0<x<L,r(x)>0解得x>L

ee

函數(shù)/(x)=xlnx在I。，/］上遞減，在g.+s］上遞增，/(x)1nhi=/1)=-：，

所要證的不等式左邊是割線放縮，這兩條割線為函數(shù)的最低點(diǎn)，，-1與(0,0)及(1,0)的連線，即可力=-％與

，(無)=占(1).

設(shè)兩割線與直線y=>-)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為馬,匕,

解方程可得毛=~b,x4=(e-l)Z?+l,x4-x3=Z?e+l,

當(dāng)時(shí)，xlnx+x=A：(lnx+l)<0,/(x)</z(x)；

當(dāng)一,1］時(shí)，%lnx----=x

令制x)=lnx-士［I］，M(x)=(e.lW，

mr(x)<0解得-<x<—,m(x)>。解得<x<l,

根(x)在g，占］上單調(diào)遞減，在(。，1)上單調(diào)遞增，

而"［：］=m(1)=°,所以m/(%)</(%).

力（玉）>/（%）=/2（￡）=/（工4）=/（々）=6</（無2），根據(jù)單調(diào)性，

可得再<工3，9>了4,

所以，^2-%i>X4-^3=t>e+l,不等式左側(cè)證明完畢.

不等式右側(cè)是切線放縮，這兩條切線分別是X=/和X=1時(shí)的兩條切線,

由(1)可知，曲線〃尤)在x="3處的切線方程為y=-2x-e-3,

e時(shí)/⑴=o,r（i）=i,

曲線〃尤）在x=l處的切線斜率為1,切點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）,切線方程為y=x-i,

3

A_LP-

切線y=-2x-e-3和y=x-l與y=6的交點(diǎn)分另lj為三=——-—,x6=b+l.

『+36+2

同理可得％-玉<%-尤5=

2

綜上可知，be+1<%-玉<-~+3'+'

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}.注意分類討

論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問題處理.利用導(dǎo)數(shù)解決含

參函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.證明

不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往

往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.

解題技巧

含有兩個(gè)零點(diǎn)的/'（X）的解析式（可能含有參數(shù)X》,告知方程/'（x）=6有兩個(gè)實(shí)根，要證明兩個(gè)實(shí)根之

差小于（或大于）某個(gè)表達(dá)式.求解策略是畫出Hx）的圖象，并求出f（x）在兩個(gè)零點(diǎn)處（有時(shí)候不一定是零

點(diǎn)處）的切線方程（有時(shí)候不是找切線，而是找過曲線上某兩點(diǎn)的直線），然后嚴(yán)格證明曲線f（x）在切線（或

所找直線）的上方或下方，進(jìn)而對(duì)Xi,互作出放大或者縮小，從而實(shí)現(xiàn)證明

【舉一反三】【變式1】（23-24高三上.黑龍江哈爾濱）已知函數(shù)/（x）=xlnx

⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若a<-2,證明:/（x）2依-院在（0,+s）上恒成立；

（3）若方程/（x）=6有兩個(gè)實(shí)數(shù)根再，%，且無1〈無2，

e-3+2+3Z?

求證:加+1<%-<

2

【答案】（1）〃X）的遞減區(qū)間為（。，［，遞增區(qū)間為已，+8

（2）證明見解析.

(3)證明見解析.

【分析】(1)對(duì)“X)求導(dǎo)即可求出結(jié)果；

(2)即證g(a)=ot-e-3Wg(-2)=-2x-e-3,構(gòu)造坂尤)=xlnx+2x+e',即可證明-2元-e「wxlnx；

(3)分別利用切線放縮進(jìn)行證明.

【詳解】(1)由r(x)=hu+l,則xe(0,J時(shí)，r(x)<0,單調(diào)遞減，

時(shí)，r(x)>0,單調(diào)遞增，

所以〃x)的遞減區(qū)間為/，「，遞增區(qū)間為1，+[.

