《2023屆浙江省高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)提升訓(xùn)練》

專題12平面解析幾何（解答題）

33.（2022?浙江?高三開學(xué)考試）如圖，已知雙曲線。:￡-產(chǎn)=1,經(jīng)過點(diǎn)1）且斜率為左的直線/與C交

于A,B兩點(diǎn)，與C的漸近線交于兩點(diǎn)（從左至右的順序依次為AM,N,3）,其中ke0,學(xué).

（1）若點(diǎn)T是MN的中點(diǎn)，求女的值；

（2）求△OBN面積的最小值.

【答案】⑴！

網(wǎng)一垃

）-4-

【分析】（1）聯(lián)立直線/與雙曲線方程，根據(jù)點(diǎn)T是MN的中點(diǎn)，列方程求解即可.

（2）聯(lián)立直線/與雙曲線方程，表示出忸N|的長，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式表示出三角形的高，從而得到

三角形面積表達(dá)式，即可求得結(jié)果.

(1)

設(shè)孫義）

y=Z:(x—1)+1

聯(lián)立直線/與雙曲線方程一2,消去y得（1-2/卜2-4人（1一左卜-2（1-左）2=0,

、=0

1—2/y

4k-4k2-2(一)2

由韋達(dá)定理可知，%+W=-----z-,X,

1—2/121一2k2

y=—1)+1

Y1--..k.........

聯(lián)立直線/與其中一條漸近線方程，解得V2

------k;

2

_1-k_k-1

即標(biāo)=應(yīng)，同理可得?=0,,

-------k——+上

22

皿I4左-4左2

貝！=1二石+%2,

1-2化

則可知AB的中點(diǎn)與MN中點(diǎn)重合.

由于T（U）是MN的中點(diǎn)，所以4『/=2,解得彳=|；

（2）

>=左自-1）+1與［一產(chǎn)=1聯(lián)立，消去y得

（1_2左2）尤2_4左（1_k）工_2（1_左）2_2=0

由（1）知，忸叫=|AM|=-.或<0硒=-S^QMN）

由于|期二后迪匹『尸,|MN卜行也F

訴］----母（yl（l-k）2+1-2Z:2-?。?-k）2）

所以忸N卜VT7F—----------------------------------1,

1—2k

1一女

又。到直線的距離［=樂聲，所以

%硒三網(wǎng)/=’.（一附一1+；丁2一.

近。-8

2?1-k￥+l-2k2+J(1-J)2

V2

整理得s’

2

.,,f,A/2Je1-2左2-2/+4f-l14?

令1-q1-?。?則B=「^=K7-2，

當(dāng)』=2,即孑=工時(shí)，

t2

Er的最大值為2,所以%的最小值為二一3.

（1一%）4

34.（2022?浙江?杭十四中高三階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系x0y中，橢圓C過點(diǎn)（6,：）,焦點(diǎn)

￡（-省,0）,月（百,0）,圓O的直徑為月工.

(1)求橢圓C及圓。的方程；

(2)設(shè)直線/與圓。相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P.

①若直線/與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo);

②直線/與橢圓C交于A3兩點(diǎn).若A0R的面積為2匹,求直線/的方程.

7

【答案】(1)—+j2=1,x2+y2=3；(2)y=-s/5x+35/2

4

【詳解】分析：(1)根據(jù)條件易得圓的半徑，即得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，解方程組可得6,

即得橢圓方程；(2)第一問先根據(jù)直線與圓相切得一方程，再根據(jù)直線與橢圓相切得另一方程，解方程組

可得切點(diǎn)坐標(biāo).第二問先根據(jù)三角形面積得三角形底邊邊長，再結(jié)合①中方程組，利用求根公式以及兩點(diǎn)間

距離公式，列方程，解得切點(diǎn)坐標(biāo)，即得直線方程.

