2022?2023學(xué)年度第一學(xué)期期中九年級數(shù)學(xué)

（時間：120分鐘總分：150分）

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題所給出的四個選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是正確的，請把正確選項(xiàng)前的字母代號填涂在答題紙相應(yīng)位置上）

1.下列方程中是一元二次方程的是（）

A.2%+1=0B.y2+x-1C.x2+1=0D.—+x2=1

x

答案：C

解析：解：A、該方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是1,不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、該方程中含兩個有未知數(shù).不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、該方程符合一元二次方程的定義，故本選項(xiàng)符合題意；

D、該方程中分母中含有未知數(shù).不屬于整式方程，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

2.下列說法正確的是（）

A.相等的圓周角所對的弧相等

B.相等的弦所對的弧相等

C.平分弦的直徑一定垂直于弦

D.任意三角形一定有一個外接圓

答案：D

解析：解：A、在等圓或同圓中，相等的圓周角所對的弧相等，故A不符合題意；

2、在等圓或同圓中，相等的弦所對的圓周角相等或互補(bǔ)，故2不符合題意；

C、根據(jù)垂徑定理知，平分弦（不是直徑）的直徑一定垂直于弦，故C不符合題意；

。、任意三角形一定有一個外接圓，故。符合題意；

故選D

3.已知一組數(shù)據(jù)：4,3,4,5,6,則這組數(shù)據(jù)的極差是（）

A.1B.2C.3D.4

答案：C

解析：這組數(shù)據(jù)的極差是6—3=3,

故選：C.

4.如圖，點(diǎn)A,B,。在。。上，ZS4C=54°,則250C的度數(shù)為（)

A.27°B.108°C.116°D.128°

答案：B

解析：解：QZBAC=54°,

，由圓周角定理得：NBOC=2NB4C=108。,

故選：B.

5.一元二次方程九2—8%—1=0配方后可變形為（)

A.(x—4>=3B.(x—4-=15C.(x—4)2=17D.(X+4)2=17

答案：C

解析：解：彳2_8%-1=0變形為：％2-8%=1，

配方得：了2一8%+16=17,

即(x—4)2=17；

故選：C.

6.新能源汽車節(jié)能、環(huán)保，越來越受消費(fèi)者喜愛,各種品牌相繼投放市場，我國新能源汽車近幾年銷量全

球第一，2020年銷量為50.7萬輛，銷量逐年增加,到2022年銷量為125.6萬輛.設(shè)年平均增長率為x,可

列方程為（）

A.50.7(1+媛=125.6B.125.6(1-x)2=50.7

C.50.7(1+2x)=125.6D.50.7(1—婿=125.6

答案：A

解析：解：設(shè)年平均增長率為x,可列方程為:

50.7(1+x)2=125.6

故選：A

7.如圖，P是。O外任意一點(diǎn)，PA、PB分別與。。相切與點(diǎn)A、B,OP與。O相交于點(diǎn)M.則點(diǎn)M是APAB

的)

A.三條高線的交點(diǎn)

B.三條中線的交點(diǎn)

C.三個角的角平分線的交點(diǎn)

D.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)

答案：C

解析：解：：PA、PB分別與。。相切與點(diǎn)A、B,

，/APO=NBPO,PA=PB,

AAB±OP,

連接OA,AM,

則/OAP=90°,

，ZPAM+ZOAM=ZBAM+ZAMO=90°,

VOA=OM,

.".ZOAM=ZAMO,

.\ZPAM=ZBAM,

則點(diǎn)M是APAB的三個角的角平分線的交點(diǎn),

故選C.

8.如圖，中，ZC=90°,ZBAC=30°,A3=2,點(diǎn)尸從C點(diǎn)出發(fā)，沿CB運(yùn)動到點(diǎn)8停止,

過點(diǎn)8作射線AP的垂線，垂足為。，點(diǎn)Q運(yùn)動的路徑長為（）

Q

答案：B

解析：?■.\'AQLBQ,

...點(diǎn)。在以A5為直徑的。上運(yùn)動，運(yùn)動路徑為BC，連接。C,

-_u-s^一」

Q

?：ZACB=90°,OA=OB,

:.CO—OA=1,

:.ZCOB=2ZCAB=60°,

aI,、，6°x?xl71

BC的長為--------

180

故選B.

