專題基本不等式求最值問題重點練

2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考

一、單選題

1.已知％>0,y>0,且％+y—孫+8=0,則孫的最小值為（）

A.4B.8C.16D.32

卜x，dLx/、=y，則=9

2.若隨機變量X?N|+—,的最小值為（）

葉尸"24?'2x

A.8B.16c.18D.32

3.函數(shù)/（力=1（^（%—1）+1過定點4若入￡｛（羽切3：+利=1,相>0,〃>。｝,則\+1的最小值為（）.

A.4B.6C.8D.10

2

4-已知…是非零實數(shù)，貝嶼+窿的最小值為（）

y

A.6B.12C.2D.4

121

5.已知ln(x+4y)=21nx+lny,則一+一的最小值為（）

xy

A.V2B.2c.2V2D.40

34

6.已知〃>0力>0,且a+3〃=2,則一+：的最小值是（）

ab

A.6B.12D.27

q

7.已知各項為正的等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,,且%+%+%=15-,貝壯7?1的最大值為（）

14

8.若。>0,b>0,且a+b=l,則--丁的最大值為（）

ab

A.-9B.-7C.-5D.-3

二、多選題

9.已知。>0,b>0,則下列說法正確的是（）

A.若aZ?=a+b+3,貝

4

B.4+目的最小值為i

a+3

C.若。+6=9,則型+/的最小值為8

ab

D.若6+Wkja+b恒成立,則上的最小值為追

10.下列式子中最小值為8的是（）

A.cNJ

B.2X+24-;

cosX

無4+2無2+171.1

x2+1sin?尤cos，

11.下列選項正確的是（）

22

A.若正實數(shù)x，y滿足x+y=2,則上r4二-9+上V上+1的最小值為10

xy

B.函數(shù)0=尤,3-的值域是1-8,3

C.若正實數(shù)私”滿足〃2+〃=1,則而+6的最大值為血

D.若正實數(shù)。/滿足2〃+/?+"—1=0,貝！Ia+人的最小值為2\/^—3

12.（多選）下列結(jié)論正確的是（）

A.若04x41,則2xjl-尤2的最大值為1

B.若xeR,貝lx?+2+/^的最小值為2

x2+2

9V

C.若xeR,則R有最大值1

尤一+1

D.若0<x<2,則工+。一的最小值為2

x2-x

13.已知〃，b為正實數(shù)，且H?+2a+/?=16,則（）

11的最小值為當(dāng)

A.2a+Z?的最小值為8B.-------1-------

a+1b+2

D-的最小值為啥

C.他的最大值為8

14.已知正數(shù)羽4滿足％+2y=l,則（

A.xy<-B.2+、

8xy

C.+D.x2+4y2>-

2

15.已知。>0,6>0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若a+b=l,貝儲+壯丁

4

B.若。+6=1,則〃'+6的最大值為&

2

C.若。+人=2,則」/^+4h的最小值為1

a+1b+1

D.若4+8=2,則工+工的最大值為匕也

（T+1b~+l2

三、填空題

16.已知方>0,則竺妙;的最小值為__.

ab-b

17.已知％>0,y>0,2x+y=4x2y3,則'的最小值為__.

xy

1—x

18.已知尤＞0,則4x+—^的最小值為

x

四、解答題

19.若正數(shù)x，y滿足：尤+＞+8=孫，

⑴求犯的取值范圍；

(2)求無+＞的取值范圍.

參考答案

題號12345678910

答案CBCADCAAACBC

題號1112131415

答案ACACDACDABDBCD

1.C

【分析】利用基本不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式即可求解.

【詳解】由題意可知孫=x+y+822j^+8,當(dāng)x=y=4時等號成立，

xy-2y/xy-8>0,

令7^=>0),貝！一2二—8之0.

解得，24或，4—2(舍).

即xy>16.

當(dāng)且僅當(dāng)x=V=4時，等號成立.

故選：C.

2.B

【分析】利用正態(tài)分布曲線的對稱性得x+y=〃，最后利用均值不等式即可求解.

【詳解】因為P&<xv|)=d"x<"y,且不<卜成6<

所以尸[x<；]+尸]g<xw|]=x+y=g,

易知。vxv二，

22

所以1+：=3+[]+3=2]5+2+曰45+2^|16,

v9x319

當(dāng)且僅當(dāng)丁=丁，即>=3尤=三時，等號成立，故丁+丁的最小值為16.

2x2y82x2y

故選：B.

3.C

【分析】根據(jù)給定條件，求出點A的坐標(biāo)，進而求出“"的關(guān)系式，再借助"1"的妙用計算作答.

