河南焦作市2024-2025學年高一下學期5月聯(lián)考數(shù)學試題（北

師大版）

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一、單選題

1.sin62°cos32°—cos62°sin32°=()

A.里B.iC.在D.

2222

2.已知角a的始邊與％軸非負半軸重合，終邊經過點4(3cos/?,sinS),且sina=￡則cos2/?=

()

A.2B.-坨C.」D.三

17171717

3.已知cos(%—y)=2sin(%+y),tan(1+y)=$則tanxtany=()

A.-B.-C.-D.--

2355

4.已知非零向量江在向量3上的投影向量為轉，同=4,則僅-3)不=()

A.-4B.-6C.-8D.-16

5.在△ABC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,則下列說法中錯誤的是()

A.若sin/>sinB,則/>B

B.若acosA=bcosB,則△ABC為等腰三角形

C.若bcosA=acosB,則△ZBC為等腰三角形

D.對任意△ABC,都有cosB+cosC>0

6.已知aG(0,(0,刁)，且tana+tan￡=--,貝lj()

A.2/?—cz=—B.2s+a=5

C.2a—/?=—D.2a4-jS=—

7.已知函數(shù)f(>)=l-2sin2(3x+錄(3>0)在［0,n］上有且僅有2個零點，則3的取值范

圍為（）

［冷)D?唇)

8.設點尸在△力BC內且為△ABC的外心，ZBXC=30°,如圖，若△PBC,APCA,AP48的面

積分別為%無，y，則“y的最大值是（）

二、多選題

9.定義：角。和0都是任意角，若0+9=今則稱。與，廣義互余”.已知sina=%滿足下

列條件的角0中，可能與角a廣義互余的是（）

A.COS（TT+=|B.tan￡=手C.COS（2TT-0）=：D.sin￡=言

10.已知g是函數(shù)/（%）=sin（ax-小（3>0）的一個零點，則下列說法正確的有（

A.函數(shù)/（久）最小正周期的最大值為47t

B.函數(shù)f（x）可能在（0,m）上單調遞增

C.直線久=詈不可能是圖象的對稱軸

D.若/⑺在［O,；］上有且僅有2個最值點，則3=羨

11.如圖，在邊長為4的正方形4BCD中，點E是4D的中點，點P滿足?=4荏+

〃而（0<Z<1,0<M<1）,則下列說法正確的是（）

A.若2=〃=$則方?麗=4

試卷第2頁，共4頁

B.若〃=1,則品?行為定值

C.若點P在線段BE上，貝嚀4+〃為定值

D.若|布|=4,則22+〃的最大值為遮

三、填空題

12.已知。用,且cos儂+1)=—親則tan(0_\=—.

13.如圖所示，兩直角三角形共斜邊MN,且MN=6,MB-MA=3,NA-NB=2,設

乙AMN=/?,Z-BMN=a,貝！Jcos(S—a)=.

14.當0<x<］時，不等式sin2%—2cos22x+11>msinxcos%成立，則m的取值范圍是

四、解答題

15.已知a,夕為銳角，sin(cr+/?)=|,sinacosjS=

(1)求證：tana=2tan￡；

(2)求cos(a-0)的值.

16.求下列式子的值.

(l)tan200+4sin20°；

(2)sin40°(tanl00-V3)；

C、tanl0°+tan50°+tanl20°

I)tanl0°tan50°,

17.在銳角三角形ABC中，a,b,c分別為內角4,B,C所對的邊，且sin4(sinA-sinC)=

sin2(X+C)—sin2c.

⑴求角B；

(2)若a=2,求△ABC周長的取值范圍.

18.已知向量2=(V5cos3x,sina)x),b-(coscox,coscox),函數(shù)/'(x)=2,3—j?>0),

/(x)圖象的相鄰對稱軸之間的距離為今

(1)求/'(%)的解析式;

(2)求函數(shù)/(久)的單調遞增區(qū)間和/0)的圖象的對稱軸方程；

(3)將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的5縱坐標伸長為原來的2倍，再向左平

移2個單位得久久)的圖象，若關于x的方程g(x)=m在卜卷段上只有一個解，求實數(shù)6的取

值范圍.

