第6講基本不等式

鏈教材夯基固本

激活思維

1.(人A必一P48習(xí)題Tl(l)改)已知x>l,則xH■-匚的最小值為(C)

X—1

A.1B.2

C.3D.4

【解析】因為％>1,所以1—1>0,所以'+二一=(%—1)+—1一+122、?——

X—1%—1\]X—1

+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)x—1=工，即x=2時等號成立，此時x+,取得最小值3.

X—1X~1

2.(人A必一P48習(xí)題Tl(l)改)若函數(shù)義x)=x+二一(x>2)在x=a處取最小值，則

%—2

實數(shù)。=（C）

A.1+/B.1+3

C.3D,4

【解析】當(dāng)x>2時，x—2>0,外）=（尤一2）+:+2N2'；（x—2>±+2=4,當(dāng)且

x2x2

僅當(dāng)X—2=’（x>2）,即x=3時取等號，即當(dāng)取得最小值時x=3,即0=3.

x~2

3.（多選）已知〃，b￡R,則下列不等式成立的是（BD）

22

Aa+b、r~,—a-\-b^a~\~b

A.------力7abB.-------/---------------

22\l2

-lab—a+b-一層+爐

i-----------------------------------I1cA7-------------------

【解析】對于A,由選項可知。與6同號，當(dāng)。>0且6>0時，由基本不等式可知

士》麗恒成立；當(dāng).<0且6<0時，*<0,，正>0,該不等式不成立，故A錯誤.對

22

于B,當(dāng)a+b>0時,

一(“―6)2?0恒成立,即士乙士方恒成立；當(dāng)a+bWO時，原不等式恒成立，故B

422

正確.對于C當(dāng)“+6>。時，皿一丁=「W。，即皿〈?，

恒成立；當(dāng)0+6<0時，2成一…'=二^型W0,即2/日》士，故c

222a~\~b2

〃2+.2

錯誤.對于D,由重要不等式可知，a,b￡R,仍恒成立，故D正確.

2

4.(人A必一P49習(xí)題T5改)已知x>0,則2—3X一4的最大值是上皿棄.

X

【解析】因為x>0,所以2—3x—4=2—bx+Jw2—2^/31工=2—473,當(dāng)且僅當(dāng)

X\1X

3x=-,即、="^時等號成立.

x3

5.(人A必一P48練習(xí)T2改)用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，

墻長18m,當(dāng)這個矩形與墻相對的一邊長為些m時，菜園面積最大，最大面積是—n?.

一一~2~

【解析】設(shè)矩形與墻相對的一邊長為、1)1(0<%<18),另一邊長為>111,菜園面積為Sm2,

k+2葉2

貝I%+2)=30,3=初=1%?2>《42J當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,即x=15,>="時

222422

等號成立.

聚焦知識

1.基本不等式

基本不等式：(條件：一正二定三相等)

2

(1)基本不等式成立的條件：a>Q,b>0.

基本不等式(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)金瓦時取等號.

(3)其中叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù)，yfab叫做正數(shù)a,b

~2~-----

的幾何平均數(shù)

(4)x,y>0,由x+y22yxy,知若積孫=P(定值)，則當(dāng)x=>時，

和x+y有最小值_2、叵；

利用基本不等

(5)x,y>0,由x+y與2詬，矢口若和x+y=S(定值)，則當(dāng)x=y

式求最值

時，積盯有最大值_曰_

已知q,x,b,若QX+勿=1,則有：

“1”的代換1+1=（辦+力）［+J=q+6+?+*三Q+6+2\/^=2

xyxy

2.常用不等式鏈

2l挈，勺立，當(dāng)且僅當(dāng)。=6時等號成立，其中i1

如果a>0,b>0,貝1J〕1

abab

是a,b的調(diào)和平均數(shù)，、史事

'-a,6的平方平均數(shù).

