第07講平行四邊形的性質(zhì)

（1）平行四邊形的對(duì)邊相等;

平行四邊形

（2）平行四邊形的對(duì)角相等;

平行四邊形的性質(zhì)。

的性質(zhì)（3）平行四邊形的對(duì)角線互相平分.

1.平行四邊形的概念

定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

平行四邊形的定義既是性質(zhì)，又是判定.

（1）由定義知平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行；

（2）由定義可以得出只要四邊形中的兩組對(duì)邊分別平行，那么這個(gè)四邊形就是平行四邊形.

平行四邊形的基本元素：邊、角、對(duì)角線.

2.平行四邊形的性質(zhì)

（1）平行四邊形的對(duì)邊相等；

（2）平行四邊形的對(duì)角相等；

（3）平行四邊形的對(duì)角線互相平分.

【歸納】（1）平行四邊形的性質(zhì)為證明線段平行或相等、角相等提供了新的理論依據(jù)；

（2）平行四邊形的兩條對(duì)角線將平行四邊形分成的四個(gè)三角形中，相對(duì)的兩個(gè)三角形全等，且四個(gè)三角形

的面積相等，相鄰兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)差等于平行四邊形相應(yīng)的鄰邊之差；

（3）利用對(duì)角線互相平分可以解決對(duì)角線或邊的取值范圍問題，在解答時(shí)應(yīng)聯(lián)系“三角形的兩邊之和大于

第三邊，兩邊之差小于第三邊”來解決.

3.兩條平行線之間的距離

定義：兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離.

性質(zhì)：（1）兩條平行線之間的距離處處相等；

（2）夾在兩條平行線間的平行線段相等.

1、平行四邊形對(duì)邊平行且相等.

幾何描述：：四邊形ABCD是平行四邊形,

：.AB=CD,AD=BC;AB//CD,AD//BC.

2、平行四邊形對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ).

幾何描述：：四邊形A8CD是平行四邊形.

ZA=ZC,ZB=ZD,ZA+ZB=180°.

3、平行四邊形對(duì)角線互相平分.

幾何描述：；四邊形A8CO是平行四邊形，

11

AO=OC=-AC,BO=OD=-BD.

22

，考點(diǎn)剖析

考點(diǎn)一、平行四邊形邊的性質(zhì)

【例1】如圖，在平行四邊形ABCD中，DE是NADC的平分線，廠是48的中點(diǎn)，AB=6,AO=4,則

AE:EF:BE為()

A.4：1：2B.4：1：3C.3：1：2D.5：1：2

【答案】A

【解析】???四邊形A5CD是平行四邊形，

/.AB//CD,

：.ZCDE=ZAED,

'：DE是XADC的平分線，

ZADE=ZCDE,

ZADE=ZAED,

/.AE=AD=4,

:尸是AB的中點(diǎn),

AF=BF=3,

EF=AE-AF^1,BE=BF—EF=2,

：.AE:EF:BE=4:1:2,

故選A.

【變式1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,YAB8的頂點(diǎn)A,B,。的坐標(biāo)分別是（0，。），（5,0）,（2,3）,則

頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）

(5,3)C.(3,7)D.(8,2)

【答案】A

【解析】如圖所示,

?..四邊形ABCD是平行四邊形,

AB//CD,AB=CD,

A(0,0),8(5,0),

AB=5,

C(2,3),CD=5,

0(7,3).

故選A.

考點(diǎn)二、平行四邊形角的性質(zhì)

【例2】如圖，在平行四邊形ABCQ中,DB=DC,ZC=70°,于E,則=.度.

DC

E

AB

【答案】20

【解析】解：：DB=OC,ZC=70°,

:.ZDBC=ZC=10°,

■.■AD//BC,AELBD,

:.ZADB=NDBC=NC=70。,ZAED=90°,

.?.ZZME=90°-70°=20°,

故答案為：20.

【變式2】如圖，在平行四邊形ABC。中，ZA+ZC=120°,則NC的度數(shù)為（）

A.50°B.60°C.70°D.120°

【答案】B

【解析】解：：四邊形ABC。是平行四邊形，

ZA=ZC,

'：ZA+ZC=120°,

ZA=ZC=60°,

故選B.