(2)因?yàn)閍K-2,XG(0,+OO),令g(々)=6一/

所以且(〃)=以_匕一34g(-2)=_2x—e一3,

下證—2x-e-3<xlnx,

令7z(x)=xlnx+2x+e~3,

貝Ijh\x)=In%+3,

當(dāng)0<%<e-3時(shí),hr(x)<0,當(dāng)x>e~3,hf(x)>0,

所以h(x)在(0,e-3)上單調(diào)遞減，在(e-3,+8)上單調(diào)遞增，

所以/z(x)=xlnx+2x+e-3>/z(e-3)=0,

所以/(x)2◎-b在(o,+8)上恒成立；

(3)證明：先證右半部分不等式：%-^<-++3

21-;

因?yàn)?(%)=%lnx,/z(x)=lnx+l,

所以/(I)=0,/(e-3)=-3e-3，r(l)=L/&)=-2；

可求曲線y=〃x)在無=/和x=l處的切線分別為4：y=-2x-e-3和4：y=x-l；

設(shè)直線y=b與直線4,函數(shù)于3的圖象和直線4交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為4,西,無2，4，

貝Ux；=一?；'，彳2'=b+L

uni'，〃八/Q3+be3+2+3Z?

則x2-x1<x2-x1=(b+V)~(------)=---------

再證左半部分不等式：x2-xl>be+l.

設(shè)取曲線上兩點(diǎn)A(—,—),5(1,0),

ee

用割線OA:y=-x,AB:y=」7a—1)來限制馬-西，

e-1

設(shè)直線y=6與直線y=-尤,y=工(％-1)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為W,匕,

e-1

貝|石VW<工4<工2，且％3=—。，兀4=(。-1)萬+1，

所以％2—%>x4—x3=(e—l)b+l—(―Z?)=be+l.

綜上可得be+l<x2-Xl<士;十*成立.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法常有：

(1)最值法：移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)，通過求解最值來證明；

(2)放縮法：通過構(gòu)造切線或割線，利用切線放縮或者割線放縮來證明.

【變式2】(2021?廣東茂名?二模)已知函數(shù)/(x)=wdnx+；cos(x+m,g(x)=/(x)-x-1-cos^x+^.

(1)當(dāng)xNl時(shí)，若不等式g(無)Wei-尤-1恒成立，求實(shí)數(shù)小的取值范圍；

(2)若存在兩個(gè)不相等的正數(shù)4,3，使得/(%)+玉=/(々)+%2，證明：衣石<-2根.

【答案】(1)(力,1]；(2)證明過程見詳解.

【分析】(1)化簡(jiǎn)不等式，構(gòu)造新函數(shù)〃(x),問題轉(zhuǎn)化為/x)W。在xNl時(shí)恒成立，利用導(dǎo)數(shù)分類討論進(jìn)行求解即可；

(2)對(duì)已知等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到-〃z(lnx2-lnXi)=-；(sinx2-sin%)+X2-X],構(gòu)造函數(shù)G(x)=x-sinx,求導(dǎo)，得到不

等式々-sin%>0,玉-sin玉>0,進(jìn)而利用放縮法，結(jié)合換元法、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明即可.

【詳解】(1)g(x)<ex~l-x-l=>mlnx<ex~l—1,h(x)=minx—ex-1+1,h(I)=0

因此原問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)XZI時(shí)，不等式/z(x)WO恒成立，h^=--exl,

X

當(dāng)根W1時(shí)，/z(x)<0,函數(shù)7z(%)=加lnx-/T+1在xZl時(shí)，單調(diào)遞減，

所以當(dāng)元21時(shí)，A(x)</i(l)=0,所以不等式以工)W0恒成立；

當(dāng)機(jī)>1時(shí)，〃(x)=---ex~=0=>根=xe*-,設(shè)尸(x)=xe*T,尸(x)=(x+l)e，T,當(dāng)xNl時(shí)，尸(x)>0,所以函數(shù)尸(x)=xe*-

x

此時(shí)是單調(diào)遞增函數(shù)，且/"1)=1

因此函數(shù)丫=機(jī)與函數(shù)尸(x)=xe)有唯一交點(diǎn)，設(shè)%,顯然%>1,

xx

因此當(dāng)xe(l,x0)時(shí)，"(x)>0,函數(shù)/z(x)=m]nx-e~'+1單調(diào)遞增，當(dāng)尤e(%,+8)時(shí),fi(x)<0,函數(shù)〃(尤)=m\nx-e~'+1