19.已知函數(shù)/(久)的定義域是D,對于任意的定義集合當⑴={久"(久)2f(t)}.

⑴設/(久)=sinx,定義域D=卜*］，求加0)；

⑵設/(%)=sin久，定義域D=卜*］,若％t)?Sf(E),求t的取值范圍；

(3)設/(%)=cos2x+acosx,定義域0=求實數(shù)a的取值范圍，使得對任意的J￡。

且匕＜t］，都有?(切—Sfg。

試卷第4頁，共4頁

《河南焦作市2024-2025學年高一下學期5月聯(lián)考數(shù)學試題(北師大版)》參考答案

題號12345678910

答案BCDCBDCBCDACD

題號11

答案BCD

1.B

【分析】利用兩角差的正弦公式即可求解.

【詳解】sin62°cos320-cos62°sin32°=sin(62°-32°)=sin30°=j.

故選：B.

2.C

【分析】由三角函數(shù)的定義列出方程，即可得到cos?.,再結合二倍角公式代入計算，即可

得到結果.

【詳解】依題意，/鬻F=；，即8sin2￡=9COS20,

79coszp+sinz/53

又sin2s+cos2/?=1,則cos2s=*

所以cos2s=2cos2s—l=2x^—1=—

故選：c.

3.D

【分析】利用兩角和與差的正弦余弦公式將cos(X-y)=2sin(%+y)展開，兩邊同時除以

cosxcosy,再利用兩角差的正切公式計算即可.

【詳解】cos(%—y)=2sin(x+y),

???cosxcosy+sinxsiny=2sinxcosy+2cosxsiny,

兩邊同時除以cosxcosy,

可得1+tanxtany=2tanx+2tany,

tanx+tany1

tan(x+y)=

1-tanxtany3’

,,,1-tanxtany

???tanx+tany=-----------,

1taitany

???1+tanxtany=2x^y解得tanxtany=-

故選：D.

4.C

答案第1頁，共11頁

【分析】由投影向量的計算，求得數(shù)量積，根據(jù)數(shù)量積運算律，可得答案.

【詳解】非零向量a在向量3上的投影向量為:幾同=4,

則患']fI=2解得I，b=8,故(2—b)-b=a-b—b2=8—16=—8.

故選：C.

5.B

【分析】利用正弦定理進行角化邊,再根據(jù)大邊對大角來判斷A；利用正弦定理進行邊化角，

再利用二倍角公式求解，分兩種情況討論判斷B；利用正弦定理進行邊化角，再利用兩角差

的正弦公式求解判斷C；根據(jù)三角形內角和定理得出不等關系0<B<n-C<m再利用

y=cos%在(O,TT)上單調遞減來求解.

【詳解】對于A,由sinZ>sinB,根據(jù)正弦定理得a>b,則/>8,故A正確；

對于B,由acosZ=bcosBf根據(jù)正弦定理得sinZcosA=sinBcosB,

則sin24=sin28,則2/=28或2/+28=n,

則A=8或4+8=熱所以△ABC為等腰三角形或直角三角形，故B錯誤;

對于C,由bcos/=acosB,根據(jù)正弦定理得sinBcos/=sirL4cos8,

則sin(B—Z)=O,即4=從所以△ABC為等腰三角形，故C正確；

對于D,由8+C<n,則0<B<n—C<iif

因為函數(shù)y=cos%在(0m)上單調遞減，貝!JcosB>cos(n—C)=—cosC,

即cosB+cosC>0,故D正確.

故選：B.

6.D

【分析】化切為弦，逆用兩角和的正弦公式化簡得sin(a+/?)=cosa,根據(jù)誘導公式及正弦

函數(shù)的性質得a+S=^-a或(a+0)+@一a)=TT,即可得解.

【詳解】因為tana+tan。=吃，所以必竺=1.一sin,

COS0

即sinacosy?=cosa—sin/?cosa,整理得sin(a+/?)=cosa,

即sin(a+0)=sinQ—所以a+0=；—a或(a+￡)+(1—a)=it,

即2a+0=］或0=T(舍去).

