第01講平面向量的概念及線性運算

目錄

01考情透視目標導航.............................................................2

02知識導圖思維引航.............................................................3

03考點突破?題型探究.............................................................4

知識點1：向量的有關概念........................................................4

知識點2：向量的線性運算........................................................4

知識點3：平面向量基本定理和性質................................................5

知識點4：平面向量的坐標表示及坐標運算..........................................7

解題方法總結....................................................................8

題型一：平面向量的基本概念......................................................9

題型二：平面向量的線性運算及求參數問題.........................................10

題型三：共線定理及其應用.......................................................14

題型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及應用...................................19

題型五：平面向量的直角坐標運算.................................................26

題型六：向量共線的坐標表示.....................................................30

04真題練習?命題洞見............................................................31

05課本典例高考素材............................................................32

06易錯分析答題模板............................................................35

易錯點：忽視平面向量基本定理的使用條件.........................................35

答題模板：用基底表示向量.......................................................36

考情透視.目標導航

考點要求考題統計考情分析

(1)向量的有關概念

2024年I卷第3題，5分

(2)向量的線性運算和

2024年甲卷(理)第9題，5分通過對近5年高考試題分析可知，高考在

向量共線定理

2023年北京卷第3題，5分本節(jié)以考查基礎題為主，考查形式也較穩(wěn)定，

(3)平面向量基本定理

2022年I卷第3題，5分考查內容一般為平面向量基本定理與坐標運

和性質

2021年乙卷(文)第13題，5分算，預計后面幾年的高考也不會有大的變化.

(4)平面向量的坐標表

2022年乙卷(文)第3題，5分

示及坐標運算

復習目標：

(1)理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.

(2)掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.

(3)了解平面向量基本定理及其意義

(4)會用坐標表示平面向量的加法'減法與數乘運算

匐2

〃二知識導圖?思維引航\\

如果捻成，￡和!Wa//5；反之，

平面向量的概念及線性運算共線向國

基本定理如果1〃加I?忌6,則一定存在唯?的實數入，使方=歷.

如果，利《是同?個平向內的兩個不共線向反，

那么時丁該平面內的仔響收入郡存在唯一的一對實數人兒，

平面向甲

使雨?！?入甚我們把下共線向也；，4泗做

基本定理,

發(fā)示這一平面內所力晌林的州草底，記為伍力,

入石+人京叫做向M?矢「M底(￡￡｝的分解式.

平面向量基本定理和性質

苦點”是邊上的點，

線段定比分點&AOOI'.8cILBD=XZ>C(X#-l).

的向量表達式則向民5=專產

平面內三點箝B,C共線的充要條件是：

三點共線定理

存在實數入,M，使前=人次+y。百，其中A+M=1，。為平面內一點.

中線向量定理在△oc中，若點D是邊6C9中點，則中線向班歷=：(近+歷

平面向量的坐標表示及坐標運算

考點突破二即理輝笠

f知識固本JJ

知識點1：向量的有關概念

（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）.

（2）向量的模：向量在的大小，也就是向量通的長度，記作|麗|.

（3）特殊向量：

①零向量：長度為0的向量，其方向是任意的.

②單位向量：長度等于1個單位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.規(guī)定：。與任一向量平行.

④相等向量：長度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量.

【診斷自測】下列命題中，正確的是（）

A.若忖明,貝了=石B.若同訓，則

C.若￡=石，則Z//BD.若a//B,B//c,則a//c

【答案】C

【解析】對于A：若同=忖，則只是大小相同，并不能說方向相同，A錯誤；

對于B：向量不能比較大小，只能相同，B錯誤；

對于C：若Z=L貝!方向相同，C正確；

對于D：若3/小歸/不，如果B為零向量，則不能推出平行，D錯誤.

故選：C.

知識點2：向量的線性運算

（1）向量的線性運算

運算定義法則（或幾何意義）運算律

二r①交換律

求兩個向量和的a+b=b+a

加法

運算aa②結合律

三角形法則平行四邊形法則(?+5)+c=a+(b+c)

求萬與5的相反

向量-5的和的

減法a—b=a+(—Z?)

運算叫做乙與Ba

的差三角形法則

(1)|23H刈源

=(2/2)a

求實數彳與向量(2)當4>0時，X日與日的方向相同；當

數乘(A+jLi)a=A,a+jua

a的積的運算4<0時，幾日與日的方向相同；

2(a+5)=Aa+Ab

當2=0時，23=0

【注意】

(1)向量表達式中的零向量寫成6,而不能寫成0.