詳解：解：(1)因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為月卜石,0),丹(6,0),

可設(shè)橢圓。的方程為，+/=1(〃〉匕〉0).又點(diǎn)在橢圓。上，

[311「24

---1----=1/72=4

所以4b2解得/

"8=3,3=1

因此,橢圓C的方程為?+為=1.

4

因?yàn)閳A。的直徑為耳耳，所以其方程為/+y=3.

(2)①設(shè)直線/與圓。相切于尸(%,%)(%>(),%>0),則療+%2=3,

所以直線/的方程為y=-E(x-%)+%,gpy=-^x+—.

%y0y0

2

[X2_.

y=1,

由2,消去》得

x3

y=---0x+—,

1%%

(4/2+%?卜2-24劣0%+36—4y02=0.(*)

因?yàn)橹本€/與橢圓。有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

222

所以A=(-24%)-4(4x0+升)06-4年)=48城(^0-2)=0.

因?yàn)橹?>。，所以5=夜,%=1.

因此，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(3,1).

②因?yàn)槿切?AB的面積為亞，所以J_A3.OP=R1,從而48=逑

7277

設(shè)A（%,y）,5（孫％）,

由（*）得凡2

2(4/2+為2

所以AB?=(%一%2)2+(%_%)2

1+2

(4/2+姬

因?yàn)闉?+%2=3,

32

所以A*=42

—,BP2x0-45x0+100=0,

、

解得端］（婕=20舍去），則為2=:

，因此P的坐標(biāo)為?

7

點(diǎn)睛：直線與橢圓的交點(diǎn)問題的處理一般有兩種處理方法：一是設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用“設(shè)而不求”思想求解;

二是設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出交點(diǎn)坐標(biāo)，適用于已知直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)的

情況.

35.（2022?浙江?高三階段練習(xí)）如圖，已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)「且經(jīng)過點(diǎn)A（2p,m）（加>0）,

|AF|=5.

⑴求p和m的值；

(2)點(diǎn)M,N在。上，且AM,4V.過點(diǎn)A作AD,MN,。為垂足，證明：存在定點(diǎn)Q,使得為定值.

【答案】(1)P=2,m=4；

(2)證明見解析.

【分析】(1)由拋物線定義有|AP|=2p+孑=5求P,由A在拋物線上求相即可.

⑵令MN:x=ky+n,,N(x2,y2),聯(lián)立拋物線得到一元二次方程，應(yīng)用韋達(dá)定理，根據(jù)

及向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，求底兒數(shù)量關(guān)系，確定MN所過定點(diǎn)B,再由AE>_LMN易知。在以AB為

直徑的圓上，即可證結(jié)論.

(1)

由拋物線定義知：|A尸|=2。+孑=5,則p=2,

又4(4,m)(%>0)在拋物線上，則疝=4x4,可得m=4.

(2)

設(shè)〃(外,%),由(1)知：44,4),

所以AM=(%1—4,%—4)>AN=(々—4,%—4)>乂AMJ-AN,

所以(三一4)(工2-4)+(“-4)(%-4)=玉超-4(玉+%)+%%-4(%+女)+32=0,

令直線M/：x=6+〃，聯(lián)立C:y2=4x,整理得/一4.-4〃=0,且A=16/+16〃>0,

所以3+以=4左，%%=-4〃，則占+%=%(%+%)+2〃=442+2〃，芯尤2=%2yly2+%”(%+%)+"?=〃2，

綜上，”2一16左2一12〃一16左+32=("—4左一8)(〃+4%—4)=0,

當(dāng)“=8+4左時(shí)，腦門*=以,+4)+8過定點(diǎn)3(8,-4)；

當(dāng)〃=4一4人時(shí)，皿:》=-，一4)+4過定點(diǎn)(4,4),即AM,N共線，不合題意;

所以直線MN過定點(diǎn)3（8,T）,又AD1MN,故。在以A3為直徑的圓上,

而中點(diǎn)為。（6,0）,即Q0=?=2岔為定值，得證.

