專題07立體幾何初步

1.(2022?全國?高考真題)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.

已知該水庫水位為海拔148.5m時，相應(yīng)水面的面積為"O.Oknr2；水位為海拔157.5m時，相應(yīng)水面的面積為

180.0km2，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時，

增加的水量約為(J772.65)()

939393

A.1.0x109nl3B.1.2xl0mC.1.4xl0mD.1.6xl0m

【答案】C

【解析】依題意可知棱臺的高為MN=157.5-148.5=9(m),所以增加的水量即為棱臺的體積V.

2

棱臺上底面積S=14Q0km2=140x1()61n2,下底面積卜=igQOknr=180xl()6m2,

V=；+6+V?7)=1X9X^140X106+180xl06+V140xl80xl012j

=3X(320+60A/7)X106?(96+18x2.65)xl07=1.437xl09?1.4xl09(m3).

故選：C.

2.(2022?河北邯鄲?模擬)已知正三棱柱ABC-A4G，各棱長均為2,且點(diǎn)P為棱CG上一動點(diǎn)，則下列

結(jié)論正確的是()

A.該正三棱柱既有外接球，又有內(nèi)切球

Q

B.四棱錐尸-ABBA的體積是|

C.直線A81與直線3尸恒不垂直

D.直線族與平面AB與A所成角最大為A

【答案】D

【解析】如圖所示，設(shè)ABCA4=。，取A3、46的中點(diǎn)分別為E、F,

連接E尸、QF過點(diǎn)P作PHJ_EF交EF于點(diǎn)H,連接38,

顯然CZ，平面A8BM，又尸〃〃CF，故尸〃，平面ABBiA

即ZPBH為直線3P與平面ABB^所成角,

又因?yàn)镻H=GP=/,2<BP<2V2，

PH=百V6A/3

所以sin/PBH=

BP~BP彳'T

因此當(dāng)sin/P8”=3時，有NPB”的最大值!，選項(xiàng)D正確；

23

由于..ABC內(nèi)切圓半徑為且<1,所以該正三棱柱有外接球，無內(nèi)切球，選項(xiàng)A不正確;

3

顯然CQ//平面ABB^,因此點(diǎn)P到側(cè)面ABBiA,的高h(yuǎn)=PH=^

故棱錐尸-AB與A的體積為吃ABBA=~Sh=—^~，選項(xiàng)B不正確;

i~/\L5D^ri]37mE/uB>/iDDA[A]33

當(dāng)H位于。時，POL平面ABAA，即4耳1尸。

又A瓦，AB，故人與，平面尸。8,從而A瓦，8尸，故選項(xiàng)C不正確；

故選：D

3.（2022?福建省福州格致中學(xué)模擬）已知一個直三棱柱的高為2,如圖，其底面ABC水平放置的直觀圖

（斜二測畫法）為A'B'C',其中。A=0?=OC'=1,則此三棱柱的表面積為（）

【答案】C

【解析】由斜二測畫法的“三變”“三不變’可得底面平面圖如圖所示，其中。4=2OB=2OC=2,所以

AB=AC=5所以此三棱柱的表面積為5=2><；><2*2+（2+2君）><2=8+4式.

4.（2022?山東煙臺?三模）若。和a分別為空間中的直線和平面，貝『七，是"。垂直a內(nèi)無數(shù)條直線”的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】若。，a,則。垂直。內(nèi)所有直線，因此，命題“若則。垂直a內(nèi)無數(shù)條直線”正確,

。垂直a內(nèi)無數(shù)條直線，若這無數(shù)條直線中無任何兩條直線相交，此時直線?？梢栽谄矫鎍內(nèi)，即不能推出

aJ_a,

所以“a,a”是“〃垂直a內(nèi)無數(shù)條直線”的充分不必要條件.