研題型素養(yǎng)養(yǎng)成

舉題說法

目幀u利用基本不等式求最值

視角1直接求最值

例1-1(1)函數(shù)了二工后彳2的最大值為

【解析】由1—爐、0知一IWXWI.當(dāng)0<x<l時，xVl^x2=yjx\1-X2)<x2+~x2)=

當(dāng)且僅當(dāng)苫2=1—/，即工=也時等號成立；當(dāng)x=0或x=±l時，匚艱=0；當(dāng)一IVx

22

<0時，.綜上所述，匚x2的最大值為

2

(2)己知正實數(shù)°,6滿足成=1,則a+4b的最小值等于_4_.

【解析】。+46221力=2\，4=4,當(dāng)且僅當(dāng)。=46,即a=2,時等號成立，則a

2

+46的最小值為4.

視角2配湊法求最值

例1-2(1)若則x+一^的最小值為復(fù)里.

33x-l-3一

【解析】因為X>』，所以3x—1>0.由基本不等式可得x+^^=l(3x—D+—

33x—133x—1

A(3X-1)-^—+-=2^1,當(dāng)且僅當(dāng)為匚=一時，即當(dāng)時等

3\/33x—13333x—13

號成立.故x+一^的最小值為"±1

3x—13

(2)已知正實數(shù)a,6滿足4a2+〃=2,則的最大值為

【解析】。?4再1=120?4"細(xì)士尤里=3,當(dāng)且僅當(dāng)20=741,即。=水,

22244

6=也時取等號.

2

變式1-2若x<0,則尤顯的最大值是(B)

X—1

A.2B.-2

C.4D.-4

【解析】因為x<0,所以1—x>0,所以UXT)2+2(L1)+4=XT+^+2

X—1X—1X-1

.1—1+2W—2A/^+2=—2,當(dāng)且僅當(dāng)1—x=一~一,即x=—1時等號成立.

1—x

視角3常值代換法求最值

例1-3(1)已知a>0,b>0,當(dāng)xG(O,+8)時,不等式(x+6—l)-lg為WO恒成立，

X

貝的最小值為(c)

ab

A.2+4也B.6+2仍

C.8D,9

【解析】由題知，當(dāng)》+6—1》0時，1g乃W0恒成立，且當(dāng)x+6—1W0時，lg"》0

XX

恒成立，即當(dāng)b時，X》2Q恒成立，且當(dāng)b時，0<xW2q恒成立，因此2〃或1

—6且2Q11—b,所以2a=l—b,即2Q+6=1.于是1+2=(2。+6)(+j=4+0+曲24+

abab

2、/④=8,當(dāng)且僅當(dāng)介=頡，即b=2a=1時取等號，所以工+?的最小值為8.

\]abab2ab

(2)已知a>一2,h>Q,a+2b=3,則區(qū)士任^+，的最小值為(B)

a+2b

A.4B.6

C.8D.10

【解析】因為。>—2,b>0,所以。+2>0.因為。+26=3,所以(〃+2)+26=5,所

,3—??3tz+6?5

2a~\----------F4?----------1"一《c?2

2a+b+4.5222+9=5——^-+-=5+13

]以Sj——廠

。+2b。+2ba+2b2(?+2)b2

i____i/—―—

+2)+26}L(a+2)/J+-=~+—+4^2A~^.0±2L+4=6,當(dāng)且僅當(dāng)

2Q+2ba+2b

b_a-\-2]

a+2b，a=~3*9

(a+2)+26=5,即.5時等號成立，故笆土山+?的最小值為6.

b=~Q+2b

a>—2,3

b>0,

變式1-3已知a,b>0且a+6=3,則的最小值為也.

a+16+1一￡一

【解析】因為。，6>0且a+b=3,所以(a+1)+(6+1)=5,所以

a+1b+l

99(/>+1)a+11a-Li/9(b+l)a+l

119+14-----------1-------i9十1十2、/---------------------

gl/z+16+lJ[(a+l)+(6+l)]=；LQ+16+1」2-\]a-\-16+1=

5

漁，當(dāng)且僅當(dāng)％±D=占即6=1,a=U時取等號，所以的最小值為邁.

