微專題13立體幾何中的截面問題

截面問題的理論依據(jù)

(1)確定平面的條件：①不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個平面；②兩條平行線確定一個

平面.

(2)如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們相交于過此點(diǎn)的一條直線.

(3)如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個平面內(nèi).

(4)如果一條直線平行于一個平面，且經(jīng)過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條

直線和交線平行.

(5)如果兩個平面平行，第三個平面和它們相交，那么兩條交線平行.

視角n延展作多面體截面

例1(2024?隨州5月模擬節(jié)選)在棱長為2的正方體ABCDd/iGA中，E,尸分別為

AB,8C的中點(diǎn)，則過點(diǎn)。1,E,尸的平面截正方體所得的截面多邊形的周

長為_2\江+也.

【解析】方法一：如圖(1),延長D4DC,與直線斯分別交于點(diǎn)M,Q,連接DM,

DiQ與AM,GC分別交于點(diǎn)P,H,連接PE,HF,則五邊形APE/舊所在平面即為截面.因

為正方體的棱長為2,點(diǎn)E,尸分別是3c的中點(diǎn)，所以EF=；X也。2=啦.由

RtA^F^RtACQF^Rt/\AEM,得AM=CQ=BE=BF=1,EF=ME=FQ=啦,所以P,

〃分別為靠近ac的三等分點(diǎn)，故所以由勾股定理得。1P=AX=122+Cj

=RH,PE=FH=\J=E,所以截面多邊形的周長為DiP+P￡+￡F+FH+￡>i/f

33

=^^X2+—X2+^2=2V13+A/2.

33

圖⑴

方法二：因?yàn)槠矫?4LDLD〃平面38clC,則過點(diǎn)。，E,尸的平面必與44i,CG相

交，設(shè)過點(diǎn)Di,E,尸的平面與44i,CCi分別交于點(diǎn)M,N.因?yàn)檫^點(diǎn)。1,E,尸的平面與

平面441。。和平面381cle分別交于AM與NF,航以DiM〃NF,同理可得。iN〃ME,

如圖(2),過點(diǎn)。1,E,尸的平面截正方體48co-a31GA所得的截面圖形為五邊形

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以94,DC,。。的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)

系/hyz,設(shè)/A/j“，CN=n,則M(2,0,加)，N(0,2,?),EQ,1,0),F(l,2,0),Di(0,

0,2),所以施=(0,1,—m),ZW=(0,2,n~2),7W=(2,0,加一2),標(biāo)=(1,0,-

2

m=-9

—217T〃—23o

").因?yàn)?。iN〃〃邑D\M〃NF,所以?‘解得‘2所以CN=

-2n=m—2,n=—3

39

2,所以小"=4,QN=4,所以在RtzXD/iM中，DMi=2,AXM=~,所以

33333

同理DiN=Z^.在Rt^MAE中，AM=-,AE=1,所以逅洞理%?=亟.在RtAEBF

3333

中，BE=BF=l,所以EF=也,所以。1"+。1"+腔+液+￡尸=2乂^^+2><通+/=

33

2y13+也，即過點(diǎn)E,尸的平面截正方體48co-48CQ1所得的截面多邊形的周長為

2正+也.

圖⑵

(例1答)

〈總結(jié)提煉A

作多面體截面的方法：

(1)直接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找

截面實(shí)際就是找交線的過程；

(2)若面上只有一個已知點(diǎn)，應(yīng)設(shè)法在同一平面上再找出第二個確定的點(diǎn)；

(3)若兩個已知點(diǎn)分別在相鄰的面上，應(yīng)找出這兩個相鄰平面的交線與截面的交點(diǎn)；

(4)同一個平面有兩個點(diǎn)，可以連線并延長至與其他平面相交找到交點(diǎn)；

(5)平行線法：過直線與直線外一點(diǎn)作截面，若直線所在的面與點(diǎn)所在的平面平行，可

以通過過點(diǎn)找直線的平行線找到幾何體的截面的交線；

(6)若已知點(diǎn)在幾何體內(nèi)部，則可通過輔助平面找出面上的交點(diǎn)，再找出棱上的交點(diǎn).