故選：A

5.（2022?湖北?大冶市第一中學(xué)模擬）北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)

航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，將地球看作一個球，衛(wèi)星信號像一條條直線

一樣發(fā)射到達(dá)球面，所覆蓋的范圍即為一個球冠，稱此球冠的表面積為衛(wèi)星信號的覆蓋面積.球冠即球面

被平面所截得的一部分，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得較短的一段叫做球冠的高.設(shè)

球面半徑為R,球冠的高為〃，則球冠的表面積為5=2萬R/?.已知一顆地球靜止同步通信衛(wèi)星距地球表面的

最近距離與地球半徑之比為5,則它的信號覆蓋面積與地球表面積之比為（）

【答案】D

【解析】如下截面圖,

PE=5R,所以cos/Pft4="=」=變，

若。為球心，P為衛(wèi)星位置，^R=OA=OE=OB,h=DE

OP6OA

所以0。=!R,即==所以2%R/Z2乃R^R_5.

664萬R2-4%彥一歷

故選：D.

6.（2022?湖南永州?三模）中國古代數(shù)學(xué)瑰寶《九章算術(shù)》記錄形似“楔體”的“羨除”.所謂“羨除”，就是三

個側(cè)面都是梯形或平行四邊形（其中最多只有一個平行四邊形），兩個不平行對面是三角形的五面體.如

圖，在羨除A8CDEF中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，EAD,FBC均為正三角形，EF//平面

ABCD,且跖=246,則羨除ABCDEF的體積為（）

A46R8也

33

C.4A/2D.4A/3

【答案】B

【解析】因?yàn)槔伞ㄆ矫鍭BC。

所以斯〃48,EF//CD,

因?yàn)樗倪呅蜛BC。是邊長為2的正方形，

所以A8UO,

過點(diǎn)A作AGL匹于點(diǎn)G,連接DG,

貝I]AG1AB,

因?yàn)锳GcAD=A,

所以A8_L平面ADG,

過點(diǎn)3作所于點(diǎn)X,連接C8

貝1|AB_L平面BCH,

因?yàn)镋AD,FBC均為正三角形，邊長相等，

所以羨除ABCDEF被分割為三棱柱ADGBCH和兩個相同的三棱錐EADG和FBCH,

其中BG=P8=1,GH=AB=CD=2,

由勾股定理可得：AG=DG=BH=CH=y[3,

取中點(diǎn)連接GM,則GMLAZ),

由勾股定理得：GM=VT4=V2,

則SAOGMSscHMqAO.GMn四

所以V^.BCH=SADG,GH=2垃,VE_ADG=VF_BCH=^SADG-EG=^-

故羨除ABCDEF的體積為2夜+迪=曳2

33

H

￡

故選：B

7.（2022?廣東韶關(guān)?二模）對24小時內(nèi)降水在平地上單位面積的積水厚度（mm）進(jìn)行如下規(guī)定:

積水厚度區(qū)間[0.1,10.0)[10.0,25.0)[25.0,50.0)[50.0,100.0)

級別小雨中雨大雨暴雨

小明用一個圓臺形容器（如圖）接了24小時雨水，則這天的降雨屬于哪個等級（）

160mm-----?

'80mm1

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

【答案】B

【解析】由題意知降雨量是雨水的體積除以容器口面積，

因?yàn)閳A臺形容器中水的高度為圓臺形容器高度的一半,

且下底面半徑是40mm,上底面半徑是80mm,

可得圓臺中雨水的上底面半徑是"紗=60mm,

2

所以雨水的厚度為

；X602+^-X402+A/?X6()2X?X4()2)X60

=23.751nm'是中雨,

71xSO2

故選:B.

