初三年級(jí)數(shù)學(xué)限時(shí)練習(xí)試卷

一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分.）

1.已知一元二次方程/一＞=°,它的解是（）

A.0B.1C.0,-1D,0,1

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查解一元二次方程-因式分解法，熟練運(yùn)用因式分解法解一元二次方程是正確解決本題的

關(guān)鍵.

將方程左邊分解因式得到1一口=°,再解兩個(gè)一元一次方程即可.

【詳解】解：『一1=0,

分解因式得x（x-l）=°,

..x-1-0,X=0,

解得占=L

故選D.

2.關(guān)于x的方程F-lv-加'=0（加為常數(shù)）的兩實(shí)數(shù)根之和是（）

A.2B.-2c.m1D.-m3

【答案】A

【解析】

b

【分析】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程的兩根之和等于3、兩根之積等于3是解

題的關(guān)鍵.

由根與系數(shù)的關(guān)系可直接求得玉+與=?.

【詳解】解：歷是一元二次方程/一2x-m2=0的兩實(shí)數(shù)根，

...X】+*2=-,

故選：A.

3.某商品單價(jià)經(jīng)過兩次降價(jià)從144元降至81元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x,則可列方程（）

A.144（1+x）2=81B.144（1-%）2=81

C.81（1+x）2=144D.81（1-%）2=144

【答案】B

【解析】

【詳解】利用經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格等于原價(jià)乘以（1-平均每次降價(jià)的百分率）的平方，即可得出關(guān)于

x的一元二次方程，此題得解.

【分析】解：依題意得：144（1-x）2=81.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

4.在某次比賽中，有10位同學(xué)參加了“10進(jìn)5”的淘汰賽，他們的比賽成績(jī)各不相同.其中一位同學(xué)要

知道自己能否晉級(jí)，不僅要了解自己的成績(jī)，還需要了解10位參賽同學(xué)成績(jī)的（）

A.平均數(shù)B.加權(quán)平均數(shù)C.眾數(shù)D.中位數(shù)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)中位數(shù)的特點(diǎn)，參賽選手要想知道自己是否能晉級(jí)，只需要了解自己的成績(jī)以及全部成績(jī)的

中位數(shù)即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，由于總共有10個(gè)人，且他們的成績(jī)各不相同，第5名和第6名同學(xué)的成績(jī)的平

均數(shù)是中位數(shù)，要判斷是否能晉級(jí)，故應(yīng)知道中位數(shù)是多少.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查中位數(shù)，理解中位數(shù)的特點(diǎn)，熟知中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)從小到大的順序依次排列，處在最

中間位置的的數(shù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）是解答的關(guān)鍵.

5.如圖，正方形EBCD、等邊三角形幺即內(nèi)接于同一個(gè)圓，則前的度數(shù)為（）

A.15?B.30°c.45。D,60°

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了正多邊形與圓，正方形及等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理和弧的度數(shù)，根據(jù)圓周角定

理求出礪所對(duì)的圓心角的度數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.

由/3.40=90°,/及60。，已知圖形是以正方形也00的對(duì)角線力。所在直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖

形，求得/&4E=15°,則礪所對(duì)的圓心角為30°,所以礪的度數(shù)為30°.

【詳解】解：?.?四邊形幺BCD是正方形，二頂是等邊三角形，

.-.Z5AD=90o,N及49?60°,

v已知圖形是以正方形E8CD的對(duì)角線力。所在直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，

ABAE=NDAF=ix（90°-60°）=15°

?;NR4豆是五方所對(duì)的圓周角，

???BE所對(duì)的圓心角等于？xl5°=30°,

礪的度數(shù)為30°,

故選B.

6.如圖，在一張RtZiSBC紙片中，乙4。3=90:5C=3,AC=4,。。是它的內(nèi)切圓.小明用剪

刀沿著0°的切線DE剪下一塊三角形4DE,則的周長(zhǎng)為()

A.4B.5C.6D,8

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)△月3c的內(nèi)切圓切三邊于點(diǎn)RH,G,連接。凡OH，OG,得四邊形OHCG是正方

形，由切線長(zhǎng)定理可知根據(jù)DE是OO的切線，可得MD=MF,EM=EG,根據(jù)勾股定

理可得出=5,再求出內(nèi)切圓的半徑2,進(jìn)而可得出的周長(zhǎng).

