第02講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

目錄

01考情解碼?命題預(yù)警..........................................................2

02體系構(gòu)建?思維可視............................................................3

03核心突破?靶向攻堅(jiān)............................................................4

知能解碼...................................................................4

知識(shí)點(diǎn)1平面向量的基本定理............................................4

知識(shí)點(diǎn)2平面向量的正交分解.............................................4

知識(shí)點(diǎn)3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.............................................5

知識(shí)點(diǎn)4平面向量共線的坐標(biāo)表示.........................................6

題型破譯.......................................................................7

題型1對(duì)基向量概念的理解...............................................7

題型2用基底表示向量

題型3本定理求參數(shù)

【方法技巧】對(duì)應(yīng)系數(shù)相等求參數(shù)

【易錯(cuò)分析】向量的分解易錯(cuò)

題型4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算..............................................16

題型5向量共線的坐標(biāo)表示..............................................日

04真題溯源?考向感知...........................................................19

05課本典例?高考素材...........................................................24

01

考情解碼-命題預(yù)警

PU

考點(diǎn)要求考察形式2025年2024年2023年

(1)理解平面向量基本定理

及其意義，在平面內(nèi)，當(dāng)一

組基選定后，會(huì)用這組基來(lái)

新課標(biāo)I卷，第3題，5

表示其他向量；

團(tuán)單選題分

(2)借助平面坐標(biāo)系，掌握全國(guó)二卷，12新課標(biāo)卷，第題，分

□多選題I35

全國(guó)甲卷，第9題，5分

平面向量的坐標(biāo)表示；團(tuán)填空題題，5分

□解答題上海卷，第5題，4分

(3)理解向量坐標(biāo)的運(yùn)算及

中點(diǎn)坐標(biāo)公式；

(4)掌握平面向量平行的坐

標(biāo)表示.

考情分析：

掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；

會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算；

理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)會(huì)應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問(wèn)題；

(2)會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算；能將向量的幾何運(yùn)算和代數(shù)運(yùn)算靈活地結(jié)合起來(lái)，解決一些平

面向量的計(jì)算問(wèn)題；

(3)理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件，并能正確地進(jìn)行有關(guān)應(yīng)用.

02

體系構(gòu)建-思維可視u

平平面向量基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,

那么對(duì)該平面內(nèi)任意一個(gè)向量a,

面存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)入1,入2,使a=A1e1+入2e2;

平面向量基本定理/

向

零向量：長(zhǎng)度為。的向量，其方向是任意的.

量

基

若基中的兩個(gè)向量互相垂直，則稱這組基為正交基

本

定正交基、正交分解及標(biāo)準(zhǔn)正交基在正交基下向量的線性表示稱為正交分解

理

若基中的兩個(gè)向量是互相垂直的單位向量，則稱這組基為標(biāo)準(zhǔn)正交基

及

坐

平面向量的坐標(biāo)表示

標(biāo)

表平面向量的坐標(biāo)表示點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)間的關(guān)系

示

平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

■03

核心突破-靶向攻堅(jiān)

PU

知識(shí)點(diǎn)1平面向量的基本定理

條件ei,e?是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量

結(jié)論對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量m有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)九，％2，使a=4必土&經(jīng)

基底若也，口不共線,我們把｛ei，出｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底

皇生幽在VABC中，點(diǎn)加滿足AM=3MB，點(diǎn)N滿足2A7V=NC，E,下分別是建V,3C的中點(diǎn)，設(shè)A5=a，

AC=6，則所=()

C.-ciH—bD.—ci—b

4383

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，利用向量的線性運(yùn)算法則即可求解.

【詳解】

12

,/AM=3MB，2AN=NC,：.MB=-AB,NC=-AC.

43

,,_,,UUUUluuu

VE,尸分別是MV,BC的中點(diǎn)，:-EM=-EN，F(xiàn)B=-FC.

又EF=EM+MB+BF，EF=EN+NC+CF,，2EF=MB+NC，EF=^-MB+^-NC=^a+^b.

22o3

故選：A.