考點(diǎn)三、平行四邊形對(duì)角線的性質(zhì)

【例3】如圖，在YABCD中，AC、5。相交于點(diǎn)。，若△BOC的面積為3,則YABCD的面積為

【答案】12

【解析】解：?四邊形"CO是平行四邊形,

OA=OC,OB—OD，

S40AB=SQBC，SAOAD~S.oc。，S.OBC=SQCD，^^OAB=AD，

=

^aABCD4S*OBC=4x3=12.

故答案為：12.

【變式3】已知YA8co的周長(zhǎng)是30,AC,8。相交于點(diǎn)。，AAC歸的周長(zhǎng)比△50C的周長(zhǎng)大3,那么

AB=.

【答案】9

【解析】解：如圖：

???四邊形ABC。是平行四邊形，

:.AB=CD,AD=BC,OA=OC,

AA0B的周長(zhǎng)比ABOC的周長(zhǎng)大3,

:\AO+BO+AB)-{BO+OC+BC)=3,

:.AO+BO+AB-BO-OC-BC=3,

AB—BC=3,

???YABC。的周長(zhǎng)是30,

2(AB+BC)=30,即AB+3C=15,

:.AB=9,

故答案為：9.

考點(diǎn)四、兩平行線之間的距離

【例4】在同一平面內(nèi)，有相互平行的三條直線。，b,c,且“，人之間的距離為1,b,。之間的距離是

2,若等腰Rt^ABC的三個(gè)頂點(diǎn)恰好各在這三條平行直線上，如圖所示，Zfi4C=90°,則△ABC的面積

是.

【答案】5

【解析】解：如圖，過8作于O,過C作CE_L■。于E,

DAE

a

B

：.ZBDA=90°=ZAEC,BD=3,CE=1,

ZDAB-^-ZABD=90°=ZDAB-^-ZCAE,

???ZABD=ZCAE,

VZABD=ZCAE,ZBDA=90°=ZAEC,AB=AC,

：.Z\ABZ）^AC4E（AAS）,

AAE=BD=3,AD=CE=\,DE=4,

（1+3）X4_2XN=5,故答案為：5.

?Q—Q—Q—V

??-Q梯形5CED°ACE

A22

【變式4】如圖，若A,。在直線加上，B,E在直線〃上，四邊形ABCD是平行四邊形，4）=5,BE8,

△OCE的面積為6,則直線相與〃之間的距離為.

【解析】解：二?四邊形ABCZ）是平行四邊形，5C=AZ>=5,m//n.

e.aBE=8,/.CE=BE—BC=3,

設(shè)直線加與〃之間的距離為"

?zDCE的面積為6,

.?.1x3/z=6,解得〃=4,故答案為：4.

2

考點(diǎn)五、平行四邊的性質(zhì)的有關(guān)計(jì)算與證明

【例5】如圖，在口ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交。C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)?

A，D

BEc

(1)求證：AB=CF；

(2)連接。石，若AD=2AB,求證：DELAF.

【解析】(1),?,四邊形A3CD是平行四邊形，

J.AB//DF,

：.ZBAE=ZFf

???E是3。的中點(diǎn)，

：.BE=CE,

'/BAE=NF

在和△/EC中，＜/AEB=NFEC,

BE=EC

???△AEBmAFEC(AAS),

：.AB=CF；

(2)??,四邊形A8CO是平行四邊形，

：.AB=CD,

u

：AB=CFfDF=DC+CF,

：.DF=2CF,

：.DF=2ABf

?：AD=2AB,

：.AD=DF,

,?AAEB^AFEC,

:.AE=EF9

:?ED_LAF.

【變式5】如圖，四邊形ABC。為平行四邊形，NA4。的角平分線AE交。。于點(diǎn)尸，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

E.

(1)求證：BE=CD；

(2)連接8憶BF±AEfZBEA=60°fAB=4,求平行四邊形A3C0的面積.

【解析】(1)證明：??,四邊形ABC。是平行四邊形,

AD//BC,AB=CD,

：.NAEB=NDAE,

??,AE是NBA。的平分線，

JZBAE=ZDAEf

：.NBAE=/AEB,

：.AB=BE,：.BE=CD；

(2)解：AB=BE,ZBEA=60°f

???△ABE是等邊三角形，

AE=AB=4,

BFLAE,

：.AF=EF=2,

BF=y/AB2-AF2=>/42-22=2/，

AD//BC,

:,/D=/ECF,NDAF=/E,

ZD=ZECF

在△川□尸和尸中，|/DAF=/E,

AF=EF

AAADF^AECF(AAS),

???AADF的面積二△￡(7尸的面積，

平行四邊形ABCD的面積的面積x4x2幣=4幣.