【詳解】解：如圖，設(shè)色45。的內(nèi)切圓切三邊于點(diǎn)尸、H、G,連接OF、OH、OG,

四邊形OHCG是正方形，

由切線長(zhǎng)定理可知所=月°,

?:DE是8的切線，

.-.MD=MF,EM=EG

■,-^ACB=9Q',BC-3,AC=4,

^AB=y/AC2+BC2=5,

?.?OO是乙.30的內(nèi)切圓，

=-(AC+BC-AB)=\

內(nèi)切圓的半徑2,

.?.CG=1,

/.AG=AC-CG=4-}=3,

:.LADE的周長(zhǎng)=AD+DE+AE=AD+DF+EG+AE=AF+AG=2AG=6.

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，勾股定理，切線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的性

質(zhì).

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分.）

7.寫一個(gè)一元二次方程，使它有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：（寫出一個(gè)即可）

［答案］a'+，+l=0（答案不唯一）

【解析】

【分析】本題考查一元二次方程的根與判別式的關(guān)系.根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根可知其判別

式為0,繼而即可求解.

【詳解】解：.??一元二次方程以+'"+c=0（。*°）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,

—4ac=0,

???符合題意的一元二次方程可以為：X’+X+1=°，

故答案為：/+2x+l=o（答案不唯一）.

8.若扇形的圓心角為60°,半徑為1,則扇形的弧長(zhǎng)為.

n

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：因?yàn)樯刃蔚膱A心角為60°,半徑為1,

Innr60^x1n

所以=180=180=1,

故答案為：3.

InTtr

【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是掌握弧長(zhǎng)公式：一五萬.

9.若圓錐的底面半徑為2,母線長(zhǎng)為5,則圓錐的側(cè)面積為.

【答案】10/

【解析】

【分析】本題主要考查了圓錐側(cè)面面積的計(jì)算，根據(jù)圓錐的側(cè)面積就等于圓錐母線長(zhǎng)乘底面周長(zhǎng)的一半,

依此公式即可計(jì)算，熟練掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積計(jì)算公式非H是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式：加“=兀*?'5=10"，

故答案為：10開.

10.如圖，八“是。。的直徑，弦。。于點(diǎn)E,AE=\,CD=4,則。。的長(zhǎng)為

J

【答案】2##2.5##2

【解析】

【分析】本題主要考查了勾股定理及垂徑定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.由垂徑定理得

1

CE=DE=2CD=2,設(shè)OC=r,則=。4-松=八一1,然后在及幾0。后中，利用勾股定理求

解即可得解.

【詳解】解：.?.弦⑵于點(diǎn)

1

.-.CE=DE=2CD=2,

設(shè)。。=r,則。E=r-1,

35

在RMOE中，（I）+2="解得,?=》

5

即。C的長(zhǎng)為2.

5

故答案為三.

11.若一元二次方程/一沖+1=0（根為常數(shù)）的一個(gè)根是x=2+相，則另一個(gè)根是.

【答案】x=2一相

【解析】

【分析】本題主要考查了一元二次方程，根與系數(shù)前關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程

bc

”/+w+[=°（"°）的兩個(gè)根*1,與，滿足"+“-二，根據(jù)-元二次方程根與系數(shù)

的關(guān)系得出巧=1,再根據(jù)一個(gè)根是X=2+6,求出另外一個(gè)根即可.

【詳解】解：設(shè)方程F-巾、+1=°的兩根為*1,占，

1

?.?一個(gè)根是x=2+后,

x=-!-==2-y/3

另一個(gè)根是2+J3

故答案為：x=2-J^.

12.某單位要招聘1名英語翻譯，小亮參加招聘考試的各門成績(jī)?nèi)绫硭救舭崖?、說、讀、寫的成績(jī)按

33?。坑?jì)算平均成績(jī)，則小亮的平均成績(jī)?yōu)橐?

項(xiàng)目聽說讀寫

成績(jī)(分)70908585

【答案】82分

【解析】

【分析】本題考查了加權(quán)平均數(shù)，根據(jù)加權(quán)平均數(shù)公式即可求解，熟練掌握加權(quán)平均數(shù)公式是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】解：小亮的平均成績(jī)?yōu)椋?/p>

(70x3+90x3+85x2+85x2)*(3+3+2+2)

=(210+270+170+170)^10

=820*10

=82(分).

故小亮的平均成績(jī)?yōu)?2分.

故答案為：82分.

13.正六邊形的半徑是2,則其內(nèi)切圓半徑是.