5tz+1b+l44a+\b+l5

視角4消元法

例1-4若a>0,b>0,且仍=a+b+l,則a+86的最小值為(C)

A.15B.8+4也

C.17D.6+4^2

【解析】因為06=。+6+1,所以a（6—1）=6+1,其中6W1,所以。.又因為。

>0,b>0,所以6—1>0,則a+86=^^+86=^-■F86+1--F8(Z>-1)+

b~lb~lb-1

9三21一18(6—1)+9=17,當(dāng)且僅當(dāng)總=8(6—1),即時等號成立，所以。+86的

最小值為17.

變式1-4已知正實數(shù)x,y滿足N+3盯一2=0,則2x+＞的最小值為（A）

A..8.遮

33

C.-D.-

33

【解析】因為正實數(shù)x,＞滿足N+3孫一2=0,貝Uy=2—與則2x+y=2x+2—工=皇

3x33%33

+2,2\沔^=區(qū)叵，當(dāng)且僅當(dāng)皇=2,即》=應(yīng)，了=小叵時等號成立，所以2x+y的

3x\33x333x5-15

最小值為也.

3

目幀已基本不等式的綜合應(yīng)用

視角1基本不等式常見變形及其應(yīng)用

例2-1（2024?蚌埠四檢）已知加＞0,n＞0,則下列選項中，能使加+2〃取得最小值

18的為（B）

A.YYITI~~32B.m-\-^n—mn

C.m2+8z?=68D.加2+4/=162

【解答】對于A,由冽＞0,〃＞0可知,機(jī)+2〃22A/2嬴=16,當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=2〃時等號

Q1

成立，最小值不是18,故A不正確；對于B,若加+8〃=冽幾，兩邊除以加幾得，—I■-=1,

mn

則加+2〃=（冽+2〃）（+j=10+/^+%三10+241^=18,當(dāng)且僅當(dāng)/^=%=4,即加=12,

mnmn

〃=3時等號成立，故冽+2〃的最小值是18,故B正確；對于C,由加?+8〃=68,得〃=—

故加+2〃=冽+2[8冽+2]=—1/+冽+17,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)加=2

824

時，冽+2〃的最大值為18,故C不正確；對于D,m2+4?2=162,則當(dāng)冽=3/，〃=6時，

冽+2〃=12+3也V18,故冽+2〃的最小值不是18,故D不正確.

視角2利用基本不等式解恒成立問題

112

例2-2已知x>0,y>0且-xVyV2x,x+y=3.若------\--------2a恒成立，則實數(shù)Q

22x—y2y—x

_83+2隹

的取值范圍是.

1

【解析】若」2一、.又」2

2a怛成立，則,y2yM—xJ

2x—y2y-x2x~y2y-x

-min

'2y~x2(2x-y)

13?12(2x-y)

12y-x」三;二3+2A

31口?-72x~y2x~y2y-x_

3

3+2出當(dāng)且僅當(dāng)空H=2(2x—y),即苫=/，＞=3—也時，等號成立，所以。忘上也

32x—y2y-x3

_83+2也一

即實數(shù)。的取值范圍是I

〈總結(jié)提煉〉

分離參數(shù)是處理此類問題的首選方法，一般轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值或轉(zhuǎn)化為求某個函

數(shù)的最值問題.

變式2-2若正實數(shù)x,y滿足1+4=1,且不等式加2-3%恒成立，則實數(shù)加的

y4

取值范圍是(C)

A.(-4,1)

B.(—8,—1)U(4,+°0)

C.[-1,4]

D.(—8,—1]U[4,+°0)

【解析】由正實數(shù)x,y滿足1+4=1,得x+'=1+4)[+J=2+蟲+工22+21g上

xy4y4xy4x

=4,當(dāng)且僅當(dāng)蟲=工，即x=2,y=8時等號成立，此時x+2取到最小值4.要使不等式x+

y4x4

，2加—3加恒成立，則〃產(chǎn)一3?JW4,解得一.所以實數(shù)機(jī)的取值范圍是[—1,4].