(2)兩個向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個向量共線滿足的條件是：兩個向量所在直線平行或

重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關系.

(3)要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運用平行四邊形法則時兩個向量的起點必須

重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對角線所對應的向量；運用三角形法則時兩個向量必須首

尾相接，否則就要把向量進行平移，使之符合條件.

(4)向量加法和減法幾何運算應該更廣泛、靈活如：OA-OB=BA,AM-AN=NM,

OA=OB+CA^OA-OB=CA^BA-CA=BA+AC=BC.

【診斷自測】MP+PQ-MN=()

A.QNB.NQC.PMD.MP

【答案】A

【解析】MP+PQ-MN=NP+PQ=NQ,

故選:A.

知識點3：平面向量基本定理和性質

1、共線向量基本定理

如果商=/lB(2eR),則日〃5；反之，如果日/區(qū)且5片。，則一定存在唯一的實數幾，使4=".(口

訣：數乘即得平行，平行必有數乘).

2、平面向量基本定理

如果I和1是同一個平面內的兩個不共線向量，那么對于該平面內的任一向量都存在唯一的一對

實數4,4,使得萬=41+41，我們把不共線向量I，或叫做表示這一平面內所有向量的一組基底，記

為｛烏勺｝,\ex+^e2叫做向量方關于基底｛q?｝的分解式.

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量I與1不共線，平面內的任一向量日都可以分解成形如

。=4冢+乙最的形式，并且這樣的分解是唯一的.4冢+%互叫做I，瓦的一個線性組合.平面向量基本

定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據，也是向量的坐標表示的基礎.

推論1：若玄=4,+44=4,十%弓，則4=4,4=4.

推論2：若五=46+4%=。，則4=4=0.

3、線段定比分點的向量表達式

如圖所示，在△ABC中，若點。是邊3C上的點，且彷=4配（2^-1）,則向量

+

AD=ABAAC.在向量線性表示（運算）有關的問題中，若能熟練利用此結論，往往能有“化腐朽為神

1+2

奇”之功效，建議熟練掌握.

4、三點共線定理

平面內三點A,B,C共線的充要條件是：存在實數尢〃，使區(qū)=2兩+〃而，其中幾+〃=1,。為

平面內一點.此定理在向量問題中經常用到，應熟練掌握.

A、B、C三點共線

。存在唯一的實數X,使得前=/1通；

o存在唯一的實數X,使得碇=函+九國；

o存在唯一的實數X,使得反=（1-外函+2礪；

。存在；1+〃=1,使得反=2函+〃礪.

5、中線向量定理

如圖所示，在△ABC中，若點D層邊8C的中點，則中線向量初=3（旗+恁），反之亦正確.

A

B

D

【診斷自測】在AABC中，已知。是8C邊上靠近點2的三等分點，E是AC的中點，且詼=4南+〃正,

貝［|4+〃=()

A.—B.—1C.-D.1

22

【答案】A

【解析】因為。是BC邊上靠近點3的三等分點，E是AC的中點，

__.2__1___

所以理k=反+在=一配k——AC

32

=-(AC-AB)--AC

32

2—.1—.

=——AB+-AC,

36

因為瓦=2而+〃不亍，

21211

所以4=—,//=—,所以4+"=_彳+:=—.

知識點4：平面向量的坐標表示及坐標運算

(1)平面向量的坐標表示.

在平面直角坐標中，分別取與x軸，y軸正半軸方向相同的兩個單位向量入了作為基底，那么由平面

向量基本定理可知，對于平面內的一個向量萬，有且只有一對實數使前=爐+爐，我們把有序實數對

(x,y)叫做向量五的坐標，記作a=(x,y).

(2)向量的坐標表示和以坐標原點為起點的向量是一一對應的，即有

向量(蒼y)、一對應、向量〃、一對應、點A(x,y).

(3)設，=(%,%),S=(x2,y2),則〃+。=(苔+%2，%+%)，a-b=(xx-x2,yr-y2),即兩個向量的和

與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差.

若M=(x,y),%為實數，則幾五=(/U,Xy),即實數與向量的積的坐標，等于用該實數乘原來向量的相

應坐標.