:一，=l（a>0,b>0）的離心率為半，且點(diǎn)（3,夜）在

36.（2022?浙江?慈溪中學(xué)高三開學(xué)考試）已知雙曲線C:

C上.

⑴求雙曲線C的方程:

（2）試問：在雙曲線C的右支上是否存在一點(diǎn)P,使得過點(diǎn)尸作圓V+y2=i的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,2,

直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點(diǎn)M,N,且且？若存在，求出點(diǎn)P；若不存在，請說

△iWCzzV33

明理由.

【答案】⑴:-丁=1

⑵存在，川2后有）或尸（2后-君）

【分析】（1）根據(jù)題意即可列出關(guān)于。、汰c方程組，即可解出答案；

（2）根據(jù)題意設(shè)尸（尤0,%）,即可求出直線的方程，則可求出點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，即可表示出

」1

\MN\=，再由點(diǎn)。到直線AB的距離d=~7『,則可表示出S=g|MN|-d=

9+8y廠石'

即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

（1）

因?yàn)?=工=38,所以即/=3片,

a33

又點(diǎn)（3,⑹在雙曲線的cJ4=l（“>0,b>0）圖像上，

o9Q2

所以5一爐=1’即京下j解得"=1"=3'

所以雙曲線C:二一y2=i；

3'

（2）

設(shè)尸（尤0,%）,

由已知點(diǎn)A,2在以O(shè)尸為直徑的圓=冬近上,

又點(diǎn)在尤2+尸=1上，則有方程組.口-歹+⑶-

x2+y2-1

解得直線AB的方程為%x+=1,

設(shè)直線AB與漸近線y=^x,y=—@x的交點(diǎn)分別為M,N,

33

xox+yoy=1

由V3解得加

y=——x

['3

xox+yoy=\

13

由*6解得N

V=------X

3%--/--

JJ7

所以卜

,1

又點(diǎn)0到直線AB的距離為d=/22

則三角形MON的面積5=。上叫"1

爐1=一

又因?yàn)榇?y；=l,所以33+§y29+8%；，

由已知S=且，解得y；=3,即%=土石，

因?yàn)辄c(diǎn)尸在雙曲線右支上，解得飛=2石,

即點(diǎn)尸(2"碼或網(wǎng)2"-⑹.

37.(2022?浙江?高三開學(xué)考試)已知直線/：'=履+1與雙曲線C:上-y2=i交于加、N兩個(gè)不同的點(diǎn).

4-

(1)求％的取值范圍；

(2)若A為雙曲線C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)加在雙曲線C的左支上，點(diǎn)N在雙曲線C的右支上，且直線也4、附分別

與＞軸交于P、。兩點(diǎn)，當(dāng)|尸。|=1時(shí)，求％的值.

【答案】（1）一亞＜k＜亞且左

222

7

(2)k=—

10

1一4左2w0

【分析】（1）聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元，依題意可得A＞0'即可求出參數(shù)的取值范圍;

（2）設(shè)由（1）可得韋達(dá)定理，求出直線肱1的方程，即可求出尸點(diǎn)坐標(biāo)，同理可

得。點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)|尸。=1得到方程，解得即可.

(1)

：4消》整理得（1一缺2）尤2-8履一8=0,

解：聯(lián)立方程組

lUT%”解得-理＜理目巾±1

依題意可得

△=32—64左2〉0222

(2)

8k

%+X,=---T

121-4P

解：設(shè)加、N坐標(biāo)分別為MA（-2,0）,由（1）知，

-8

1-4/

3

直線MA的方程為＞=(x+2),

%+2

令x=0可得點(diǎn)尸坐標(biāo)為0,

同理點(diǎn)。坐標(biāo)為（。，至；

IX2+2J

由陷4所以上-疑心所以

所以卜⑸1一2二（1-2Z:）|=2（2左-I）2,

整理得20人2—4a-7=0,即（2k+1）（10：—7）=0,

177

解得％=—5（舍去）或左二木，二?％=而.

