基本不等式及其應(yīng)用典型考點(diǎn)闖關(guān)練

2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考

一、單選題

__,__>__*]2

1.在VABC中，點(diǎn)P為線段上任一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若AF=xAB+2yAC（x>0,y>0）,則,

的最小值為（）

A.3B.4C.8D.9

2.已知片，尸2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，尸是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且/耳P居=7T三，若橢圓的離心

率為9,雙曲線的離心率為e?,則e；+e；的最小值為（）

A.3+百B.C.D.4

22

3.已知〃>0,b>0,S.a+b=ab,則下列不等式成立的是（）

A.a^-b<4B.log2^+log2Z?>2

C.b]na>lD.4a+4b>3

22

4.設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=。與雙曲線C:方-方=1（。>0,6>0）的兩條漸近線分別交于2E兩點(diǎn)，

若AODE的面積為8,則C的焦距的最小值為（）

A.4B.8C.16D.32

5.已知正數(shù)。，b,C滿足2a+/+3c=8,則°+的最小值為（）

b+ca+c

3+2A/25+2行

A.272Rc.3V2-1D.

44

J111

6.已知-f+==l,貝ijix—y2的最大值為（）

xy

A.-15B.15C.-24D.-25

二、多選題

7.已知a,b都是正實(shí)數(shù)，則下列不等式中恒成立的是（）

A.49B.(a+b)

25ca1

C.ci-\—>3QD.<—

2〃2_Q-+12

8.在VA3C中，。為邊AC上一點(diǎn)且滿足蒞=g就，若尸為邊3D上一點(diǎn)，且滿足市i=2通+〃記,

2,〃為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.%的最小值為1B.%的最大值為二T

c.；+的最大值為12D.J+J-的最小值為4

43〃X3//

9.已知為正實(shí)數(shù)，"+〃+力=14,則下列說(shuō)法正確的是()

A.a+b<21B.的最小值為-1

c.。+劭的最小值為12D.工+「二的最小值為9

a+2b+12

三、填空題

10.若直線土+；=1(。>0,。>0)過(guò)點(diǎn)(1,2),則2a+匕的最小值為_(kāi)____.

ab

11.已知正數(shù)。，6滿足)+：=20，若(°一6)224(")3,則/+/>2=.

12.己知｛4｝是公差不為0的等差數(shù)列，且6，出，如成等比數(shù)列，若S,是數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，則

S+18。1

”——L的最小值為.

13.在VABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是。、b、c,若(2a-c)cosB=bcosC,且

SAABC=4(a+b+c)，則的最小值為.

14.若隨機(jī)變量X?N(3Q2),且尸(14X43)=a,P(X25)=b,則與學(xué)的最小值為

2ab

15.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(10,b”尸(X>15)=見(jiàn)尸(5WX<10)=",則加+"2的最小值

為.

16.已知正數(shù)a,b滿足仍=4+6+1,則的最小值為_(kāi)_____.

ab

四、解答題

17.隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展，醫(yī)療消費(fèi)需求增長(zhǎng)，人們健康觀念轉(zhuǎn)變以及人口老齡化進(jìn)程加快等影響，醫(yī)

療器械市場(chǎng)近年來(lái)一直保持了持續(xù)增長(zhǎng)的趨勢(shì).某醫(yī)療器械公司為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)力，計(jì)劃改進(jìn)技

術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為300萬(wàn)元，最大產(chǎn)能為100臺(tái)，每生產(chǎn)x臺(tái)，需另投

2x2+80%,0<x<40

入成本G(x)萬(wàn)元，且G(x)=3600，由市場(chǎng)調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺(tái)的售價(jià)為

20U+---------2100,40<%<100

、龍

200萬(wàn)元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷售完.

(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)W(x)萬(wàn)元關(guān)于年產(chǎn)量x臺(tái)的函數(shù)解析式(利潤(rùn)=銷售收入一成本)；

(2)當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

18.若。>0,b>05.ab=a+b+3

⑴求ab的取值范圍；

⑵求a+46的最小值，以及此時(shí)對(duì)應(yīng)的a的值.

19.記VA3C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知(Z?-a)sinA=(6+c)(sinB-sinC).

