第十章計數(shù)原理、概率及其分布

第51講計數(shù)原理

鏈教材夯基固本

激活思維

1.(人A選必三P5練習(xí)Tl(l))一項工作可以用2種方法完成，有5人只會用第1種方

法完成，另有4人只會用第2種方法完成，從中選出1人來完成這項工作，不同選法的種數(shù)

是一”

【解析】因為一項工作可以用2種方法完成，有5人只會用第1種方法完成，另有4

人只會用第2種方法完成，所以從中選出1人來完成這項工作，不同選法的種數(shù)是5+4=

9.

2.(人A選必三P5練習(xí)Tl(2))從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2

條，從A村經(jīng)B村去C村，不同路線的條數(shù)是一6一.

【解析】因為從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，所以從A

村經(jīng)B村去C村，不同路線的條數(shù)是3X2=6.

3.(人A選必三P25練習(xí)T3(2))有政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物這6門學(xué)科的

學(xué)業(yè)水平考試成績，現(xiàn)要從中選3門成績.如果物理和化學(xué)恰有1門被選，那么共有一12_

種不同的選法.

【解析】如果物理和化學(xué)恰有1門被選，那么共有C1C3=12(種)不同的選法.

4.(人A選必三P11練習(xí)T1)乘積(Ol+a2+a3)(61+b2+63)(ci+c2+c3+c4+c5)展開后共

有45項.

【解析】根據(jù)多項式的乘法法則，(。1+。2+。3>(61+62+63)?+C2+C3+C4+C5)展開后

每一項均是從(。1+。2+。3),(61+62+63),(C1+C2+C3+C4+C5)中各取1項相乘得到，所以展

開后的項數(shù)為3X3X5=45.

5.(人A選必三P26習(xí)題T9)學(xué)校要安排一場文藝晚會的11個節(jié)目的演出順序.除第1

個節(jié)目和最后1個節(jié)目已確定外，4個音樂節(jié)目要求排在第2,5,7,10的位置，3個舞蹈

節(jié)目要求排在第3,6,9的位置，2個曲藝節(jié)目要求排在第4,8的位置，有,288、種不同的

排法.

【解析】第一步排音樂節(jié)目，有A才種排法；第二步排舞蹈節(jié)目，有種排法；第三

步排曲藝節(jié)目,有A芬中排法.所以共有A，A?A3=288(種)排法.

聚焦知識

1.兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系

分類加法分步乘法

X計數(shù)原理計數(shù)原理

相同點用來計算完成一件事的方法種數(shù)

分類、相加分步、相乘

每步依次完成才算完成這件事情（每

不同點每類方案中的每一種方法都

步中的每一^中方法不能獨立完成這

能獨立完成這件事

件事）

注意點類類獨立，不重不漏步步相依，缺一不可

2.排列與組合的概念

名稱定義

排列從〃個不同元素中按照—一定的順序—排成一列

組合取出冽（冽個元素作為一組

3.排列數(shù)與組合數(shù)

（1）排列數(shù)：從〃個不同元素中取出加個元素的所有_丕g生L的個數(shù)，用符號

_Ak表示.

（2）組合數(shù)：從〃個不同元素中取出加加4）個元素的所有_不同組合一的個數(shù),用符號

c齊表示.

4.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)

〃！

(1)A?=1)(〃一2)…(〃一冽+1)_=-----*-----(?,m^N*,且加W〃).

一(n—m)1

(2)C7=d

A4

公式_n(n-l)(n—2)…(〃-m-\-1)

mI

〃！*

=-----------------(n,加￡N*,且加W幾).

m!(n—m)!

特別地，Cg=l

(1)0!=J__；A2=3_.

(2)c^=crw；c幣=0±曾_.

性質(zhì)

(3)kC^nC^h.

