第01練集合的概念與表示

fii課后培優(yōu)練

培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練

一、單選題

i.下面給出的四類對象中，構(gòu)成集合的是（）

A.某班視力較好的同學B.長壽的人C.兀的近似值D.倒數(shù)等于它本身的數(shù)

【答案】D

【解析】

對于A,視力較好不是一個明確的定義，故不能構(gòu)成集合；

對于B,長壽也不是一個明確的定義，故不能構(gòu)成集合；

對于C,乃的近似值沒有明確近似到小數(shù)點后面幾位，

不是明確的定義，故不能構(gòu)成集合；

對于D,倒數(shù)等于自身的數(shù)很明確，只有1和1,故可以構(gòu)成集合；

故選：D.

2.集合｛xeN|x-2<2｝用列舉法表示是（）

A.{1,2,3}B.{1,2,3,4}

C.{0,1,2,3,4}D.{0,1,2,3)

【答案】D

【解析】

{xeN|x-2<2}={xeN|x<4}={0,l,2,3}.

故選：D.

3.集合{xeZl爐-2工-3<。}=()

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}C.(-3,1)D.(-1,3)

【答案】A

【解析】

解不等式d-2x-3<0,得又因xeZ,集合為{0,1,2}

故選：A

4.若3e{a,"-2a},則實數(shù)。的值等于（）

A.-1B.3

C.±1D.3或-1

【答案】A

【解析】

當a=3時，。-2。=3,不滿足集合中元素的互異性；

當2°=3時，即a=—1或a=3（舍），止匕時-2a}={—1,3}

故選：A

5.已知集合4={0,1},則集合2={尤-引xe4}中元素的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】

由集合A={0,1},B=[x-y\x&A,y&A\,

根據(jù)尤eAyeB,

所以無一y=-l,0,l,

所以5中元素的個數(shù)是3.

故選：C

6.已知集合&={-1,0』,2},集合8={y|y=|尤|,xeA},則3=（）

A.{-1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

【答案】C

【解析】

因為B={y|y=W，xeA},A={-1,0,1,2）,

所以3={0,1,2}.

故選：C

二、多選題

7.已知集合&={》1依2-3x+2=0}中有且只有一個元素，那么實數(shù)。的取值可能是（

92

A.-B.1C.0D.-

83

【答案】AC

【解析】

當a=0時，A={x|-3x+2=0}=j|j,符合題意.

9

當時，A=9一8。=0,〃=三，符合題意.

故選：AC

8.大于4的所有奇數(shù)構(gòu)成的集合可用描述法表示為（）

A.{x\x=1k~i,左GN}B.{尤|x=24+1,kGN,整2}

C.{x|x=24+3,左GN}D.*|尤=2左+5,左GN}

【答案】BD

【解析】

對于A：{x|%=2左一1,左eN}={—l,l,3}

對于B：{x|產(chǎn)=2k+1,左eN,2}={5,7,9}

對于C：{x|%=2k+3,左eN}={3,5,7}

對于D：{x|_x=2k+5,keN}={5,7,9}

故選：BD

9.已知集合4={2,。2+1,。2一4°},2={0,/一。一2},5wA,貝U”為（）

A.2B.-2C.5D.-I

【答案】BC

【解析】

依題意5eA,

當+1=5時，a=2或a=-2,

若a=—2,則4={2,5,12},3={0,4},符合題意；

若。=2,則4-。-2=0,對于集合8,不滿足集合元素的互異性，所以。=2不符合.

當。2-4。=5時，。=一1或。=5,

若。=-1,則片+1=2,對于集合A,不滿足集合元素的互異性，所以a=-l不符合.

若4=5,則4={2,26,5},3={0,18},符合題意.

綜上所述，。的值為-2或5.

故選：BC

三、填空題

10.設(shè)集合A={(x,y)|x+y=3,xeN*,yeN*},則用列舉法表示集合A為.

【答案】{(1,2),(2,1)}

【解析】

,[x>0

Vx+y=3,XGNeN,貝Ij可得〈,貝！JO<x<3

[y=3_%>0

又???]￡N*,則當x=l,y=2成立，當x=2,y=l成立，

AA={(1,2),(2,1)}

故答案為：{(L2),(2,1)}.

11.已知集合{1,2,公，則實數(shù)“的取值集合是.

【答案】{oeR|axl且。力2}.