4

視角3實際應(yīng)用問題

例2-3如圖，某房地產(chǎn)開發(fā)公司要在矩形地塊ABCD上規(guī)劃出一塊五邊形ABCEF地

塊建造住宅區(qū).住宅區(qū)不能占用文物區(qū)，文物區(qū)可看作以/MPN為直角的等腰直角三角形

PMN,設(shè)計時過尸作了一條直線￡尸，與CD交于點(diǎn)E,與ND交于點(diǎn)E由實地測量知/3=

240m,40=180m,DM=MN=60m.

(例2-3)

(1)設(shè)C￡=xm,將住宅區(qū)的面積S表示為x的函數(shù)，并注明定義域；

【解答】如圖，過點(diǎn)尸作尸0LCD,垂足為。.在等腰直角三角形PW中，PQ=QM

=30,?！?240—刈0￡=150—乂由尸0〃?！?，得竺=皿，即迎=應(yīng)匕，故。尸=型型二

DFEDDF240—x150—%

15(24X)2

所以S△0產(chǎn)上見。歹=l"240f)2,所以S=SCD-S=43200-°-,X^(0,

2150—x150—x

120].

F

A

(例2-3答)

（2）應(yīng)如何設(shè)計，可使住宅區(qū)N3CM的面積最大？并求出最大面積.

【解答】令/=150—xG[30,150）,則S=43200—及吐獷=43200—

t

C+^+1801卜8。+2、沔㈣上口…m4

15ltJW43200—15Xl\]tJ=37800,當(dāng)且僅當(dāng)t=90,即x=60時,

取“=”.答：當(dāng)CE=60m時，住宅區(qū)/2CE廳的面積最大，且最大值為37800m2.

隨堂內(nèi)化

1.（2024?鎮(zhèn)江期初）已知正數(shù)a,6滿足a+6=l,貝卜+^的最小值為（D）

A.6B.7

C.8D.9

【解析】因為正數(shù)a,6滿足a+6=l,所以?=C/J（a+&）=5+-+^^5+

abab

2、口^=9,當(dāng)且僅當(dāng)包二曲，即a=!,6=2時取等號.

\labab33

2.（2024?嘉興二模）若正數(shù)x,y滿足/-2盯+2=0,則的最小值是（A）

C.2啦

【解析】由X2—2孫+2=0可得>=工+1,所以+~豆1=?,

2x2x2x\12x

當(dāng)且僅當(dāng)盤=1,即x=#時等號成立，此時y=墟>0符合題意.所以x+y的最小值為市.

2x33

3.（2024?蘇中蘇北七市二調(diào)）設(shè)x>0,y>Q,2y=2,則了+1的最小值為（C）

【解析】因為」+2/=2,所以工+了=1.因為x>0,y>0,所以x+1=

x2xy

1

孫=「，

1l=+Xy++2Xy1

1

2xyl^2N'2xy2:+尸

■1+電

x=--------,

即,2時取等號.

y=2—\[2

4.（2025?佛山禪城一調(diào)）（多選）已知a>0,b>0,且ab=a+26+6,貝U（ACD）

A.ab的最小值為18

B./+〃的最小值為36

c.2+1的最小值為:

ab3

D.a+b的最小值為3+4/

【解析】對于A,由于a6=a+26+622/力+6,即（、lab—3也）（包正+也）20,

則加力3啦，即MN18,當(dāng)且僅當(dāng)a=26=6時等號成立，所以"的最小值為18,故A正

確；對于B,由/+6222"236,當(dāng)且僅當(dāng)a=6且a=26時等號成立，顯然不能同時成立,

取不到等號，故B錯誤；對于C,因為必=。+26+6,所以？+1=社絲=如*=1—

abababab

當(dāng)且僅當(dāng)a=26=6時等號成立，即2+1的最小值為2,故C正確；對于D,因為

183ab3

tz>0,b=a+6>0,所以a>2,所以Q+6=Q+生上—2H--—,+3^2A（a—2）,―--+3

a—2a—2a—2\]a—2

=4\2+3,當(dāng)且僅當(dāng)Q—2=一-一,即a=2+2/，6=1+2他時等號成立，貝Uo+b的最小

a~2

值為3+4/，故D正確.