(4)C7+C憶i+…+C/=C"|

研題型素養(yǎng)養(yǎng)成

舉題說法

目幀u兩個計數(shù)原理的應(yīng)用

例1（1）（2024?揭陽二模）智慧農(nóng)機是指配備先進的信息技術(shù)傳感器、自動化和機器學(xué)

習(xí)等技術(shù)，對農(nóng)業(yè)機械進行數(shù)字化和智能化改造的農(nóng)業(yè)裝備，例如：自動育秧機和自動插秧

機.正值春耕備耕時節(jié)，某智慧農(nóng)場計劃新購2臺自動育秧機和3臺自動插秧機，現(xiàn)有6

臺不同的自動育秧機和5臺不同的自動插秧機可供選擇，則共有，紋種不同的選擇方案.

【解析】第一步從6臺不同的自動育秧機中選2臺，第二步從5臺不同的自動插秧機

中選3臺，由分步乘法計數(shù)原理可得選擇方案數(shù)為m=150.

（2）如果一條直線與一個平面平行，那么稱該直線與該平面構(gòu)成一個“平行線面

組”.在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“平行線面組”

的個數(shù)是,48.

【解析】長方體的6個表面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)為6X6=36,另外，含4個

頂點的6個對角面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)為6X2=12,故符合條件的“平行線面組”

的個數(shù)是36+12=48.

〈總結(jié)提煉A

思路：（1）弄清完成一件事是做什么；（2）確定是先分類后分步，還是先分步后分類；

（3）弄清分步、分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么；（4）利用兩個計數(shù)原理求解.

變式1（1）用5種不同的顏色給圖中B,C,。四個區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂

1種顏色，且相鄰區(qū)域顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為（C）

(變式1(1))

A.120

B.160

C.180

D.240

【解析】根據(jù)題意，規(guī)定一個區(qū)域只涂1種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，可分步進行,

區(qū)域N有5種涂法，8有4種涂法，。有3種涂法，C有3種涂法，所以共有5X4X3X3

=180（種）不同的涂色方法.

（2）（2024?石家莊二模）各位數(shù)字之和為4的三位正整數(shù)的個數(shù)為」

【解析】因為4=1+1+2或4=2+2+0或4=4+0+0或4=1+3+0,所以各位數(shù)

字之和為4的三位正整數(shù)有400,220,202,112,121,211,130,103,310,301,共10

個.

目幀日排列與組合

視角1相鄰、相間問題

例2-1（1）（2024,岳陽三模）把5個人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每

天安排一人，甲、乙安排在不相鄰的兩天，乙、丙安排在相鄰的兩天，則不同的安排方法種

數(shù)為（D）

A.96B.60

C.48D.36

【解析】依題意，設(shè)這五個人分別為甲、乙、丙、丁、戊.第一步，將乙、丙看成一

個整體，考慮2人之間的順序，有A3=2（種）情況；第二步，將這個整體與丁、戊全排列，

有A§=6（種）安排方法；第三步，排好后產(chǎn)生4個空位，因甲、乙不相鄰，則只能從3個空

中任選1個安排甲，有A!=3（種）安排方法.故由分步乘法計數(shù)原理，得不同的安排方法種

數(shù)為2X6X3=36.

（2）（2024?金華義烏三模）在義烏，婺劇深受民眾喜愛.某次婺劇表演結(jié)束后，老生、小

生、花旦、正旦、老旦各一人排成一排合影留念，其中小生和老生不相鄰且老旦不排在最右

邊的不同排法種數(shù)是（C）

A.36B.48

C.60D.72

【解析】首先按照小生和老生不相鄰的要求共有A?A2=72（種）排法，其中老旦排在最

右邊，左側(cè)4個位置，先排花旦、正旦有A芬中排法，由此所生成的3個空中將小生、老生

插入有A3種排法，所以有A，A3=12（種）排法，所以滿足題意的不同排法種數(shù)是72—12=60.

＜總結(jié)提煉A

相鄰、相間問題的解題策略：

（1）相鄰問題的模型為將〃個不同元素排成一排，其中后個元素排在相鄰位置上，求不

同排法的種數(shù).解決此問題的方法是：先將這4個元素“捆綁在一起”，視為一個整體，當(dāng)

作一個元素同其他元素一起進行排列，共有Ak四種排法，然后再將“捆綁”在一起的元

素“內(nèi)部”進行排列，共有A￡種排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有

川二骷?A/種.