⑴求c；

(2)若VABC外接圓的半徑為1,求VABC面積的最大值.

參考答案

題號(hào)123456789

答案DCCBDCACBDABD

1.D

【分析】先根據(jù)共線向量基本定理得到》+2y=l,利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)尸為線段8C上任一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，

所以設(shè)而=40，i^AF-AB^AAC-AAB，

即通=4就+(1_力)屈，

XAF=xAB+2yAC(<x>0,j>0),

x+2>y-1—A+A—1,

^-+-=f-+-^(x+2y)=l+4+^+—>5+2fe—=9

當(dāng)且僅當(dāng)上2y=一2x，即％=>=17時(shí)，等號(hào)成立，

xy3

故工+2的最小值為9.

%y

故選：D

2.C

2222

【分析】設(shè)橢圓和雙曲線的方程分別為：3+*=1,二一■y—1>易得—b；=a；+b；=c?,設(shè)

01bla2?2

\PF\=m,\PF^\=n,利用橢圓和雙曲線的定義得到根=%-々，

n=ax+a2,然后在△尸耳瑪中，利用余弦

13,

定理得到三+方=4,然后利用基本不等式求解.

e\e2

【詳解】解：如圖所示：

:

2222

設(shè)橢圓和雙曲線的方程分別為：，+2=1,3-3=1,

01bla2b2

由題意得。；-廳=域+b；=c2,

^\PF^=m\PF^=n,貝1_]m+〃=2。1，"_機(jī)=2。2，

解得m=a1-a2,n=a1+a2,

在△至"中，由余弦定理得：閨閭2=]尸團(tuán)2+「與「—2|尸耳H尸7訃cosN耳尸鳥(niǎo),

即（2C）2=（4-%）2+（%+%）2一（4一42）（4+。2），化簡(jiǎn)得4。2=4；+3〃；,

13

則/十?=44,

e\e2

所以力+4=*+團(tuán)'+訃?yán)?菅+4）,

22

當(dāng)且僅當(dāng)e十3音e，即四=國(guó)l時(shí)，等號(hào)成立；

故選：C

3.C

【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)1的妙用進(jìn)行求解；B選項(xiàng)，對(duì)原條件直接使用基本不等式，ab=a+b>2^b

即可求解；C選項(xiàng)，將待證明表達(dá)式消去一個(gè)字母，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決；D選項(xiàng)，結(jié)合B

選項(xiàng)的分析可解決.

【詳解】因?yàn)椤?6=",所以'+3=1,

ab

對(duì)于A項(xiàng)：a+b=（a+b）\-+-]=2+-+->2+2=4,

yab）ab

3

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取得等號(hào)，從而在a=3,6=大時(shí)a+b>4,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B項(xiàng)：因?yàn)閍b=a+bN,所以團(tuán)之4,

log2a+log2b=log2ab>log24=2,當(dāng)a=b=2時(shí)取得等號(hào),jit^flog2tz+log2/?=2,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)：因?yàn)閍b=〃+/?,所以b=>0,所以a>1,

a—1

于是blna>1等價(jià)于—^ln〃>1,等價(jià)于Ina,

a—1a

構(gòu)造函數(shù)/（無(wú)）=lnx+L_l（x>l）,「（同=4一!=二>0,

XXXX

所以“X）在（1,+8）上單調(diào)遞增；

所以/（力>/。）=。恒成立，所以不等式blna>l成立，故C正確;

對(duì)于D項(xiàng)：根據(jù)B選項(xiàng)的分析，a-^-b=ab>4f

貝U(&+揚(yáng)/=0+6+2荷24+24=8,即&+揚(yáng)22立，

當(dāng)〃=〃=2時(shí)取得等號(hào)，此時(shí)而+揚(yáng)=2&<3,故D錯(cuò)誤.

故選：C

4.B

22L

【分析】因?yàn)镃:與-當(dāng)=1(。>0,6>0),可得雙曲線的漸近線方程是y=±2x,與直線X="聯(lián)立方

aba

程求得。，E兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得1即|,根據(jù)AODE的面積為8,可得必值，根據(jù)2c=27?■/，

結(jié)合均值不等式，即可求得答案.