二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，本大題共30分.不需要寫出解答過程，只需

把答案直接填寫在答題紙相應(yīng)位置上）

9.一元二次方程N(yùn)=5x的解為

答案：%=0,%=5

解析：N=5X

移項(xiàng)，得%2一5%=0

分解因式，得：％（尤—5）=0

故答案為：尤1=0,%=5.

10.甲、乙兩名射擊運(yùn)動員在一次訓(xùn)練中，每人各打10發(fā)子彈，根據(jù)命中環(huán)數(shù)求得方差分別是

S2甲=0.6$2乙=0.8,則運(yùn)動員的成績比較穩(wěn)定.

答案：甲

解析：：S2甲=0.6,S?乙=0.8,

???甲的成績比較穩(wěn)定

11.如圖，A8是:O直徑，弦交A8于點(diǎn)E,連接AC,AD.若4L4c=28°,貝|ND=

答案：62

解析：解:連接5￡）,

D

'.'AB是。的直徑，

/.ZADB=90°,

CB=CB，

■-Za4C=ZB￡>C=28°,

ZADC=90°-NBDC=62°

故答案為：62

12.已知圓錐的底面圓半徑為4,側(cè)面展開圖扇形的圓心角為120。，則它的母線長為.

答案：12

解析：解：：圓錐的底面半徑是4,

圓錐的底面圓周長為8?，

側(cè)面展開后所得的扇形的弧長是8?，

???側(cè)面展開后所得的扇形的圓心角為120。

側(cè)面展開后所得的扇形的半徑為：叱81=12

120〃

???圓錐的母線就是側(cè)面展開后所得的扇形的半徑，

圓錐的母線長度為12,

故答案為：12.

13.如圖，O與正五邊形A3CDE的邊A3、DE分別相切于點(diǎn)2、D,則劣弧臺。所對的圓心角180。的

解析：解：五邊形ABCDE是正五邊形,

/口(5-2)x180°

ZE=ZA=----------=108.

5

AB,DE與。。相切，

NOBA=NODE=9(f，

ZBOD=(5-2)x180°-90°-108°-108°-90°=144°,

故答案為144.

14.過。內(nèi)一點(diǎn)尸的最長弦長為10cm,最短弦長為6cm,則OP的長為cm.

答案：4

解析：解：如圖，直徑A5經(jīng)過尸點(diǎn)，過P作交C。于C、D,連接OD,

AB=10cm,CD=6cm,

:.OD=-AB=5,DP=-CD=3,

22

;.OP=[O?-DP?

=后_32=4；

故答案：4.

15.小明在與同學(xué)的嬉鬧中把校服劃壞了，劃壞的圖形恰好是一個直角三角形，這個直角三角形的兩條邊長

分別是5和12,媽媽打算用一個圓形圖案把它蓋住縫補(bǔ)好，則媽媽用的圓形圖案所在圓的半徑最小值為

答案：6或6.5

解析：解：由勾股定理可知：

①當(dāng)直角三角形的斜邊長為：12；

因此這個直角三角形的外接圓半徑為6,

②當(dāng)兩條直角邊長為5和12,則直角三角形的斜邊長為：752+122=13；

因此這個直角三角形的外接圓半徑為6.5

綜上所述：這個外接圓的半徑為6或6.5

故答案為：6或6.5

16.B^q(?2+Z72)2-a2-Z72-2=0,則42+人2的值為.

答案：2

解析：解：(?2+Z?2)2-?2-&2-2=0

(4+/)2_卜2+葉2=0

[(a2+^)-2][(a2+^2)+l]=0

(/+廿)-2=0或(/+廿)+i=o

a2+Z?2=2或/+從=-1

Va~+b~>0

；?a2+b2=2.

故答案為2.

17.如圖，AABC中，ZC=90°,AC=6,AB=10,D為BC邊的中點(diǎn)，以AD上一點(diǎn)O為圓心的OO和AB、

BC均相切，則00的半徑為一.

解析：過點(diǎn)。作OELAB于點(diǎn)E,OFLBC于點(diǎn)F.