配套精練

A組夯基精練

一、單項選擇題

1.（2024?臨汾三模）若OVxVl,貝/十——的最小值是（D）

x1—X

A.1B.4

C.2+2/D.3+2也

【解析】因為0<x<l,所以1—x>0,貝pH■—=^"^1—x]-[x+（l—x）]=3+-—-+

X1—XX

—>3+2^2,當(dāng)且僅當(dāng)口=2,即x=g—1時等號成立，此時1+工取得最小值3

1—XX1—XX1—X

+2也.

2.（2024?漳州四檢）設(shè)a>0,b>0,且“+26=1,則logza+logzb的（C）

A.最小值為一3B.最小值為3

C.最大值為一3D.最大值為3

【解析】因為。>0,b>0,且a+2b=1,所以。+2人22/i,即仍W1，當(dāng)且僅當(dāng)a

8

=26=1時取等號，所以log2tz+log2Z>=log2（ab）Wlog?-=-3,即log2〃+log2bW—3.

28

3.（2024?韶關(guān)二模）在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量少（單位：平方米）的計算公

式是獷=（長+4）X（寬+4）,在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場地的面積是10

000平方米，每平方米收費(fèi)1元，則估算平整完這塊場地所需的最少費(fèi)用（單位：元）是

（C）

A.10000B.10480

C.10816D.10818

【解析】設(shè)矩形場地的長為x米，則寬為納咽米，少=（x+4）f等+4）=4x+弛咽

XX

+10016,2、?幽咽+10016=10816,當(dāng)且僅當(dāng)以二歿姻，即x=100時等號成立.所

XX

以平整這塊場地所需的最少費(fèi)用為1X10816=10816元.

110

4.已知1>0,y>0，且----1--=-，若x+y>冽2+3冽恒成立，則實數(shù)冽的取值范圍

x+2y3

是（C）

A.（-4,6）B.（-3,0）

C.（~4,1）D.（l,3）

【解析】因為x>0,y>0,且一;一+1=2,所以x+2+y=3（x+2+y）[+2J=

x+2y32

「+上+業(yè)+1]CG,x+21x+2

-Ix+2yJ2dl\Jx+2y）=6,當(dāng)且僅當(dāng)+=-即y=3,x=l時取

22x+2y

等號，所以.因為x+y>加2+3冽恒成立，所以冽2+3冽<4,即（冽一1）（冽+4）<0,解

得一4〈冽VI.所以實數(shù)冽的取值范圍是（一4,1）.

5.（2025,寧波模擬）若不等式（7—QX—1）（%—6）與0對任意的％>0恒成立，則層+加的最

小值為（A）

A.2^2-2B.2

C.2也D,2^2+2

【解析】由題意可得，需滿足X=6是/一辦一1=0的一個根，即一1=0,且6

>0,所以Q=6—1,原+尻:卜j+爐=2/+』一2三2也一2,當(dāng)且僅當(dāng)2爐=4，即6=

bb2b1

—i時取等號，所以小十〃的最小值為2也—2.

二、多項選擇題

6.(2024?南京、鹽城一模)已知x,y^R,且12*=3,12，=4,貝！|(ACD)

A.y>xB.x+y>1

C.孫D.心+心〈也

【解析】因為⑵=3,所以x=logi23,同理>=logi24,因為｛x)=logi加在(0,+°°)

上單調(diào)遞增，故y>x,故A正確；因為x+y=logi212=l,故B錯誤；因為x〉0,〉〉0,

所以刈2]=；,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時等號成立，Wx<y,故故C正確；(心十小尸

=x~\~y~\~2\Jxy—1+2^/^<2,即故D正確.

7.(2025,肇慶一模)設(shè)正實數(shù)冽，〃滿足冽>〃，且冽+2幾=4,則下列說法正確的是

(AC)

Yl-1-2Yl

A.|m-4|+2|?-4|=8B.-------<-

m+2m

C.mn的最大值為2D,m2+n2的最小值是4

【解析】對于A,0V〃<加<4,故]冽一4|+2]〃一4|=4—加+2(4—九)=8,故A正確；

對于B,因為——口儂"+2)-"(加+2)=綱R>o,所以故B錯誤；對于

m+2mm(m+2)m(m+2)m+2m

2

=2,當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=2幾，即加=2,幾=1時，等號成立，故

22

正確；對于因為m〃所以22222〃，

CD,m=4—2,m+?=(4—2n)-\-n=5n—16+16=5^5)+/

故當(dāng)〃=%加=：時，冽2+"有最小值],故D錯誤.