變式1在正四棱柱/8CZK4由CLDI中，441=2/8=4,點(diǎn)￡,F,G分別是441,49,

BCi的中點(diǎn)，則過點(diǎn)￡,F,G的平面截正四棱柱所得截面多邊形的周長為

(D)

A.2也+3由B.2也+3石

C.2/+43D.2/+4也

【解析】如圖，延長G歹交A4的延長線于點(diǎn)交DCi的延長線于點(diǎn)N,連接ME

并延長交4D于點(diǎn)K,交的延長線于點(diǎn)T,連接刀V,分別交CD,CG于點(diǎn)/,H,連

接KZ,GH,則六邊形EFGMK所在平面即為平面昉G,六邊形EFGMK即為過點(diǎn)￡,F,

G的平面截正四棱柱48czX4bBiGA所得的截面多邊形.由全等三角形可知，K,I,H分

別為N。，CD,CG的中點(diǎn).因?yàn)?41=248=4,所以EF=GH=EK=HI=疝，F(xiàn)G=KI=?,

所以六邊形EFG印K的周長為242+4加.

視角區(qū)平行作多面體截面

例2如圖，已知正三棱柱木料N5C-481cl各棱長都為2,5,O分別為△4SG和

△N5C的中心，。為線段。1。上的點(diǎn)，且方=小過4B,。三點(diǎn)的截面把該木料截成

兩部分，則截面面積為不叵.

一4一

（例2）

【解析】如圖，連接C。，GOi并延長分別交48,43于點(diǎn)。，Di,易知CD〃C\D\,

連接。。并延長交GA于點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸作EF〃/分別交BCi,4G于點(diǎn)E,F,連接BE,

AF.因?yàn)镋F〃AiBi,所以EF〃/IB,故梯形NBEF為過/,B,。三點(diǎn)的平面截正三棱柱

NBC-/18cl的截面.因?yàn)椤?，。分別為△4SG和△48C的中心，0°=1，又CD〃C\D\,

Q02

所以。1尸=1。。=1。101.又4//1。1是等邊三角形，所以。必產(chǎn)與［。］,故AP=1ACi,即

2232

P是DiG的中點(diǎn)，所以￡尸=；由1,易知四邊形尸為等腰梯形，所以PD為等腰梯形的

2

高.又正三棱柱各棱長都為2,所以EF=1,BE=\/4+l=y/5,PD=

92—08—出2=-5—I寸=?,所以S械多"EF=y/8+￡F）XPD=gx3X?=

（例2答）

變式2如圖，正方體A8CD-4SC1D1的棱長為2,E,尸分別為8C,CG的中點(diǎn)，則

平面AEF截正方體所得的截面面積為（

（變式2）

3

A.B.-

22

C.9D.18

【解析】連接8G,ADi,DF,如圖所示，因?yàn)椤?尸分別是BC,CG的中點(diǎn)，所以

斯〃3cl.在正方體中，ADiZ/BCi,所以EF〃/。1,所以4,Di,E,尸在同一平面內(nèi)，所以

平面4EF截該正方體所得的截面為平面EFO14因?yàn)檎襟w的棱長為2,所以￡F=也，AD\

=2也,DxF=AE=y^+\2=^5,則點(diǎn)E到4Di的距離為等腰梯形EF。/的高，即

,所以截面面積為S=g><（2也十卷義半=T.

（變式2答）

視角?球與截面

例3⑴（2025?常州期末）已知正方體的棱長為2,點(diǎn)M為棱DA的中

點(diǎn)，則平面/CW截該正方體的內(nèi)切球所得截面面積為（A）

ATB."

33

c.7iDT

3

（2）已知正方體的棱長為1,以小為球心，?為半徑的球的球面與正

方體的表面的交線長為（C）

A.&2岳

￡R>.

99

r3兀

3

也所以以4為球心，?為半徑的球的球面，只能與正方體6

【解析】

個面中的3個面（底面45a九側(cè)面5CC151,側(cè)面CDAG）相交，且與每個面的交線長相等.以

底面45CD為例，因?yàn)槠矫鎆5CQ,所以4/垂直于平面45CD內(nèi)任何一條直線.設(shè)

正方形/2C。內(nèi)交線上的點(diǎn)到點(diǎn)/的距離為肌則爐+12=[J：解得右=2回因此正方

3

形/BCD內(nèi)到小的距離為畫的點(diǎn)，就是正方形/BCD內(nèi)到點(diǎn)/的距離為遍的點(diǎn)，而cos

33

/EAB=cos/郎口=七=也,所以/"4后=匹,而這些點(diǎn)在以“為圓心，型為半徑，圓

絲263

3

心角為生的圓弧上，則該段圓弧長為工義"=息，故所求交線長為3X&=&.

663993

（例3⑵答）

〈總結(jié)提煉A

（1）平面截球體，截面都是圓形，球半徑、截面圓半徑、球心與截面圓心之間的距離,

滿足勾股定理；

（2）球體與多面體的交線，是一段一段的圓弧，計算每一段的圓心角大小是關(guān)鍵.

