第02講兩條直線的位置關(guān)系

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：兩直線位置關(guān)系的判定...................................................2

題型二：兩直線的交點與距離問題.................................................3

題型三：有關(guān)距離的最值問題.....................................................4

題型四：點關(guān)于點對稱...........................................................9

題型五：點關(guān)于線對稱..........................................................10

題型六：線關(guān)于點對稱..........................................................12

題型七：線關(guān)于線對稱..........................................................13

題型八：直線系方程............................................................14

02重難創(chuàng)新練.................................................................15

03真題實戰(zhàn)練.................................................................27

題型一：兩直線位置關(guān)系的判定

1.（2024?陜西榆林?模擬預測）已知直線4：2x+ay+l=0,12：法+丫-2=0（＜2,》611,"20）,若“4=也”

是“，夕’的充要條件,則/=（）

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】B

【解析】由題意可知若。=方，貝！]2Z?+a=2b+rb=（2+r）b=0,

又因為W0即。*。，63。，故f+2=0,L'Pt——2.

故選：B.

2.已知直線4:（q_2）x+5y—3=0,4：（q—2）x+皎-5=0,貝!]"http://〃2”是“4=2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】若〃〃2貝|4（4_2）_5（4_2）=0,且3〃_25片0,所以"=5,或“=2,

所以““〃2”是=2”的必要不充分條件.

故選：B.

3.（2024?湖北黃岡?二模）已知角a,角夕的頂點均為坐標原點，始邊均與x軸的非負半軸重合，終邊

分別過4（1,3）,3（-3,1）,則tan*=（）

A.—2或一B.2或—C.—D.—2

222

【答案】D

【解析】記。為坐標原點，因為4（1,3）,3（-3,1）,所以|。4]=|。叫=廂,

所以點A。,3）,3（-3,1）,均在以原點。為圓心而為半徑的圓上.

連接A3,取AB的中點連接?！?，則OYWLAB,

不妨設(shè)風,e（0,2兀），則/尤。加=々+2二4=空2,

a+B,

所以tan(—=QM

故選：D.

4.（2024?河南?三模）已知直線Ax+By+C=0與直線y=2x-3垂直，則（）

A.A=—23H0B.A=23H0

C.B=—2AHOD.B=2A^0

【答案】D

【解析】直線y=2x-3的斜率為2,又兩直線互相垂直，所以直線從+3y+c=0的斜率為

2

A1

即=--且A/0,BwO,所以3=2AwO.

B2

故選：D.

題型二：兩直線的交點與距離問題

5.已知點戶（五，兀）在直線3x-4y-10=0上，則，^+為2的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】?+升就是P（知兒）到原點距離,

P（不，兒）到原點距離的最小值為d=千=2

則人;+.的最小值為2,

故選：B.

6.已知點尸（。,2）、4（一2,-3）、3（1,1）,且|網(wǎng)=歸固，則"=.

9

【答案】

【解析】已知點尸（。，2）、A（-2,-3）、8（1,1）,且|叫=|「理,

22

則Jg+2『+（2+3）2=A/（t7-l）+（2-l）,解得a=_g.

故答案為：.

7.若直線4：辦+2y-6=。與直線/2：x+（a-l）y—a-l=O平行，則直線4與［的距離為.

［答案］述/

55

【解析】由于4與4平行，則。（。-1）=2,即a-2=0,解得a=T或a=2,

當a=2時，兩直線方程分別為2x+2y-6=0,x+y-3=0,此時兩直線重合，不符合題意;

當a=-L時，兩直線方程分另U為x-2y+6=0,x-2y=0,此時兩直線平行，符合題意；

綜上所述：。=一1,兩直線方程分另IJ為無一2y+6=0,無一2y=0,

I-6|6卡!

所以直線4與4的距離為d=,''2=—.

次+（-2）25

故答案為：述.

5

8.若點A（a,0）到直線/：尤7-1=0的距離為貶，則實數(shù)。=.

【答案】3或-1.

【解析】點A（a,0）到直線/：尤一V—1=。的距離為近，

|ci-0-l|I-

則

解得a=3或-1.