故選：D

答案第2頁，共11頁

7.C

【分析】利用余弦函數(shù)圖象和性質結合零點個數(shù)可得q42113+：<?,解不等式即可得出

242

答案.

【詳解】/(%)=1—2sin2(3%+小=cos(2a)x+：),

令t=2(JL)X+因為第6［0,n］,所以tE2113+；］,

令cost=0可得力=fcir+I，kEZ,

因為f(%)在［0m］上有且僅有2個零點，所以2713+-V等，

242.

解得3G［|,0.

故選：C.

8.B

【分析】由5心.=2得到外接圓半徑的平方，設N4PC=8,將無，y用。表示，再結合二倍

角公式化簡即可得到答案.

【詳解】因為NB4C=30。，所以NBPC=60。，設△ABC外接圓半徑為r,

所以SAPBC=|r2sin60°=解得產=套,

設NAPC=8,120°<e<180°,貝此4PB=300°—8,

22

SAAPC=X=|rsin6=JsinO,SAAPB=y=|rsin(300°-0)=^sin(300°-0),

故x-y=|sin0sin(3OO°-0)=|sin0(—/cos0—|sing)

=if--sin20-182)=1sin(30°-20)--—

6V2276v71261212

當e=150。時，等號成立.

故選：B.

【點睛】關鍵點點睛：引入變量N4PC=e,將居y均用變量。表示，將最后結果表示為關于。

的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質求最值是解題的關鍵.

9.CD

【分析】由條件結合誘導公式化簡可得sina,根據(jù)“廣義互余”的定義結合誘導公式同角關系

判斷各選項即可.

【詳解】對于選項A,若角a和/?廣義互余，則a+8=］即0=：—a,

答案第3頁，共11頁

則COS(TI+/?)=cos(|IT-a)=—sina=—故A錯誤；

對于選項B,若角a和￡廣義互余，貝UtanS=翳=%三=落=(，

解得cosa=手，則siMa+cos2q。1,故B錯誤；

對于選項C,若角a和，廣義互余，貝UCOS(2TI—S)=cos0=cos一仇)=sina=故C正

確；

對于選項D,若角a和0廣義互余，貝！Jsin￡=sin一a)=coset=±V1—sin2cr=土言，

即滿足sin/?=誓的角￡可能與角a廣義互余，故D正確.

故選：CD.

10.ACD

【分析】根據(jù)題設條件計算得a=3fc+|,kezf利用正弦型函數(shù)的周期性和單調性計算

可判斷AB,利用正弦型函數(shù)的對稱軸計算可判斷C,結合正弦型函數(shù)的圖象可判斷D.

【詳解】由題意得“3—"=/CTT,kEZ,所以co=3/c+工，fcEZ.

362

對于A,又3>0,所以3的最小值為;，則函數(shù)/(均最小正周期的最大值為T=4=4n,故

23

A正確；

對于B,設函數(shù)/⑺的最小正周期為7,若/⑺在(0涔)上單調遞增，則必有:<p貝b>5m

又由A知TW4m故B錯誤；

對于C,若直線x=g是/(x)圖象的對稱軸，則-￡=nm+%meZ,

解得3=得上，mEZ,與o)=3k+3,keZ不能同時成立，故C正確；

對于D,若則3乂—鼠卜：，W],若/(X)在[。,可上有且僅有2個最值點，

則文—三〈即，解得5W“<8,又3=3k+Lk&Z,所以3=上，故D正確.

236222

故選：ACD.

11.BCD

【分析】如圖建立平面直角坐標系，利用向量的坐標表示，結合向量數(shù)量積、向量共線、向

量模長的計算公式逐項計算判斷即可.

【詳解】如圖建立平面直角坐標系，

答案第4頁，共11頁

則力(0,0),B(4,0),C(4,4),0(0,4),E(0,2),

所以希=(4,0),AD=(0,4),因為麗=AAB+/zAD(0<A<1,0<M<1)，

所以Q=(42,4/Z)(0<2<1,0</Z<1),即P(4/l,4〃)(0<A<1,0</z<1).