考點(diǎn)六、平行四邊形邊的性質(zhì)綜合應(yīng)用

【例6】如圖，YABCD中，把△ABC沿AC翻折得到△AEC,CE、AD相交于點(diǎn)尸.

⑴求證：DE//AC-,

(2)連接80交AC于點(diǎn)。，連接OE,在不添加輔助線的條件下請(qǐng)直接寫出圖中所有等腰三角形.

【解析】(1)證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，

:.AB=CD,NB=ZADC,

,/把AABC沿AC翻折得到△AEC,

:.AB=AE,ZB=ZAEC,

:.AE=CD,ZAEC=ZADC,

ZAEF=ZADC

在△AEF和.CDF中，，NAPE=NCFD,

AE=CD

.-.△AEF^ACDF(AAS),

:.EF=FD,AF=FC,

:.ZFED=ZFDE,ZFAC=ZFCA,

又Q/EFD=/AFC,

,\ZFED=ZACFf

DE//AC；

(2)解：\-EF=FD,AF=FC,

.?.△DEF,AACF是等腰三角形，

?/四邊形ABCQ是平行四邊形，

:.AO=CO,AD//BCfBC=AD,

.\ZDAO=ZBCO,

把AABC沿AC翻折得到△AEC,

:.CE=BC,ZACB=ZACE,

.\AD=CE,ZDAO=ZACE,

AO=CO

在AAZ)O和△CEO中，＜/DAO=NECO,

AD=CE

.-.△AT)O^ACEO(SAS),

/.OE=OD,

.?.△OED是等腰三角形.故圖中所有等腰三角形有：&DEF,&ACF,AOED.

【變式6】問題：如圖，在平行四邊形ABCQ中，AB=10,AD=6,ZDAB,NABC的平分線AE、3廠分別

與直線8交于點(diǎn)E、F,請(qǐng)直接寫出E廠的長(zhǎng).

(1)探究：把“問題”中的條件“AB=10”去掉，其余條件不變.

①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)/重合時(shí)，AB的長(zhǎng)為.

②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，E尸的長(zhǎng)為.

(2)把“問題”中的條件“AB=10,AT>=6”去掉，其余條件不變，當(dāng)點(diǎn)C,D,E,尸相鄰兩點(diǎn)間的距離相等

An

時(shí)，求當(dāng)?shù)闹?

【解析】解：?jiǎn)栴}：???四邊形ABCD是平行四邊形,

/.CD=AB=10,BC=AD=6,AB//CD,

/.ZDEA=ZBAE,

'：AE平分2/MB,

ZDAE=ZBAE,

ZDEA=ZDAE,

：.DE=AD=6,

同理可得CF=8C=6,

EF=DE+FC-CD=2-,

探究：(1)①如圖1所不:

DE(F)C

圖1

???四邊形ABCD是平行四邊形，

:.CD=AB,BC=AD=6,AB//CD,

：.ZDEA=ZBAE,

'：AE平分NZMB,

ZDAE=ZBAE,

ZDEA=ZDAE,

：.DE=AD=6,同理：BC=CF=6,

???點(diǎn)￡與點(diǎn)F重合，

?.AB=CD=DE+CF=n-,

故答案為：12；

②如圖2所示：

D(F)C(￡)

:點(diǎn)E與點(diǎn)C重合,

:.DE=AD=6,

CF=BC=6,

點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合,

EF=DC=6；

故答案為：6；

(2)分三種情況

①如圖3所示：

?.?點(diǎn)C,D,E,尸相鄰兩點(diǎn)間的距離相等,

AD=DE=EF=CF,

.AD1

?一?一—二—?;

AB3

②如圖4所示:

圖4

同（1）得：AD=DE=CF,

DF=FE=CE,

,AD2

??=一;

AB3

③如圖5所示：

圖5

同(1)得：AD=DE=CF,

DF=DC=CE,

AD八

——二2；

AB

AF)19

綜上所述，失的值為2或1或弓.