38.（2022.浙江省淳安中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖，已知橢圓三+乎=1（。＞6＞。）的離心率為正，以該橢圓

。2b22

上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)月，月為頂點(diǎn)的三角形的周長為4（忘+1）.一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),

設(shè)尸為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線P片和尸％與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.

(II)設(shè)直線尸大、P外的斜率分別為&、k2,證明勺義=1;

(ill)是否存在常數(shù)人使得|至|+|。|=川?，8|恒成立？若存在，求尤的值；若不存在，請說明理由.

22

【答案】(I)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+—=1;雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

84

^_￡=1(II)勺&=仔二=1.(III)存在常數(shù)2=逑使得|AB|+|CD仁川AB'cq恒成立，

44%o—48

C0

【詳解】試題分析：(1)設(shè)橢圓的半焦距為C,由題意知：a~~2,

2a+2c=4(也+1),所以2=2*"^,c=2.

22

L+匕

又a2=b?+c2,因此b=2.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為84=1.

22

工_匕

由題意設(shè)等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為mm=l(m>0),因?yàn)榈容S雙曲線的頂點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，所以m=2,

22

L-匕

因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為44=1.

出%

z-2

(2)設(shè)A(xi，yi),B(X2,y2),P(x0,yo)，則卜=與+2,k2=o.

因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線x2—y2=4上，所以x—y=4.

.兒兒

因此k「k2=X。+2.勺-2=X。-4=],即k「k2=l.

(3)由于PFi的方程為y=ki(x+2),將其代入橢圓方程得(2。+l)x2-8klx+8kl-8=0,

幽28婷-8

顯然2kl+l￥0,顯然△>().由韋達(dá)定理得Xl+X2=2左+1,X1X2=2左+1.

11_1發(fā)：+12占2+1

則西+西=碰（婷+]+&?+[）

又ki-ki=L

2

1

逑

k1烏

111/號+i

國+畫=達(dá)片+]+l88

￥1

所以

3質(zhì)

故|AB|+|CD|=8|AB|-|CD|.

逑

因此存在九=8,使|AB|+|CD|=MABHCD|恒成立.

考點(diǎn)：本題考查了圓錐曲線方程的求法及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

點(diǎn)評：對于直線與圓錐曲線的綜合問題，往往要聯(lián)立方程，同時(shí)結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求

解；而對于最值問題，則可將該表達(dá)式用直線斜率k表示，然后根據(jù)題意將其進(jìn)行化簡結(jié)合表達(dá)式的形式

選取最值的計(jì)算方式

39.(2022?浙江.高三開學(xué)考試)已知橢圓C：F+'=l(a>b>0)過點(diǎn)A1,一,且以長軸和短軸為對角線

abI2,

的四邊形面積為4/.

⑴求C的方程；

22

（2）已知橢圓6：與r+斗v=丸，在橢圓C1上任取三點(diǎn)BC。，是否存在兄使得△以?與橢圓。相切于三角形

ab

三邊的中點(diǎn)，若存在，求出力的值，若不存在，請說明理由.

【答案】（小i

(2)存在，2=4

【分析】（1）由以長軸和短軸為對角線的四邊形面積為4〃可得12a-26=4",求得口=?,再結(jié)合A1,

13

在橢圓上得到/+指=1,兩式聯(lián)立即可得到答案;

（2）設(shè)3（私力）,3C,3D的中點(diǎn)分別是E,尸,E（&yJ尸（%，%），然后得到直線E戶為牛+町=1，與橢圓C

進(jìn)行聯(lián)立，得到一元二次方程，利用韋達(dá)定理以及結(jié)合題意通過計(jì)算即可得到答案

(1)