對于A,若4=〃=],貝牙(2,2)，所以而=(一2,0),~PB=(2,-2),

所以麗?麗=一4,故A錯誤；

對于B,當〃=1時，P(44,4),所以萬=(44,4),又就=(0,4),

所以尻?布=16,故B正確；

對于C,因為前=(-4,2),BP=(4A-4,4g),

又點P在線段BE上，所以麗〃麗，所以(44-4)X2=-4x4〃，

所以+=故C正確；

對于D,若|布|=4,又族=(4尢4〃)，所以J(4/l)2+(4=2=4,即;^+獷=乙

旬咽，

所以24+〃=2cos0+sin。=V5sin(0+<p),其中9為銳角且tanw=2,

所以當。+9=]時，24+〃取得最大值，且最大值為有，故D正確.

故選：BCD.

12.-

4

【分析】根據(jù)角的范圍結合二倍角余弦公式及同角三角函數(shù)關系即得cos,+小=-|,最

后應用切化弦計算求值.

【詳解】因為8egg,所以8+江&

可知cos(9+g)<0,sin(6+；)>0,

且由二倍角公式得cos(20+y)=2cos2(°+f-1=一套

答案第5頁，共11頁

解得cos(6+9=—|，則sin(0+§=Jl_cos2(8+,)=

3

4

故答案為：*

【分析】在直角三角形中利用三角函數(shù)表示各個直角邊，然后代入等式，平方相加即可求解.

【詳解】乙BMN=a,乙AMN=/?,

由題意可得MB=6cosa,NB=6sina,MA=6cos/?,NA=6sin/?,

(1

cosa—cospn=-

因為｛竄［篇"，則6coscr—63sB=3即|:

6sin￡—6sina=2sin/3—sina=-

I3

兩式平方相加可得2—2cosacosy?—2sinasin/?=

即2—2cos(j5—a)=—,所以cosQ5-a)=—.

故答案為：

14.(-8,24]

【分析】由題意當0<%v］時，2sin2x+—+1>y,故只需求出0V%<］時，2sin2%+

TT；--1-1的最小值即可.

【詳解】因為0V%所以0<sin2x<1.

由題意得上二經*1>勺或立，

sin2x2

2sin22x+sin2x+9口,9,^m

即Rn------------>—,即2sm2%+----+1>—.

sin2x2sin2x2

因為關于sin2x的對勾函數(shù)y=2sin2x+急在(0,1]上單調遞減,

所以2sin2久+2+1的最小值為12,所以：W12,

sin2x2

解得m<24,即TH的取值范圍是(—8,24］.

故答案為：(—00,24］.

15.(1)證明見解析

答案第6頁，共H頁

⑵等

【分析】(1)由sinacos/?+cosasin/?=sinacosB=得cosasin^=工，從而由sinacos^=

236

2cosasinS即可得證;

（2）先求得sin（a-/?）,再根據(jù)平方關系、角的范圍即可求解.

【詳解】（1）因為sin（a+S）=5

所以sinacosS+cosasin/?=又sinacos￡=

所以cosasinS=---=-

236

所以sinacosS=2cosasin￡,即"3=2x"g,

cosacosp

所以tana=2tan￡；

(2)sin(a—￡)=sinacos^—cosasinS=：-：=：

所以cos2(a—S)=1—sin2(a—^)=1—^=||

因為a,￡為銳角，所以0<a<3，0<￡<3，所以*<一0<0,

所以所以c°s(a-6)==等.

16.(1)V3

⑵-1

（3）-V3

【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)基本關系切化弦和二倍角的正弦公式以及兩角和差的正弦公

式即可求解.

（2）根據(jù)同角三角函數(shù)基本關系切化弦和兩角差的正弦公式、二倍角公式即可化簡計算.