故答案為：3或-1.

題型三：有關(guān)距離的最值問題

9.著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休.”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為

幾何問題加以解決，如：瓜牙石不可以轉(zhuǎn)化為點（％y）到點（。力）的距離，則、/7W+Jx2_4x+8的

最小值為（）.

A.3B.2y/2+lC.2也D.歷

【答案】D

【解析】&+i+G-4x+8=^（x-O）2+（O-l）2+y/（x-2）2+（O-2）2,

可以看作點尸（m。）到點A（0,l）,B（2,2）的距離之和，

作點A關(guān)于x軸的對稱點A（O,-l）,顯然當民產(chǎn),4三點共線時，取到最小值,

最小值為B,H間的距離?7于=而.

故選：D.

10.（2024?貴州?校聯(lián)考模擬預測）已知尤,yeR+,滿足2尤+y=2,貝1Jx+J尤的最小值為（）

1+5/2

ABC.1D.

-t-I3

【答案】B

如圖，過點。作點。關(guān)于線段2x+y=2的對稱點C,則歸O|=|PC|.

&x(-2)=-l8

xo=T

%，解得，

設(shè)則有，所以C

2X^+>=2%=5

22

又無,yeR+,所以點尸到》軸的距離為x,

84

所以，x+^x2+y2可視為線段2尤+y=2上的點尸（x,y）到>軸的距離和到C的距離之和.

5?5

過P作尸軸，顯然有|/犯+|尸。以，當且僅當CP,。三點共線時，和有最小值.

過點C作軸，則|3|即為最小值，S與線段A3的交點4，即為最小值時尸的位置.

因為|C司=|,所以x+jY+v的最小值為g.

故選：B.

11.在平面直角坐標系xOy中，已知點4（0,-2）,點3（l,0）,P為直線2x-4y+3=0上一動點，則|叫+|咫

的最小值是（）

A.小B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】設(shè)點A（0,-2）關(guān)于直線2%-4y+3=。的對稱點為A（九,y）,

2x--4x——-+3=0x=~-

則;2i2，解得S，

y+21,12

------x—=—1y=—

、x2I5

所以41白，片］，

所以|PA|+|P8|=|PA|+|P83AB|=倍空=4,

當且僅當點P為線段A3與直線2x-4y+3=0的交點時等號成立,

所以+|尸目的最小值是4,

故選：B.

12.(多選題)已知點M(-U),N(2,l),且點尸在直線八x+y+2=0上，則()

A.存在點尸，使得PMLPNB.存在點尸，使得21PMl=|PN|

C.|尸閭+|「叫的最小值為0?D.伊政-|尸刑最大值為3

【答案】BCD

【解析】對于A：設(shè)尸(。，-。-2),若。=-1時P(-此時PM的斜率不存在，

2

與尸不垂直，同理〃時尸與不垂直,

kpN=§。。N=2MPN

當。彳一1且aw2時既知=<二，七v=±3,

〃+1a-2

若PMLPN,貝必,“.左”=土^土二=-1,

a-2a+1

去分母整理得2/+5a+7=0,A=52-4X2X7<0,方程無解，故與PN不垂直，故A錯誤;

對于B：設(shè)P(a,一。一2),若21PM=|PN|,則2而+以+(-0-3)2=而一2)，+(-0-3)，,

即2a2+10a+9=0,由△=1()2-4X2X9=28>0,所以方程有解，則存在點P,使得21PM=|/W|,故B正

確；

對于C：如圖設(shè)M(-U)關(guān)于直線/的對稱點為〃'(.,")，

曰=1

m+1\m=—3,

則,解得〃=一1,即—),

m-1〃+1-八

------+——+2=0

I22

所以|PAf|+|PN|=\PM'\+\PN\>\MN\=J(-3-2)2+(-l-l)2=屈,

當且僅當Af'、P、N三點共線時取等號(P在線段MN之間)，故C正確;

對于D：如下圖，|儼河|-|加卜|加時=3,當且僅當P在M0的延長線與直線/的交點時取等號，故D正確.