【詳解】當(dāng)X—1=1,即尤=2時，恒有y=l,即y=log〃(x-l)+l過定點4(2,1),

因為Ae{(x,y)1M+=l,〃z>0,〃>0},所以點人在如+”，=1上，

則2根+〃=1,且相>0,n>0,

i2

于是得上+』=(2加+〃)=4+=8,

mn

Yl4Hz1I

當(dāng)且僅當(dāng)一=—，即〃=2機時取"="，由2機+〃=1且〃=2加得：m=—,n=—,

mn42

1119

所以當(dāng)用=：時，上+士取得最小值8.

42mn

故選：C

4.A

【分析】由基本不等式即可求解.

【詳解】彳+與2號與=6,

xy\xy

2

當(dāng)且僅當(dāng)丫？當(dāng)=Q%咚，

xy

即聞=若國＞0,等號成立，

丫29%2

所以當(dāng)十二■的最小值為6,

xy

故選：A

5.D

14121

【分析】將ln(%+4y)=21nx+lny變形得一+一=%,代入一+一再根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.

yxxj

【詳解】由題意，知x>0,y>0.由ln(%+4y)=21nx+lny,^x+4y=x2y,

14

兩邊同時除以孫，得一+—=%.

yx

因為2+工==40

xy

當(dāng)且僅當(dāng)§=》，即x=20，y="時取等號,

x2

121―

所以一+一的最小值為4垃.

xy

故選：D.

6.C

【分析】利用基本不等式“1?的妙用求出最小值.

3413419b4a

【詳解】由a>0,b>。，〃+3人=2,得—I—=—(Q+3b)(—I—)=—(15H-----1)

ab2ab2ab

>-(15+2I—-—)=—,當(dāng)且僅當(dāng)"=*,即2a=36=：時取等號，

2\ab2ab3

所以3的4最小值是一77.

ab2

故選：c

7.A

【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)及前〃項和公式得%+4=5,再應(yīng)用基本不等式求%?小的最大值.

【詳解】由。3+%+%1=3%,S15=15。8,得3%=15-3。8，所以％+。8=5.

由已知，得%>。，/>0,貝愛]=y

當(dāng)且僅當(dāng)%時等號成立.

故選：A

8.A

【分析】根據(jù)“i”的代換，結(jié)合基本不等式求出上1+r4的最小值，即可得出答案.

ab

【詳角星】因為a>0,b>0,且a+b=l,

141(a+Z?)=5+-+^>5+2.2加=9,

所以一+工=

ab4abab

b4〃12

當(dāng)且僅當(dāng)一=丁，a>0,b>0,即〃=G，6=彳時等號成立,

ab33

所以-上1-：4的最大值為-9.

ab

故選：A.

9.AC

【分析】利用基本不等式求解A,利用基本不等式的取等條件判斷B,利用基本不等式結(jié)合力”的代

換判斷C,先分離參數(shù)，再對平方后利用換元法和判別式法求解最值，得到上的最小值判斷

y)a+b

D即可.

【詳解】對于A,ab=a+b+3>2y[ab+3,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時取等號,

即(—+20,得至!—320,解得他之9.故A正確;

a2+^—4-352+3)舄-3=4一3=1

對于B,+3)+

。+34+3

4

當(dāng)且僅“+3=力，即"+3=2時取等號，顯然。的值不存在，故B錯誤;

“十一,八”…4(a+〃)a*4ba

對于C,因為a+b=9,所以------+—=4+一+—,

abab

由基本不等式得4+絲+4+2、隹二7=8,

abVab

當(dāng)且僅當(dāng)4竺b=：a時取等，此時解得“=6力=3,

則型+f的最小值為8,故C正確，

ab

對于D,因為6+國Wb/a+b恒成立,且。>0,b>0,

所以左2￡+而恒成立,而(?4a+y/5by_〃+5b+2y/5ab

yja+by/ci+ba+b

a+b+4b+2<5ab_I,，'°/X°

R=

a

bLb

A卜義一

r7~4x—2d54產(chǎn)+26

令/='->o,貝h+—q_?—生可化為i+

a1+21+?

a

4/+2呂

令m=,貝！|加(1+產(chǎn))=4產(chǎn)+2后,

1+t2

化簡得(m-4)』一2非t+m=0,

而該一元二次方程一定有實數(shù)根，得到(-275)2-4m(m-4)>0,

解得me[—1,5],當(dāng)=5時，t=\[s>0

b2

i^m+l<6,故]+>+'xa<6即近拽屋娓,

1+b4a+b

a

得至則上的最小值為"，故D錯誤.