【答案】b

【解析】

【分析】本題主要考查多邊形的內(nèi)接圓和外接圓，關(guān)鍵在于根據(jù)題意畫出草圖，再根據(jù)三角函數(shù)求解，這

是多邊形問題的解題思路.連接0408,作于點(diǎn)G,則。4=03=2,則△Q43是等邊三

角形，再利用銳角三角函數(shù)解答，即可.

【詳解】解：如圖，連接作。于點(diǎn)G,則。4=。3=2,

AGB

?.?六邊形即罡正六邊形，

.-.0A=0B,AA0B=6Q°,

，?Q43是等邊三角形，

：.10AB=60°,

0G=O/xsin60。=2x^=6

???1o,

即其內(nèi)切圓半徑是小.

故答案為：V3

14.如圖，正方形力ECD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在扇形OE尸的半徑和弧上，若NO=45。，OE=5,則工3的

長(zhǎng)為.

【答案】小

【解析】

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)、扇形的有關(guān)性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握

相關(guān)知識(shí)在聯(lián)系和運(yùn)用是解答的關(guān)鍵.

連接OQ,可得。。=08=。9=5,根據(jù)已知可得0B=4B=3C,根據(jù)四邊形48CQ是正方形可得

AB=DC,再根據(jù)含45度角的直角三角形可得，根據(jù)勾股定理即可求出。8的長(zhǎng)，進(jìn)而可得的長(zhǎng).

【詳解】解:如圖，連接。0,

.\OC=OD=OE=5,

：.LABC=￡BCD=%°,

?.?正方形4BCD中，

.\AB=BC=CD,ZABC=90°,

???/。=45。，

:.AOAB=AO=45°

.OB=AB=BC

??，

：.0C=0B+BC=2BC,

在P.tA℃Z)中，根據(jù)勾股定理，得：

0D2=OC2-^CD2,

.(2OB)2+CD3=5\

解得。8=后，負(fù)值舍去，

；.AB=5

故答案為：石

6如圖，將半徑03=4的半圓繞點(diǎn)8按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°,此時(shí)點(diǎn)A到了點(diǎn)幺'，則圖中涂色部分的

【解析】

【分析】本題考查求陰影部分面積，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.利用

壬力+，山，一1143=$.血,，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：?半徑=4的半圓繞點(diǎn)8按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°,

?HAS=IHAS,ZABA'=30°,

+aAMIIbtB

=$6.皿

3(brx(2x4)'

360

16

?萬

3,

16

一n

故答案為：3.

16.如圖，矩形即CD中，AB=6BC-1,動(dòng)點(diǎn)E,尸分別從點(diǎn)A,C同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)

度的速度沿.，CD向終點(diǎn)3,。運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)E,E作直線/,過點(diǎn)A作直線/的垂線，垂足為G,則

力G的最大值為.

【解析】

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓的有關(guān)知識(shí)，確定點(diǎn)G的運(yùn)

動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵.由勾股定理可求力。的長(zhǎng)，由AAS可證△CORJAOE,可得力O=CO=1,

由,4G_LEF,可得點(diǎn)G在以HO為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則4G為直徑時(shí)，有最大值為1,即可求解.

【詳解】解：連接力0,交EF于。,

?.?四邊形900是矩形，

-AB//CD,Z5=9O°,

,:AB=6BC=1,

AC=4AB’+BC，=歷T=2,

..?動(dòng)點(diǎn)E,9分別從點(diǎn)A,。同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿四，CD向終點(diǎn)B,。運(yùn)動(dòng),

；,CF=AE,

■.■AB//CD,

:.ZACD=^CAB,

丈：4COF=UOE,

..A。。斤/“0?AAS)

/，

..AO=CO=\,OF=OE,

?：AG±EF,

.點(diǎn)G在以4。為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

.月G為直徑時(shí)，2G有最大值為1,

故答案為：1

三、解答題(本大題共11小題，共88分.)

17.解下列一元二次方程：

(1)x(%+2)=5(x+2)；

(2)X2+5X+3=0.

-5+厲-5-厲

【答案】(1)xi—-2,被=5；(2)xi--,xi--.

【解析】

【分析】(1)移項(xiàng)后，利用提公因式法將方程的左邊因式分解后求解可得；

(2)利用公式法求解即可.

【詳解】解：(1)Vx(x+2)=5(x+2),

/.x(x+2)-5(x+2)=0,

則(x+2)(x-5)=0,

.??x+2=0或％-5=0,

解得xi=-2,X2=5；

(2)b=5,c=3,

AA=52-4xlx3=13>0,

-b±y/b2-4ac-5±J\3

則％=2。=2,

-5+舊-5-而

即尤1=-,xi--.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵.