故選：BCD

13.已知x+y=0,則_2工_2y+2+2『+y?的最小值為()

A.6B.2.72C.V10D.2A/5

【答案】C

【解析】設(shè)點尸(x,y)為直線x+y=0上的動點，

222

由ylx+y-2x-2y+2+^(%-2)+/=#-以+什-丁+可同+/可看作口蒼>)與的距離和

尸(羽y)與(2,0)的距離之和,

設(shè)點M(1,1),N(2,0),則點為點/(1,1)關(guān)于直線x+y=。的對稱點，

故1PM=|尸"|,且眼兇=J(2+以+(o+iy=回,

所以|PM|+|PN|="1)2+"1卜+"2)2+y2=\PM'\+|P7V|>\M'N\=M,

當且僅當三點共線時，取等號，

2

所以Jf+y2_2x_2y+2+^(X-2)+/的最小值為加.

故選：C

14.已知x,y為實數(shù)，代數(shù)式Jl+(y-2p+,4+(2-4+(.+>的最小值是.

【答案】5

22

【解析】Jl+(y-2『印^(0-1)+(7-2),幾何意義為點P(0,y)與點4(1,2)的距離;

、4+(2-尤4即7(2-0)2+(2-X)2,幾何意義為點3(2,2)與點。(％0)的距離；

7%2+/即7(^-o)2+(o-y)2,幾何意義為點尸(0,V)與點Q(x,0)的距離，

分別作A關(guān)于y軸的對稱點A'(-1,2),8關(guān)于無軸的對稱點笈(2,-2),

連接A4;A'P,AB',B'Q,BB',則|網(wǎng)=陷,阿|=|陽,

』+(>-2)2+44+(2-彳)2+次+/=|PA|+忸Q|+1Pg|

=\AF\+\B'^+\P^>\AB'\=5,

當且僅當P,Q分別為AE與，軸，x軸的交點時，等號成立,

故答案為：5.

題型四：點關(guān)于點對稱

15.在VABC中，已知4(5,-2),3(7,3),且AC邊的中點M在y軸上，BC邊的中點N在x軸上，則頂點

C的坐標為.

【答案】(-5,-3)

【解析】設(shè)C(x。,%),則AC邊的中點為知[宇,以/)BC邊的中點為

因為點M在y軸上，所以血產(chǎn)=0,解得毛=-5.

因為點N在無軸上，所以義尸=0,解得%=-3,即C(一5,-3).

故答案為：(-5,-3).

16.設(shè)點A在x軸上，點8在y軸上，AB的中點是尸(2,-1),則A與B坐標分別為,|AB|=.

【答案】4(4,0),5(0,-2)26

【解析】設(shè)4(蒼0),B(0,y),

因為A2中點尸(2,-1),

9

所以，即冗=4,y=—2,

2=-i

[2

所以4(4,0),5(0,-2),

所以|A3|二J(4-Op+(0+2『=2也,

故答案為：4(4,0),3(0,-2)；2^/5.

17.過點(3,2)的直線/,被直線4：2尤-5y+9=0,小2龍-5y-7=0所截得的線段A3的中點恰好在直線

尤-4y-l=0上，則直線/的方程為.

【答案】x-2y+l=0

【解析】設(shè)AB中點為

因為人也，所以"在直線2x-5y+l=0上，

由M在直線尤-4y-l=0上，

(2x-5y+l=0[x=-3

聯(lián)立可得「，八，解得，，即A3中點為河(-3,-1),

[x-4y+l=0[y=T

所以直線/的斜率％=狷=，所以/的方程為y=g(x-3)+2,Bpx-2y+l=0.

故答案為：尤-2y+l=0.

題型五：點關(guān)于線對稱

18.點尸(2,3)關(guān)于直線%+、+2=0的對稱點的坐標為()

A.(—3,—2)B.(—2,—3)C.(—5,—4)D.(-4,-5)

【答案】C

【解析】由題意，

在直線x+y+2=0中，斜率為T,

垂直于直線x+y+2=0且過點P(2,3)的直線方程為y-3=lx(x-2),即y=x+l,

設(shè)兩直線交點為A,

3

[y=x+\A-

由,cc，解得：2

[x+y+2=0>=_V

2

o的對稱點的坐標為p1-1x2-2,X2-3)

點尸(2,3)關(guān)于直線*+>+2=

即P(-5,-4),

故選：C.