知識(shí)點(diǎn)2平面向量的正交分解

1,正交基、正交分解及標(biāo)準(zhǔn)正交基

(1)若基中的兩個(gè)向量互相垂直，則稱這組基為正交基;

(2)在正交基下向量的線性表示稱為正交分解；

(3)若基中的兩個(gè)向量是互相垂直的單位向量，則稱這組基為標(biāo)準(zhǔn)正交基.

(4)把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

|自主檢測(cè)已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)8,。,￡＞的坐標(biāo)分別是8(-1,3),。(3,4),。(2,2).

(1)用坐標(biāo)表示BC;

(2)求。。一。2的模長(zhǎng)；

(3)求頂點(diǎn)A的坐標(biāo).

【答案】⑴(4,1)；

Q)歷；

⑶(-2,1).

【分析】(1)利用終點(diǎn)坐標(biāo)和始點(diǎn)坐標(biāo)即可得解；

(2)求出。的坐標(biāo)，由模長(zhǎng)公式可得；

(3)利用相等向量列方程組求解即可.

【詳解】⑴因?yàn)锽(-1,3),C(3,4),所以友?=(3,4)—(—1,3)=(4,1).

(2)因?yàn)?(—1,3),C(3,4),D(2,2),

所以O(shè)C=(3,4)-(2,2)=(1,2),DB=(-1,3)-(2,2)=(-3,1),

所以℃_加=(1,2)_(_3,1)=(4,1),所以卜J4?+12=歷?

(3)設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(x,y),則D4=(x-2,y-2),

因?yàn)樗倪呅蜛BC。為平行四邊形，所以D4=(x-2,y-2)=-BC=(T,-L),

[%—2=—4

則/-2=-1'解得x=-2，y=l，即點(diǎn)A坐標(biāo)為(一2,1)

知識(shí)點(diǎn)3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1、平面向量的坐標(biāo)表示

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j作為標(biāo)準(zhǔn)正交基.對(duì)于坐標(biāo)

平面內(nèi)的任意向量。，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為起點(diǎn)作海=。(通常稱作為位置向量).由；卜夕)/

平面向量基本定理可知，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)x,?使海=刀+/./；

因此，a=xi+yj.I

我們把(無(wú)，y)稱為向量。在標(biāo)準(zhǔn)正交基｛工I/｝下的坐標(biāo)，向量?？梢员硎緸閍=(x,y).

2、點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)間的關(guān)系

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的位置被它的位置向量0P所唯一確定，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),容易看出

OP=xi+xj=(x,y),即點(diǎn)P的位置向量OP的坐標(biāo)(x,y)也就是點(diǎn)P的坐標(biāo)；反之，點(diǎn)P在平面直角坐

標(biāo)系中的坐標(biāo)也是點(diǎn)P所決定的位置向量OP的坐標(biāo).

3、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)。=(無(wú)1，yi),b=(x2>j2)-

數(shù)學(xué)公式文字語(yǔ)言表述

向量加法a+b=yi+~V2)兩個(gè)向量和的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和

向量減法a-b=(x1—X2，yi—丫2)兩個(gè)向量差的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差

實(shí)數(shù)與向量數(shù)乘的坐標(biāo)等于這個(gè)實(shí)數(shù)與向量的相

向量數(shù)乘Act=(AY],

應(yīng)坐標(biāo)的乘積

|自主檢測(cè)|若向量a=(-1,0),6=(0,1),貝Ua+26的坐標(biāo)為()

A.(-1,2)B.(-1,1)C.(0,1)D.(1,2)

【答案】A

【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得結(jié)果.

【詳解】由a=(T0),。=(0,1),

貝必+26=(-1,0)+(0,2)=(-1,2).

故選：A.

知識(shí)點(diǎn)4向量坐標(biāo)的坐標(biāo)表示

設(shè)點(diǎn)A(xi，?)，2(尤2,竺)，那么向量A*=(9—%，％一，

即任意一個(gè)向量的坐標(biāo)等于其終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).

|自主檢測(cè)已知向量￡=(1,2),6=(-6)，若a〃八則y的值為()

A.—B.—C.2D.—2

22

【答案】D

【分析】利用平面向量共線的坐標(biāo)表示求解即可.