AB33

?過關(guān)檢測(cè)

一、單選題

1.在YA3C。中，有兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比為5:1,則YABCD中較大內(nèi)角的度數(shù)是(

A.150°B.120°C.60°D.30°

【答案】A

【解析】解：設(shè)YABCD中的較小的內(nèi)角的度數(shù)為無，則較大的內(nèi)角為5x,

:平行四邊形的對(duì)角相等，

2（x+5x）=360°,

解得：x=30。，

5尤=150°,

即：YABCD中較大內(nèi)角的度數(shù)是150。；

故選A.

2.如圖，在YABCD中，已知AC=5,若△ACD的周長(zhǎng)是15,則YABCD的周長(zhǎng)是（）

A.26B.24C.20D.18

【答案】C

【解析】解：,??△ACD的周長(zhǎng)是15,AC=5,

：.AD+DC=10,

又?..四邊形ABCD是平行四邊形，

AB=CD,AD=BC,

：.NABCD的周長(zhǎng)是10x2=20,

故選C.

3.在YABC。中，對(duì)角線AC、交于點(diǎn)。，若4）=5,AC=10,BD=6,則△50C的周長(zhǎng)為（）

A.13B.16C.18D.21

【答案】A

【解析】解：：YABCD的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)O,AC=10,BD=6,AD=5,

：.BO=DO=3,AO=CO=5,BC=AD=5,

ABOC的周長(zhǎng)為：BO+CO+2?C=3+5+5=13.

故選A.

4.如圖，在平行四邊形ABC。中，對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)O,且平行四邊形ABC。的面積

為48,OA=3,則BC的長(zhǎng)為（）

AD

A.6B.8C.12D.13

【答案】B

【解析】解：?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

\AC=2AO=6,

QAC±BC,平行四邊形ABC。的面積為48,

ACBC=48,

BC=8,

故選B.

5.如圖，QABCD的對(duì)角線AC、交于點(diǎn)。，AE平分/BAD交BC于點(diǎn)E,且NADC=60。，AB=-BC,

2

連接OE.下列結(jié)論：①AE=CE；②S“Bc③SAABE=2S^ACE；?OE±AC,成立的個(gè)數(shù)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【解析】解：；四邊形是平行四邊形，

/ABC=XADC=60°,/BAD=120°,

,?AE平分NAW,

/BAE=/EAD=60°,

:■&ABE是等邊三角形，

:.AE=AB=BE,ZAEB=60°,

AB=-BC,

2

AE=BE=-BC,

2

AAE=CE,故①正確；

/E4c=/ACE=30°,

^BAC=90°,

■■^ABC=^AB-AC,故②錯(cuò)誤；

BE=EC,

.?.E為8C中點(diǎn)，

?SnAB￡=S4ACE，故③錯(cuò)誤；

VOA=OC,AE=EC,

：.OELAC,故④正確；

故正確的個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選B.

6.已知平行四邊形ABCD,點(diǎn)E為邊AD上任意一點(diǎn),連接CE并延長(zhǎng),與BA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H,連接DH,

BE,要算出zX/ffiD的面積，則只需知道（）的面積.

A.AAHEB.ACDEc.AABED.XABCD

【答案】C

【解析】解：連接AC,如圖，

?..四邊形ABCD為平行四邊形，

AB//CD,AD//BC,

△CDH與ACZM的邊上的高相等，△但與△AEC的邊AE上的高相等,

即S-HED=S&AEC，

.?LHED-，

要算出△HED的面積，則只需知道“WE的面積.

故選C.

二、填空題

7.如圖，YABCD中，AE平分若CE=3cm,AB=4cm,則YABCD的周長(zhǎng)為

【解析】解：???四邊形ABCQ是平行四邊形，

/.AD〃BC,

ZDAE=ZAEBf

AE平分/&ID,

JZDAE=ZBAE,

：.ZAEB=ZBAE,

/.AB=BE=4cm,

C石=3cm,

BC=BE+CE=4+3=7cm,

*.*AB=4cm,

YABCD的周長(zhǎng)為2(5C+AB)=2x(7+4)=22cm,

故答案為：22cm.

8.如圖，在平行四邊形ABC。中，APL3C于點(diǎn)尸，A。，。于點(diǎn)。，則直線AD與BC間的距離是線段

的長(zhǎng)度.(填圖中已有線段)

【答案】AP/PA

【解析】解：：四邊形ABCQ為平行四邊形，

AD//BC,

AP±BC,

：.直線相＞與3C|'0］的距離是線段”的長(zhǎng)度，

故答案為：AP.