8.(2024?隨州5月模擬)設(shè)正實數(shù)56滿足Q+Z>=1,則下列結(jié)論正確的是(ACD)

A.1+1有最小值4B.痂有最小值1

ab2

C.心十心有最大值也D.Q2+62有最小值1

2

【解析】對于A,因為正實數(shù)a,b滿足。+6=1,所以1+：=(a+6)匕+力=2+1”2

abab

+2AFT=4,當(dāng)且僅當(dāng)即a=b=l時取等號，因此A正確；對于B,因為正實數(shù)a,

\]abab2

6滿足a+b=l,所以1=。+6》24^,所以當(dāng)且僅當(dāng)。=6=1時取等號，即有

22

最大值1,因此B不正確；對于C,因為正實數(shù)。，6滿足。+6=1,所以

2

也，所以4+也Wg,當(dāng)且僅當(dāng)a=6=L時取等號，

2\12\1222

因此C正確；對于D,因為正實數(shù)a,6滿足。+6=1,所以、修土丘，&=1,所以/

V222

+b2^-,當(dāng)且僅當(dāng)a=6=1時取等號，因此D正確.

22

三、填空題

9.已知a>0,b>0,且a6=a+b+3,則a+6的最小值為_6_.

【解析】因為ab=a+b+3W((a+6)2,所以(a+6)?—4(a+b)—1220,即(a+6—6)(a

+6+2)20,解得a+626或a+6W—2.因為a>0,b>0,所以a+626(當(dāng)且僅當(dāng)a=6=3

時取等號).

10.若。>0,b>0,a+b=9,則變+“的最小值為上.

ab

【解析】—+-=^^+-=4+—+-^4+2A/^=8,當(dāng)且僅當(dāng)。=6,6=3時取

ababab\lab

等號，故至的最小值為8.

ab

11.(2024?湛江一模)已知仍>0,a2+ab+2b2=\,則。2+2按的最小值為

【解析】因為仍>0,02+262三2也"(當(dāng)且僅當(dāng)。=偵6時取等號)，所以匹/]?

=當(dāng)a2+2b2),則1=/+仍+2〃W02+2b2+：(02+2%=+2b2),得序+

二方=七產(chǎn)，所以a2+2b2的最小值為紇

4

四、解答題

12.已知a,b為正實數(shù)，且4a2+〃=2.

(1)求ab的最大值及此時a,6的值；

【解答】由不等式4a2+尻24"，解得abwL當(dāng)且僅當(dāng)2a=b=l時取等號，所以成

2

的最大值為1,此時a=I,6=1.

22

(2)求a/HT2的最大值及此時a,b的值.

【解答】由4層+62=2,得4層+(1+62)=3.由4/+(1+62)22詬2：(1：工2)=4〃4「工2,

得小1不二,當(dāng)且僅當(dāng)4a2=1+〃，即0=?,6=也時取等號，所以百的最大值

442

為3,此時°=遍，6=也.

442

13.已知a>l,b>2.

11

(1)若俗一1)3—2)=4,求-的最小值及此時4,b的值;

a~1b~2

【解答】因為0>1,6>2,所以a—1>0,6—2>0,所以-

a—140

=1,當(dāng)且僅當(dāng)4=3,6=4時等號成立，所以‘的最小值為1,此時a=3,6=4.

a~\b-2

(2)若2a+b=6,求>+」一的最小值及此時a,b的值;

a-\b~2

A—711

【解答】由2a+b=6,得2(Q—1)+(6—2)=2,所以(Q—1)H—--=1,所以

a~1b~2

z116—2

(〃T)H--3_1_Q—1?b—2>3+2也

二一