19.點尸(2,0)關(guān)于直線x+y+l=O對稱點。的坐標為()

A.(-1-3)B.(3,3)C.(-1,3)D.(4,-2)

【答案】A

【解析】設(shè)點尸(2,0)關(guān)于直線x+y+l=0的對稱點Q(a,b),

b-0

X(T=T

。一2a=-1

則解得:

〃+2b=-3

+-+1=0

2

所以Q(T-3).

故選：A.

20.已知點A與點8(2,1)關(guān)于直線x+y+2=。對稱，則點A的坐標為()

A.(-1,4)B.(4,5)

C.(TV)D.(-4,-3)

【答案】C

［解析］設(shè)A(x,y),因點A與點2關(guān)于直線對稱，則A2中點在直線x+y+2=0上且直線A3與直線x+y+2=0

垂直，

*+2±1+2=0

22二x--3

則

2zl=iy=-4

—2

即點A坐標為(-3,-4).

故選：C

21.已知光線從點4L5)入射，經(jīng)過直線/：y=x+l反射，反射光線經(jīng)過點8(-2,10),則入射光線所在的直線

方程為_.

【答案】3x+4y-23=0

【解析】直線/：y=x+1的斜率為1,二根據(jù)點P(x,y)關(guān)于斜率為±1的直線直接求對稱點尸'(》,了)的結(jié)論：

知x求y,知、求才可得，

當彳=一2時代入"X+1得y=-l：

當y=10時代入>=尤+1得才=9,即得8(-2,10)關(guān)于/:y=x+1的對稱點.

A(l,5)

.，_5-(-1)_3

3

.??入射光線所在直線方程為--5

化簡得：3x+4y-23=0.

故答案為：3尤+4k23=0.

題型六：線關(guān)于點對稱

22.直線尤+2y—3=0與直線辦+4y+>=0關(guān)于點4（1,0）對稱，則b=.

【答案】2

【解析】因為直線x+2y-3=0與直線辦+今+8=0關(guān)于點4（1,0）對稱，

所以X,解得"2,

|2+向：：2

又〃=解得6=2,或-6（重合，舍），

2A/5-A/5

所以6=2.

23.直線/：2尤-3y+1=。關(guān)于點4（—1,一2）對稱的直線I'的方程為.

【答案］2x-3y-9=0

【解析】設(shè)P（%y）為/'上任意一點，則P（x,y）關(guān)于點A（T,-2）的對稱點為P（-2-x,T-y）,

因為P，在直線/上，所以2（—2-x）—3（-4—y）+l=0,即直線/'的方程為2元-3y-9=0.

故答案為：2—=0

24.直線2%-〉+3=。關(guān)于點4（5,3）的對稱直線方程是.

【答案】2x-y-17=0

【解析】設(shè)對稱直線為/'：2x-y+C0=0,

|2x5-3+C||5x2-3+3|

則有所+11）「0后矛，則7+Q=l。

解這個方程得￡>=3（舍）或C°=-17.

所以對稱直線/'的方程中2元-y-17=0.

故答案為：2x-y-17=0.

25.與直線/：2尤-3、+1=。關(guān)于點（4,5）對稱的直線的方程為.

【答案】2元一3y+13=0

【解析】直線/：2x-3y+1=0關(guān)于點（4,5）對稱的直線的方程可設(shè)為2x-3y+m=0,其中加力1

又（4,5）點至IJ直線/：2萬一3?+1=。與至1］直線2彳一3'+利=。的距離相等

|8-15+1||8-15+機|

所以即忱一7|=6,所以冽=13或相=1（舍）.

故所求直線方程為：2x-3y+13=0.

故答案為：2x-3y+13=0.