【詳解】由°〃6,則lxy=2x(-l),解得y=_2.

故選：D.

題型i對(duì)基向量概念的理解

例1-1|若已知（、02是平面上的一組基，則下列各組向量中不能作為基的一組是（）

A.4與-e?B.3q與2e2C.q+e,與q—e?D.e1與2q

【答案】D

【分析】由基的定義可判斷選項(xiàng)正誤.

【詳解】因e；、02是平面上的一組基，則q、不共線，據(jù)此可得ABC選項(xiàng)所對(duì)應(yīng)向量組均不共線，可作

為基，

D選項(xiàng)，q與2e；共線，則不可以作為一組基.

故選：D

例1制（多選）設(shè)G，e?是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組向量中，能作為基底的是（）

A.ex+e2ex—3e2B.ex+6e2ex+e2

C.3q—4e?和6q—8e?D.q+2e?，和2q—e?

【答案】ABD

【分析】根據(jù)向量基底的定義逐一分析即可判斷.

【詳解】對(duì)于A：由;力士可得q+e?和q-3e；不共線，

所以q+e2和q-3e；能作為基底，故A正確；

16,----

對(duì)于B：由丁工不可得,+6%和6+%不共線，

所以,+64和6+e2能作為基底，故B正確；

對(duì)于C：由■|=3=g,可得3q-4g=g（6e「8e；）,

所以3e「4ez和6芻-8%共線，故不能作為基底，故C錯(cuò)誤；

12

對(duì)于D：由萬(wàn)w-y可得q+2與和2,-4不共線，

所以6+2與和2^-e2能作為基底，故D正確.

故選：ABD.

方法技巧向量的有關(guān)概念

⑴向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模.

（2）零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的.

⑶單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.

（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量平行.

（5）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.

（6）相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.

【變式訓(xùn)練1-1］若｛%,ej是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下列四組向量中不能作平面向量的基底的是（）

A.-e2,e2-2e^B.1q一與百一1｝

C.^2e2-3^,6^-4e21D.+e2,e1+3e21

【答案】C

【分析】根據(jù)基底滿足的條件逐一分析判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,設(shè)存在唯一的實(shí)數(shù)2使0-6；=彳但-20）=&2-2雞，

貝”］=122,此方程無(wú)解，故｛e「e；,e2-2q｝能作為平面向量的基底，故A不符合題意；

對(duì)于B,設(shè)存在唯一的實(shí)數(shù)4使q-e?=2,-；4）=彳弓,

1=2fl］

則，1,,此方程無(wú)解，故。-624一彳02能作為平面向量的基底，故B不符合題意；

I2

對(duì)于C,由6el—4e2=-2（2e?-3q）,所以2e2—3q與6q-4e?共線，

故｛2q-3e“6e「44｝不能作為平面向量的基底，故C符合題意；

對(duì)于B,設(shè)存在唯一的實(shí)數(shù)4使q+3e；=/L（q+e?）=乃+招，

則314，此方程無(wú)解，故,+4，q+3e2｝能作為平面向量的基底，故D不符合題意.

故選：C.

【變式訓(xùn)練1-2］（多選）下列說(shuō)法正確的是（）

A.與向量。=（-1,2）方向相同的單位向量的坐標(biāo)為,半，亭

C.0,6,c為非零向量，且相互不共線，貝1］（。/卜-（。/）6=0

D.若。=（2,3）與6=（占-6）共線，則第=T

【答案】AD

【分析】對(duì)于A,根據(jù)向量的單位化，可得其正誤；對(duì)于B,根據(jù)投影向量的計(jì)算，可得其正誤；對(duì)于C,

根據(jù)數(shù)量積的概念，由向量的減法，可得其正誤；對(duì)于D,根據(jù)共線向量的坐標(biāo)表示，可得其正誤.

【詳解】對(duì)于A,與向量。=（-1,2）方向相同的單位向量為向"74彳（-1,2）=[一g,三一小故A正確;

a'b.