(4)設4%,%),B(x2,y2),則AB=OB-OA=(占-%,X-%)，即一個向量的坐標等于該向量的有

向線段的終點的坐標減去始點坐標.

(5)平面向量的直角坐標運算

①己知點A(x「％),B(X2,y2),貝1148=0；2-玉，%-%)，IA5|="(%2f)?

②已知4=(X],%),方=(尤2，%)，則江土石=(菁土元2，乂±%)，九^=(2玉,2%)，

a-b=jqx2+yxy2,\a|=+y；.

a//b占必—元2yl=°，汗-LBo玉%+%%=0

【診斷自測】已知點42,3),8知點,且Q=_2而，則點尸的坐標是.

【答案】(。,5)

【解析】如圖，連接AP,。4,成，

設。為坐標原點，建立平面直角坐標系，OP=OA+AP=OA-2PB=OA-2(OB-OP),

整理得/=2礪-或=(2,8)-(2,3)=(0,5).

故答案為：(0,5)

解題方法總結

(1)向量的三角形法則適用于任意兩個向量的加法，并且可以推廣到兩個以上的非零向量相加，稱

為多邊形法則.一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向

量.

即取;+可4+…+匯

(2)\\a\-\b\\<\a±b\<\a\+\b\,當且僅當商,石至少有一個為0時,向量不等式的等號成立.

(3)特別地：||洲-出|兇萬土5|或土石區(qū)團|+歷|當且僅當仁5至少有一個為0時或者兩向量共線時,

向量不等式的等號成立.

(4)減法公式：AB-AC=CB,常用于向量式的化簡.

(5)A、P、3三點共線o歷=(1-。西+f而這是直線的向量式方程.

題型洞察

題型一：平面向量的基本概念

【典例1-1］（2024?高三?福建廈門?開學考試）下列命題不正確的是（）

A.零向量是唯一沒有方向的向量

B.零向量的長度等于0

ab入

C.若日，石都為非零向量，則使同+%=°成立的條件是2與萬反向共線

D.若』，b=c，則Z="

【答案】A

【解析】A選項，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯誤；

B選項，由零向量的定義知，零向量的長度為0,故B正確；

ababab-

C選項，因為日與同都是單位向量，所以只有當日與同是相反向量，即Z與石是反向共線時曰+鬲=°

HHH\b\H忖

才成立，故C正確；

D選項，由向量相等的定義知D正確.

故選:A

【典例1-2】給出下列命題：①兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量；②兩個向量不能比較大小，

但它們的模能比較大??；③若;=0Q為實數），則2必為零；④已知"“為實數，若彳2=則Z與

石共線.其中錯誤命題的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】①錯誤.兩向量共線要看其方向而不是起點與終點.

②正確.因為向量既有大小，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實數，故可以比較大小.

③錯誤.因為笳=6,所以a=?；?6.

④錯誤.當a=〃=0時，病=泌,此時，Z與B可以是任意向量.

所以錯誤命題有3個.

故選：C.

【方法技巧］

準確理解平面向量的基本概念是解決向量題目的關鍵.共線向量即為平行向量，非零向量平行具有傳

遞性，兩個向量方向相同或相反就是共線向量，與向量長度無關，兩個向量方向相同且長度相等，就是相

等向量.共線向量或相等向量均與向量起點無關.

【變式1-1】下列說法中，正確的是（）

A.若貝！|￡>方

B.若|￡|=伽，則￡=[

C.若0=方,則a//6

D.若M，則之與B不是共線向量

【答案】C

【解析】對于A,向量的模為非負數，它們可以比較大小，但向量不可以比較大小，故A錯誤.

對于B,兩個向量的模相等，但方向可以不同，故B錯誤.

對于C,若￡=石，貝必定共線，故a〃b，故C成立.

對于D,當ZHB時，它們可以模長不相等，但可以同向或反向，

故Z與B可以為共線向量，故D錯誤.

故選：C

【變式1-2】設Z是非零向量，%是非零實數，下列結論中正確的是（）

A.Z與的方向相反B.Z與的方向相同

C.|-Aiz|>|a|D.|-Aa|>|2|tz

【答案】B

【解析】對于A,當;1>0時，Z與xZ的方向相同，當2<0時，Z與4%的方向相反，故A不正確；對于B,

顯然力>0，即B正確；

對于C,卜痛|=|川同，由于囚與1的大小不確定，故卜與口的大小關系不確定，故C不正確；

對于D,岡￡是向量，而卜九@表示長度，兩者不能比較大小，故D不正確.