單調(diào)遞減，因此以無)max=〃(%)>以1)=。，顯然不等式〃(X)W0不恒成立，不符合題意，

綜上所述：實(shí)數(shù)加的取值范圍是(F,l]；

(2)/(玉)+玉=/(%2)+%2n—/sin%i+玉=mlnx2--sinx2+x2,

BP—m(lnx2-lnxl)=-^(sinx2-sinx1)+x2—,

設(shè)G(x)=%—sinx,G(x)=l-cosx>0,所以函數(shù)G(x)=%—sin%是增函數(shù)，

因?yàn)锳，元2是兩個(gè)不相等的正數(shù)，所以不妨設(shè)々>%>。，

因此有G(%2)>G(石)>G(0)=0,即x2-sinx2>0,-sin>0,

因止匕42—sinx2+x1-sin%>()=>-(sinx2+sinxj>—(x2+再)，

BP—m(lnx2—lnx()=(sinx2—sin^)+x2—jq>一；(%2—石)+(/一%)=萬(%2—F)，

一2>。，要想證明";<-2〃?成立，只需證明

叱v】“一;>卮，

Inx2-InxxInx2-In%

因?yàn)椋?gt;占>0，所以令，=三>1,因此只需證明在t>1時(shí)成立，即“"Alnf在f>1時(shí)成立，設(shè)函數(shù)

〃z(f)=lnf-一，t>l,相⑺=小心2-<0,所以當(dāng)/>1時(shí)，函數(shù)加(無)=1取-空單調(diào)遞減，因此當(dāng)”1時(shí)，

&2t忑小

m[f)<m(l)=0,即皿x)=lnf-7<0nlnf<7，因此下|>?成立，所以J/W2Ml.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于由-〃2(111%2-也西)=-3($也無2-$也王)+尤2-尤1，聯(lián)想構(gòu)造函數(shù)G(x)=x-sinx,進(jìn)

而可以運(yùn)用放縮法、換元法，通過導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明.

【變式3】(2022?浙江紹興.模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)〃2=優(yōu)-法+。，A>0,beR

⑴當(dāng)。=2,，=1時(shí)，求函數(shù)“X)在x=0處的切線方程；

⑵若a=e且〃x"0恒成立，求b的取值范圍：

b2

(3)當(dāng)〃=e時(shí)，記4，%(其中占<々)為/'(尤)在(0,+8)上的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：-——<—-+1.

b-eInZ?

【答案】⑴y=(ln2—l)x+2；

(2)0<Z?<e2；

(3)詳見解析.

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即求；

(2)利用參變分離法可得當(dāng)x<l時(shí)，b>—,當(dāng)x>l時(shí)，b<—,通過導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)=￡的性質(zhì)可得函

x-1x-1x-1

數(shù)的大致圖象，即得；

(3)利用放縮法可得6-1)>叫，即證E<司，再通過分析問題轉(zhuǎn)化為證左⑺=。+1"TInf<2在(0,1)上恒成立，

然后利用導(dǎo)數(shù)即證.

【詳解】(1)當(dāng)a=2,6=1時(shí)，/(^)=2A-x+1,y(o)=0,

r(x)=21n2-1,/(O)=ln2-l,

；?函數(shù)〃x)在x=0處的切線方程為V=(ln2-l)x+2；

(2)由題意可知6(%-1)4孑，當(dāng)x=l時(shí)，不等式b(x-l)We工顯然成立，故beR；

當(dāng)x<1時(shí)，b>——，當(dāng)x>1時(shí)，b<——，

x-1x-1

t己〃(x)=J,則/(x)=e(尤：；),

x-1(X-1)

???函數(shù)"⑺的減區(qū)間為(-8,1),(1,2),函數(shù),(X)的增區(qū)間為(2,+8),

「?當(dāng)了<1時(shí)，/z(x)<0,當(dāng)九〉］時(shí),7i(x)>7i(2)=e2

；?可得0<64e?；

綜上，6的取值范圍為0V0Ve2；

(3)由上可知，b>e2,1<%<2,

對(duì)于函數(shù)y=e'x-l,y'=eK-l,

函數(shù)尸在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增,

故為1"=成一1=0,即e，"+l,

e*T>x,ex>ex,

又6&-l)=e3

b

/.—1)>叫，即----<,

由6=----,可得ln/?=%-ln(%—1),

石一］

22/、2

要證為<七+1,即證lnb<-x1-ln(x1-l)<--

InZ?再一1\-1

也即玉(七一1)—(%—l)ln(玉-1)<2，

設(shè)￡=%-lw(0,l)，MO=Q+l?Tln,,即證左⑺=?+l)/Vln￡<2在(0,1)上恒成立，

*.*左'(/)=2/—In/>0,

???左(。在(0,1)上單調(diào)遞增，

???左(。=(，+1)￡—/In.〈左(1)=2,成立

2

.*?X.<----F1,

]nb

綜上，b<x,<—+1.

b-emb

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒(能)成立問題的解法：

若/(x)在區(qū)間D上有最值，則

(1)恒成立：VxeA/(x)>0<^f(j;)niin>0；Vx6r),/(x)<0o/(x)mx<0；

(2)能成立：HxeDJ⑺>0o〃"皿>0；*e"(x)<0o/(x)111kl<0.