-bb

對(duì)于B,向量￡在向量。上的投影向量為H故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,由與cs為數(shù)字，且c,6不共線，則（。町0-（小司6-0,故C錯(cuò)誤;

/、/、12=Ax

對(duì)于D,由。=（2,3）與。=（x,-6）共線，則?！埃獾脁=T,故D正確.

5=-O/L

故選：AD.

【變式訓(xùn)練1-3】若°,6是平面內(nèi)一組不共線的非零向量，則下列也可以作為一組基底向量的為（）

①.和2025匕—2025。@a+b^a-b

③3a-26和2a-36④a-3b和6b-2a

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，利用向量的共線定理，以及基底向量的定義，逐個(gè)判定，即可求解.

【詳解】對(duì)于①中，由〃一匕和2025匕一2025a,可得20256—2025。=一2025（。一力，

所以a_匕和20256-2025a是共線向量，不能作為一組基底向量；

fz=1

對(duì)于②中，設(shè)a+b=〃a-。），可得、,,方程組無(wú)解，

=-1

所以a+匕和a-匕不共線，可以作為一組基底向量；

、f24=3、

對(duì)于③中，設(shè)3。-26=〃（2。-3匕），可得｛,方程組無(wú)解，

[-3〃=-2

所以3°-26和2a-36不共線，可以作為一組基底向量；

…,f—2m=1,1

對(duì)于④中，設(shè)。-3〃=皿6〃-2〃），可得〈乙c，解得根=-7

6m=-32

所以和60-2〃是共線向量，不能作為一組基底向量.

故選：B.

題型2用基底表示向量

例已知點(diǎn)G為VA3C的重心(VA3C三條中線的交點(diǎn))，記AB=a,AC=b,則AG=()

11,r11,-12,_21,

A.-ciH—bB.-ciH—bC.—ciH—bD.—ci-\—b

22333333

【答案】B

【分析】利用向量的中線公式、重心的性質(zhì)及向量的線性運(yùn)算，即可求解.

【詳解】取2C的中點(diǎn)為O,連接AD,如下圖所示：

因?yàn)镚是VABC的重心，所以AG=§AO=§X5(AB+AC)=§(〃+/?).

故選：B.

例2-2在VABC中，AD為5C邊上的中線，E為AD上靠近A的三等分點(diǎn)，貝1」3石=()

3-13-1

A.-AB——ACB.——AB+-AC

4444

5uun?uun5uuniuum

C.—AB——ACD.——AB+-AC

6666

【答案】D

【分析】依據(jù)平面向量共線基本定理和向量的加減運(yùn)算法則求解.

【詳解】如下圖所示,

BE=BA+AE=BA+-AD=-AB+-(AB+AC}=--AB+-AC.

36、'66

方法技巧

判斷所給的兩個(gè)向量能否作為一組基的方法

由基的定義可知，要判斷兩個(gè)向量”，6能否作為一組基，只需判斷兩向量是否共線，而判斷向量是否共線

就要看是否存在力eR,使。=幼成立.另外，作為基的向量必為非零向量

【變式訓(xùn)練2-1】若點(diǎn)。是平行四邊形ABC。兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，AB=a,BC=b,則向量C0=()

D.工+4

A.-a+-bB.C.-a--b

22222222

【答案】B

【分析】由向量的線性運(yùn)算即可求解.

【詳解】

DC

故選：B.

jr

【變式訓(xùn)練2-2?變考法】(多選)在VABC中，已知NBAC=5，AB=AC,〃是AC的中點(diǎn)，若P是3C上的

一點(diǎn)，且滿足BP=2PC,A尸與50交于點(diǎn)E,貝I()

122

A.AP=-AB+-ACB.AP在秒上的投影向量為

3

C.APBD=QD.AE=-AP

【答案】ACD

jr^12

【分析】對(duì)于A,根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得；對(duì)于B,由/BAC=1,結(jié)合=+可直接得到投

影向量；對(duì)于C,根據(jù)向量的數(shù)量積可直接計(jì)算判斷；對(duì)于D,設(shè)AE=2AP，再結(jié)合民E,。三點(diǎn)共線，列