：AB、BC是0O的切線，

...點(diǎn)E、F是切點(diǎn)，

.?.OE、OF是。。的半徑；

.?.OE=OF；

在AABC中，ZC=90°,AC=6,AB=10,

,由勾股定理,得BC=8；

又：D是BC邊的中點(diǎn)，

??S△ABD=S△ACDf

又,**SAABD=SAABO+SABOD,

IAB?OE+!BD?OF=gCD?AC,即1OxOE+4xOE=4x6,

…12

解得OE=一,

7

：.QO的半徑是工.

7

18.如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,。為矩形ABCD的對角線的交點(diǎn)，以。為圓心，半徑為

1作ID,尸為：。上的一個動點(diǎn)，連接心、0P,貝LAOP面積的最大值為.

答案：14.5

解析：當(dāng)P點(diǎn)移動到過點(diǎn)尸的直線平行于。4且與相切時，AOP面積的最大，如圖,

:過點(diǎn)尸的直線是，。的切線，

...OP垂直于切線，延長交AC于則。

:在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,

AC=10,

/.OA—5,

VZAMD=ZADC=90°,ZDAM=ZCAD,

：.ADMACD,

.DMAD

**-CD-AC?

?.?AD=8,8=6,AC=10,

24

DM=——

5

2429

PM=PD+DM=1+—=

55

112929

.AOP的最大面積=——x5x—=—=14.5,

2252

故答案為：14.5.

三、解答題(本大題共10題，共96分.請?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的

文字說明、證明過程或演算步驟.畫圖痕跡用黑色簽字筆加粗加黑)

19.解方程：

(1)/+2%—99=0;

⑵3r—5x—1=0.

答案：(1)占=9,x2=-11

⑵寸5,

1626

小問1解析:

解：X2+2X-99=0

(x-9)(x+n)=0

x—9=0或x+ll=0

解得：X]=9,x2=-11

小問2解析:

解：3/—5x—1=0

A=(-5)2-4x3x(-l)=25+12=37>0

5土場

X=-------

6

5+7375-屈

石二^-6~

20.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+k-1=0有實(shí)數(shù)根.

(1)求k的取值范圍；

(2)若此方程的兩實(shí)數(shù)根xi,X2滿足X12+X22=ll,求k的值.

答案：(1)k<-；(2)k=-1.

8

解析：(1)..?關(guān)于X的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+k-1=0有實(shí)數(shù)根，

/.A>0,即[-(2k-1)]2-4X1X(k2+k-1)=-8k+520,

解得k/；

8

(2)由根與系數(shù)的關(guān)系可得xi+x2=2k-1,xiX2=k2+k-1,

XI2+X22=(X1+X2)2-2xiX2=(2k-1)2-2(k2+k-1)=2k2-6k+3,

VXI2+X22=1L

A2k2-6k+3=ll,解得k=4,或k=-l,

..5

?vk<<，

-8

.?.k=4(舍去),

k=-1.

21.如圖，在10x10的正方形網(wǎng)格中(每個小正方形的邊長都為1個單位)，ABC的三個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.

請?jiān)趫D中標(biāo)出二ABC的外接圓的圓心尸的位置，并填寫:

①圓心P的坐標(biāo)：P()；

②。P的半徑為

(2)將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到VADE,畫出圖形，并求線段5c掃過的圖形的面積.

答案：(1)圖見解析；①5,3；②2石

(2)圖見解析；線段5c掃過的圖形的面積為8?

小問1解析：

解：如圖所示，點(diǎn)P即為所求，

①圓心P的坐標(biāo)：P（5,3）,

②C.P的半徑為："2+2?=2心

故答案為：①5,3；②2君

小問2解析:

...由勾股定理得：AC=A/62+22=2A/10-AB=d2。+*=2貶，

,/將_ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到VADE，

」ABC的面積等于VADE的面積，

???線段掃過的圖形的面積=5扇央0￡+5ABC-S扇形ABO-SADE

90°萬x（2廂f190°萬義（2點(diǎn)丫1

=---------------+-x4x2---------------------------x4x2

360°236002

=8〃.

22.某初級中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組為了了解本校學(xué)生的年齡情況，隨機(jī)調(diào)查了該校部分學(xué)生的年齡，整理數(shù)據(jù)并

繪制如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

人數(shù)

16年齡/歲

依據(jù)以上信息解答以下問題:

（1）求樣本容量;

（2）直接寫出樣本容量的平均數(shù)，眾數(shù)和中位數(shù)；

（3）若該校一共有1800名學(xué)生，估計(jì)該校年齡在15歲及以上學(xué)生人數(shù).