以長軸和短軸為對角線的四邊形面積為s=g2a-2匕=2仍，從而2"=4〃,a=26,

13

因?yàn)锳L在橢圓上，所以二+^^=1,解得a=2,Z?=l,

所以橢圓方程為三+V=1

4'

(2)

設(shè)3(私〃),3C,的中點(diǎn)分別是瓦尸,E,%),/仁,%)，則C(2芯—加,2%-,￡)(2%—私2%-,

因?yàn)?c加均與橢圓C相切于瓦尸點(diǎn)，所以8C3+%>=1,皿號+%y=l,

x.m1

七+M〃=l

因?yàn)榇英樵趦芍本€上，所以<

xmr

；o+%〃=1

所以（與，乂），5，力）在直線等+利=1上，即直線所的方程為等+利=1,

mx1

---Fny=1//22

■t得4〃+m2m11八

聯(lián)立

2無一壽x+/T=°'

X2i、16n

一+y-1

[47

16(l-n2

所以8m

X+%2=-5-----7，中2=-------

4/+m24/+m2

4-mx.4-mx08-m(Xj+x)_8〃

所以X+%=-----L+------2

4n4〃4n4/+rn2

當(dāng)直線。斜率存在時(shí)，且s的中點(diǎn)為(西+々-%,%+%-〃)，直線

m8-m2—4H2

CD:y=——近[x-(玉+x2-〃?)]+(/+%_〃)=_---XH-------------------------

%2-XlJ4n4n

y=Ax+B

22

rri8-m-4H得+A2k+2A&+B2-1=0,,

設(shè)聯(lián)一行”

4〃+/=1

U-

因?yàn)?與橢圓C相切，所以A=4A2B2-40,化簡得4=4片+1，

8-m2-4/2

代入A=，B=得(8-歷—4n2=4(m2+4n2

4n4〃

因?yàn)?(私〃)在橢圓G：；+y?=2上，所以療+4/=4彳，代入得(8—4㈤2=4(42),解得4=4,4=1(舍),

22

所以4=4,止匕時(shí)A=—2,5=8-m-4n8-422

4〃4〃4〃n

8m8m1

CD中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為玉+%-相=-m=------m=——m,

4n2+m2422

-2AB1

方程+A?卜2++笈_(tái)1=0的解為X=-7-----------——--m

2ABx2*2

所以彳=4時(shí)，CD與橢圓C相切時(shí)切點(diǎn)為8的中點(diǎn)，所以4=4滿足條件,

當(dāng)直線C。斜率不存在時(shí)，不妨假設(shè)直線C￡＞切于橢圓C的左頂點(diǎn)(-2,0),且根據(jù)橢圓的對稱性，8的中

點(diǎn)為左頂點(diǎn)(-2,0),8在x軸的正半軸上，

所以將x=-2代入橢圓C|：1+y2=2得＞=±71二1,不妨設(shè)C卜2,^/I=T),

將＞=0代入橢圓￡:[+＞2=2得.±271,所以B(2VI,0),

則3c的中點(diǎn)為3-1,'鏟)代入橢圓C得上乎t*+_=1,解得4=4,

綜上所述，2=4

【點(diǎn)睛】解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：

(1)得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為A&，%),Bg%);

(2)聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于x(或＞)的一元二次方程；

(3)寫出韋達(dá)定理；

(4)將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為芯+/，工也形式；

(5)代入韋達(dá)定理求解.

40.（2022?浙江嘉興?高三階段練習(xí)）已知橢圓C:=+2=1（0<6<2）,直線4：y=x+〃，與橢圓C交于A,B

兩點(diǎn)，且|A3|的最大值為學(xué).

⑴求橢圓C的方程；

⑵當(dāng)卜用=半時(shí)，斜率為-2的直線乙交橢圓C于尸，。兩點(diǎn)（尸，。兩點(diǎn)在直線4的異側(cè)），若四邊形APBQ

的面積為心反,求直線4的方程.

9

22

【答案】⑴上+乙=1

42

（2）Z2:2x+y±0=0.