配套精練

1.（2024?深圳二模）已知正方體/BCDd/iCbDi，過點(diǎn)/且以法1為法向量的平面為a,

則a截該正方體所得截面的形狀為（A）

A.三角形B.四邊形

C.五邊形D.六邊形

【解析】如圖，連接/C,ADx,CDi,BD,因?yàn)?8」平面48C3,/Cu平面/8C￡>,

所以ABi_L4C又四邊形48CD為正方形，所以AD_L/C,又BBgBD=B,BB\,30u平面

BBiD,所以/。，平面83bo.因?yàn)锽LDU平面BBiD,所以NCJ_8i。，同理可證明4DiJ_SD

因?yàn)?Dln/C=/,/。l,/Cu平面/CDl,所以3iD_L平面/COi,所以平面a即為平面/COi,

貝服截該正方體所得截面的形狀為三角形.

（第1題答）

2.若球的兩個平行截面的面積分別為10兀和16兀，球心到這兩個截面的距離之差為仍,

則球的直徑為（D）

A.3/B.4/

C.5gD.6也

【解析】設(shè)球心為。，半徑為凡若兩平面在球心同一側(cè)，畫出其截面圖，如圖（1）,

欠2=42+邪，

設(shè)OA=d,由題可得/。=4,3。=410,/5=他,0。=6^=凡則

尺2=（麗）2+。十也）2,

d故球的直徑為2R=6也.若兩平面在球心兩側(cè),

解得畫出其截面圖，如圖（2）.設(shè)

值=3也.

欠2=42+^,

04=d,由題可得AD=4,BC=\flO,AB=\j2,OD=OC=R,則

尺2=（比0）2+（也一療,

解得1=一3（不合題意，舍去）.

圖⑵

（第2題答）

3.若四面體/BCD的所有棱長都相等，其頂點(diǎn)都在球。的球面上，過點(diǎn)N,B,。作平

面a,平面a截此四面體所得截面面積為也，則球。的表面積為（D）

A.2兀B.3兀

C.4兀D.6兀

【解析】將四面體N8CZ）放置在正方體中，如圖，設(shè)正方體的棱長為。，則/B=ga,

取CD中點(diǎn)M,連接NM,BM,則為平面a截此四面體所得截面，由題意，也ea

2

=也，得a=W所以正方體的對角線長為舊：2*2=46,則球。的半徑為?，可得球O

的表面積為4兀X

（第3題答）

4.如圖，在正三棱柱48C-/向G中，48=4,AAi=3,AiCi=4AiN,BBi=3MBi,平

面CW截三棱柱所得截面的周長是（B）

Bi

(第4題)

A.3也+4/B.3也+3^+3

C.4也+3/D.3/+4君+他

【解析】如圖(1),延長CN與441的延長線交于點(diǎn)〃，連接與4S交于點(diǎn)G,

連接NG,則四邊形CNGM為所求截面，其中。'=加?3+。那=32+32=3也,CM=

^BC^+BIVP=\)42+22=2\[5,如圖(2),A^iW^ACiCM所以省口=生雙=1，即/i〃=1CCi

CCiC\N33

=1,如圖(1),由W=2i"=l,易得△NiHG之△BiMG,所以/iG=SG,即G是/出的

中點(diǎn)，所以GM=、JB+BiM2=\)22+V=超,在△4GN中，NM41G=60。，4G=2,A\N

=1,所以NG=/IM+/IG2—2/IN/IG-COS60°=：i+4—2X1X2X；=^,所以四邊形

CNGM的周長為3他+23+45+3=3他+345+3.

圖⑴

H

圖⑵

（第4題答）

5.（多選）如圖，在棱長為1的正方體48048001中，P,。分別在棱BC,CCi±,

CP=x,CQ^y,x￡[0,1],ye[0,1]且爐+/=。，過/,p,。三點(diǎn)的平面截正方體

/BCD-NIBCLDI得到截面多邊形，貝1J（BD）

B.x=l時，截面一定為矩形且面積最大值為亞

C.存在x,y,使截面為六邊形

D.存在x,乃使3d與截面平行

【解析】對于A,當(dāng)x=y=l時，截面為矩形，故A錯誤；對于B,當(dāng)x=l時，點(diǎn)P

與點(diǎn)8重合，設(shè)過4P,0三點(diǎn)的平面交。。于因?yàn)槠矫?4。?！ㄆ矫?81GC,故

PQ//AM,且4B_LP。，此時截面為矩形.當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)G重合時面積最大，此時截面面積S

=1X^2=-^2,B正確；對于C,截面只能為四邊形、五邊形，故C錯誤；對于D,當(dāng)尤=1,

2

時，延長8/交。尸延長線于點(diǎn)N,畫出截面4P0M如圖所示.因?yàn)锽P=CP,BN〃CQ,

故RtZYBPN之RtZ\CP0,則BN=C°=：.由面面平行的截面性質(zhì)可得△/nWs/YPC。，AD

=2PC,故。河=2。。=早此時MDI=:,散MDi=BN且MDi〃BN,故四邊形A?山N為

平行四邊形，故MN〃BD[,根據(jù)線面平行的判定定理可知ADi與截面平行，D正確.