答案：（1）樣本容量為50；（2）平均數(shù)為14（歲）；中位數(shù)為14（歲），眾數(shù)為15歲；（3）估計(jì)該校年齡

在15歲及以上的學(xué)生人數(shù)為720人.

解析：解：（1）樣本容量為6m2%=50；

(2)14歲的人數(shù)為50*28%=14、16歲的人數(shù)為50-(6+10+14+18)=2,

12x6+13x10+14x14+15x18+16x2

則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為=14(歲),

50

……14+14

中位數(shù)為------=14（歲），眾數(shù)為15歲;

1QiO

（3）估計(jì)該校年齡在15歲及以上的學(xué)生人數(shù)為1800x-----=720人.

50

23.如圖，.ABC內(nèi)接于。。，AD〃BC交。。于點(diǎn)D,DFA5交于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)F,連接

AF,CF.

（1）求證：AC=AF；

（2）若。。的半徑為3,NC4F=30°,求AC的長（結(jié)果保留兀）.

答案：（1）證明見解析;

小問1解析：

證明：-：AD//BC,DFAB,

???四邊形ABED為平行四邊形，

ZB=ZD，

VZAFC=ZB,ZACF=ND,

：.ZAFC=ZACF,

：.AC=AF.

小問2解析：

解二：連接AO,CO,如圖，

由（1）得NAFC=NACF,

ZAFC=180°130。=75o

ZAOC=2ZAFC=150°,

150x〃x3_5兀

AC的長/=

24.如圖，四邊形ABC。中，AD//BC,ZBAD=9Q°,CB=CD,連接5Q,以點(diǎn)B為圓心，區(qū)4長

為半徑作（B,交BD于點(diǎn)E.

(1)試判斷CD與、3的位置關(guān)系，并說明理由；

⑵若AB=2也,ZBCD=6Q°,求圖中陰影部分的面積.

答案：(1)相切，理由見解析；(2)26一萬

解析：解:(1)過點(diǎn)8作8尸，8,

?：AD//BC,

：.ZADB=ZCBD,

;CB=CD,

：.NCBD=NCDB,

：.ZADB=ZCDB,又BD=BD,ZBAD=ZBFD=90°,

：.AABD^/\FBD(A4S),

：.BF=BA,則點(diǎn)尸在圓8上，

.?.CD與圓8相切；

(2)VZBCD=60°,CB=CD,

...△BCD是等邊三角形，

：.ZCBD=60°

?：BF1CD,

：.ZABD=ZDBF=ZCBF=30°,

：.ZABF=6Q°,

,:AB=BF=26,

：.AD=DF=AB?tan30°=2,

陰影部分的面積=S"BQ-S扇形ABE

i_30x?x(2百)

=-X273X2-------------

2360

=2^/3—7T.

25.安順市某商貿(mào)公司以每千克40元的價格購進(jìn)一種干果，計(jì)劃以每千克60元的價格銷售，為了讓顧客得

到更大的實(shí)惠，現(xiàn)決定降價銷售，已知這種干果銷售量》（千克）與每千克降價x（元）（0<x<20）之間

（2）商貿(mào)公司要想獲利2090元，則這種干果每千克應(yīng)降價多少元?

答案：（1）y=10x+100；（2）商貿(mào)公司要想獲利2090元，則這種干果每千克應(yīng)降價9元.

解析：解：（1）設(shè)一次函數(shù)解析式為：y=kx+b,根據(jù)圖象可知：當(dāng)x=2,y=120；當(dāng)x=4,y=140；

2k+b=12Q左=10

4i=14?！獾茫?/p>

b=100,

???V與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=10x+100；

(2)由題意得：(60—40—x)(lOx+100)=2090,

整理得：X2-10X+9=0，解得：%=1.々=9,

???讓顧客得到更大的實(shí)惠，；.x=9.

答：商貿(mào)公司要想獲利2090元，這種干果每千克應(yīng)降價9元.