【分析】（1）設(shè)AQ,%）,8（%,力）,聯(lián)立直線4與橢圓方程，得出韋達(dá)定理，再根據(jù)弦長公式求解，結(jié)合

函數(shù)的最大值可得。=應(yīng)，進(jìn)而求得橢圓方程即可；

（2）設(shè)直線4方程為y=-2x+〃，P（x3,y3）,Q（x4,y4）,記點(diǎn)尸，。到直線乙的距離分別為4,d2,表達(dá)

出4，4，根據(jù)而求解即可.

9

（1）

Z+￡=i

設(shè)A（XQJ,網(wǎng)當(dāng),％），聯(lián)立直線4與橢圓方程得4/一，

y=x+m

消去y得伊+4*+8〃氏+4（加-〃）=（）,又占,巧是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根，

A=64m2-16(Z>2+4)(m2-/?2)>0

-8m

所以x.+x2=------由弦長公式得

12從+4

4(m2-b2}

--

.12/+4

-8m2

IAB\=J1+左2民—工21=,I-4x

Z72+4隼"黑?”

所以當(dāng)修=。時(shí)，|AB|取到最大值，即1A用=解得6=0.

，/?2+43

22

所以橢圓C的方程為土+乙=1.

42

(2)

土+匕=1

設(shè)直線，2方程為y=-2%+〃，？?,%),。(%乂)，聯(lián)立直線，2與橢圓方程42-，消去y得

y=—2x+n

9x2—Snx+ln2—4=0,

A=(-8療-4x9x(2n2-4)>0

所以<當(dāng)+%=豆(-372,372),

2n2-4

9

'4^4'且(%一%)(%—%)<。，

記點(diǎn)尸，。到直線乙的距離分別為4，d2,又4=七冒江，d2=

匕-%|+卜-％|=|1-%=3|5—尤/

所以4+4=

00-y/2一應(yīng)

W府了不=3用「X2；4=如",

所以SAPB。=；lAB|(4+出)=!^^，'|J18-7/=^1^Ji8-7『,

因?yàn)镾"B2=?#，所以孚J18-=增,整理得1=2,所以凡=±夜?jié)M足條件,

綜上所述直線的方程為4：y=-2x土血，即為/2：2x+y±&=0.

22

41.(2022?浙江省蒼南中學(xué)高三階段練習(xí))已知點(diǎn)A(2,D在雙曲線C:二-與=l(b>0)上.

2b-

(1)求雙曲線C的漸近線方程;

⑵設(shè)直線/：>=H尤-D與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)E,F,直線AE,AF分別交直線x=3于點(diǎn)M,N.當(dāng)

△AMN的面積為應(yīng)時(shí)，求上的值.

【答案】(l)y=土日x

(2)-|

【分析】(1)由雙曲線的性質(zhì)求解,

(2)由2F兩點(diǎn)坐標(biāo)表示|政V|,聯(lián)立直線/與雙曲線方程，由韋達(dá)定理化簡，再由AAAW列方程求解

(1)

22

將點(diǎn)A(2,l)代入方程土一斗=1,解得廿=1,

2b2

所以雙曲線c的方程為y-j2=i,漸近線方程為y=土等X；

(2)

2

聯(lián)立<x2，整理得(1—2左jx+4kx—2k—2=0,由題意j、0,

.萬一，->

得嚴(yán)<1且左2/[設(shè)點(diǎn)E,尸的坐標(biāo)分別為(和M),?,%)，由韋達(dá)定理得%+9=31,%吃=當(dāng)匚

直線AE的方程為>-1=2匚1(x-2),令x=3,得y=2=+1,即川3,上二+1],同理可得

國一2七_(dá)2(再一2J

|占一%|=，(『+城-4+2=2浮了

y2T_弘-1|=11%-々%-占+尤2-2%+2%

\MN\=

%—2玉一J（七一2）（%—2）

kxx（X2-1）一2左（冗2-1）+^2辰2（X—1）+2左（再一1）一項(xiàng)

（芯-2）（^2-2）

=k-H=忘",

（西+々）+

xxx2-24平K7

所以△AMN的面積S=-x|MN|x1=1x1.L=y/2,即241-k2=|1-%|,

22

3i3

解得左=1或左=—=，又左2<1且所以％的值為--.