出方程組可求/L

【詳解】

2

對(duì)于A,BP=2PC,:.BP=-BC,

3

r\r\ir\

:.AP=AB+BP=AB+-BC=AB+-^AC-AB^=-AB+-AC,故A正確;

對(duì)于B,.Z8AC=5,且=+，AP在筋上的投影向量為故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,。是AC的中點(diǎn)，.?.8O=AO-AB=1AC—A8,

2

(12Wl1212]

貝l]AP-BO=—A3+—AC?—AC—A5=—A3——AC一一ABAC,

133J12J332

又/a4c=g,AB=AC,所以kq=kq,AB-AC=O,

12121_

gpAPBD=-AB——AC——ABAC=O故C正確；

332f

19

對(duì)于D,^AE=ZAP=-AAB+-AAC,

33

]

民瓦。三點(diǎn)共線，/.AE=JLLAB+（X-JU）AD=JLIAB+-^-AC,

1仁3

—An=UA=—

則3:,O:5，所以AE=￡3AP,故D正確.

2,l-〃15

—X=———〃=一

〔32I"5

故選：ACD.

【變式訓(xùn)練2-3?變載體】在平行四邊形ABC。中，A8=a,AD=b，若歹為線段A。上靠近。的三等分點(diǎn),

BD交CF于G,貝?。〢G=.（用a，6表示）

13

【答案】9

44

3

【分析】由VOPGsVBCG得到==結(jié)合圖形，由平面向量的線性運(yùn)算可得結(jié)果.

4

【詳解】由歹為線段AD上靠近￡?的三等分點(diǎn)，則。尸=gAD=；BC,

由題意，易得YDFgNBCG,所以空=空=:，

BCBG3

3

故有2G=72￡）,

4

所以AG=A3+BG=4B+Yr）=AB+|（Ar>-AB）=；AB+；AD=；a+|6.

1.3

故答案為：-a+-b.

BC

題型3利用平面向量基本定理求參數(shù)難

例3-1

在VABC中，點(diǎn)。是8C邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，若EC=xAB+yAC,貝()

A.1B.—1C.-D.—

22

【答案】B

【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算可得出關(guān)于AB、AC的表達(dá)式，結(jié)合平面向量基本定理求出x、y的

值，即可得解.

【詳解】如下圖所示：

因?yàn)?。為BC的中點(diǎn)，所以AD=—AB+—AC,

22

因?yàn)镋為AD的中點(diǎn)，所以AE=—AD=—AB+—AC,

244

所以EC=AC-AE=+=+

144J44

13

因?yàn)锳B、AC不共線，且EC=xA8+yAC,所以x=-],y=-,

故選：B.

例3制(2026高三?全國(guó)專題練習(xí))己知點(diǎn)M為VABC中2C邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足河過(guò)點(diǎn)N的

直線與A3,AC分別交于P,Q兩點(diǎn)，且設(shè)人尸=尤43,4。="1(?,則一+一的值為()

xy

A.5B.6C.9D.10

【答案】D

【分析】利用平面向量基本定理可把AN用ARAQ表示出來(lái)，再由平面向量共線定理的推論即可得出答案.

【詳解】根據(jù)題意，^A7V=|AM=|X1(AB+AC)

AP+—AQ

lOy

-+--1O

xy

故選：D.

例3-3,口圖所示,VABC中，點(diǎn)。是線段BC的中點(diǎn)，E是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，BE=xBA+^yBC,則x+y

的值為（）

A.1B.3C.5D.8

【答案】A

【分析】由題意可得BC=2B。，從而可得85=工函+>8￡>,再由AEQ三點(diǎn)共線，即可得答案.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)。是線段BC的中點(diǎn)，則BC=2B。，

貝(JBE=xBA+gyBC=xBA+yBD,

因?yàn)锳E,D三點(diǎn)共線，

所以x+y=l(x>0,y>0).

故選：A.