故選：AC

10.BC

【分析】對于A、B選項，直接根據(jù)均值不等式結(jié)合取等條件判斷正誤即可；對于C選項，先將原式

變形為Y+1+普，再根據(jù)均值不等式結(jié)合取等條件判斷正誤即可；對于D選項，根據(jù)

sin2x+cos2x=l,利用力”的代換，結(jié)合均值不等式和取等條件判斷正誤即可.

【詳解】對于選項A：cos?1+1?一N2Jcos?%?—=2lcosx|?—^―=8,

cosXVcosXco&x

當(dāng)且僅當(dāng)|cosx|=—^―,即co&x=±2時等號成立，但cosx=±2不成立，

COSX

所以cos2%+—7的最小值不為8,故A錯誤；

cosX

對于選項B：因為2">0,21>0,則2“+24r22巧2".24r=8，

當(dāng)且僅當(dāng)2、=2i,即％=2時，等號成立,

所以2工+2”，的最小值為8,故B正確；

對于選項C：一+于+17=f+1+>2L2+l)-4^-=2巫=8,

當(dāng)且僅當(dāng)時，即》=±6時，取得最小值8,故C正確；

X+1

對于選項D：由題意一]>0,二丁>0,

smxcosx

17nli1(11\.22\sin2xcos2xc、與/sin2xcos2x與“

則—+——=—+——(smx+cosx)=——+—^+2>2J—-----r^+2=4,

sinxcosxIsm%cosx/cosxsinxVcosxsinx

?22

當(dāng)且僅當(dāng)更‘=空￡,即1皿=±1時，等號成立，故D不正確.

cosxsinx

故選：BC

11.AC

r24-Q丫？+1

【分析】根據(jù)基本不等式分式分離，結(jié)合“1”的巧用，求解上上+1」的最值，即可判斷A；根據(jù)

Xy

基本不等式和為定值，求解y=的最值，從而得函數(shù)的取值范圍，即可判斷B;利用基本不

等式根據(jù)和為定值求和式冊+分最值，即可判斷C;由已知等式湊乘積為定值的式子，結(jié)合基本不

等式求a+6的最小值，即可判斷D.

【詳解】對于A,因為

%2+9/+191\(91Y、c1(八9yxlc1八八八

-----+-----=%+—+)+一=2+——+—(x+y)=2+—10+—+—>2+—x(10+6)=10,

xyxy21%y)21xyJ2

OyYq1

當(dāng)且僅當(dāng)上=一,即x=[,y=:時，等號成立，故選項A正確；

對于B,因為回=忖々3-=2|4(7。2+|72=|,當(dāng)且僅當(dāng)f=|時，等號成立，所以函

一33~

數(shù)的值域為，故選項B錯誤；

對于C,由正實數(shù)根，〃滿足機+〃=1,由(')；(?)，(而得0<而+品工垃,

當(dāng)且僅當(dāng)標(biāo)=6=乎，即加=〃=g時，等號成立，故選項c正確；

對于D,由2a+b+aZ?—1=0,得(a+l)(b+2)=3,所以a+6=a+l+b+2-3W2V3,

當(dāng)且僅當(dāng)a+l=b+2=6，即。=百-1,6=石-2<0時等號成立，而6>0,最小值取不到，故選項

D錯誤.

故選：AC.

12.ACD

【詳解】因為2M定=2次（1一士2-2+1-尤2=1,當(dāng)且僅當(dāng)1_必=￡,即天=交時取等號，

22

所以24/1二”的最大值為1，故A正確；因為爐+2+/工22的等號成立條件是f+2=，K，不

x+2光+2

2x2,2?

9r-------=-------G—=1

成立，所以B錯誤；當(dāng)％=0時，—―-=0,當(dāng)％>0時，X2+11/r，當(dāng)且僅當(dāng)％=1時,

x+1%十二2Ax?一

2x2x

等號成立，當(dāng)x<0時,故E有最大值1,故C正確；因為

x2+l

工+^—=；（x+2—x）p>+^—]=；[2+^~^+^^]2^（2+2）=2,當(dāng)且僅當(dāng)=,即彳=1時,

x2-x21％2-x）21x2-x）2x2-x

等號成立，所以D正確.

13.ACD

【分析】A,禾1」用力=-----2變形2a+b,利用基本不等式求解即可；B,由就+2a+Z?=16可得

Q+1

ab+2a+b+2=lS,利用基本不等式求解即可；C,利用6=a6+2a+bNab+2^/^K,解一元二次不

等式即可；D,原式變形為（-l87+JUW+9T91-2,利用基本不等式求解即可.