8.（2022?江蘇南京?模擬）足球運(yùn)動成為當(dāng)今世界上開展最廣、影響最大、最具魅力、擁有球迷數(shù)最多的

體育項(xiàng)目之一，2022年卡塔爾世界杯是第22屆世界杯足球賽.比賽于2022年11月21日至12月18日在

卡塔爾境內(nèi)7座城市中的12座球場舉行.已知某足球的表面上有四個點(diǎn)A,B,C,。滿足

AB=BC=AD=BD=CD=V2dm,二面角A—8D—C的大小為丁，則該足球的體積為（）

7屈力」3口35缶,3c14%八3八32缶,

AA.-------dm3B.---dm3C.——dmD.---dm33

27272727

【答案】A

【解析】根據(jù)題意，三棱錐A-BCD如圖所示，圖中點(diǎn)。為線段8。的中點(diǎn)，分別是線段AO,CO上靠

近點(diǎn)。的三等分點(diǎn)，

因?yàn)锳B=3C=4。=3。=CD=0dm,

所以AABD和—CBD均為等邊三角形，

因?yàn)辄c(diǎn)。為線段BO的中點(diǎn)，

所以AO_L5r）,CO_LBr>,

27r

所以NAOC為二面角A—BD—C的平面角，所以NAOC=y,

因?yàn)锳ABD和一CBD均為等邊三角形，點(diǎn)。為線段的中點(diǎn)，

所以AO,CO分別為△ABD和_CBD的中線，

因?yàn)榉謩e是線段AO,CO上靠近點(diǎn)0的三等分點(diǎn)，

所以N,M分別為AABD和二CBD的外心，

過分別作平面9和平面C3D的垂線EN,EM,交于點(diǎn)￡,則點(diǎn)E為三棱錐A-BCD外接球的球心，

即為足球的球心，所以線段班為球的半徑，

因?yàn)锳O_LflD,CO_LBD,AB=BC=AD=BD=CD=>/2dm,

所以AO=CO=9dm,則NO=A/O=^dm,

26

因?yàn)锳O=CO,EO=EO/ENO=NEMO=90°,

1TT

所以AENOmAEMO,所以N￡CW=NEMO=—/AOC=—,

23

在直角△￡MO中，EM=OMtm-=—,

32

因?yàn)镋M_L平面3CD,BMu平面BCD,

所以

因?yàn)榧邮荂BD的外心，所以BM=@,

3

所以EB=JEV+BW

44

所以V=—萬?防3二一〃71，

33

所以足球的體積為2萬dm,

27

故選：A

9.（2022?河北唐山?三模）（多選題）已知圓柱的上、下底面的中心分別為。，0',其高為2,ABC為圓

。的內(nèi)接三角形，5.ZBAC=60,BC=3,P為圓O'上的動點(diǎn)，貝U（）

A.若尸3,平面A3C,則二棱錐尸-ABC外接球的表面積為167t

B.若PALBC,則AB=AC

C.三棱錐尸-ABC體積的最大值為更

2

D.點(diǎn)A到平面尸3c距離的最大值為逆

2

【答案】ACD

【解析】對于A,取OO'的中點(diǎn)易得MA=MB=MC=MP,則M為三棱錐尸-ABC外接球的球心，

3

在，ABC中，由正弦定理得2O'A=,無…=正=2”,所以04=6，

smDBAC——

2

又0'知=；。。'==1,所以AM=J卜用2+1=2,所以三棱錐尸—ABC外接球的表面積為4兀"=16兀.故A

正確;

對于B,過尸過尸。,平面A3C,垂足為。，連A。,

則又因?yàn)镻ALBC,PAPQ=P,所以3CL平面PA。，所以BCLA。，只有當(dāng)A。經(jīng)過2C

的中點(diǎn)時，才有AB=AC,故B不正確；

對于C,在A3c中，由余弦定理得Be?=AB2+AC2_2AB.AC-COS60

=AB2+AC2-ABAC=（AB-AC）2+ABAC,

所以9=（A2-ACy+ARACtAHAC,即AB-ACW9,當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC時，等號成立，所以

=-AB-AC-sin60<lx9x^=^

224

所以三棱錐P-MC體積的最大值為上學(xué)、2二亭.故C正確;

對于D,設(shè)點(diǎn)A到平面P3C距離為〃，則匕一詠△詠=57.；.2-3=/7,

因?yàn)樨癙BC=LABCW垣，所以〃4地，即點(diǎn)A到平面PBC距離的最大值為主叵，故D正確?

