第17章學(xué)情評估

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）

題序12345678910

答案

1.已知k,m是常數(shù)，下列方程中一定是一元二次方程的是（）

A.6x2=3--B.（k—1）x2—6kx+5=0

x

C.x2-8=0D.x2+y=3

2.用公式法解方程2t2=6t+3時，a,b,c的值分別為（）

A.2,6,3B.2,—6,—3

C.—2,6,—3D.2,6,—3

3.下列一元二次方程中有一個根為x=0的是（）

A.X2—1=0B.X2—2x=0

C.X2—x=2D.x（x+2）=1

4.用配方法解一元二次方程x2—4x+l=0時，下列變形正確的是（）

A.（x—2尸=1B.（x—2/=5C.（x+2）2=3

D.（x—2尸=3

5.關(guān)于x的方程4x2—4x+1=0的根的情況是（）

A.有兩個相等的實數(shù)根

B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.只有一個實數(shù)根

D.無實數(shù)根

6.解方程4（3X+2）2=3X+2,最簡便的解法是（）

A.直接開平方法B.因式分解法

C.配方法D.公式法

7.已知關(guān)于x的一元二次方程2x?+4x+k—1=0的一個根為1,則另一

個根為（）

A.2B.3C.-2D.-3

8.某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出相同數(shù)目的小

分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是11L求每個支干長出小分支的

個數(shù).設(shè)每個支干長出小分支的個數(shù)為x,則可列方程為（）

A.l+2x=lllB.x2+x+l=lll

C.l+x2=lllD.（l+x）2=lll

Y—9QVV—9

9.用換元法解分式方程——--^=2時，如果設(shè)—=y,那么原方

XX-ZX

程可化為（）

A.y2+2y-3=0B.y2-2y-3=0

C.y?—3y—2=0D.y2-y-2=0

10.如果一元二次方程ax'+bx+c：。（aWO）滿足4a—2b+c=0,那么我

們稱這個方程為“阿凡達(dá)”方程.已知ax2+bx+c=0是“阿凡達(dá)”

方程，且有兩個相等的實數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是（）

A.b=cB.a=bC.a=2bD.a=c

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

11.若(m—2)x"—mx+2=0是關(guān)于=.

12.如果關(guān)于x的方程一X?—x+c=0有實數(shù)根，那么實數(shù)c的取值范圍

是?

13.若a,b是一元二次方程x2+x—6=0的兩個根，則a2+2a+b=

14.已知關(guān)于>0).

⑴該方程根的情況是;

(2)當(dāng)m=l,2,3,…，2024時，相應(yīng)的一元二次方程的兩個根分別記

為&1、B1,&2、02>&3、33>…，O-2024>32024>則+~+

a1P1a2

…+J—的值為_______.

P2a3P3a2024P2024

三、(本大題共2小題，每小題8分，共16分)

15.將一元二次方程(x—l)(2x—3)=x(3x—1)化成一般形式，并寫出其

中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

16.解下列方程：

(1)X2-7X-18=0；

(2)3x(x+3)=2(x+3).

四、(本大題共2小題，每小題8分，共16分)

X2—2x(2x—4、

17.先化簡，再求值:其中X滿足X2—2x—8=

0.

18.如圖，某小區(qū)有一塊長為18m,寬為6m的長方形空地，計劃在其

中修建兩塊相同的長方形綠地，它們的面積之和為60m2,兩塊綠地

之間及周邊留有寬度相等的人行道，則人行道的寬為多少米？

6m

18m

五、(本大題共2小題，每小題10分，共20分)

19.已知關(guān)于一1=0的根為xi,X2.

⑴若的值；

(2)若一個等腰三角形的一邊長為5,另兩邊長恰好是此方程的兩個實數(shù)

根，求m的值.

20.已知關(guān)于為何值，方程總有兩個實數(shù)根；

⑵若a為方程的一個根，且滿足0<a<3,求整數(shù)m的值.

六、（本題滿分12分）

21.某公司2月份銷售新上市的A產(chǎn)品20套，由于該產(chǎn)品的經(jīng)濟(jì)適用性，

銷量快速上升，4月份該公司銷售A產(chǎn)品達(dá)到45套，并且2月到3

月和3月到4月兩次的增長率相同.

(1)求該公司銷售A產(chǎn)品每次的增長率；

⑵若A產(chǎn)品每套盈利2萬元，則平均每月可售出30套.為了盡量減少庫

存，該公司決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，A產(chǎn)品每套每降

0.5萬元，公司平均每月可多售出20套.若該公司5月份要獲利70

萬元，則每套A產(chǎn)品需降價多少？

七、(本題滿分12分)

22.閱讀材料，并回答問題:

為解方程1)2—5lx?-1)+4=0,我們可以將3一1)看成一個整體,

然后設(shè)x2—l=y,那么原方程可化為y2—5y+4=0①，解得門=1,y?

=4.當(dāng)y=l時，X2—1=1,所以x?=2,所以Xi=:,X2=—.當(dāng)y

=4時，X2—1=4,所以x?=5,所以X3=4,X4=一故原方程的

角軍為Xi=M，X2=—\[2,*3=m，X4=一乖.