若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：?>/(%)(或。</(力)，則

⑴恒成立：a>/(x)<=>o>/(x)max；fl</(x)ofl</(x)min；

(2)能成立：。>)(汗)0。>/(%；a<f(x)^a<f(x)ma.

Q好題必刷

一、解答題

1.(2025?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)八》=asin2x+(a-l)(sinx+cosx),其中aeR.

(I)當(dāng)“=。時(shí)，求函數(shù)/(天)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；

jr

⑵記函數(shù)>="。)|在--,0上的最大值為

(i)求加■關(guān)于。的表達(dá)式;

(ii)證明：當(dāng)時(shí)，|/'(x)歸3M在-熱0上恒成立.

【答案】(1)2兀，2E+：,2E+^

—5〃2+2〃—1y

-----------a<-\

4。

(2)(i)M=<1-a-l<a<—(ii)證明見解析

3

54—2a+11

a>一

4。3

【分析】(1)代入a=0,輔助角公式化簡(jiǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)區(qū)間和最小正周期.(2)(i)令

方=sin%+cosx-0sin[x+￡],T《,o]可得可得到關(guān)于/的二次函數(shù)，討論。的取值，求出函數(shù)的最大值

表達(dá)式；(ii)由，(X)求利用放縮法即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=-(sinx+cosx)=-72sin

T=2兀

TT7T37r7T5IT

Ikit+—<x+—<2knH---可得：2kn+—<x<2kn-\---

24244

/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2加+：,2版+今),上eZ

(2)(i)令，=sinx+cosx=V^sin[+貝1Jx￡于。]可得，￡[一1」].

二.f(x)=Q僅?-1)+(a-T)t—at2+(a—Y)t—a

令g(t)=at2+(a-I)t-a

當(dāng)a=0時(shí)，g(t)=-t^[-1,1],故M=1=1—a.

當(dāng)awO時(shí)，A=(a—I)?+4/〉0,對(duì)稱軸，對(duì)二^—,^(1)==l—a

①當(dāng)av—1時(shí)，/對(duì)

—5/+2a—1

:.M==g

4a

②當(dāng)—l<a<0時(shí)，^<-1,故g⑺在［-M］上單調(diào)遞減

/.Mi—|1—4Z|—1—CL

③當(dāng)時(shí)，＞1,故g⑺在［T』］上單調(diào)遞減

M—11—a|=1—CL

④當(dāng)”;時(shí)，小故g⑺在d）上單調(diào)遞減，在［蜉,1）上單調(diào)遞增.

—5〃+2a—1

----------------a<-\

4。

綜上，M=\\-a-l<a<—

3

54—2a+11

a》一

4。3

(ii)f\x)=2acos2%+(a—l)(cosx-sinx)

當(dāng)aNl時(shí)，2〃+班|〃一1|=（2+友）〃一班

15/—6〃+3laa33、7〃6-3

3M==-----1----1----------2-----1---------

4。244〃222

而？+^^＞（2+應(yīng)）”應(yīng)

2.（2024.貴州六盤水.三模）若函數(shù)在［a,句上有定義，且對(duì)于任意不同的4赴目。,可，都有

（斗）一/（%）|＜人|七一馬|,則稱/'（無）為［a,句上的筑類函數(shù)”

⑴若〃司=/，判斷〃x）是否為［L2］上的“4類函數(shù)”;

oi

⑵若“X)=±ln尤+(a+l)x+±為［l,e］上的“2類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

ex

⑶若“X)為［1,2］上的“2類函數(shù)”且〃1)=〃2),證明：%,^G［1,2］,|/(^)-/(X2)|<1.