18.一塊矩形菜地的面積是130m2,若將它的長(zhǎng)、寬分別增加5m,8m,它恰成為一塊正方形菜地.求原

矩形菜地的長(zhǎng)和寬.

【答案】原矩形菜地的長(zhǎng)為13m,寬為10m.

【解析】

【分析】設(shè)正方形菜地的邊長(zhǎng)為無m,則原矩形菜地的長(zhǎng)為(x-5)m,寬為(x-8)m,根據(jù)原矩形菜地

的面積為130nl2,即可得出關(guān)于尤的一元二次方程，解之即可得出尤的值，再將其正值分別代入(x-5)

及(尤-8)中即可求出原矩形菜地的長(zhǎng)和寬.

【詳解】解：設(shè)正方形菜地的邊長(zhǎng)為xm,則原矩形菜地的長(zhǎng)為(x-5)m,寬為(尤-8)m,

依題意得：(%-5)(%-8)=130,

整理得：X2-13尤-90=0,

解得：xi=18,X2--5(不合題意，舍去)，

.,.X-5=18-5=13,尤-8=18-8=10.

答：原矩形菜地的長(zhǎng)為13m,寬為10m.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

19.證明：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對(duì)的兩條弧.已知：如圖，總是°。的直徑，CD是OO

的弦，.

求證：?

證明：___________

【答案】ABLCD,垂足為E；CE=DE,AC=AD,BC=；證明見解析

【解析】

【分析】根據(jù)命題，補(bǔ)全條件、結(jié)論以及推導(dǎo)過程即可；

【詳解】已知：如圖，是。。的直徑，C。是。。的弦，

ABA.CD,垂足為百；

求證：CE=DE,AC=AD,BC=BD

證明：連接℃、0D-

在AOCD中，

?：OC=OD,ABLCD

CE=DE,^BOD=ZBOC

ZAOD=ZAOC

：.AC=AD,BC=BD

【點(diǎn)睛】本題考查了命題推導(dǎo)的過程，垂徑定理；以已知的基本事實(shí)、定理為依據(jù)推導(dǎo)出結(jié)論是解題的關(guān)

鍵.

20.如圖，四邊形SBC。內(nèi)接于一圓，CE是邊3c的延長(zhǎng)線.

(1)求證=

(2)若/。AS=60。，乙403=70。，求的度數(shù).

【答案】（1）見解析（2）50°

【解析】

【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到乙D43+NZ）C5=180。，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等證明結(jié)論；

⑵根據(jù)圓周角定理得到乙"》=Z4CB=70。，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可.

【小問1詳解】

證明：；四邊形力8°。內(nèi)接于圓，

ADAB+ADCB=\3Q0,

vZZ）C￡+ZZ）C5=180o,

ZDAB-ZDCE；

【小問2詳解】

解：,??4CB?70。，

ZADB=ZACB=W。,

4即=180°-6卜-70°=50°.

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).

21.如圖，O。的弦/8、CD相交于點(diǎn)尸，且幺5=00.求證PB=PD.

【答案】見解析

【解析】

【分析】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系、等腰三角形的判定.連接8。，由弧、弦、圓

心角的關(guān)系進(jìn)行證明，結(jié)合等角對(duì)等邊，即可得到結(jié)論成立.

【詳解】證明：連接30.

-：AB=CD,

>■S/.、

.-.AB=CD

S、--、s,

：.AB-AC=CD-AC,

即血）=BC,

.\Z5=ZD,

:.PB=PD.

22.已知關(guān)于X的-元二次方程--（后+4）X+E+3=0.

（1）當(dāng)人為何值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？

（2）說明：無論化為何值，方程總有一個(gè)不變的根.

【答案】（1）"-2

（2）見解析

【解析】

【分析】本題考查一元二次方程:的根與判別式的關(guān)系、因式分解法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方

程的根與判別式的關(guān)系是解答的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式△=6’-4ac,可得出△=（｛+2）,由方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)

數(shù)根，可得出（2+2）解之即可得出上工-2,進(jìn)而可得出當(dāng)上工-2時(shí)，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等

的實(shí)數(shù)根；

（2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出方程的兩個(gè)根，進(jìn)而可得出無論左為何值，方程總有一個(gè)

不變的根為x=L

【小問1詳解】

解：?【=1,6=-（七+4）噌=>+3,

.L=b2-Aac=（后+41-4xlx（l-+3）=^3+4^+4=（A：+2）3

..?方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

.（k+2）'>0

:…2,

：.當(dāng)k*-2時(shí)，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

【小問2詳解】

解.../-住+4）x+無+3=0即左+3）］=0

.?.工一1=0或"一（左+3）=°,

?內(nèi)=1,a、=k+3,

...無論左為何值，方程總有一個(gè)不變的根為X=1.