22

【詳解】???C:與一斗=l(a>0,6>0)

ab

b

雙曲線的漸近線方程是y=±-x

a

22

?.?直線X=。與雙曲線c：三一斗=1(“>0,6>0)的兩條漸近線分別交于D,E兩點(diǎn)

ab

不妨設(shè)。為在第一象限，E在第四象限

x=a

x=a

聯(lián)立b,解得

y=-xy=b

Ia

故D(a,b)

x=a(-

\x=a

聯(lián)立b，解得7

y=——％[y=~^

、a

故E(a,—b)

.\\ED\=2b

'△a乃面積為：sA0DE=^2b=ab=s

22

,雙曲線C:5-2=l(a>0,6>0)

ab

-,?其焦距為2c=2y1a1+b2>2y[2ab=2J語(yǔ)=8

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=20取等號(hào)

.?.C的焦距的最小值：8

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等

式求最值方法，在使用均值不等式求最值時(shí)，要檢驗(yàn)等號(hào)是否成立，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬

于中檔題.

5.D

〃+〃+2c1411

【分析】設(shè)令。+。=加力+。=〃，故2根+〃=8,m>0,n>0,變形得至IJ+"=1+上+4,

b+ca+cnm2

41

由基本不等式“1”的代換求出-+-的最小值，從而得到答案.

nm

【詳解】正數(shù)。，b,。滿足2Q+〃+3c=8,故2(〃+c)+(b+c)=8,

令a+c=根,b+c=〃,故2根+幾=8,m>0,n>0,

a+b+2c1a+c+b+c1a+c1,m1,

------------+-------=----------------+-------=-------+------+1=——F——1-1

b+ca+cb+ca+cb+ca+cnm

=-=33

Inmnm2

41、1j,三/8m~

—+——>-6+2--------

nm81vnm,

當(dāng)且僅當(dāng)細(xì)=2，即m=4后-4，〃=16-80時(shí)，等號(hào)成立,

nm

,,a+b+2c14113+2015+20

故--------+----=—+—+—>-------+—=-------

b+ca+cnm2424

故選：D

6.C

【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解.

【詳解】1-9%2-4y2=1-(9x2+4y2)=1-(9x2+4y2)

9/4/

=2x6=12,

當(dāng)3/=2V即當(dāng)無(wú)2=g,/=|時(shí)取得等號(hào),

所以1-13+<1-(13+12)=-24,

故選：c.

7.AC

【分析】AB選項(xiàng)，利用基本不等式求出最小值，得到A正確，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，作差法比較出大小

關(guān)系；D選項(xiàng)，先變形后利用基本不等式進(jìn)行求解.

【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)閍,6者B是正實(shí)數(shù)，^(?+4Z7)fl+lLl+—+-+4>5+2,P^-=9,

\ab)ab\ab

當(dāng)且僅47當(dāng)7竺a即。=?時(shí)，等號(hào)成立，A正確；

ab

B選項(xiàng)，因?yàn)閍,b都是正實(shí)數(shù)，^(fl+Z?)f-+^=l+-+-+l>2+2.p^=4,

\ab)ab\ab

ah

當(dāng)且僅當(dāng)/=',即a=6時(shí)，等號(hào)成立，B錯(cuò)誤；

ba

C選項(xiàng)，A2-3a+-=fa-—+—>—>0,故恒成立，C正確；

212J442

_g_=_1_1r~r

D選項(xiàng)，。是正實(shí)數(shù)，故/一a+i1，其中a+—22、小一=2,

aHia\a

a

a_1v171

故/_a+l-1-2-r,當(dāng)且僅當(dāng)a=—,即a=l時(shí)，等號(hào)成立，D錯(cuò)誤.

a+——l

aa

故選：AC

8.BD

【分析】根據(jù)氏DP三點(diǎn)公式求得2+3〃=l,結(jié)合基本不等式判斷即可.

__.1___

【詳解】因?yàn)?0=5。。，所以AC=3AO，

5CAP=XAB+pAC=XAB+'3/dAl5,

因?yàn)镻、B、。三點(diǎn)共線，所以幾+3〃=1,

又2,〃為正實(shí)數(shù)，所以M=

當(dāng)且僅當(dāng)a=3〃，即〃=)時(shí)取等號(hào)，故A錯(cuò)誤，B正確;

26

111±(2+3//)=2+^+—>2+2

—I-----+=4,

23〃23〃A3〃

當(dāng)且僅當(dāng)手即2j時(shí)取等號(hào)，故C錯(cuò)誤，D正確.