（2）對于不相鄰的排列問題，我們往往先安排無約束條件的元素，再讓不相鄰的其余元

素插空排列，即先排個元素中無約束條件的"個元素，然后將有約束條件的加個元素

插入〃+1個空位中，則共有A*-AM+i種排法.

變式2-1（2025?濟南期初）由0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中任

意兩個偶數(shù)都不相鄰，則滿足條件的六位數(shù)的個數(shù)為（B）

A.60B.108

C.132D.144

視角2分組分配問題

例2-2（1）（2024?河南濟、洛、平、許四模）為加強校企合作，促進大學(xué)畢業(yè)生就業(yè)，

某企業(yè)欲從本市科技大學(xué)的農(nóng)學(xué)院、外國語學(xué)院、管理學(xué)院這三個學(xué)院招錄6名大學(xué)生，每

個學(xué)院至少招錄1名，則不同的名額分配方案種數(shù)為（A）

A.10B.20

C.216D.729

【解析】人員名額分配有2：2：2,1：2：3和4：1：1三種情況，若2：2：2,只有

1種可能；若1：2：3,有A§=6（種）可能；若4：1：1,有C!=3（種）可能.綜上所述，不

同的名額分配方案有1+6+3=10（種）.

（2）（2024?杭州二模）將5名志愿者分配到三個社區(qū)協(xié)助開展活動，每個志愿者去一個社

區(qū)，每個社區(qū)至少1名志愿者，則不同的分配方法種數(shù)是（C）

A.300B.240

C.150D.50

【解析】先將5名志愿者分成3組，若這三組的人員構(gòu)成為1,1,3,則共有C3種分

組方案，若這三組的人員構(gòu)成為1,2,2,則共有砥學(xué)種分組方案，再將這3組志愿者隨機

分配到三個社區(qū)，共有A?種分配方案，故共有1cg+*}A?=1°+、^X6=150（種）分

配方法.

＜總結(jié)提煉A

對于不同元素的分配問題，可以按需分配（即定人又定數(shù)可直接?。?，也可按先分組后分

配的方式處理，分組時應(yīng)注意整體均勻分組與部分均勻分組的區(qū)別.

（1）整體均勻分組：解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以

分組后一定要除以為均分的組數(shù)），避免重復(fù)計數(shù).

（2）部分均勻分組：解題時注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有加組元素個數(shù)

相等，則分組時應(yīng)除以加！，一個分組中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列

數(shù).

（3）不均勻分組：解答本類題，只需先分組，后排列，注意分組中元素的個數(shù)都不相等，

所以不需要除以全排列數(shù).

變式2-2（2024?保定二模）6名同學(xué)想平均分成兩組進行半場籃球比賽，有同學(xué)提出用

“剪刀、石頭、布”游戲決定分組.當(dāng)大家同時展示各自選擇的手勢（剪刀、石頭或布）時，

如果恰好只有3個人手勢一樣，或有3個人手勢為上述手勢中的同一種，另外3個人手勢為

剩余兩種手勢中的同一種，那么同手勢的3個人為一組，其他人為另一組，則下列結(jié)論正確

的是（D）

A.在進行該游戲前將6人平均分成兩組，共有20種分組方案

B.一次游戲共有63種手勢結(jié)果

C.一次游戲分不出組的概率為咤

35

D.兩次游戲才分出組的概率為幽誓

310

【解析】對于A,一共有手=10（種）分組方案，A錯誤.對于B,每人有3種選擇，

所以一次游戲共有36種手勢結(jié)果，B錯誤.對于CD,要分出組，有兩類情況，第一類情況：

首先確定3個人出一樣的手勢，再確定另外2個人出其他兩種手勢中的一種，最后1個人出

剩下的手勢，所以能分出組的手勢結(jié)果有（CgX3）X（C4X2）=360（種）.第二類情況：當(dāng)其中3

個人出同一種手勢，另外3個人出剩余兩種手勢中的同一種時，能分出組的手勢結(jié)果有

◎乂用=60（種），所以一次游戲就分出組的概率為邑°芋2二罟，所以一次游戲分不出組

2!3635

的概率為1—怨=#，C錯誤.兩次游戲才分出組的概率為怨＞＜絲=迪譽，D正確.