故選：B

題型二：平面向量的線性運算及求參數問題

【典例2-1]若網=7,|砌=4,貝U圜的取值范圍是（）

A.[3,7]B.（3,7）C.[3,11]D.（3,11）

【答案】C

【解析】由題意知網=7,|狗=4,M|BC|=|AC-ABI,

當衣，通同向時，取得最小值，|配卜|衣一荏|=||*|一|通||=|4-7|=3；

當衣，礪反向時，|黑|取得最大值，I配卜I衣-麗1=11蔗1+1通11=14+71=11；

__lUiunI

當后,而不共線時，Wq取得最小值，3=|lACI-IA5|I<|BC|<IIAC|+IAB|I=11.

IUUUI

故7q的取值范圍是［3,i|

故選：C

【典例2-2】在平行四邊形ABCZ）中，E為8。的中點，尸為BC上一點，則通+而-2福=（）

A.2FEB.2EFC.~FED.2CF

【答案】A

【解析】因為E為的中點，則荏+布=2通，

所以通+赤-2赤=2衣-2福'=2^.

故選：A.

【方法技巧】

（1）兩向量共線問題用向量的加法和減法運算轉化為需要選擇的目標向量即可，而此類問題又以“爪

子型”為幾何背景命題居多，故熟練掌握“爪子型”公式更有利于快速解題.

（2）進行向量運算時，要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或

首尾相接的向量，運用向量加、減法運算及數乘運算來求解.

（3）除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關系外，有時還需要利用三角形中位線、相似

三角形對應邊成比例等平面幾何的性質，把未知向量轉化為與已知向量有直接關系的向量來求解.

【變式2-1】如圖，在平行四邊形■。中‘瓜"S點E滿足金萍，則金（

【答案】A

—>I-—>2—>

【解析】由題意知，點E滿足EC=-AC,可得AE=：AC,

33

_2_______.__.2__?__.__.21

則k詼=通k_茄=耳尼_而=耳（血+礪）一而=耳￡一§尻

故選：A.

【變式2?2】（2024.寧夏吳忠.模擬預測）如圖所示，平行四邊形ABC。的對角線相交于點0,后為AO的中

點，若品=丸誦+〃勃（尢//ER），則X+4等于（）.

D.

2

【答案】D

—>->->->1—>->1->—>1-3-

【解析】由題意知。石=。4+4石=—AD+—AC=—AD+—（AB+AO）=—A3——AD,

4444

.TT[3]

因為。E=XAB+〃A￡）（4,〃eR），所以2=A=>%+〃=一不，

故選：D.

【變式2-3】已知矩形ABC。的對角線交于點。，E為A。的中點，若瓦=4通+〃而（2,〃為實數）,

則力一〃2n（）

3-2V21+V2

D.

-2~2

【答案】A

【解析】如圖

DO=1（ZM+5C）,

在AZMO中，

DE=^（DA+DO）,

??.詼=］夕+抑+；或］=加+!覺=!通1而

13

AA

44

故選：A.

【變式2-4］（2024.高三.安徽?開學考試）古希臘數學家特埃特圖斯（Theaetetus）利用如圖所示的直角三角

形來構造無理數.已知48=3。=8=1,筋，8。,4。，。,4（7與3。交于點0,若加=入陽+日近，則

C.72+1D.-72-1

【答案】A

【解析】以C為坐標原點，C￡）,C4所在直線分別為軸建立如圖所示的坐標系,

由題意得AC=0,

則A（0,后）,‘￥，￥jc（0,0）,：W=冬一號,AC=（0,-72）.

因為CB=CO=1,NDCB=900+45=135°,故ZBDC=22.5°,

因為tan45。=2tan22.5。之,所以.22.5。=血-1（負值舍去）,

1-tan222.5°

所以OC=OC-tan225=72-1，

故0（0,0-1）.又￡＞（-1,0）,則加=（1,忘-1）,

1%

2

H^7）d=XAB+nAC,所以,

A/2-1=--2-72//

2

解得所以2+〃=0-1,

故選：A.