【解析】

根據(jù)集合元素互異性可知：awl且。片2,

實數(shù)a的取值集合為{aeA]a工1且aW2}.

故答案為：{。?固。#1且。片2}.

12.集合A={l,0},3={3,4},Q={2a+b\a^A,b^B},則。的所有元素之和等于.

【答案】18

【解析】

解：由題可知，A={1,0},B={3,4],Q=\2a+b\a&A,b&B^,

當a=l,b=3時，貝Ij2a+Z?=5；當。=11=4時，貝Ij2a+Z?=6；

當々=0,0=3時，貝|2〃+人=3；當々=0,人=4時，貝！J2a+b=4；

所以。={3,4,5,6},

所以。的所有元素之和為：3+4+5+6=18.

故答案為：18.

四、解答題

13.用描述法寫出下面這些區(qū)間的含義：

[-2,7]；[a,b).(123,甸；2,-9].

【答案】｛尤|-24尤W7｝；|x|a<x<；1x|x>123j；|x|x<-9｝.

【解析】

[-2,7]用描述法表示為：｛x|-2Wx<7｝；[a,6)用描述法表示為：｛x|a〈x<6｝；(123,y)用描述法表示為:

｛小>123｝；(―,-9]用描述法表示為：｛巾4-9｝.

14.用描述法表示下列集合：

(1)偶數(shù)組成的集合；

(2)正奇數(shù)組成的集合；

(3)不等式一NX)的解集；

(4)平面直角坐標系中第四象限內(nèi)的點組成的集合；

⑸集…口歸11111

【答案】⑴｛小=2〃,”ez｝或｛x|尤為偶數(shù)｝

(2)｛尤|x=2〃+l,“GN｝或｛小為正奇數(shù)｝

(3)｛x|一於0｝

(4)｛(尤,y)|x>0,y<0｝

(5)Ix=-,MeN*JIM<5｝

【解析】

(1)由偶數(shù)可以表示成整數(shù)的兩倍，

故偶數(shù)組成的集合可表示為｛x|x=2",〃GZ｝或｛x|x為偶數(shù)｝

(2)由奇數(shù)可以表示成整數(shù)的兩倍加1,

故正奇數(shù)組成的集合可表示為｛x|x=2w+l,wGN｝或｛x|x為正奇數(shù)｝

⑶不等式一元2對的解集可表示為｛尤I-NK)｝

(4)由第四象限的點橫坐標為正，縱坐標為負

故平面直角坐標系中第四象限內(nèi)的點組成的集合可表示為：{(%y)|x>0,y<0}

⑸集合可用描述法表示為=且〃W5}

[2345J[n

15.設(shè)集合A={2,3,4+4a+2},集合3={0,7,6+4。-2,2-4，這里。是某個正數(shù)，且7eA,求集合8.

【答案】8={0,7,3,1}.

【解析】

解:由題得a2+4(7+2=7>解得a=1或a=—5.

因為<2>0,所以。=1.

當4=1時，8={0,7,3,1}.

故集合2={0,7,3,1).

16.設(shè)xeR,集合A中含有三個元素3,無，x2-2x.

(1)求實數(shù)x應(yīng)滿足的條件；

⑵若-2eA,求實數(shù)x的值.

【答案】(1)x70且工片3且xw—l(2)%=-2

【解析】

尤W3

⑴根據(jù)集合中元素的互異性，可知，尤*/-2x,

x2-2x^3

即xwO且"3且工。一1；

(2)因為爐—2x=(%—1尸—12—1,且—2wA,

所以冗=-2.

培優(yōu)第二階一一拓展培優(yōu)練

一、單選題

1.已知集合A={-2,-1,0,U},B={xeZ|(x+2)(x-3)<0},則集合{z\z=孫心Ay叫的元素個數(shù)為

()

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【解析】

由(x+2)(x-3)<0解得一2Vx<3,所以3={-1,0,1,2}.

又4={-2,-1,0,12}

所以{z|z=xy,xeAyeB}={2,0,-2,^,l,-l,4},共有7個元素,

故選：B.