【答案】⑴是

(2)ja|-2--<a<l-

(3)證明見解析

【分析】(1)由新定義可知，利用作差及不等式的性質(zhì)證明,-司即可；

(2)由已知條件轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意xe［l,e］,都有-2<尸(力<2,對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后進(jìn)行分離參數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的

單調(diào)性和最值即可；

(3)分和兩種情況進(jìn)行證明，/(1)=/(2),用放縮法

|〃西)一/5)|=|〃為)一〃1)+〃2)-"々)閆〃為)一〃1)|+|八2)-/5)|進(jìn)行證明即可.

【詳解】(1)函數(shù)=d是［L2］上的“4類函數(shù)”，理由如下：

不妨設(shè)國,馬?1,2］,所以2<玉+尤2<4,

|/(百)一/(*2)|=忖-?=|(玉-9)(西+*2)|<4%-引，

所以=尤2是［1,2］上的“4類函數(shù)”；

(2)/(%)=二lnx+(a+l)無+Lf'(x\=--y+—+a+l,

exxex

由題意知，對(duì)于任意不同的占w［Le］都有|〃占)-/(*2)|<2卜-龍2|，

不妨設(shè)玉<乙，則一2s-%)</(%)_〃2<26一百),

故/(石)+2%</(9)+2尤2且/(石)-2為>/(々)一2馬,

所以〃x)+2x為［l,e］上的增函數(shù)，〃x)-2x為［l,e］上的減函數(shù)，

所以對(duì)任意的xe[l,e],BP-2<r(x)<2,

i919

由r(x)W2=>aV-y_二+1,令8(無)=二一二+1,則aWglx)^,xe[l,e],

令川得-2一’|在］.上單調(diào)遞增，

1719

由/'(%)之一2na23-----3,令%(%)==-----3,

xexxex

只需a?/z(x)1mx,xe[l,e],

]「12「1一

令一=/￡-,1得y=?_4/_3在-,1單調(diào)遞增，

xee|_e_

7

所以人(》心="1)=一2-)

綜上所述，實(shí)數(shù)0的取值范圍為卜卜2-|《建1-斗

(3)證明：因?yàn)椤癤)為［L2］上的“2類函數(shù)”，所以|〃占)一〃%)|<2,一司，

不妨設(shè)1(無142,當(dāng)值-馬|<g時(shí)，［〃尤］)-〃*2)|<2歸-%|<1；

當(dāng)5v|西一百<1時(shí)，因?yàn)?"(Du"2)，—i<xl—x2<--

所以ba)-“MH"％)-〃i)+〃2)-〃龍2)歸|〃%)-/⑴|+|〃2)-“以

<2(X1-1)+2(2-X2)=2(X1-X2+1)<2^-1+1^|=1,

綜上所述,%,x2e［l,2］,|/(^)-/(,^)|<l.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)。2/(尤)恒成立(a或。4/(龍)恒成立

(aW〃x)1nJ；②數(shù)形結(jié)合(y=〃x)的圖象在y=g(無)上方即可)；③討論最值〃”而40或八尤)1111nz0恒成立；④

討論參數(shù)，排除不合題意的參數(shù)范圍，篩選出符合題意的參數(shù)范圍.

3.(2024?四川.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=Q-lnx-a(aeR),且/(x)20恒成立.

(1)求實(shí)數(shù)。的取值集合;

⑵證明：ex>x2+(e-3)x+2+lnx.

【答案】⑴{1}

(2)證明見解析

【分析】(1)由題可知只需證明/(“福20,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值即可;

(2)先利用(1)InxWx-1進(jìn)行放縮，再構(gòu)造函數(shù)證明即可.

【詳解】(1)尸(x)=a-J(無>0).

①當(dāng)aW0時(shí)，/'(X)<0,/(力在(0,+8)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x>l時(shí)，f(x)</(l)=0,這與/(x)20矛盾，不合題意.

②當(dāng)a>0時(shí)，

11

由ra)<o得o<x<：；由r(”>o得x>:,

則/(X)在1。，：［上單調(diào)遞減，在［：，+化］上單調(diào)遞增，

.?:=一時(shí)，函數(shù)/'(X)取得唯一極小值即最小值.

又:y(x)20且〃1)=0

，}=1,解得。=1,故實(shí)數(shù)a的取值集合是{1}.

(2)由(1)可知：a=l時(shí)，/(x)>0,即InxWx-l對(duì)任意x>0恒成立.

???要證明：ex>2+x2+(e-3)x+lnx,

則只需要證明e―1+f+仁—2卜，

即ex-l-x2-(e-2)x>0.

h(x)=ex-1-x2