題型三：共線定理及其應用

【典例3-1】已知平面向量Z，B不共線，AB=^a+6b,BC=-3+3b,麗=Z+3后，則（）

A.A,B,。三點共線B.A,B,C三點共線

C.B,C,。三點共線D.A,C,。三點共線

【答案】D

【解析】因為平面向量Z,B不共線，所以2,5可以作為平面內的一組基底，

又AB=4a+6b,BC=-a+3b<CD=a+3b>

^^XBD=BC+CD=a+3b-a+3b=6b,AC=AB+BC=-a+3b+4a+6b=3a+9b,

對于A：因為通=43+6$,BD=6b,顯然不存在實數f使得通=t而，

所以A,B,。三點不共線，故A錯誤；

對于B：因為須=防+6石，AC=3a+9b,不存在實數"使得通=〃而，

所以A,B,C三點不共線，故B錯誤；

對于C：因為品=4+35,CD=a+ib，不存在實數正使得前=〃?前，

所以B,C,D三點不共線，故C錯誤；

對于D：因為:W=3d+95,CD=a+3b^所以=3函，

所以:W//E，故A,C,。三點共線，故D正確.

故選：D

【典例3-2］如圖，在AABC中，無不=3麗，尸是BN上的一點，^AP=（m+^\AB+^AC,則實數機的值

為（）

D-5

【答案】D

【解析】由題意可知，AN=^NC,所以就=3前,

XAP=Im+1jAB+|AC,^AP=[m+^\AB+^AN.

因為&P、N三點共線，所以(m+；)+g=l,解得機=；.

故選：D.

【方法技巧】

要證明A,B,C三點共線，只需證明油與阮共線，即證油=2配(2e7?).若已知A,B,C三

點共線，則必有荏與配共線，從而存在實數2,使得荏=4沅.

【變式3-1]如圖，AASC中，點M是8c的中點，點N滿足麗=§AB,AM與CN交于點。，

AD=AAM,則2=()

【答案】C

11_____00

【解析】在"1BC中，點M是BC的中點，AM=-AB+-AC,則而=2謝=—麗+—無至，

2222

_.7.uuma2uuuiQUUKW_____________4

5LAN=-AB,于是得+因點C,D,N共線，則有二+彳=1,解得彳=:,

3__________42425

所以彳=，4

故選:C

【變式3-2](2024?重慶?模擬預測)已知點G是AABC的重心，點M是線段AC的中點，若

GM=XAB+]uAC,貝lJ2+M=()

【答案】C

［解析］==

所以丸=一:,〃=:,%+〃=-:.

36o

故選：C

【變式3-3］已知q,4是兩個不共線的單位向量，d=C］-e2，B=-2?［+ke?,若4與5共線，貝廉=.

【答案】2

【解析】因為五=G—4與在=一2,十%與共線，所以石=4。，

即一21+砥=語-可，又混不共線，所以C所以％=2.

故答案為：2

【變式3-4】已知AABC的重心為G,經過點G的直線交A8于Q,交AC于E,若明=2罰，AE=/2AC,

.2—.1/AUUH1uum1—.

如圖，設廠為5C的中點，貝！JAG=]A/=]（A3+AC）,又人8=力人。，AC=-AE,

—?1—?1—?1111

則AG=^yA0+丁AE,又G,D,E三點共線，.?.77+丁=1,即彳+―=3.

3Z3〃343〃Z//

故答案為：3.

【變式3-5］如圖，點G為AABC的重心，過點G的直線分別交直線AB,AC點。，E兩點,

AB=3mA￡)(m>0),AC=3nAE(n>0),貝lj根+〃=；若〃>相>0,則工^的最小值為

mn—m

【答案】13+2亞

【解析】因為點G為△A3C的重心，

uni1tuniumr

所以AG=—A5+—AC,

33

因為初=3znI5(w〉0),AC=3nAE(n>0),

所以而=機亞+〃亞，

因為D,G,E三點共線，

所以m+〃=1,

貝lj〃=l一根>根，貝1]0<根<工，代入—十---得工+---,0<m<—

2mn—mm1—2m2

f(ni]=--\---------,0<m<—,

、)ml-2m2

fr(m\=—^-+---------7

-2m2+4m-1

m2(1-2m)2

令/'(機)=0,貝4^=2;乎或二區(qū)(舍)

且當〃0一02]時,/'(加)<。,〃%)遞減

(2-歷11

當機e--—，-時，f'(>n)>0,遞增

所以當根=上黃時，〃⑹有極小值，即最小值,

/(777).=------產H-----/------=3+2^/2

且八2—71_(2-后)

2

故答案為：1；3+272.