35353535310

視角3定序問題

例2-3在一次學(xué)校組織的研究性學(xué)習(xí)成果報告會上，有B,C,D,E,尸共6項

成果要匯報，如果8成果不能最先匯報，而4C,。按先后順序匯報（不一定相鄰），那么

不同的匯報安排種數(shù)為（A）

A.100B.120

C.300D.600

【解析】不考慮限制條件共有AR種，8最先匯報共有Ag種，則8不能最先匯報，且

A,C,。按先后順序匯報（不一定相鄰）有緘不=ioo（種）安排方法.

〈總結(jié)提煉〉

對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列，對于某些順

序一定的元素個）的排列問題，可先把這些元素與其他元素一起（共"個）進行排列，然后

用總排列數(shù)除以加個順序一定的元素之間的全排列數(shù)AS,即得到不同排法種數(shù)為組=

AS

CAnn-m.

變式2-3將甲、乙、丙等六位同學(xué)排成一排，且甲、乙在丙的兩側(cè)，則不同的排法種

數(shù)為（D）

A.480B.360

C.120D.240

【解析】將甲、乙、丙等六位同學(xué)進行全排列可得共有A￡=720（種）排法，甲、乙、丙

的排列有A?=6（種）排法.因為甲、乙在丙的兩側(cè)，所以可能為甲、丙、乙或乙、丙、甲，

所以不同的排法種數(shù)為2義餐=2*磔=240.

Aj6

新視角I隔板法

例3（2024?湖北聯(lián)考）已知x,y,z^N*,且＞22,z23,則方程x+y+z=10

的解的組數(shù)為15、.

【解析】由題意，原問題等價于求將7個相同的小球放入3個不同的盒子（每個盒子中

分別已經(jīng)有0個、1個、2個小球），每個盒子中至少放入1個小球的放法個數(shù).在7個相同

的小球之間形成的6個空中，任選2個放入兩個隔板，共有CV=15（種）放法，即方程x+y

+z=10的解的組數(shù)為15.

＜總結(jié)提煉A

對于相同元素的分配問題，可以利用分類加法計數(shù)原理分類討論，還可以利用“隔板

法”.

把"個相同的小球放到加（根V"）個不同盒子中，不同放法的種數(shù)的求解方法是：

（1）若每個盒子至少放一球，則只需在“個小球產(chǎn)生的“一1個間隙中放置7”一1塊隔板

分隔成m份即可，共有C就種不同放法.此類型問題等價于“將n個相同元素分成

組，每組至少一個”的分組問題，可把〃個元素排成一排，從〃一1個空中選〃?一1個空，

各插一個隔板，有口巴種分法.

（2）若允許某些盒子不放球，則相當(dāng)于在〃+加一1個位置中選放加一1塊隔板，共有

C落九—1種不同放法.

變式3某學(xué)校購買了10個相同的籃球分配給高三年級6個班，要求每個班至少分配

一個籃球，則不同的分配方法種數(shù)為（A）

A.126B.84

C.72D.48

【解析】將10個籃球排成一排，形成11個空，在中間的9個空中插入5個隔板將籃

球分成6組，所以不同的分配方法有CS=126（種）.

隨堂內(nèi)化

1.（2025?德州期初）為積極落實“雙減”政策，豐富學(xué)生的課外活動，某校開設(shè)了舞蹈、

攝影等5門課程，分別安排在周一到周五，每天一節(jié)，舞蹈和攝影課安排在相鄰兩天的方案

種數(shù)為（A）

A.48B.36

C.24D.12

【解析】舞蹈和攝影課進行捆綁，有A芬中情況，將舞蹈和攝影課看為一個整體，和剩

余的3門課程進行全排列，有A，種情況,故共有A氈4=48（種）方案.