題型七：線關(guān)于線對稱

26.直線乙：3x-y-3=0關(guān)于直線l2:x+y-l=0的對稱直線方程為

【答案】%-3y-l=0

【解析】設(shè)直線乙關(guān)于直線4對稱的直線為L

3%-,一3=0/曰X-1

由1八得:y=o,則點（1,0）在直線4上;

九+>—1=0

在直線直上取一點A（0,-3）,設(shè)其關(guān)于直線12對稱的點為4（私〃）,

n+31

-------=1m=4,、

則1，解得:』，即A（4,l）；

m+0n-3r八

-------+---------1=0

22

二直線4的方程為：品=W，即x-3y-l=0.

0-11-4

故答案為：x-3y-l=0.

27.已知直線/：2x-y+l=0,它關(guān)于直線小無-y+l=0對稱的直線方程為.

【答案】x-2y+2=0

【解析】設(shè)對稱的直線方程的點為（%,y）,對稱點為（占,必），

直線］:x-y+l=。斜率為1,

*-2+1=0

22

則有＜2玉一%+1=0，消去%,必得x-2y+2=0,

2Z2L=_I

%_玉

故答案為：無一2y+2=0

28.直線x+3y-l=0關(guān)于直線x-y+l=0對稱的直線方程是

【答案】3尤+y+l=0

1

X=——

x+3y-l=02

【解析】聯(lián)立…=0，解得

1

y=—

2

即兩直線的交點為M

在直線x+3y-l=0上取一點尸(1,0),

設(shè)點尸關(guān)于直線x-y+l=0的對稱點為。(加㈤，

m+1ny八

-----------+1=0

22m=—l

則，解得,即Q(-L2).

nyyn=2

------xl=-1

^m-1

--2

所以直線MQ的方程為＞-2=———(x+1),

一?、?

即3x+y+l=0.

故答案為：3x+y+l=0.

題型八：直線系方程

29.過兩直線4：x-3y+4=O和4：2x+y+5=O的交點和原點的直線方程為()

A.3x-19y=0B.19尤-3y=0

C.19x+3y=0D.3x+19y=0

【答案】D

【解析】設(shè)過兩直線交點的直線系方程為x-3y+4+4(2x+y+5)=0,

代入原點坐標，得4+52=0,解得彳==,

4

故所求直線方程為x-3y+4—w(2尤+y+5)=0,即3x+19y=0.

故選：D.

30.經(jīng)過點尸(1,0)和兩直線4：x+2y-2=O；4：3x-2y+2=0交點的直線方程為—

【答案】x+y-l=0

【解析】設(shè)所求直線方程為x+2.v-2+2(3x-2y+2)=0,

點尸(1,0)在直線上，

,-.1-2+2(3+2)=0,

解得a=2，

所求直線方程為x+2y—2+gx(3x-2y+2)=0,即x+y-l=0.

故答案為：x+y-l=0.

31.經(jīng)過直線3x~2y+1=0和直線x+3y+4=0的交點，且平行于直線尤一y+4=0的直線方程為.

【答案】x—y=0.

【解析】設(shè)直線方程為3%—2y+l+〃x+3y+4)=0,再求出力的值即得解.過兩直線交點的直線方程可設(shè)為

3%—2y+1+%(x+3y+4)=0,

即(3+2)x+(34—2)y+4%+1=0,

因為它與直線X—y+4=0平行，

所以3+/L+32—2=0,

即4—L

4

故所求直線為x—y=0.

故答案為：x一尸0.

1.（2024?高三?陜西西安?期末）己知a>0,b>0,直線4：x+（a-2）y+l=0,/2：bx+y-2=0,

且4，*則下列選項中錯誤的一項是（）

b2

A.0<ab^lB.y[a+y[b<2C.a2+b2<2D.—F—>3

ab

【答案】C

【解析].Zj-Ll2,.,.b+a—2=0,a+b=2,

a>0fb>0,:.a+b>2\[ab,:.O<ab<1,A選項正確；

（&+揚）=a+b+2y[ab<2+2,yfa+4b<2,B選項正確；

i3ioin

a+b=2,a=—b=—,a2+b2=—I—=—>2,C選項專昔誤；

292444

b22-a22+W=

—I—=----+—=(〃+〃)一1

abababab

二|"泊+1)同2+2斷卜=3,

D選項正確.