525

42.(2022.浙江?紹興魯迅中學(xué)高三階段練習(xí))已知橢圓C：W+與=：l(a>6>0)過點(diǎn)[。，3],月(-2,0),工(2,0)

ab144J

為其左、右焦點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程;

(2)P為第一象限內(nèi)橢圓C上的一點(diǎn)，直線尸耳,PB與直線x=5分別交于兩點(diǎn)，記△R4B和△環(huán)區(qū)的面

S.25PA-PF.

積分別為*邑，若2=丁，求0n屋的值.

與9PB-PF2

【答案】⑴u

10o

(2)1

【分析】(1)先根據(jù)橢圓焦點(diǎn)得c=2,再由定義得到橢圓方程.

⑵先設(shè)直線2吊尸工并表示出4],再根據(jù)2=個(gè)求出?['￡|'415彳]，3（5,9），最后由距離公式得到

|「團(tuán)=|師療用=）亞,1PAl=|揚(yáng)尸耳=：亞,計(jì)算出答案.

（1）

由題意可知片（-2,0）,耳（2,0）,

/.<?=2,

,■,橢圓C:0+2=l(a>6>0)過點(diǎn)I：,：],

/.a=Vw,

b2=a2—c2=6,

橢圓c的方程為：卻=“

106

(2)

由￡(-2,0),P(x0,%)得直線正耳：%x-(%+2)y+2%=0,

令x=5,解得'=^7,

毛+2

1%+2)

同理得215,且

.?.河|="一旦|=以嗯_(tái)20%,

XQ+2XQ_21XQ—4

,：_5/(57。)(5一/)[25

邑；呼2M忖一49'

化簡得16x；+90x0-325=0①或34君-90%+125=0(2),

由①得(25一5)(胱+65)=0,故x0=g,

由②可知/<0,故該方程無實(shí)根.

522Q

將七=三代入橢圓方程I+J=l中，解得為=：,

21062

,?,嗎￡|4，3，8（5,9）,

.-.|pf；|=|A/To,|pf；|=17To.|PA|=|Vw,|PB|=|Vio,

PA-PF,

...-------------=1.

PB-PF2

r221

43.（2022?浙江?高三開學(xué)考試）已知橢圓C：[+與=1（.＞0力＞0）的右焦點(diǎn)為F（2,0）,離心率為不AABC

ab2

為橢圓C的任意內(nèi)接三角形，點(diǎn)。為AABC的外心.

（2）記直線AB.BC.CA.OD的斜率分別為尤&，且斜率均存在.求證：4Khk3kA=3.

22

【答案】⑴L+匕=i；

1612

（2）證明見解析.

【分析】（1）利用右焦點(diǎn)、離心率求出。，。即得解；

￡＞

（2）設(shè)4（%,%）,3（%2,%），。（王，％），（當(dāng)，4），求出％，&%，%即得證.

（1）

丫21

解：由橢圓C:「+與=1（。＞0,6＞0）的右焦點(diǎn)為尸（2,0）,離心率為￡r=:得。=4,c=2.所以

aba2

b=A/16—4=2^3.

22

所以橢圓C的方程為上+匕=1.

1612

（2）

證明：設(shè)4a,乂）,鞏心力）〈（電，%），0?，%），則占二充三生二工資名二受?&二?.