2.設(shè)集合A={xeZ時42卜B=|y|y=+3,.xe,則B中的元素有（）

A.5個B.4個C.3個D.無數(shù)個

【答案】C

【解析】

A={xeZ||x|<2)={-2,-l,0,l,2)

因為集合

所以3={y|y=d+3,xeA}={3,4,7},

所以8中的元素有3個，

故選：C

3.已知集合”={氏20-1,2片_1},若leM,則M中所有元素之和為（）

A.3B.1C.-3D.-1

【答案】C

【解析】

若a=l,則2。一1=1,矛盾；

若2a-1=1,則a=l,矛盾,故2a2-1=1,

解得。=1（舍）或a=—1,

故/={-1，-3,1},元素之和為-3,

故選：C.

4.已知aeR,beR,若集合卜,：」:={1,a+b,。},則產(chǎn)9+*9的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【解析】

因為

2=0

a

b=0b=0

所以a=a+b,解得a=l或

d——1

a2=I

當。=1時，不滿足集合元素的互異性，

故a=T,b=0,^2019=^2019+02019=_1；

故選:B.

5.設(shè)非空集合S=｛xW4xW/｝滿足：當xeS時，有給出如下四個命題：

①若m=1,貝！|S=｛1｝；②若wi=-g，則工W/W1；③若/=1,則加W0；④若/—],則一1（根（0

2422

或根=1；其中正確的命題個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

??,非空集合S=｛必九＜尤＜/｝滿足：當xeS時，有/小

mGS,IES,

貝！J根2￡s,I2eS,且加2之機，I2＜1

即相＜0或機21,04/41且相￡1

①當"2=1時，有f所以S=｛",故正確；

111

②當機=—時，7"=—所以—W/W1,故正確；

244

2

③當/=7時，mG5,所以「K不，所以機W0,故正確；

222

④當/=1時，可知一14根40或根=1,故正確；

故選：D

6.非空集合A具有下列性質(zhì)：（1）若x、y^A,則《GA；（2）若x、y^A,貝！Jx+yGA,下列判斷一定成

立的是（）

2020

①-1CA；②2021GA；③若無、yGA,則町GA；④若x、y^A,貝!!x-y《A.

A.①③B.①②C.①②③D.①②③④

【答案】C

【解析】

%

解：對于①：假設(shè)—IEA,則令x=y=—l,則一二%A,x+y=-2eA,

y

XX

令x=-l,y=l,貝lj—=TeA,x+y=OeA,令尤=l,y=O,不存在一，即y#0,矛盾，所以一]^A,故①

yy

對；

7070

對于②：由題意知，IwA,貝lJl+l=2￡A2+l=3￡A,,2020GA,故②正確；

2021

y

對于③：,故③正確；

X

X

對于④：leA2eA,若尤=2,y=l,則*_y=leA,故④錯誤，

所以一定成立的是①②③，

故選：C.

二、多選題

\x+y=3

7.方程組，的解集可以表示為（）

[尤-y=T

A」（x，y）產(chǎn)=3]B.

=[[y=2.

C.{1,2}D.{（尤,y）|x=l,y=2}

【答案】ABD

【解析】

\x+y=3fx=l

由題意，方程組■,解得°,其解集中只含有一個元素，

l—y=TU=2

根據(jù)集合的表示方法，其中A,B.D項表示都是正確的，其中選項C是表示由兩個元素組成的集合，不符

合要求，所以不能表示為{1,2}.

故選：ABD.

8.已知集合{尤|加2-2x+l=。}=9?},則〃?+“的值可能為（）

A.0B.1

C.1D.2

【答案】BD

【解析】

集合{龍|府2-2x+1=。}={〃},只有1個元素，

m=0w0

1或<A=4-4m=0,

n=—

2〃二1

m=0

解得1或

n=—

加+〃=—或機+〃=2

故選：BD.

9已知X,2為非零實數(shù)’代數(shù)式出廣命譬的值所組成的集合是出則下列判斷正確的是（

)

A.O^MB.2wMC.-4?MD.41M

【答案】CD

【解析】

當x,y,z均為負數(shù)時，合+6+舌+叵L-4；

川|.v||z|xyz

x?>z"

當x,y,z兩負一正時,

W|y|同孫z

%?y?z睜z|

當x,y,z兩正一負時,

國|y||z|盯z

—二+國=4

當x,y,z均為正數(shù)時,

W|y||z|孫z

.?.M={T,0,4},A、B錯誤，C、D正確.