2.（2023?全國乙卷理）甲、乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的

課外讀物中恰有1種相同的選法共有（C）

A.30種B.60種

C.120種D.240種

【解析】首先確定相同的讀物，共有CA種情況，然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于

在剩余的5種讀物里選出兩種進行排列，共有Ag種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得共有CAA3

=120（種）選法.

3.（2024?廈門四檢）某校5名同學(xué)到4B,。三家公司實習(xí)，每名同學(xué)只能去1家公司，

每家公司至多接收2名同學(xué).若同學(xué)甲去/公司，則不同的安排方法共有（B）

A.18種B.30種

C.42種D.60種

【解析】若只有同學(xué)甲去/公司，則共有$43=6（種）安排方法；若除同學(xué)甲外還有

一名同學(xué)去/公司，則共有C3CJA3=12X2=24（種）安排方法.故共有6+24=30（種）安排方

法.

4,用四種顏色給圖中的6個區(qū)域涂色，每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域不同色，若四

種顏色全用上，則不同的涂法種數(shù)為（B）

（第4題）

A.72B.96

C.108D.144

【解析】設(shè)四種顏色為1,2,3,4,①先涂區(qū)域3,有4種填涂方法，不妨設(shè)涂顏色

1;②再涂區(qū)域C,有3種填涂方法，不妨設(shè)涂顏色2；③再涂區(qū)域￡,有2種填涂方法，不

妨設(shè)涂顏色3；④若區(qū)域/填涂顏色2,則區(qū)域。，廠填涂顏色1,4或4,3,若區(qū)域/填

涂顏色4,則區(qū)域。，廠填涂顏色1,3或4,3,共4種不同的填涂方法.綜合①②③④，

由分步乘法計數(shù)原理可得，共有4X3X2X4=96（種）不同的填涂方法.

「溫馨提示,

I

、____________sasaj空豈-'心-—-心空——皿——心—繪工—強修——管管至.Z

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考增分提速天天練》（提高版），成書可向當(dāng)?shù)匕l(fā)行咨詢購買.

配套精練

A組夯基精練

一、單項選擇題

1.（2022?新高考II卷）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，則甲不站

在兩端，且丙和丁相鄰的不同的排列方式有（B）

A.12種B.24種

C.36種D.48種

【解析】先利用捆綁法排乙、丙、丁、戊四人，再用插空法選甲的位置，則不同的排

列方式有A2A§C=24（種）.

2.（2023?全國甲卷理）有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從

中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（B）

A.120B.60

C.40D.30

【解析】不妨記五名志愿者為。，b,c,d,e,假設(shè)。連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，再

從剩余的4人中抽取2人各參加星期六與星期天的社區(qū)服務(wù)，共有A3=12（種）方法.同理，

b,c,d,e連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，也各有12種方法，所以恰有1人連續(xù)參加了兩天社

區(qū)服務(wù)的選擇種數(shù)為5X12=60.

3.（2024?武漢2月調(diào)研）將3個相同的紅球和3個相同的黑球裝入三個不同的袋中，每袋

均裝2個球，則不同的裝法種數(shù)為（A）

A.7B.8

C.9D.10

【解析】將3個紅球分成3組，每組球的數(shù)量最多2個最少0個，則有（0,1,2）,（1,

1,1）兩種組合形式，當(dāng)紅球分組形式為（0,1,2）時，將紅球放入三個不同的袋中有A§=6（種）

放法，此時三個不同的袋中依次補充上黑球，使每個袋子中球的總個數(shù)為2個即可.當(dāng)紅球

分組形式為（1,1,1）時，將紅球放入三個不同的袋中有1種放法，此時三個不同的袋中依

次補充上黑球，使每個袋子中球的總個數(shù)為2個即可.綜上所述，將3個相同的紅球和3

個相同的黑球裝入三個不同的袋中，每袋均裝2個球，不同的裝法種數(shù)為7.