4

A

（第5題答）

6.（2024?景德鎮(zhèn)三檢）（多選）已知正方體的棱長為6,P,。分別是棱

4A的中點(diǎn)，過P,Q,C作正方體的截面，則（ACD）

A.該截面是五邊形

B.四面體CGP。外接球的球心在該截面上

C.該截面與底面ABCD夾角的正切值為城

3

D.該截面將正方體分成兩部分，則較小部分的體積為75

【解析】對于A,如圖（1）所示，延長P0交GA的延長線于點(diǎn)“，延長QP交G81

的延長線于點(diǎn)X,連接MC交。A于點(diǎn)N,連接8C交ABi于點(diǎn)K,連接尸K,QN,則五邊

形P0NCK為平面PQC截正方體所得的截面，故A正確；對于B,如圖（2）所示，設(shè)三棱錐

C-PQG的底面三角形尸QG的外心為。，三棱錐C-PQG外接球的球心為O,且CiP=GQ

=3?,PQ=3啦,CP=CQ=9,在LPQCi中，cosNPCiQ=%,sin/PCiQ

=3,所以△PQG外接圓半徑為01cl=——也——二2所以在△OC1。中，三棱錐

52sinZPCiQ2

C-PQCi外接球半徑C=G0=A/0IC?+00，=，所以三棱錐C-PQG外接

球球心0到P,Q,C三點(diǎn)的距離都為R.在&PQC中，cosZCP2=(^2cK|C^=6,

sinZCPQ=^,所以△P0C外接圓半徑廠=1及pQ=5^WR,所以四面體CGP。

外接球的球心不在該截面上，故B錯誤；對于C,如圖(3)所示，以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,

441所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P(3,0,6),2(0,3,

6),C(6,6,0),所以苑=(—3,3,0),無=(3,6,—6),設(shè)〃=(x,y,z)為平面尸。C的

nPQ=—3x+3y=09

法向量，貝「_取x=y=2,z=3,所以〃=(2,2,3).因?yàn)?4」平

nPC=3x-\~6y—6z=0,

一—.AAvn1父

面4BCD,故041=(0,0,6)為平面45c。的一個法向量，則cos(AAlfn)=:—

|44山川6y17

=RH,$山〈刀[],加=包11,tan{AA\,n〉故C正確；對于D,如圖(4)所示,

17173

取5cl中點(diǎn)G,連接。G,因?yàn)閰睭BiPs叢HG。,所以黑=綏=：，即"Bi=3.又因?yàn)?/p>

HGGQ2

AHBiKs^HCiC,所以打電=殳區(qū)=1,即8區(qū)=2,同理，由△MDIQS/XMG〃得"D]=3,

HC\CCi3

由△AffihNsZXMCC得。UV=2,所以VC-BiKP^-S/\B}KPCB^-X-X2X3X6^6,

332

VC-DxQN=1S&DQN-CD=-x-X2X3X6=6,VC-PQCi=1S△尸℃「GC=

-X-X3A/5X3^X-X6=27,■C-2IPCI=1SZ\2IPC「GC=L><1X3X6X6=18,VC-DXQCI

325332

=1SADI2CI-CIC=|X|X3X6X6=18,所以該截面將正方體分成兩部分，較小部分體積

為6+6+27+18+18=75,故D正確.

圖⑴

c

c

圖（4）

（第6題答）

7.（2024?荒澤一模節(jié)選）在棱長為2的正方體48CD-/?iCiDi中，P為4D的中點(diǎn)，。為

8cl的中點(diǎn)，則過P,Q,Di三點(diǎn)的截面面積為_2近.

【解析】截面為邊長為小的菱形P8QD1.易得「。=2m，5Di=2^3,所以5=

|x2^2X2-73=2^6.

8.（2024?濟(jì)寧一模節(jié)選）如圖，在棱長為2的正方體/8CZM向GA中，M,N分別是棱

BC,。。的中點(diǎn)，則過n,M,N的平面截正方體/BCD/iBiGDi所得的截面圖形的周長

【解析】如圖，四邊形為過/,M,N的平面截正方體48CD-4A1c所得的

截面