故選：ACD

10.（2022?福建三明?模擬）（多選題）已知棱長為4的正方體48CD-A4GR中，AM=〈AB,點(diǎn)P在

正方體的表面上運(yùn)動，且總滿足MPMC=0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.點(diǎn)尸的軌跡所圍成圖形的面積為5B.點(diǎn)尸的軌跡過棱40上靠近4的四等分點(diǎn)

C.點(diǎn)P的軌跡上有且僅有兩個點(diǎn)到點(diǎn)C的距離為6D.直線gG與直線所成角的余弦值的最大值為

3

5

【答案】ACD

【解析】如圖,

過點(diǎn)M作MF//AA，在AD上取一點(diǎn)N,使ACV_LMC,連接NC,EC,FC,

過點(diǎn)N作NE//AA，連接所，易代MFHNE,：.E,￡M,N四點(diǎn)共面；

又?MF1MC,MNMF=M,

面MA好，即點(diǎn)尸的軌跡為矩形（不含點(diǎn)時）,

設(shè)4V=x,則跖V=&+i又MC=yjMB2+BC2=5

NC=^ND2+DC2=J（4-x『+16

:.MN2+MC2=NC2解得X=-,即3=3；.MN=*,NC=電

4444

對于A,矩形MNEF的面積為：S=MN-MF=-x4=5,A正確；

4

3

對于B,\E=AN=—,B錯誤；

對于c，CF=yjMC2+MF2=741

（5而一

在Rt_CMN中,C到MN的距離范圍是：5,^—

I4」

上存在一點(diǎn)到點(diǎn)C的距離為6；

在皿,CWF中，C到叱的距離范圍是：（5,歷］

上存在一點(diǎn)到點(diǎn)C的距離為6；

但在RfCNE、RtCEF中不存在到點(diǎn)C的距離為6的點(diǎn)，C正確；

對于D,直線B?與直線MP所成的最小角就是直線與平面MNEF所成的角,

4G//5C.?.直線3G與平面MVEF所成的即是直線3c與平面MVEF所成的角,

延長NM,CB交于點(diǎn)G,則ZMGB即是直線5c與平面MNEF所成的角，

AN_AM,G*

AN//GB

~GB~HB

MC43

在必JWGC中，sinZMGC=——=-cosZMGC=-,D正確;

GC55

故選：ACD.

11.（2022?山東聊城?三模）（多選題）在直四棱柱ABCO-ABGR中，所有棱長均2,44￡>=60。，P為CG

的中點(diǎn)，點(diǎn)。在四邊形。eq，內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動，下列結(jié)論中正確的是（）

A.當(dāng)點(diǎn)Q在線段CR上運(yùn)動時，四面體ABP。的體積為定值

B.若AQ〃平面A2P,則A0的最小值為止

C.若△A3。的外心為〃，則4知為定值2

D.若AQ=a，則點(diǎn)。的軌跡長度為整

【答案】ABD

【解析】對于A,因?yàn)?B//DC，又因?yàn)锳Bu面45尸，2cz面ABP,所以〃面ABP，所以直線C。

到平面的距離相等，又.48尸的面積為定值，故A正確;

對于B,取r>2，DC的中點(diǎn)分別為M,N,連接AM,肱V,AN,

則易證明：AM!/PC,面A2P,PC<z面48尸，所以AM〃面48尸,

又因?yàn)?引/MN,,W面ABP,42。面ABP，所以肱V〃面ABP,

MNcAM=M,所以平面〃面AACV,AQu面AAW,所以AQ〃平面人田尸

當(dāng)AQ_LMN時，A。有最小值，則易求出AM=^,MN=0,

AN=AD2+DN--2AD-DA^cos120°=14+1-2x2xlx幣,所以0M重合，所以則A。的最小值

為AM=有,故B正確;

對于C,若△ABQ的外心為〃，，過M作于點(diǎn)H,"3+22=20

則A3.故c錯誤;

小

TT

對于D,過A作于點(diǎn)。，易知A。，平面CQD,0A=ARCOS1=1

在。2,2￡上取點(diǎn)4，4,使得AA=g,AA=I,則44=44=5/7,OA,=o4=^/7=5=2

所以若AQ=V7,則。在以。為圓心，2為半徑的圓弧44上運(yùn)動，

又因?yàn)椤?=1，44=6，所以/4°4=（，則圓弧44等于號，故D正確.

故選：ABD.