設(shè)△ABC的外接圓方程為f+y2_2X4X-2"y+產(chǎn)=。，

得片+弁一2%4石一2y4yl+尸=0,x；+y；-2x4x2—2y4y2+廠=0,

兩式相減得君—4+￡-y；=2%（%—玉）+2y4（為一%），

因?yàn)橛?y；=-3-4）,所以]]（%2+玉）=214+2%匕，

同理：；(九2+%3)=2%4+2乂右.

cX.-xcx+xx.-x

兩式相減得：2%=京方,于是：2中」9一京力A為

所以%子二」的二77(尤2+玉)％2一(％3+12)%1

44（L

（七一占）（毛一毛）（毛一占）

將代入《得：2（君一尤;）（%一）2）一（老一無；）（?2一%）

因?yàn)橛纫还ぃ?-g（y；-y；）,xl~xl=-g（y；一式）

rrpik_3(二1%2)(%2—%)(尤3-xj

'4)(%f)

所以叫k2k3k4=3得證.

44.（2022?浙江省桐廬中學(xué)高三階段練習(xí)）己知橢圓氏，系=1（“>6>0）經(jīng)過點(diǎn)"守且焦距

比周=26,線段AB,CD分別是它的長軸和短軸.

⑴求橢圓E的方程；

（2）若N（sj）是平面上的動(dòng)點(diǎn)，從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：直線尸。經(jīng)過定點(diǎn).

①s=l,tw±3,直線根,g與橢圓E的另一交點(diǎn)分別為尸，Q.

2

②，=2,SER,直線NCND與橢圓E的另一交點(diǎn)分別為尸，Q.

【答案】⑴工+/=1

4-

（2）見解析

’13,

---1----=1

【分析】（1）由已知可得：a24b2,解得：4=4萬=i,即可求橢圓E的方程；

a2-b2=3

（2）選①，則N（l/）,A（-2,0）,3（2,0）,設(shè)P（冷，力）,0&,渥，

^NA=~~~=W，&NB="~~^=T，所以L:y=W（X+2）/NB：y=—，（彳一2）,

1+ZJ1—ZJ

聯(lián)立直線和橢圓的方程，求出尸,。的坐標(biāo)，進(jìn)一步得到直線尸。的方程，令y=0,尤=4,故直線PQ恒過定點(diǎn)

（4,0）.

選②，則N（s,2）,C（0,l）,r）（0,-l）,設(shè)尸⑸,井）,0&,坨）,

k=—=一，左即=—=一，所以：y=_%+1，,即：y=_%一1

NC5sssSS

聯(lián)立直線和橢圓的方程，求出P,。的坐標(biāo)，進(jìn)一步得到直線PQ的方程，令x=0,y=；,故直線PQ恒過定

點(diǎn)

（1）由己知，點(diǎn)ML坐在橢圓上，所以』+義=1，又因?yàn)槠弧ㄒ?，所?=4萬=1,所

\2\a4b

以橢圓的方程為：cr=4,b2=l.

（2）選①，則N（1J）,A（-2,O）,3（2,O）,設(shè)「（4,丹）,。&,“），幾=?。?;,%=/）=乜所以

1+231—2

y=*+2）

INA:，=；（，+2），/液:丁=-，（%-2）,2消去y得:

X21

——+y-I

4

△=256/-4（9+4/）（16/-36）=36?>0所以-2/=1；[十乎,所以/=一；：:產(chǎn),則%所以

y=-t（x-2）

-8r+18

P：2,消去y得：（l+4/2）x2-l6r2x+l6r2-4=0,

9+4/'x

彳+y-

422

A=256/-4（l+4f）（l6?-4）=16>0,所以2q=g^,所以a=氏|,則均=上？，所以

I2t4t

一就:巴:所以直線尸。的方程為：

9+4t21+4/

,所以16y4+（8x—32）/+16”2+（2X—8"+3y=0,所以y=0,尤=4,故直線

。。恒過定點(diǎn)（4,0）.選②，則N（s,2）,C（0,l）,D（0,—l）,設(shè)*%,力）,。小,%），G=平="即=—1=：,