故選：CD

三、填空題

10.若集合A二{X￡R|OX2+QX+I=0}中只有一個元素，則a-

【答案】4

【解析】

解：A={xeR|ax2+依+1=0}中只有一個元素，

.?.若a=0,方程等價為1=0,等式不成立，不滿足條件.

若awO,則方程滿足A=0,即a?—4。=0,解得a=4或。=0(舍去).

故答案為：4

11.已知"-a+le{l,3,a},則實數(shù)。=.

【答案】-1,0或2

【解析】

因為a?-4+1e{l,3,a},

(1)a2-a+l=l,解得。=0或。=1,當a=l時，與集合的互異性矛盾，舍去；

(2)。2-°+1=3,解得a=2或。=-1；

(3)a2-a+l=a,解得a=l,與集合的互異性矛盾，舍去；

綜上可知，實數(shù)。的取值可以為。=0或。=2或a=-1；

故答案為：-1,0或2

r_i_+[>0

12.設(shè)％為實數(shù)，關(guān)于X的不等式組；2cC的解集為4若2eA,則％的取值范圍是

辰+x+2<0

【答案】(-00,1'1']3-1,+8)

【解析】

由題意，2eA,

貝ij23+2^+1<0^22-^+2+2>0

解得A4二或AH.

2

故答案為：(…,-[U[-1,+8)

四、解答題

13.已知集合A={x,2一?+/7=O,〃￡R,/7￡R}

(1)若A={1},求。，力的值;

(2)若3={尤eZ卜3(尤＜0},且A=3,求〃，6的值.

山—[a=2ftz=—3

【答案】⑴/.⑵，.

[/?=1[b=2

【解析】

⑴解：若人={1},

l-a+b=Oa=2

則有,解得

△=/-48=0b=l

(2)解：BGZ|—3<x<0|=2,—11,

因為A=B，

4+2〃+b=0a=-3

所以，解得

\+a+b=0b=2

14.若某含有三個元素的集合可表示為k也可表示為{",a+"0},求實數(shù)。和6的值.

【答案】a=—lfb=0.

【解析】

解：由題意卜,，1}={武。+6,0},則有a=0或'=0,

b,

又由一可得awO,則b=0,

a

所以{/,"+"()}={々2,々,0},卜,：/}={〃,0,1},

所以〃2=1,即〃=±1,

若a=l,貝4。2,〃,0}={1,1,0},與集合中元素互異性相矛盾，不合題意;

若〃=一1,則{/,a,0}==,符合題意.

綜上，〃=—1,6=0.

15.已知集合A={a-3,2〃一1,〃2+1},集合5={0,1,X}.

(1)若—3wA,求，的值；

(2)若尤2￡與，求實數(shù)%的值；

(3)是否存在實數(shù)。，無，使A=R

【答案】(1)?；?1;(2)-1；(3)不存在.

【解析】

（1）集合A中有三個元素：a-3,2a-l,tz2+1,-3GA,

.'.a—3=—32a—1=-3,

解得a=0或a=—1,

當a=0時，A={-3,-i,1},成立；

當〃=一1時，A={-4,-3,2）,成立.

的值為?；?1.

（2）集合B中也有三個元素：0,1,x.x^B,

當1取0,1,-1時，都有爐￡3,

.集合中的元素都有互異性，「/WO,xw-l,

..x——1.

二?實數(shù)%的值為-1.

（3）片+iwo,

若a-3=0,貝（Ja=3,A={0,5,1。}工3,

若2a-1=0,則〃A={0,——,B,

224

?.?不存在實數(shù)4,X,使A=5.

16.設(shè)數(shù)集A由實數(shù)構(gòu)成，且滿足：若xeA（xwl且XHO）,則1

1-x

（1）若2eA,試證明A中還有另外兩個元素；

（2）集合A能否只含有兩個元素?請說明理由；

,|4

（3）若A中元素個數(shù)不超過8,所有元素的和為且A中有一個元素的平方等于所有元素的積，求集合

A中的所有元素.

【答案】（1）證明見解析；（2）不是，理由見解析；（3）2,-1,3,

【解析】

解：（1）證明：由題意可知

若2￡A,貝!J■——=—1￡A.

1—2

114

—1￡A,??---------=一￡A

1-(-1)2

1”:.—^—=2eA

…，11

2「I

，若2eA,則A中還有另外兩個元素T,

（2）集合A不是雙元素集合.理由如下：

1Y-1

1___________c.A11Y—1Y-]

若xwA,貝!eA,貝!J]x，因為％2—%+iwO,所以,w----,%。----，

l-x----1-x1-xXX

1-X

故集合A中至少有3個元素，，集合A不能只含有兩個元素.