故選：C.

2.(2024?四川綿陽?二模)在平面直角坐標系'2y中，角。,尸的終邊與單位圓的交點分別于A,3兩點,

且直線AB的斜率為則tan(a+￡)=()

B42

A-1C.D.

-I4

【答案】C

【解析】不妨設(shè)出440,2兀)且。為A3的中點，直線A8與1軸相交于點。,

,OC±AB,tanZCOD=tana+=2,

222

2tani

2x24

tan(cr+/?)=2

1-tan^1一個3

2

故選：C

3.(2024?山東濰坊?模擬預測)已知直線機：依+>+3=0與直線〃:3%+(2?！猯)y—1=0,3/>0),且相，〃,

21

則4+；的最小值為()

ab

A.12B.8+473C.15D.10+2退

【答案】B

【解析】由題意知直線機：辦+〉+3=0與直線“：3%+(26-1)丫一1=0,(<2,6>0),mln,

貝U3a+2b-l=0,即3。+2b=1,

i，21_21__..4b3。0314b34./r-

—l—=(—I—x)(z3。+2b)=--1----F822J---------1-8=8o+4,3,

ababab\ab

當且僅當竺=半，結(jié)合3a+25=1,即〃=三也,6=1二1時等號成立。

ab64

o1

故~+；的最小值為8+4占，

ab

故選：B

4.在平面直角坐標系中，集合A={(x,y)辰-y+左=0},集合3={(x,y)|y=Ax-l},已知點AfeA,點、N€B,

記d表示線段MN長度的最小值，則d的最大值為()

A.2B.73C.1D.&

【答案】D

【解析】集合A={x3-y+z=o}可以看作是表示直線4：依-、+%=。上的點的集合,

由近一y+Z=O變形可得，上(x+l)-y=O,

fx+l=Ofx=-l

由n可得，「，

lJ=O[y=0

所以直線4：依-y+左=0過定點E(-1,O).

集合8={(x,y)|y=履-1}可看作是直線/z：y=Ax-l上的點的集合,

由丫=丘-1變形可得，依一(y+l)=。,

x=0x=0

由y+「?？傻?

y=-l

所以，直線小、=依t過定點尸(。1).

顯然，當點M，N與點E,尸分別重合，且線段與直線乙，都垂直時，d有最大值

\EF\=J(O+l)2+(-l-O)2=A/2.

故選：D.

5.(2024?重慶沙坪壩?模擬預測)設(shè)直線/:x+y-l=0,一束光線從原點0出發(fā)沿射線y=kx(x^0)

向直線/射出，經(jīng)/反射后與X軸交于點M,再次經(jīng)X軸反射后與y軸交于點N.若

\MN\=—,貝Uk的值為()

116

A-1B-t

C-ID-I

【答案】B

【解析】

如圖，設(shè)點。關(guān)于直線/的對稱點為A(4另),

22：］，即A(U)，

則得

Ax（一1）=一1

.石

由題意知y=^(x20)與直線/不平行，故％w-1,

1

x=------

k+i,即1k

由得p

x+y-l=Okk+Vk+X）'

y=------

k+1

—--1

故直線AP的斜率為k="一1

AP~k,

—--1

k+1

直線AP的直線方程為：y-l=1(x-l),

K

令y=0得x=l_%,故M（1-Z,O）,

1

令x=0得y=故由對稱性可得

k

22

由即|=乎得（i）2+[g—l13f,113

——，BPn2

36k-r436

解得上+；1=1?3,得女=2]或左二3=,

k632

3

若左=(,則第二次反射后光線不會與y軸相交，故不符合條件.

故V,

故選:B.