故選：BD

9.ABD

【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到(a+2)S+l)=16,令％=a+2,y=h+l,得到a+b=x+——3,結(jié)合函

x

數(shù)〃尤)=x+電單調(diào)性，可判定A正確；由6+1=普，得至lji=a一一4"-12,結(jié)合二次函數(shù)的

性質(zhì)，可得判定B正確；化簡(jiǎn)a+46=x+4y-6,利用基本不等式，可得判定C不正確；由

5+2)(6+1)=16,得到—L+J-*」———,可判定D正確.

4+2Z?+1Na+2Z?+1

【詳解】由ab+Q+2Z?=14,可得(。+2)(〃+1)=16,

對(duì)于A中，令％=a+2,y=b+l,則a=%_2,Z?=y-l且孫=16,

可得2<無(wú)<16,貝（JQ+Z?=x+y—3=XH------3,

x

因?yàn)楹瘮?shù)〃尤）=x+?在（2,4］上單調(diào)遞減，在［4,16）上單調(diào)遞增,

可得“尤)</。6)=17,所以a+6=x+y-3<14,所以A正確;

對(duì)于B中，由（“+2）S+g6,可得"「提‘

a—6=(Q-6)X^^a?—4。-123-2)2-16

則

Z?+l161616

。6

當(dāng)且僅當(dāng)0=2時(shí),有取得最小值-1,所以B正確;

對(duì)于C中，由〃+4，=(元一2)+4(丁-1)=x+4y-6N2”?4y-6=10,

當(dāng)且僅當(dāng)％=4y時(shí)，即％=8,y=2時(shí)，即，=61=1時(shí)，等號(hào)成立，所以C不正確;

對(duì)于D中，由(a+2)S+l)=16,

F曰11、cfl「cIT1

可用----FN2./--------------=2A—=一,

〃+2b+1\a+2b+1y162

當(dāng)且僅當(dāng)一=±時(shí)，即a=28=3時(shí)，等號(hào)成立，

4+2b+1

所以」二+的最小值為所以D正確.

a+2b+12

故選：ABD.

10.8

【分析】由直線土+；=1（。>0,6>0）過(guò)點(diǎn)（1,2）,可得工+3=1,從而有2a+6=（2a+b）［，+?］,展

abab\abJ

開(kāi)后利用基本不等式可求得其最小值

【詳解】解：因?yàn)橹本€二+==1（a>0,6>0）過(guò)點(diǎn)（1,2）,所以l+?=1,

abab

因?yàn)閍>0,bX）

所以2a+6=（2a+6）H+?］=2+色+。+224+2、伊至=8，

\ab）ba\ba

〃

當(dāng)且僅當(dāng)4竽=h2,即。=2,6=4時(shí)取等號(hào)，

ba

所以2a+b的最小值為8

故答案為：8

【點(diǎn)睛】此題考查基本不等式的應(yīng)用，利用基本不等式求最值時(shí)要注意“一正二定三相等”的條件，屬

于基礎(chǔ)題

11.6

【分析】化簡(jiǎn)不等式，利用基本不等式求出Q+萬(wàn)，即可得出/+加的值.

【詳解】由題意，由(。-6)眨4(的3,得紇絲N4H,

ab

即｛―+———>4ab，故Q》H—-<2.

yab)abab

又〃/?+——N2、ab.」一=2,所以abH--=2,

abxabab

當(dāng)且僅當(dāng)即必=1時(shí)，等號(hào)成立，

ab

'ab=1[a=42-l[”四+1「

此時(shí)“1、尻，解得IL或《L，貝必+。=2四,

-+-=2V2fe=V2+lfe=V2-l

iab'i

所以/+/=(〃+32-2"=(一2=6.

故答案為：6.

13

12.

~2

【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d(〃R0),根據(jù)q,生，。4成等比數(shù)列，可得q=1,利用等差數(shù)列的

S+1Sa,

前〃項(xiàng)和公式化簡(jiǎn),——L,然后利用基本不等式求出最值即可.