1〃+19-a八1010）

【詳解】由16="+2〃+6得6=里網(wǎng)=里-2,

。+1a+1

所以2〃+匕=2〃+16-2"=2（〃+1）+_1§__4

a+1'）a+1

川2（"+1）￡-4=8'

1Q

當(dāng)且僅當(dāng)2（a+l）=U，即a=2時取等號,

此時2a+8取得最小值8,A對;

ab+2a+b=16^ab+2a+b+2=\S,

當(dāng)且僅當(dāng)a+15+2時取等號，此時乙+占取得最小值等,

B錯;

因為16=QZ?+2Q+62+,當(dāng)且僅當(dāng)2a=Z?時取等號,

解不等式得-40（疝<2拒=>〃bV8,故乃的最大值為8,C對;

71181c

b-\-------=--------1----------2

9—a6/+19—。

181a+19-a

記十^-2

Q+19-CL5-

18（9-tz）a+11

-------------1-----4--+--1----------

10（a+l）10（9-fl）10

yioo1010

當(dāng)且僅當(dāng)"1即a=163±3時取等號,

:1：0(,?一+1?)=10(9-62)、17。啰

此時6+4取得最小值逑二LD正確；

9-a10

故選：ACD.

14.ABD

【分析】A選項，由基本不等式得至IJx+2y=122歷，得到孫B選項，利用基本不等式“1”

O

的妙用求出最小值；C選項，平方后得到(五+87)=1+2，2孫,結(jié)合A知五十盧^(友；D選

項，2(Y+4y2)之a(chǎn)+2y)2=1,故D正確.

【詳解】A選項，正數(shù)羽y滿足1+2y=1,故％+2y=lN2j24，

解得孫當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,即x==J時，等號成立，A正確；

824

B選項，-+-=f-+-^(x+2y)=2+2+-+^>4+21--^=8,

xyyxy)yxyyx

當(dāng)且僅當(dāng)土=曳，即x=2y,即尤=］y=［時，等號成立，B正確；

yx24

C選項，(y/x+y/2y^=x+2y+2，2孫=1+2J2xy,

由A知，27^41，故+=1+27^41+1=2,

故石C錯誤；

D選項，因為％+2y=l,2(x2+4y2)>x2+4y2+4xy=(x+2y)2=1,

故Y+4y2z；,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,即x=g,y=；時，等號成立，D正確.

故選：ABD

15.BCD

【分析】通過消元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值判斷A選項，通過平方后用基本不等式判斷B選項，通過變形

將金+工轉(zhuǎn)化為-1T+上=；［(。+1)+(6+川(4+71Tl再利用基本不等式求最值，變形

a+1b+1a+1b+l4(a+1b+lj

114-2ab+2

^-7+7^7=，轉(zhuǎn)化為必為整體的一元函數(shù)最值問題求解，利用基本不等式或雙勾

a+1b+1(zab)+4-20ab+1

函數(shù)求最值即可.

【詳解】由題意得/+4片=(1-6)2+462=50-』+|>|,A項錯誤;

(4a+=a+b+14ab=1+2-Jab<l+a+b=2,所以&+加4母(當(dāng)且僅當(dāng)a=6=5時取等號),B

項正確;

a2b2(fl+l)2-2(?+l)+l(6+1)2-2(6+l)+l

---1---=-------------1-------------=

a+1Z?+1a+1Z7+1

——-+7—7=7[(?+1)+(^+1)]f——+7-7^1，當(dāng)且僅當(dāng)a=6=1時取等號，C項正確；

a+1b+\4+1b+1)

22

--1--11=a+b+2=---4-—--2-3--2---,

2

Q?+1Z?+1---(a/?)?+Q2+/+](ab￥+4—2ab+1

又因為a+Z?=2N2y/ab=>0<ahW1,

114+2(1—")

所以〃+]+〃+]_3匕_1)2+4，

設(shè)，=1-必，￡[0/),

]12f+42(f+2)2v20+1

則/+1+萬+1一產(chǎn)+4-《+2)2-4?+2)+8-1?。?8-2，當(dāng)且僅當(dāng)

%+2

f+2=^nf=2&-2,即必=3-2夜時取等號，

所以；+n二的最大值為亞基，D項正確.

a2+lb2+l2

故選:BCD.

16.20+2

4+1

【分析】將W?變形為卜，換元，令小，構(gòu)造均值不等式。-1)+占+2求解即可.

b

a2

2.r2~2+1

【詳解】三上4=--,令/=f(f>l),所以一1>。，

ab-b,ab''

------1

b

=(T+2,=(I)+2(I)+2=(i)+告+222,”1)告+2=2應(yīng)+2,

則

cib-Z?2t—1t-1t-1

當(dāng)且僅當(dāng)"1==，即/=0+1，?=忘+1時取等號.