【變式3-6]如圖，在AABC中，而=:旃，謖=：才&8與8E交于點尸,A5=2,AC=3,APBC=1,

則卷?泥的值為;過點尸的直線/分別交AB，AC于點M,N,設加=mAB,AN=nAC(^>0,n>0),

則m+2n的最小值為.

T^AP=xAB+yAC,令苑=々,衣=6,

因為蒞=；礪，理=g/，所以而=2而,*=3亞，

所以Q=2x而+y前通+3y亞，

f2x+y=121

又民P,石與CP,。分別共線，所以/1,解得％=；y=).

[x+3y=l55

因為"元=序+'?一萬)=1,

所以2萬2一萬.萬一斤+5=0，即8-商0一9+5=0，

解得D=4，HPAB-AC=4.

因為不初=加算,而=〃不可,

—.1.—.1—.

所以A3=—AM,AC=—RV,

mn

—.2—?1-.2?1—.

所以A尸二一A3+—AC=——AM+—AN,

555m5〃

21

因為V,P,N共線，所以三+4=1,

5m5〃

8

所以機+2〃=(m+2〃)

5

當且僅當根=￡4,〃=：2時，等號成立,

Q

所以+2n的最小值為《.

Q

故答案為：4：—.

題型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及應用

【典例4-1】（2024?上海浦東新?三模）給定平面上的一組向量［、則以下四組向量中不能構成平面向

量的基底的是（）

A.2令+02和q-e?B.q+3e2和e2+3q

C.3q-e,和2e2-6qD.ex和ex+e2

【答案】C

【解析】對A：不存在實數X,使得2冢+￡=彳何-最），

故2q+Z和冢-互不共線，可作基底；

對B：不存在實數幾，使得4+33=2.+3,）,

故q+3e?和e2+3］不共線，可作基底；

對C：對3工■和2^-61，因為［，1是不共線的兩個非零向量，

且存在實數一2,使得2團-61=-2（3］-可，

故3ex-e2和26-6q共線，不可作基底；

對D：不存在實數2,使得1=彳田+可，故4和E不共線，可作基底.

故選：C.

【典例4-2］如圖，在AA8C中，點。，D,E分別為8C和BA的三等分點，點。靠近點8,A。交CE于

點尸，設耳心=4，BA=b，貝1J詼=（）

D.2/

C.—a+—b

7777

【答案】B

【解析】設而=幾礪，EP=^EC,

所以麗=Q-麗=2而-麗=X(麗-網-松，

___1_____0____

y.BD=-BC,所以麗=9沅+(1-2)麗，

__2__.

因為彷k=耳明，

r\ryr\

所以麗=麗+麗=：麗+從反=:麗+4._碼=g(l_4)麗+//M

工3

—=〃z=—

37

所以;9,解得,

------u=\-A,u=-

〔33戶I7

—.1—.4.1-4-

所以BP=—BC+—BA=—a+—6,

7J777

故選：B.

【方法技巧】

應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加法、減法或

數乘運算，基本方法有兩種：

(1)運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行化簡，直至用基底表示為止.

(2)將向量用含參數的基底表示，然后列方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解.

(3)三點共線定理：A,B,P三點共線的充要條件是：存在實數尢〃，]tOP=AOA+^OB,其中

彳+〃=1,。為AB外一點.

Ar)

【變式4-1](2024.全國.模擬預測)在“1BC中，點。在邊上且滿足==2,E為BC的中點，直線

DB

DE交AC的延長線于點R則麗=()

A.BA+2BCB.-BA+2BCC.2BA-BCD.-2BA+BC

【答案】B

由題，A,C,尸三點共線，貝U麗=4麗/，

D,E,尸三點共線，則阱=〃麗+(1-〃)麗■麗+彳團,

力=幺r；?

3Z=-l

；，得a

I2

-BF=-BA+2BC-

故選：B.

【變式4?2】（2024?山西呂梁?三模）已知等邊AABC的邊長為1,點。,石分別為ABIC的中點，若

DF=3EF9則衣=（）

1—?5—?1—?3—?

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2624

1uun3uum

C.-AB+ACD.-AB+-AC

222

【答案】B

【解析】在“1BC中，?。?，通｝為基底,

則|AC|=^AB\=2,（AC,AB）=60",

因為點分別為的中點，DF=3EF.