23.甲、乙兩名學(xué)生進(jìn)行射擊練習(xí)，在相同條件下各射擊10次，結(jié)果如下:

命中的環(huán)數(shù)/環(huán)5678910

甲命中次數(shù)124210

乙命中次數(shù)142111

(1)甲同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)的中位數(shù)是環(huán)，乙同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)的眾數(shù)是環(huán)；

(2)求甲同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)和方差；

(3)經(jīng)過計(jì)算可知，乙同學(xué)10次射擊的平均數(shù)是7環(huán)，方差是2.2環(huán),?根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，從集中

趨勢(shì)和離散程度這兩個(gè)不同的角度來評(píng)價(jià)甲、乙兩名學(xué)生的射擊水平.

【答案】(1)7,6(2)7,1.2

(3)甲的射擊水平更好一些，理由見解析

【解析】

【分析】此題主要考查了學(xué)生對(duì)平均數(shù)，眾數(shù)，方差的理解及運(yùn)用能力，正確求出方差是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的定義即可得出答案；

(2)根據(jù)平均數(shù)、方差公式計(jì)算即可得出答案；

(3)從集中趨勢(shì)和穩(wěn)定性兩個(gè)方面來考查兩人的成績(jī).

【小問1詳解】

解：甲學(xué)生命中的環(huán)數(shù)從小到大排列后，第5個(gè)和第6個(gè)數(shù)據(jù)都是7,

7+7「

----二/

所以甲同學(xué)IO次射擊命中環(huán)數(shù)的中位數(shù)是2,

乙同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)最多的是6環(huán)，故眾數(shù)是6；

故答案'A7,6；

【小問2詳解】

—x(5+6x2+7x4+8x24-9)=7

甲同學(xué)io次射擊命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為：10',

33333

^=_LX[(5-7)+2X(6-7)+(7-7)+2X(8-7)+(9-7)]=1.2

【小問3詳解】

從平均水平看，甲、乙兩名學(xué)生射擊的環(huán)數(shù)平均數(shù)均為7環(huán)，成績(jī)一樣；從離散程度看，爐甲VS?乙，

甲的成績(jī)比乙更加穩(wěn)定；從集中趨勢(shì)看，甲的眾數(shù)比乙大，甲的中位數(shù)也比乙大；所以甲的射擊水平更好

一些.

24.如圖，出是OO的直徑，點(diǎn)c在。。上，CDLAB,垂足為。，且=電分別交

CD、于點(diǎn)F、G.

（1）求證：/-CAB=Z.DCB.

（2）求證：尸是BG的中點(diǎn).

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】（1）先根據(jù)圓周角定理及垂直的定義得到乙4CD+NDCB=90°,/強(qiáng)+448=90°,

進(jìn)而求證NC超=—DCB.

⑵由6=皮?,￡CBE=/.CAB,所以NCBE=&CD,FB=FC,再根據(jù)

ACGB+ACBG=ADCG+ABCF=%°,得出NCGB=〃CG,所以尸。=陽，即可得出

FB=FG.

【小問1詳解】

解：:/1B是。。的直徑,

...ZACB=90°,

ZCD+ZDCB=90。,

■■CDLAB,

...NG4B+乙4cz)=90。,

：ZCAB=4DCB；

【小問2詳解】

■.■CE=BC,

.-./.CBE=/.CAB,

...^CAB=ZDCB,

；ZCBE=ZBCD,

.：FB=FC,

"CGB+ACBG=ADCG+Z8C斤=90。，

...ACGB=ADCG,

.-.FC=FG,

：.FB=FG,

尸是5G的中點(diǎn).

【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓周角定理和圓心角、弧、弦的關(guān)系，注意直徑所對(duì)的圓周角是直角.

25.如圖，在。。中，/LB是的直徑，尸乂是0°的切線，切點(diǎn)是A,連接尸0,過點(diǎn)8作

BCWPO,與交于點(diǎn)c,連接PC.

A

(i)求證：PC是0°的切線；

(2)若。0的半徑為3,PA-4,求3C的長(zhǎng)度.