6.（2024?黑龍江牡丹江?一模）已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z=a+為，?,beR且滿足|z-i|=0,求點Z（a,b）

到直線y=x+3距離的最大值為（）

A.0B.272-2C.V2D.2A/2

【答案】D

【解析】z-a+bi,|z-i|=>/2,

則心+0-1川=0,即/+S_I）2=2,圓心為（0,1）,半徑為一應(yīng),

|0-1+3|

圓心（0,1）至U直線X一>+3=0的距離d==0，

^/i+T

故點Z（a,6）到直線y=x+3距離的最大值為』+廠=&+0=20.

故選：D.

7.（2024?山東濟南?模擬預測）在平面直角坐標系x0y中，已知A（2,0）,3（0,6）,動點尸滿足0尸=204+〃02,

且|刈+|〃|=1,則下列說法正確的是（）

A.點尸的軌跡為圓B.點尸到原點最短距離為2

C.點尸的軌跡是一個正方形D.點尸的軌跡所圍成的圖形面積為24

【答案】D

【解析】設(shè)點尸的坐標為（x，V）,因為A（2,0）,B（0,6）,動點P滿足0尸=幾。4+〃02,

所以（x,y）=2（2,0）+〃（0,6）,得x=24,y=6〃，

因為日+所以忖+忖=1,

26

即點尸的軌跡方程為忖+田=1,

26

當x20,y20時，方程為3x+y-6=0,

當x>0,y<0時，方程為3無一y-6=0,

當尤<0,yN0時,方程為3無一y+6=0,

當尤<0,y<0時，方程為3尤+>+6=0,

所以點尸對應(yīng)的軌跡如圖所示，且心B=%5=-3,kBC=kAD=3,

所以點尸的軌跡為菱形，所以AC錯誤,

原點到直線的距離為d=^<2,所以B錯誤,

點尸的軌跡所圍成的圖形面積為4小2小24,所以D正確.

故選：D

TO

8.（2024?陜西西安?一模）唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬

傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，

先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在的位置為

A（-3,0）,若將軍從山腳下的點以-1,1）處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y=l,則“將軍飲馬”的最短總路

程為（）

A.75B.3C.V13D.5

【答案】C

【解析】設(shè)點關(guān)于直線x+y=l對稱的點為C（x,y）,

-1+x1+V,

--------+―-=1

x=0

nC（0,2）,

y=2

所以“將軍飲馬”的最短總路程為|4。=斤百=而,

9.（多選題）（2024?江西?模擬預測）已知集合A={（x,y）|x+0+2a=0},8={（尤,y）版+0-1=0},

則下列結(jié)論正確的是（）

A.VtzeR,Aw0

C.當A5=0時，a=lD.3dieR,使得A=3

【答案】AB

【解析】對于選項A：因為》+以+2a=0表示過定點（0,-2）,且斜率不為。的直線,

可知A={(x,y)|x+ay+2a=0}表示直線x+ay+2a=。上所有的點，

所以VaeR,AA0,故A正確；

對于選項B：當。=一1時，則A={(x,y)|x-y-2=0},3={(x,y)|x+y+l=0},

1

聯(lián)立方程解得2所以=B正確；

[x+y+l=OJ&22力

對于選項C：當A,8=0時，則有：

若3=0,貝！Ja=0；

若3w0,可知直線x+ay+2〃=。與直線依+電一1=0平行，且

可得_L=gw4,解得。=i；

cia—1

綜上所述：。=0或4=1,故C錯誤；

對于選項D：若A=B，由選項C可知awo,且工=3==，無解，故D錯誤.

故選：AB.

10.(多選題)(2024?云南昆明?模擬預測)唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽

火,黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺之后從山腳的某

處出發(fā)，先去河邊飲馬，再返回軍營，怎樣走能使總路程最短?在平面直角坐標系中有兩條河流mn,其方

程分別為2x-y=o,y=o,將軍的出發(fā)點是點4(3,1),軍營所在位置為“6,3),則下列說法錯誤的是()

A.若將軍先去河流機飲馬，再返回軍營，則將軍在河邊飲馬的地點的坐標為(L2)