26.如圖是某蔬菜基地搭建一座圓弧型蔬菜棚，跨度42=3.2米，拱高CO=0.8米（C為A3的中點(diǎn)，。為

弧AB的中點(diǎn)）.

（1）求該圓弧所在圓的半徑；

（2）在距蔬菜棚的一端0.4米處豎立支撐桿斯，求支撐桿所的高度.

答案：（1）2米；（2）0.4米

解析：解：（1）設(shè)弧A8所在的圓心為O,。為弧的中點(diǎn)，COLA8于C,延長DC經(jīng)過。點(diǎn),

則BC=1AB=I.6（米），

設(shè)。。的半徑為R,

在RtAOBC中，082=00+（782,

；.R2=（R-0.8）2+1G,

解得R=2,

即該圓弧所在圓的半徑為2米;

（2）過。作于H,

則OH=CE=1.6-04=1.2=g

（米），0E=2米,

在Rt^O族中，HF=NOF?-OH?

,：HE=OC=OD-CD=2-0.8=1.2

；.EF=HF-HE=1.6-1.2=04（米）,

即支撐桿EF的高度為0.4米.

27.如圖1,在矩形ABC。中，AB-3cm,BC=4cm,點(diǎn)P以L5cm/s的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)。

以2cm/s的速度從點(diǎn)。向點(diǎn)8運(yùn)動.點(diǎn)尸、。同時出發(fā)，運(yùn)動時間為/秒（0</<2）,M是APOB的

外接圓.

(1)當(dāng)。=1時，M的半徑是cm,M與直線CD的位置關(guān)系是

(2)在點(diǎn)尸從點(diǎn)A向點(diǎn)8運(yùn)動過程中，

①圓心M的運(yùn)動路徑長是cm；

②當(dāng)M與直線AD相切時，求。的值.

(3)連接PZ),交口舷于點(diǎn)N,如圖2,當(dāng)NAPD=NN3Q時，求f的值.

答案：(1)』，相離

4

(2)①一，②/=一

22

、4

(3)t=—

3

小問1解析：

解：如圖，過點(diǎn)M作KNLAB于N,交CD于K，

?.?四邊形A3CD是矩形，

AZABC=90°,AB//CD,

的直徑是尸Q,KN±CD,

當(dāng)/=1時，AP=3cm,CQ=4cm,

AB=6cm,BC=8cm,

/.PB=6-3=3cm,B2=8-4=4cm,

/.PQ=J32+4,=5cm,

，的半徑為9cm,

2

?；MN//BQ,M是PQ的中點(diǎn),

PN=BN,

.?.MN是△PQB的中位線，

MN=；BQ=；*4=2cm,

MK=8—2=6cm,

'/6/cm>—5cm,

2

「"與直線CD的位置關(guān)系是相離;

故答案為：一；相離

2

小問2解析：

解：①如圖，

?；P、Q運(yùn)動的速度與A3、8C的比相等，

圓心M在對角線3。上，

由圖可知，P和。兩點(diǎn)在/=2時在點(diǎn)B重合，當(dāng)/=0時，直徑為對角線AC,M是AC的中點(diǎn),

：.OB=-BD,

2

由勾股定理，可得：BD=V62+82=10cm^

OB=L10=5cm,

2

,圓心M的運(yùn)動路徑長是5cm；

故答案為：5

②如圖，當(dāng)M與相切時，

設(shè)切點(diǎn)為連接根并延長交6c于E,則石尸工EF±BC,

則BQ=4-2lPB=3-1,5t,

：.PQ=5-^t,

：.PM=-PQ=FM=-x\5--t]=---t,

22I2J24

在V5PQ中,

133

ME=-PB=------1

224

'：EF=FM+ME,

,5533.

2424

解得：t=—,

2

的值為

小問3解析:

解：如圖，過。作DG_LPQ,交尸。的延長線于點(diǎn)G,連接

ZAPD=ZNBQ,ZNBQ=ZNPQ,

：.ZAPD=ZNPQ,

VZA=90°,DGLPG,

AD=DG=4cm,

PD=PD,

：.RtAAPr^RtAGPD(HL),

PG^AP=1.5t,

,：PQ=5-2.5t,

：.QG=1.5t-(5-2.5t)=4t-5,

DC2+CO?=DQ?=DG