4.如圖，現(xiàn)要用5種不同的顏色對某市的4個區(qū)縣地圖進行著色，要求有公共邊的兩

個地區(qū)不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有（B）

（第4題）

A.120種

B.180種

C.221種

D.300種

【解析】當(dāng)I,IV同色時，則I有5種涂色方法，II有4種涂色方法，III有3種涂色

方法，此時共有5義4義3*1=60（種）涂色方法；當(dāng)I,IV不同色時，則I有5種涂色方法，

IV有4種涂色方法，II有3種涂色方法，III有2種涂色方法，此時共有5X4X3X2=120（種）

涂色方法.綜上，共有60+120=180（種）不同的著色方法.

5.（2024?河南濟、洛、平、許三模）有5名志愿者去定點幫扶3位困難老人，若要求每名

志愿者都要幫扶且只幫扶一位老人，每位老人至多安排2名志愿者幫扶，則不同的安排方法

共有（C）

A.180種B.150種

C.90種D.60種

【解析】由題意得，先將5名志愿者分成3組，只有2,2,1一種情況，有cmci=

A3

15（種）分組方法，再將3組志愿者分配給3位老人，則共有15A^=90（種）安排方法.

6.小明同學(xué)去文具店購買文具，現(xiàn)有四種不同樣式的筆記本可供選擇（可以有筆記本不

被選擇），單價均為一元一本，小明只有8元錢且要求全部花完，則不同的選購方法共有

（B）

A.70種B.165種

C.280種D.1860種

【解析】問題等價轉(zhuǎn)化為將8個完全相同的小球放入4個盒子里，允許有空盒.進一

步轉(zhuǎn)化為將12個完全相同的小球放入4個盒子里，每個盒子里至少有1個球.由隔板法可

知，不同的選購方法有C%=165（種）.

7.（2025?大同期初）某商場舉辦購物抽獎活動，其中將抽到的各位數(shù)字之和為8的四位數(shù)

稱為“幸運數(shù)”（如2024是“幸運數(shù)”）,并獲得一定的獎品，則首位數(shù)字為2的“幸運數(shù)”

共有（B）

A.32個B.28個

C.27個D.24個

【解析】依題意，首位數(shù)字為2的“幸運數(shù)”中其他三位數(shù)字的組合有以下七類:①“0,

0,6”組合，有C3種；②“0,1,5”組合，有A3種；③“0,2,4”組合，有種；

④“0,3,3”組合，有CJ種；⑤“1,1,4”組合，有CJ種；⑥“1,2,3”組合，有

A§種；⑦“2,2,2”組合，有1種.由分類加法計數(shù)原理，得首位數(shù)字為2的“幸運數(shù)”

共有3c3+3AH1=9+18+1=28（個）.

8.（2024?嘉興二模）6名學(xué)生在游樂場游玩B,C三個項目，每個人都只游玩一個項

目，每個項目都有人游玩，若/項目必須有偶數(shù)人游玩，則不同的游玩方式有（C）

A.180種B.210種

C.240種D.360種

【解析】若/項目有2人游玩，則有JCKIA3+TJA3=]5><（8+6）=210種游玩

方式；若/項目有4人游玩，則有C2A3=15X2=3O（種）游玩方式，所以共有240種游玩方

式.

二、多項選擇題

9.（2024?鎮(zhèn)江期初）小明、小華、小紅、小蘭四位同學(xué)分別到鎮(zhèn)江的南山、焦山、北固山

參觀旅游，要求每位同學(xué)只去一個地方，每個地方至少安排一位同學(xué)參觀，則下列說法正確

的是（ABC）

A.若安排兩位同學(xué)去焦山，則有12種安排方法

B.若安排小紅和小蘭去同一個地方參觀，則有6種安排方法

C.若小華不去南山參觀，則有24種安排方法

D.共有18種安排方法

【解析】對于A,安排兩位同學(xué)去焦山，則有CZXA3=6><2=12（種）安排方法，故A

正確.對于B,安排小紅和小蘭去同一個地方參觀，則有A3=6（種）安排方法，故B正確.對

于C,小華不去南山參觀，若小華是1個人，則有C」XCgXA3=2X3X2=12（種）安排方法；

若小華和另一人一起，則有axQXA3=12（種）安排方法，所以共有24種安排方法，故C

正確.對于D,每位同學(xué)只去一個地方，每個地方至少安排一位同學(xué)參觀，則有C?A?=6X6

=36（種）安排方法,故D錯誤.