B.將軍先去河流〃飲馬，再返回軍營的最短路程是行

C.將軍先去河流機飲馬，再去河流〃飲馬，最后返回軍營的最短路程是每

D.將軍先去河流〃飲馬，再去河流機飲馬，最后返回軍營的最短路程是2舊

【答案】ABD

【解析】對于A,如圖①所示，設(shè)點43,1)關(guān)于直線2元->=0的對稱點為A。,％),

由尤T解得4(-1,3),

2x3±i_l+A=0

I22

3

所以將軍在河邊飲馬的地點的坐標為C(=,3),故A錯誤；

2

對于B,如圖②所示，因為點4(3,1)關(guān)于直線y=0的對稱點為4(3,-1),

將軍先去河流〃飲馬，再返回軍營的最短路程是怛闋="(6-3尸+(3+1尸=5,故B錯誤；

對于C,如圖③所示，因為點3（6,3）關(guān)于直線y=0的對稱點分別為，4（6,-3）；

點A（3,l）關(guān)于直線2尤-y=0的對稱點為4（-1,3）,

所以將軍先去河流施飲馬，再去河流〃飲馬，最后返回軍營的最短路程|44|=屈，故C正確；

對于D,如圖④所示，設(shè)點3（6,3）關(guān)于直線2彳-》=0的對稱點分別為員（尤2，%）,

由馬一6解得8,（_|多；點A（3,1）關(guān)于直線y=o的對稱點為4（3,-1）,

2XX_2=O55

122

將軍先去河流〃飲馬，再去河流加飲馬，最后返回軍營的最短路程是|&因=邊等，故D錯誤.

故選：ABD.

圖③

圖④

11.（多選題）（2024?甘肅定西?一模）下列命題為真命題的是（）

A.yjx2-4%-8A/-%+4+1x-1|的最小值是2

B.y/x2-4x-8y/—x+4+|尤_的最小值是逐

C.yjx2—4x—8A/—x+4+-\/x2—2x—4>/—x+2的最小值是0

D--^/x2—4x—8A/—x+4+sjx2—2x—4s/—x+2的最小值是6

【答案】BC

【解析】設(shè)A(O,2),B(T1),尸(一1,0),尸,

易知點P的軌跡是拋物線V=-4x的上半部分,

拋物線丁=-4x的準線為直線尤=LP到準線的距離d=1x-11,F為拋物線產(chǎn)=-4x的焦點,

對于AB,&-4X-8Q+4+|X-1|=Qx1+心工+d

=|PA\+d=|PA|+|PF|>|AF\=y/5,

所以42-4工-87^+4+|*-1|的最小值為逐，故A錯誤，B正確；

對于CD,-4x—8y/—x+4+y/x2—2x—4yf—x+2

=+J(x+1)2+G/^_1)2=\PA\+\PB|>|AS|=拒，

所以42-4x-8Q+4+yjx?-2x-4口+2的最小值是魚，故C正確，D錯誤.

故選：BC.

12.（多選題）（2024?遼寧?一模）對平面直角坐標系xOy中的兩組點，如果存在一條直線。尤+勿+c=0

使這兩組點分別位于該直線的兩側(cè)，則稱該直線為“分類直線”.對于一條分類直線/,記所有的點到/的距

離的最小值為4,約定：4越大，分類直線/的分類效果越好.某學校高三（2）班的7位同學在2020年期

間網(wǎng)購文具的費用X（單位：百元）和網(wǎng)購圖書的費用y（單位：百元）的情況如圖所示，現(xiàn)將和舄

為第/組點將和。3歸為第〃點.在上述約定下，可得這兩組點的分類效果最好的分類直線，記為L.給

出下列四個結(jié)論：

（百元）

q12345x（1元）

①直線x=2.5比直線3x-y-5=0的分類效果好；

②分類直線L的斜率為2；

③該班另一位同學小明的網(wǎng)購文具與網(wǎng)購圖書的費用均為300元，則小明的這兩項網(wǎng)購花銷的費用所對應(yīng)

的點與第〃組點位于L的同側(cè)；

④如果從第/組點中去掉點片，第〃組點保持不變，則分類效果最好的分類直線不是L.

其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①B.②C.③D.@

【答案】BCD

【解析】由圖象知：

4（1.5,2）,2（1,3）,月（2,3）