12.（2022?湖北?武漢二中模擬）勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉(zhuǎn)動,

并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點(diǎn)為球心，

以正四面體的棱長為半徑的四個球的公共部分，如圖所示，若正四面體ABC。的棱長為a,則（）

A.能夠容納勒洛四面體的正方體的棱長的最小值為a

B.勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為a

C.勒洛四面體的截面面積的最大值為:（2兀-6）/

D.勒洛四面體的體積坐/

12o

【答案】AD

【解析】由題意知：勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間距離為。，故A正確；

勒洛四面體能容納的最大球，與勒洛四面體的弧面相切，如圖1,其中點(diǎn)E為該球與勒洛四面體的一個切點(diǎn),

0為該球的球心，易知該球的球心0為正四面體ABC。的中心，半徑為0E,連接BE,易知三點(diǎn)共線,

設(shè)正四面體ABC。的外接球半徑為乙則由題意得：

且小“，解得:戈

v——a，

33

\7\74

所以BE=a,OB=^

易知OE=a—a，故B錯誤;

圖1

勒洛四面體最大的截面即經(jīng)過四面體48C。表面的截面，如圖2,

則勒洛四面體截面面積最大值為三個半徑為。，圓心角為60。的扇形的面積減去兩個邊長為。的正三角形的

面積，艮P3X：71Q2-2X卜一道）標(biāo),故c錯誤；

勒洛四面體的體積介于正四面體ABCD的體積和正四面體ABC。的外接球體積之間,

正四面體底面面積為42,底面所在圓的半徑為=故正四面體的高為A/6

—a,

3

所以正四面體ABC。的體積匕工卻乂兒二鼻,

134312

設(shè)正四面體ABC。的外接球半徑為小則由題意得:

A/6

----a—r\+—u—r,角牛倚：—a,

〔3）[3J4

所以外接球體積％=色/

28

所以勒洛四面體的體積Ve1/,鋁々3,口正確.

12o

故選：AD

13.（2022?湖南常德?一模）已知A,B,C,￡）是球。的球面上的四點(diǎn)，3。為球。的直徑，球。的表面積為16萬,

且ABLBC,AB=BC=2,則直線A。與平面ABC所成角的正弦值是.

【答案】逅

3

【解析】依題意，。是8。中點(diǎn)，取AC中點(diǎn)。一延長至E,使。E=BQ,連接OQ,DE,AE,CE,如

則有DE//。?！浚宜倪呅蜛BCE是平行四邊形，AE=BC=2,

因則。1是平面ABC截球。所得截面小圓的圓心，于是得平面ABC,DEL平面ABC,

因此，NZM￡■是直線AD與平面A5C所成角,

由球。的表面積為16萬得球半徑Q4=2,而45=30=2,則AQ=VL而。。_LAC,

從而得oq=0,DE=200、=2近,RtaADE中，AD=ylAE2+DE2=273-sinZDAE=器=坐，

所以直線AD與平面ABC所成角的正弦值是逅.

3

故答案為：漁

3

14.（2022?廣東?普寧市華僑中學(xué)二模）如圖，直三棱柱A8C-A4G，△A2C為等腰直角三角形，AB1BC.

且AC=AA/=2,E,尸分別是AC,A/G的中點(diǎn)，。為44/的中點(diǎn)，則四棱錐。防FE的外接球表面積為

【答案】5兀

【解析】記BREBi的交點(diǎn)、為O,取EF的中點(diǎn)G,連接。G,GD,OD.

;直三棱柱ABC-AB|G中，E,尸分別是AC,A/G的中點(diǎn)，

跖_L平面ABC,，EF±BE.

AABC為等腰直角三角形,E是AC中點(diǎn)，

AC±BE,

*/AC-EF=E,

平面ACGA

"?BEu平面BEFBi

平面BEFB」平面ACCiAi.

?.?。為A4/的中點(diǎn)2C=AA/=2,

AOG±GD,且DG=1,OG=1,

/.OD=y]OG2+GD2=—.

2

由矩形的性質(zhì)知OB=OE=OF=OB.=—,

12

令四棱錐DBBiFE的外接球半徑為R,則R=1,

2

其表面積為S=4萬R2=5n.

故答案為:5%

15.（2022?江蘇?南京市第五高級中學(xué)模擬）已知圓錐頂點(diǎn)為P