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，若平行四邊形A5CD的頂點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別是(3,4),(1,-1),(7,-1),

則點(diǎn)D的坐標(biāo)是.

【解析】解：???四邊形ABC。是平行四邊形，

:.CD=AB,CD//AB,

?.七4JCD的頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是(3,4),(1,-1),(7,-1),

.〔45〃8C〃x軸，BC=6,

二頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(9,4).

故答案為：(9,4).

10.如圖，平行四邊形A5CD的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，且ABw,過點(diǎn)。作OE，班＞交BC于點(diǎn)E.若△CDE

的周長(zhǎng)為13cm,則平行四邊形ABC。的周長(zhǎng)為cm.

【解析】解：：四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)0,

...點(diǎn)。是線段的中點(diǎn)，

OE±BD,

線段OE是線段80的垂直平分線，

ED=EB,

'：ACDE的周長(zhǎng)為13cm,即ED+EC+CD=13cm,

EB+EC+CD=BC+CD=13cm,

平行四邊形ABC。的周長(zhǎng)為2(BC+CD)=2x13=26cm,

故答案為：26.

三、解答題

11.如圖，在YABCZ)中，E,G,H,尸分別是AB,BC,CD,D4上的點(diǎn)，且AE=CW,AF=CG.求

證：EF=HG.

AFD

【解析】證明：???四邊形ABC。是平行四邊形,

Z.ZA=ZC,

AF=CG

?.,在△AEF和△CHG中，＜/A=/C,

AE=CH

：.AAEF2CHG,

：.EF=HG.

12.如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，DE平分/ADC交AB于點(diǎn)E,平分/ABC交8于點(diǎn)尸，求

證：DE=BF.

【解析】證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

:.AD=CB,ZA=ZC,ZADC=ZCBA.

：DE平分/ADC,8尸平分/ABC,

/.NADE=-ZADC,NCBF=-/CBA,

22

ZADE=NCBF.

：.AADE^ACBF(ASA),

DE=BF.

13.如圖，在小正方形的邊長(zhǎng)均為1的方格紙中，有線段點(diǎn)A、3均在小正方形的頂點(diǎn)上.

⑴在圖1中畫一個(gè)以線段AB為一邊的平行四邊形ABCD,點(diǎn)C、。均在小正方形的頂點(diǎn)上，且平行四邊

形ABCD的面積為6；

(2)在圖2中以AB為邊畫一個(gè)直角"BE，點(diǎn)E在小正方形的頂點(diǎn)上，滿足AlBE的面積為6.

【解析】(1)如圖1,四邊形ABCD即為所求；

圖1

;AB=2y/2,AE=3^/2，

S.?F——AB*AE=—x2-$/2X3A/2=6.

△ABH22Y、

14.如圖，平行四邊形ABCQ中，NBCD的平分線交AZ）于E/ABC的平分線交互＞于點(diǎn)?

⑴求證：AE=DF；

⑵若NA=120。，BF=8日EF=3,求的長(zhǎng).

【解析】（1）解：:四邊形ABCQ是平行四邊形.

:,AD〃BC,AB=DC,AD=BC.

：.ZAFB=ZFBC,ZDEC=/ECB.

???CE是ZBCD的平分線，3尸是/ABC的平分線.

ZABF=ZFBC,NDCE=NECB.

：.ZABF=ZAFB,/DEC=NDCE.

：.AB=AF,DE=DC.

:.AF=DE.

:.AF-EF=DE-EF.

：.AE=DF.

(2)過點(diǎn)A作垂足為H,如圖:

由（1）知=且NBAF=120。，BF=8也,

：.ZBAH=6Q°,BH==BF=A6.

2

?：ZABH=3Q°,

：.AH^-AB,

2

：.AB2=AH2+BH2=QAB^+BH2,結(jié)合平方性質(zhì)可得AS=8.

AF=DE=AB=8.

"：EF=3.

：.AE=AF-EF=5.

：.AD=AE+ED=13.

：.BC=AD=13.

15.如圖，在YABCD中，過點(diǎn)A作AFLAB交直線CO于點(diǎn)F,且AB=AF,BE平分/ABC交AO于點(diǎn)

E,交AF于點(diǎn)G,過點(diǎn)A作A"J.BE交直線8于點(diǎn)H.

(1)求證：ZABE=ZAEB；

⑵若AB=3,AD=5,求線段A”的長(zhǎng)；

(3)下列三