【詳解】令｛4｝的公差為d(dwo),?.?,%%成等比數(shù)歹U,

「.(4+療=q(q+3d),:.%=d,an=nd.

n(n-l],

d+18qnd+——1+18d

.S“+18q_叫+22

a?ndnd

31.1"8+'1=2x3+31,13

2n22n222

11Q

當(dāng)且僅當(dāng)：〃=',即〃=6時(shí)取等號(hào).

2n

13

故答案為：—

13.12

【分析】由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得出COSB的值，結(jié)合角8的取值范圍可得出角8的

值，由三角形的面積公式化簡(jiǎn)得出6=工農(nóng)-”,，結(jié)合余弦定理可得出。+。=3+工電，利用余弦定

24

理可求得4+C的最小值.

【詳解】由(2〃-c)cosB=ftcosC及正弦定理可得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,

因?yàn)锳、BG（O,71）,所以sinA>0,cosB=；,所以3=1.

Fy1]

因?yàn)镾、ABc=?（a+b+c）=—acsinB,貝!]ac=2（a+6+c）,所以6=

222

寸巴b=一—〃一c代入cosB=工=——,a2+c2—f—ac—a—c\=ac,

22lac（2J

化簡(jiǎn)得〃+c=3H—ac，

4

由基本不等式可得Q+c=3+]QC?3++c）,即（a+c）—16（a+c）+4820,

解得a+cW4或a+cN12,

因?yàn)椤?L〃c一〃一c〉0,所以工〃c>〃+c22^/^,解得ac>16,

22

所以a+c=3+—ac>7,所以a+c212,

4

[a=c,?

當(dāng)且僅當(dāng)（時(shí)，即當(dāng)a=c=6時(shí)，a+C取最小值12.

\a+c=12

故答案為：12.

14.7+4百

【分析】由正態(tài)分布性質(zhì)知正態(tài)分布曲線關(guān)于x=3對(duì)稱，故。+6=；,使用基本不等式可求的最小值.

【詳解】由題意知正態(tài)分布曲線關(guān)于x=3對(duì)稱，P（l<X<3）=a,

則尸（3VXV5）=a,又P（XN5）=少，故a+6=g,

3〃+4b343434

則一+一—+——+—（〃+b）

lab2b2a2baba

3ac.4Z?、八13a4/7_.n--

=-----F3+4H-----22J-------F7=4,3+7,

ba\ba

當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)=竺，即4=退-1,6=土史取等號(hào).

ba2

故答案為：7+46.

15.-/0.125

8

【分析】首先利用正態(tài)分布的性質(zhì)求出加+〃=g,再利用基本不等式解最小值即可.

【詳解】由題意可知，正態(tài)曲線關(guān)于龍=10對(duì)稱，所以P（x>15）=尸（x<5）=相，

又尸（5WXW10）=〃，所以根+"=g,

因?yàn)椋?+〃2>2mn,W2（m2+n2）>m2+?2+2mn,

得m2十幾2>—(m+n-,等號(hào)成立時(shí)，m=n=-,

2V84

所以蘇+川的最小值為

O

故答案為：:

O

16.20-2

11,b-1八

【分析】由題意得/+]=1一而可，修>1)，通過(guò)換元結(jié)合基本不等式即可求解.

【詳解】因?yàn)椤?—>0,6>0,解得6>1,

b-1

11/2-11121b-\

所以—+—=---F—=1H------------=1;-------r令/=/?一

切以〃bb+1bbb+\b(b+\)1>0,

11Z?-l.t?11=1-(3-2A/2)=2V2-2

則ab~b(b+l)~(/+1)卜+2)-t+l+i,~2忘+3

t

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)年加,此時(shí)匕=1+點(diǎn),士”,

所以:的最小值為20-2.

ab

故答案為：2夜-2.

-2X2+120.X-300,0<X<40

17.(l)W(x)=<3600

x-\----+---1--8-00,40<%<100'

X

(2)年產(chǎn)量為60臺(tái)時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1680萬(wàn)元

【分析】(1)分0〈尤440和40〈尤4100兩種情況，進(jìn)行求解利潤(rùn)；

(2)0<xV40時(shí)，可利用二