上述在由原方程得到方程①的過程中，利用換元法達(dá)到了降次的目的，

體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

(1)已知方程？*=x2—2x—3,若設(shè)x2—2x=a,試將原方程化成用a

表示的一般式；

⑵請利用以上方法解方程：(x?+2x)2-(x2+2x)-6=0.

八、(本題滿分14分)

23.如圖，在AABC中，ZB=90°,AB=6cm,BC=8cm.

(1)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始，沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)B

開始，沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度運(yùn)動，如果點(diǎn)P,Q分別從A,

B同時出發(fā).

①經(jīng)過幾秒，4PBQ的面積等于8cm2?

②線段PQ能否將^ABC分成面積相等的兩部分？若能，求出運(yùn)動時間；

若不能，請說明理由；

⑵若點(diǎn)P沿線段AB從A點(diǎn)出發(fā)以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)Q沿射

線CB方向從C點(diǎn)出發(fā)以2cm/s的速度運(yùn)動，點(diǎn)P,Q同時出發(fā)，經(jīng)

過幾秒，4PBQ的面積為1cm2?

上

A*p心

答案

一、l.C2.B3.B4.D5.A6.B7.D8.B

9.B10.A

1

二、11.-212.c^--

13.5：因為a,b是一元二次方程x12+****x—6=0的兩個根，所以a+b

=-1,a2+a—6=0,所以a?+a=6,所以a?+2a+b=(a"+a)+(a

+b)=6—1=5.

4048

14.(1)有兩個不相等的實數(shù)根(2)

2025

：因為=+1)=0,所以由根與系數(shù)的關(guān)系，得ai+3i=-2,a13i

=—1X2；a2+32=—2,a232=—2X3；a3+33=—2,a333=

—3X4；…；a2024B2024=—2,a2024B2024=—2024X2025,所以

a

百個a—B」a2+B23~\~03a2024+B2024_22

原式二a>1十CI2B2十。383十…十&2。2邛2。24=1^5+荻i

,2,,2z1,11,11,,1

3X42024X2025'2^23342024

1、,1x4048

2025,'202572025'

三、15.解：方程化為一般形式為x?+4x—3=0.

二次項系數(shù)是1,一次項系數(shù)是4,常數(shù)項是一3.

16.解：(1)因為a=l,b=—7,c=—18,

所以b2—4ac=(—7)2—4XlX(—18)=121〉0.

u匚??-b土，t)2—4ac7+11

所以x=2a=云「

所以Xi=9,x2=—2.

(2)移項,得3x(x+3)—2(x+3)=0.

提公因式，得(x+3)(3x—2)=0.

2

即x+3=0或3x—2=0.解得Xi=-3,x=-

2o

x(x—2).(x+2)(x—2)2x—4

四、17.解:原式=

(x+2)(x-2)x+2x+2

x.x2—2xxx+21

x+2?x+2x+2x(x-2)x—2"

解x?—2x—8=0,得x=4或x=—2,

由題意得xW±2且xWO,所以x=4,所以原式=：.

乙

18.解：設(shè)人行道的寬為xm(0〈x〈3).

根據(jù)題意,得(18—3x)(6—2x)=60.

整理，得(x—1)(x—8)=0.

b

解得一1=0的根為Xi,X2,所以X1+X2=——=6.

a

因為Xi=4,所以X2=2.

C一

因為Xi?X2=—=m—l,所以m—1=8,解得m=9.

a

⑵若5為等腰三角形的腰長，則此方程有一根xi=5,

由(1)得，另一根X2=6—5=1.

所以=6,此時三角形的三邊長為5,5,1,符合題意；

若5為等腰三角形的底邊長，則此方程有兩個相等的實數(shù)根，

所以A=b2—4ac=36—4(m—1)=0,解得m=10,此時三角形的三邊

長為5,3,3,符合題意.

綜上所述，m=6或m=10.

20.(1)證明：因為A=(m+1)2—4X1Xm=m2+2m+1—4m=m2—2m+1

=(m—1)2^0,

所以無論m為何值，方程總有兩個實數(shù)根.

(2)解：因為=0,所以()=0,

所以=0,即.

因為a為方程的一個根，且0〈a〈3,

所以0〈一m〈3,所以一3〈m〈0,

所以整數(shù)m的值為一2或一1.

六、21.解：(1)設(shè)該公司銷售A產(chǎn)品每次的增長率為x,

依題意,得20(1+X)2=45.

解得Xi=0.5=50%,X2——2.5(不合題意，舍去).

答：該公司銷售A產(chǎn)品每次的增長率為50%.

(2)設(shè)每套A產(chǎn)品降價y萬元，則每月可售出30+￡套.

\u.

(on、

依題意，得(2—y)30+蕓=70,

1U.

整理，得4y2—5y+l=0,解得yi=；,y2=l.

因為要盡量減少庫存，所以取y=L

答：每套A產(chǎn)品需降價1萬元.

七、22.解：⑴把x?—2x=a代入了石=x?—2x—3,

得—=a—3.所以l=a2—3a,即a2—3a—1=0(a#0).

a

(2)設(shè)x2+2x=y,則原方程可化為y2—y—6=0.

整理，得(y—3)(y+2)=0,解得yi=3,y2=-2.

當(dāng)y=3時，x?+2x=3.解得Xi=l,x2=—3.