10.現(xiàn)有4個小球和4個小盒子，下面的說法正確的是（BCD）

A.將4個不同的小球放入編號為1,2,3,4的盒子中，共有24種放法

B.將4個相同的小球放入編號為1,2,3,4的盒子中，恰有兩個空盒的放法共有18

種

C.將4個不同的小球放入編號為1,2,3,4的盒子中，恰有一個空盒的放法共有144

種

D.將編號為1,2,3,4的小球放入編號為1,2,3,4的盒子中，沒有一個空盒但小

球的編號和盒子的編號全不相同的放法共有9種

【解析】若4個不同的小球放入編號為1,2,3,4的盒子中，共有44=256（種）放法，

故A錯誤；若4個相同的小球放入編號為1,2,3,4的盒子中，且恰有兩個空盒，則一個

盒子放3個小球，另一個盒子放1個小球或兩個盒子均放2個小球，共有C3（A3+1）=18（種）

放法，故B正確；若4個不同的小球放入編號為1,2,3,4的盒子中，且恰有一個空盒，

則兩個盒子中各放1個小球，另一個盒子中放2個小球，共有以℃???>=14%種）放法,

故C正確；編號為1,2,3,4的小球放入編號為1,2,3,4的盒子中，沒有一個空盒但

小球的編號和盒子的編號全不相同，若（2,1,4,3）代表編號為1,2,3,4的盒子放入的

小球編號分別為2,1,4,3,則所有符合要求的情況為（2,1,4,3）,（4,1,2,3）,（3,1,

4,2）,（2,4,1,3）,（3,4,1,2）,（4,3,I,2）,（2,3,4,1）,（3,4,2,1）,（4,3,

2,1）,共9種放法，故D正確.

三、填空題

11.（2023?新高考I卷）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從

這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有衛(wèi)

種.（用數(shù)字作答）

【解析】若從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有C3C3=16（種）.若從8門課中

選修3門，①體育類選修1門，則不同的選課方案共有C3CZ=24（種）；②體育類選修2門，

則不同的選課方案共有C久3=24（種）.綜上，不同的選課方案共有16+24+24=64（種）.

12.7名同學(xué)坐圓桌吃飯，其中甲、乙相鄰，則不同的排法種數(shù)為240.（只考慮左右

人選，不考慮具體方位）

【解析】將甲、乙看成一個整體，相當(dāng)于6名同學(xué)坐圓桌吃飯，有種排法，甲、

6

乙兩人可交換位置，故排法共有:AgA3=240（種）.

6

13.（2024?邢臺一模）4名男生和2名女生隨機站成一排，每名男生至少與另一名男生相

鄰，則不同的排法種數(shù)為_螫_.

【解析】4名男生先排，共有A4=24（種）排法，2名女生再排，共有2種排法，再將2

名女生插空到男生中，若兩名女生一起，可排在最左邊、中間、最右邊，共有3種排法；若

兩名女生分開排，則有<3=3（種）排法.所以一共有24X2X（3+3）=288（種）排法.

14.（2024?張家口一模）有5位大學(xué)生要分配到4B,C三個單位實習(xí)，每位學(xué)生只能到

一個單位實習(xí)，每個單位至少要接收一位學(xué)生實習(xí)，已知這5位學(xué)生中的甲同學(xué)分配在/

單位實習(xí)，則這5位學(xué)生實習(xí)的不同分配方案有江種.（用數(shù)字作答）

【解析】根據(jù)特殊元素“甲同學(xué)”分類討論，當(dāng)/單位只有甲時，其余四人分配到8,

C,不同分配方案有CJ0A3+CZC3=14（種）；當(dāng)/單位不只有甲時，其