方法技巧

若直接利用基表示向量比較困難，可設(shè)出目標(biāo)向量，然后利用已知條件及相關(guān)結(jié)論，從不同方向和角度表

示出目標(biāo)向量（一般需建立兩個(gè)不同的向量表達(dá)式），再根據(jù)待定系數(shù)法確定系數(shù)，建立方程或方程組，

解方程或方程組即得.

【變式訓(xùn)練3-1】在平行四邊形ABCD中，CM=2MD,AM交5。于點(diǎn)。，若AQ=2A0+〃AC,則

4+"=.

DM__c

4^-------------------------&B

3

【答案】-/0.75

4

【分析】由三角形相似推出42=3QM,利用平面向量基本定理將AQ用ACAD線性表示，對(duì)照系數(shù)即得.

【詳解】如圖，ABCD中，DM//AB,貝鼠。。加與*QA相似，

廠..DMQM1

因CM=2MD,貝n1-7^=777二￡，

/\,DAQ3

333313111

i^AQ=-AM=-(AD+DM)=-AD+-x-DC=-AD+-(AC-AD)=-AD+-AC

444434424f

113

即4=_,//=_,故X+〃=-.

244

3

故答案為：—.

4

1?

【變式訓(xùn)練3-2】如圖所示，在，ABC中，AN=-AGP是8N上的一點(diǎn)，^mAC=AP--AB,則實(shí)數(shù)相

的值為_(kāi).

【答案】I

2

【分析】根據(jù)給定條件，可得A尸=gAB+3機(jī)⑷V,再利用共線向量的推論列式計(jì)算作答.

【詳解】在VA2C中，AN=^AC,即40=3A2V，

22

XmAC=AP——AB,gpAP=-AB+mAC

33f

221

因止匕AP=1AB+3m4V,而點(diǎn)8,P,N共線，于是耳+3m=1,解得加=§.

故答案為：—

題型4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

例4-11與向量d=(12,5)平行的單位向量是()

a-mmi

C.q或16,一I]

【答案】D

【分析】與向量〃平行的單位向量是±1，即可求解.

a/-------

【詳解】因?yàn)榕c向量4平行的單位向量是土同，|?|=V122+52=13,

所以所求單位向量為土著，即修島或(一點(diǎn)一11

故選：D

例4-21在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)3的坐標(biāo)為(4,-3),若向量AB=(2,3),則點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

【答案】(2,-6)

【分析】設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(％y),根據(jù)向量坐標(biāo)等于向量終點(diǎn)坐標(biāo)減去向量起點(diǎn)坐標(biāo)列出式子，再利用向量

相等列出方程，計(jì)算即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo).

【詳解】設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y),因?yàn)辄c(diǎn)2的坐標(biāo)為(4,-3),

所以向量AB=(4,-3)—(x,y)=(4-x,-3-y),

.f4-x=2fx=2

向量A5=(2,3),所以《Q解得＜/，

[-3—y=31y=—6

所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,-6).

故答案為：(2,-6)

方法技巧

求向量的坐標(biāo)的一般方法

1、數(shù)形結(jié)合法：根據(jù)正交分解，求向量在x軸、y軸上的坐標(biāo)分量;

2、平移法：把向量的始點(diǎn)移至坐標(biāo)原點(diǎn)，終點(diǎn)坐標(biāo)即向量的坐標(biāo)；

3、若已知4(和%)、B(x2,y2),則AB=(X2-4為一乂)?

【變式訓(xùn)練4-1】已知向量“=(6,10),&=(-6,-10),則.與6()

A.互為相等向量B.互為相反向量C.相互垂直D.均為零向量

【答案】B

【分析】由坐標(biāo)表示b=V可得答案.

【詳解】因?yàn)閍=(6,10),。=(一6,TO),所以6=_.,即a,b互為相反向量.

故選：B.

【變式訓(xùn)練4-2?變載體】已知點(diǎn)4(—2,l),3(l,4),C(0,—3),^\AB+AC=()

A.(5,-1)B.(-3,3)C.(1,7)D.(-1,7)

【答案】A

【分析】由向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.

【詳解】為A(-2』),3(l,4),C(0,-3),所以A3=(3,3),AC=(2,T),

則A3+AC=（5,—1）.