（3）由tan60。=tan（10。+50。）=百，利用兩角差正切公式可整理得到結果.

o

【詳解】（1）原式=-si-n-20-°-F,4.si.n20°=-si-n2-0--+-4s-i-n2-0-°-co-s-2-0°

cos20°cos20°

sin200+2sin40°_sin200+2sin(60°-20°)

cos20°cos20°

_sin20o+V3cos20o-sm20o

一cos20°

(2)原式=sin40°(tanl0°—tan60°)=sin40°x—；；；；；。

答案第7頁，共11頁

sinl0°cos60°—cosl0°sin60°—sin50°

=sin40°x=sin40°x——-----

cosl0°cos60°coslOcos60°

sin40°cos40°-sin80°^coslO°

CEM。。=T

cosl0°cos60°cosl0°cos60°

tanlO°+tan5O°

(3)因為tan60°=tan(10°+50°)==V3,

1—tanl0°tan50°

所以tanl0°+tan50°=V3—V3tanl00tan50°,

tan10°+tan50°+tan120°=V3-V3tanl00tan50°-V3=—V3tanl00tan50°,

所以原式=嚕端詈7

17.⑴8=3

(2)(3+V3,6+2V3)

【分析】（1）根據(jù)誘導公式和正弦定義邊角互化，求出三角形三邊之間的關系，再根據(jù)余弦

定理解三角形即可.

（2）由三角形形狀和角8的大小，求出另外兩個角的范圍，根據(jù)正弦定理，用正弦值表示

三角形各邊長，再根據(jù)角的范圍，求出三角函數(shù)值的范圍，根據(jù)函數(shù)性質判斷三角形周長的

范圍.

【詳解】（1）在AABC中，A+B+C=11,

所以sin4(sin4—sinC)=sin2(X+C)—sin2C=sin2B—sin2C,

即sin2力—sinXsinC=sin2S—sin2C.

由正弦定理可得—ac=ZJ2—C2,即小+c2—fa2=ac.

a2+c2-b21

由余弦定理，得cosB=

2ac2

因為B為銳角三角形ABC的內角，所以8=泉

（2）由（1）知，B=%因為△4是銳角三角形,

所以ae(o,3c=e(o.g,解得4eg》

由正弦定理=---=——9得

sinAsmFsinesinAsin-

3sin管-4)'

?,2sin-A/32sin(—■-V3cosyl+sini4y/3cosA.

所以b=—7--9c=------：---=---：---=—：―■—F1，

sin/sin/sinAsinAsin/

V3cos>l,yV3(l+cos>l),。

所以△/8C的周長a+b+c=2+-+——+1=---——+3.

sinAsin?lsinTl

l+cosi4_2cos2^

1且H二），

因為7~Af

k-2si喙謁tan—

2

答案第8頁，共11頁

所以號e(七,f).

sinZ\tan-tan—/

因為tang=1,tan=1n=2-V3,所以把竽E(1,2+g),

4121+cos-sirii4'7

所以歿畀+3e(3+8,6+28)，

即^ABC的周長的取值范圍是(3+V3,6+2V3).

18.(1)/(久)=sin(2久+

(2)單調遞增區(qū)間為卜詈+的1吟+同，k&Z,對稱軸方程為x=?+*k&Z

⑶[-舊,魂)u⑵

【分析】(1)利用二倍角的余弦公式和二倍角正弦公式，以及三角恒等變換化簡函數(shù)/(乃;

(2)根據(jù)解析式，再結合三角函數(shù)的性質，即可求解；

(3)利用三角函數(shù)的圖象變換求函數(shù)g(x)的解析式，再通過換元后，結合y=2sint的圖象，

即可求解.

【詳解1(1)依題意，/(x)=V3cos2tt)x+sintoxcosojx—=-y(1+cos2tox)+|sin2tox—

V3

2

=sin(23%+)3>0.

因為f(%)圖象的相鄰對稱軸之間的距離為》所以/(%)的最小正周期為m

所以空=冗，得但=1,所以/(%)=sin(2%+U).

2d)\3/

(2)令——+2/CTC<2%+—<—+2/CTC,kE.Z,

232

則——-+fcn<%<—+Mr,kEZ,

cfGz

如

令fzm

+71--+ITcG+cfez

2