111

（3）由（2）可知，若xeA,則x,--，——都為A中的元素，?x-l一,因此A中元素個數(shù)是3

1-xX1------------

的正整數(shù)倍數(shù)，

1.X.-?—=-1<0,

L-XX

二A中元素的個數(shù)不為3,又iA中元素的個數(shù)不超過8,二A中有6個元素.

設(shè)HieA（〃zwx）,則加，」一，■都為A中的元素，此時A=[x,J—,土,所有元素的

1-mmL1-xx1-mmJ

積為1,因此集合A中存在元素其平方為1,不妨設(shè)（占[=1或「.x=2或x=；,

lev1m-114IfCf2

/.-+2-l+m+-----+------=—,解得根=——或根=3或相=一,

21-mm323

i12

二.A中的所有兀素為萬，2,-1,--,3,—.

培優(yōu)第三階——高考沙場點兵

一、單選題

1.（2018?全國?高考真題（理））已知集合4={（尤，y）k2+y*3,xeZ,yeZ},則A中元素的個數(shù)為（）

A.9B.8C.5D.4

【答案】A

【解析】

■x2+y2<3x2<3,XGZ/.x=—1,0,1

當了=-1時，y=-1,0,1；

當x=0時，>=一1,0,1；

當％=1時，^=-1,0,1；

所以共有9個，

故選：A.

2.（2013?江西?高考真題（文））若集合&=k€川蘇+依+1=0}中只有一個元素，則。=（）

A.4B.2C.0D.0或4

【答案】A

【解析】

集合A中只有一個元素,，八二片一4。=0,/.a=0或4.又當Q=。時集合A中無元素，故選A.

3.（2021?重慶?模擬預(yù)測）集合{xeN|x-4<1}用列舉法表示為（）

A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}

【答案】A

【解析】

,?1%-4<1,

x<5.

又xwN,

{xeM尤-4<1}={0』,2,3,4}.

故選：A

4.（2022?廣東廣州?三模）若ae{l,3,6},貝ija的可能取值有（）

A.0B.0,1C.0,3D.0,1,3

【答案】C

【解析】

a=0,則ae{l,3,0},符合題設(shè)；

。=1時，顯然不滿足集合中元素的互異性，不合題設(shè)；

。=3時,貝ge{1,3,9},符合題設(shè)；

a=0或a=3均可以.

故選：C

5.（2022?江西省豐城中學模擬預(yù)測（理））已知集合人=?<4},集合B=且%-1?耳，則3=

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2,3,4}

【答案】C

【解析】

A=<4}=[-2,2],B=eN*GA},

：.B={1,2,3],

故選：C

6.（2022?山西省運城中學校模擬預(yù)測（文））定義集合運算：A*B={z|z=xy,xeA,yeB},設(shè)4={1,2},

3={1,2,3},則集合A*B的所有元素之和為（）

A.16B.18C.14D.8

【答案】A

【解析】

由題設(shè)知：A*B={1,2,3,4,6},

所有元素之和1+2+3+4+6=16.

故選：A.

7.（2021?江西?黎川縣第一中學高一階段練習）已知集合A={0,1,2},B={xeN|J&eA},則B=（）

A.{0}B.{0,2}C.1*,21D.{0,2,4}

【答案】B

【解析】

〔,集合A={0,1,2},B=^xeN\'j2xe,令集2x=0得W=。;令J2x=1得無2=5；

令岳=2得W=2；又xeN,故集合3={0,2}

故選：B.

8.（2020?安徽?定遠縣育才學校高三階段練習（文））已知集合尸={-1,2a+1,〃-1},若OeP,則實數(shù)。的

取值集合為（）

A.卜；,』B.{-1,1}C.口.舊

【答案】C

【解析】

13

當2々+1=0時，〃=—，止匕時a?—1=—,滿足題意；

24

當片―1=0時，[=1或一1;

若4=1,2〃+1=3,滿足題意；若a=-l,2〃+1=-1,不滿足互異性，不合題意;

.??實數(shù)0的取值集合為

故選：C.

二、填空題

9.（2022.上海.模擬預(yù)測）已知集合4=卜|/-4x<