故選：A

題型5向量共線的坐標(biāo)表示

例5-11已知非零向量AB=(1,0),3c=卜一2,/一3尤+2),若A,B,C三點(diǎn)共線，則x=()

A.1B.2C.1或2D.無(wú)解

【答案】A

【分析】利用非零向量定義以及向量共線的坐標(biāo)表示解方程即可.

【詳解】根據(jù)A,B,C三點(diǎn)共線可知存在實(shí)數(shù)九滿足

可知x2-3x+2=0且％—2W0,

解得x=l,此時(shí)BC=(-l,0),滿足題意.

故選：A

例5-2已知平面向量a=(2,1),=(-l,A),且a//°,則九=.

【答案】-1/-0.5

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示的結(jié)論求參數(shù)X的值.

【詳解】由24—1x(-1)=。，得2=-：.

故答案為：-；.

例5-3|已知點(diǎn)4(-1,2),點(diǎn)3(5,6),且AP=3P2,則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

【分析】設(shè)點(diǎn)P（x,y）,根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及AP=3P8,可得出關(guān)于x、y的方程組，解出這兩個(gè)未

知數(shù)的值，即可得出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【詳解】設(shè)點(diǎn)尸（x,y）,因?yàn)辄c(diǎn)A（-l,2）,點(diǎn)3（5,6）,且人尸=3尸3,

7

x+1=3(5—x)x——

所以(x+l,y-2)=3(5-x,6-y),即解得,2,

j=5

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（：,5

故答案為：弓，5）.

■

方法技巧

1、判斷兩個(gè)向量共線的方法：一般是利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出需要判斷的向量的坐標(biāo)，并根據(jù)兩個(gè)向量平

行的坐標(biāo)來(lái)判斷，即先求出a=（七,%）,》=（%2，%），若X1%=0（生=2,弘力/0）,則?！?/p>

一一%為一

2、由向量共線求參數(shù)的值

已知兩個(gè)向量共線求參數(shù)時(shí)，參數(shù)一般設(shè)置在兩個(gè)位置：一是向量坐標(biāo)本身含參，二是將相關(guān)向量用已知

兩個(gè)向量的含參關(guān)系表示，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)題目特點(diǎn)選擇向量共線的坐標(biāo)表示的兩種形式，建立有關(guān)參數(shù)的

方程或方程組求解.

【變式訓(xùn)練5-1】已知AC=（-L,3）,AB=（3,1）,若線段BC的一個(gè)三等分點(diǎn)為則AM的坐標(biāo)為（）

【答案】B

【分析】由題意2cM或CM=2MB,結(jié)合向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可求解.

【詳解】由線段BC的一個(gè)三等分點(diǎn)為M,得2cM=MB或CM=2MB，

12門(mén)7、

若2cM=MB,則2AM_240=AB—AM,所以+=;

若CM=2MB，則AM-AC=2A3-2AM，所以人.=|A2+；AC=.

故選：B.

【變式訓(xùn)練5-2】設(shè)向量Q4=（-l,-l）,O3=（2a,3）,OC=（-6,0）其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，a>0,b>0,若A,民C

三點(diǎn)共線，則工1+：2的最小值為_(kāi)_____.

ab

【答案】6

【分析】由向量共線的坐標(biāo)表示可得4萬(wàn)+2a=3,再應(yīng)用基本不等式及“1”的代換求目標(biāo)式的最小值.

【詳解】由AB=AO+O3=(l+2a,4),AC=AO+OC=(l-?！?，

由A,3,C三點(diǎn)共線，且。>0,6>0,

所以=4-4b=l+2an46+2“=3,

1-b

m.r121z12XZ._,.lee4Z?4樂(lè)1/ic_14b4ax,

貝ij—+7=彳(一+7)(2〃+4/?)=彳(1。+——+-)>-(10+2A/-------)=6，

ab3ab3ab3\ab

當(dāng)且僅當(dāng)。=b=;時(shí)取等.

故答案為：6

【變式訓(xùn)練5-3已知向量a=(L@,6=(-1,0),c=gk),若q一2b與c平行，則實(shí)數(shù)上=—.

【答案】1

【分析】由題意。-26=卜,右)，結(jié)合向量平行的充要條件列方程即可求解.

【詳解】由題意=(1,道)一(-2,0)=卜,退)，若&一26與e平行，則3%=3,解得左=1.

故答案為：1.

_______04______?

真題溯源-考向感知

.—UUUUUUL

1.（2025?北京?高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，|。4|=|。引=魚(yú)，|AB|=2.設(shè)C（3,4）,貝/2CA+AB|

的取值范圍是（）

A.[6,14]B.[6/2]C.[8,14]D.[8,12]

【答案】D

【分析】先根據(jù)AB=O3-。A，求出〈04,02〉，進(jìn)而可以用向量。A,表示出2cA+AB，即可解出.

【詳解】因?yàn)閨。4|=|。8|=0,|A8|=2,

7T

由A3=08-04平方可得，OAOB=0,所以〈。^，。為二萬(wàn).

2CA+AB=2（OA-OC）+OB-OA=OA+OB-2OC,|oc|=732+42=5,

所以，|2CA+Afi|2=0A2+0B~+4OC2-4（0A+0B）-OC

=2+2+4x25-4（OA+08）.OC=104-4（OA+O3）OC,

又3+OB)-OC|<|OA+OB||oc|=5xJ2+2=10,gp-10<(OA+OB)OC<10,

所以12cA+e[64,144],即12c4+[8,12],

故選：D.

2.(2024?全國(guó)甲卷.高考真題)設(shè)向量a=(x+l,x)為=(x,2),則()

A.“x=-3”是“八廠的必要條件B.“尤=1+6”是,//6”的必要條件

C.“x=0”是“6廠的充分條件D.“x=T+g"是5//”的充分條件

【答案】C

【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.

【詳解】對(duì)A,當(dāng)a_l_b口寸，則=0，

所以x-(x+l)+2x=0,解得x=0或-3,即必要性不成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)C,當(dāng)尤=0時(shí)，a=(l,0),6=(0,2),故夕6=0，

所以即充分性成立，故C正確；

對(duì)B,當(dāng)a/必時(shí)，則2(x+l)=/,解得x=l±g,即必要性不成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)D,當(dāng)x=-l+若時(shí)，不滿足2(x+l)=V,所以a//6不成立，即充分性不立，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

3.(2023?北京?高考真題)已知向量%b滿足a+)=(2,3),a-6=(-2,l),則1412Tbi?=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解作答.

【詳解】向量。,方滿足a+6=(2,3),。一6=(-2,1),

所以邸=(a+》).(a_?=2x(_2)+3xl=_L

故選：B

4.(2025?全國(guó)二卷?高考真題)已知平面向量。=(占1)力=(丁-1,2苫),若。，,-。)，貝力。|=

【答案】亞

【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)化運(yùn)算得“-b=(l,l-2x),再利用向量垂直的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.

[詳解]a-6=(l,l-2x),因?yàn)閐_L(a_6),貝I]a(q-b)=0,

貝!Jx+l—2x=0,角單得x=l.

則。=(1,1),則⑷=后

故答案為：&

5.（2023?天津?高考真題）在VABC中，BC=l,ZA=60,AD=；AB,CE=gcD,記A8=a,AC=6,

用4,6表示AE=；若BF=；BC,則AE.AF的最大值為.

▼小自、11,13

【答案】-o+-^—

4224

【分析】空1：根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合E為。的中點(diǎn)進(jìn)行求解；空2：用a4表示出A/,結(jié)合上一空

答案，于是AE.AF可由。力表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算和基本不等式求解.

AE+ED=AD

【詳解】空1：因?yàn)镋為C。的中點(diǎn)，則即+EC=0，可得*

AE+EC=AC'

兩式相加，可得到2AE=AO+AC，

即2AE=^a+b,貝l]AE=Ja+』b；

242

AF+FC=AC

空2：因?yàn)?則2P2+FC=0，可得，

AF+FB=AB

得至IJA廠+/C+2（A尸+尸