5C=18

【答案】(1)見解析(2)5

【解析】

【分析】本題考查的是切線的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線“垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的

半徑是解題的關(guān)鍵.

(1)連接。C,證明尸，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到N℃P=N0如根據(jù)切線的判

定定理證明結(jié)論；

(2)證明尸6&0班，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可.

【小問1詳解】

證明：如圖1,連接。C,

???總4是8的切線，

c.OALAP,

-BC//P0,

.\ZA0P=Z0BC,ZCOP=ZOCB,

?：0B=0C,

:.乙0CB=LOBC,

-,AA0P=AC0P,

在Aid。尸和A。。尸中，

'OA=OC

<乙AOP=4C0P

IOP=OP,

二“。尸物。。PSAS),

Z.OCP~Z.OAP-90°,

???”是oo的半徑，

PC是OO的切線；

A

P

圖?【小問2詳解】

解：如圖2,連接力。，

在RtZ\O"中，。尸=◎?工市'=5,

?.?HE是。。的直徑，

???ZACB=90°，

.-.^OAP=ZBCA,

,:乙A0P=4CBA,

???^AOP^CBA，

OA_OP3_5

.-.BC~AB,即而二U,

3。=竺

圖2

26.【習(xí)題再現(xiàn)】

（教材P74第10題）如圖①，/是A43C的內(nèi)心，4的延長(zhǎng)線交上力30的外接圓于點(diǎn)

D.和/Q相等嗎？為什么？

（不需解答，請(qǐng)看下面的問題）

（1）如圖（1）,/為心力鄉(xiāng)。內(nèi)一點(diǎn)，4的延長(zhǎng)線交上出。的外接圓于點(diǎn)Q.若08=0/=。。，求

證：/為的內(nèi)心；

【拓展提高】

（2）如圖（2）,00的半徑長(zhǎng)為5,弦動(dòng)點(diǎn)A在優(yōu)弧EHC上（不與3、0重合）,/是

一兒?C的內(nèi)心.

①點(diǎn)/到。。上某點(diǎn)的距離始終不變，請(qǐng)用無刻度的直尺找出該點(diǎn);

②血的最大值為一

【答案】（1）見解析（2）①見解析；②10-2五

【解析】

【分析】（1）連接3/,由BD=CD,可知如=8,得到/a4D=NDBC=NC4。，從而推出

/D平分/班C,然后由8。=。/,可知2IBD=ZBID,通過三角形的外角可推出31平分

^ABC,得證.

（2）①作4的延長(zhǎng)線交°。于點(diǎn)。，連接31,3。，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)和同弧所對(duì)的圓周角相

等，可推出NCBD=NmD,再由三角形外角的可推出NBZD=N34D+乙431,結(jié)合

^DBI=￡CBD+ACBI,從而推出乙SZD=NZ）Ar,即。可得點(diǎn)。為所求；

②由①可知從而推出當(dāng)幺。為°。的直徑時(shí)，4取得最大值，設(shè)4?交EC于點(diǎn)M,

__4_cBM=CM=-BC

連接根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)和垂徑定理推論可得加I3C,2,然后利用勾股

定理先求得QW,即可得到OB,從而求得4的最大值.

【小問1詳解】

證明：連接如圖

D

'.'BD~CD

BD=CD

ABAD=ADBC=ACAD

4Z）平分/R4C

???BD=DI

3D=4BID

VZ5ZD是一ABI的一個(gè)外角

..NBID=&AD+ZABI

：.SDRAD+ZABI

'：￡1BD=￡DBC-￥ACBI,ZDBC=ZBAD

&BI=4CBI

3/平分二'M。

,J^JLABC的內(nèi)心

【小問2詳解】

解：①作4的延長(zhǎng)線交。。于點(diǎn)。，連接3/,BD,如圖

D

?.?/是A43C的內(nèi)心

..ABAD=ACAD,ZABI=￡CBI

BD=CD,。點(diǎn)為BC中點(diǎn)

又?：一。8。和/。4D為CD所對(duì)的圓周角

乙CBD=LCAD

乙CBD=ABAD

?；&ID是一HB/的一個(gè)外角

^BID=ABAD+AABI

?：ADBI=Z.CBD+ACBI

ABID=ADBI

DB=DI=CD

■■”是一個(gè)定值

故延長(zhǎng)4交°。于點(diǎn)Q,點(diǎn)Q即為所求，如圖:

②如①圖，；Al=AD-DI,DI=DB

:.AI=AD-DB

.當(dāng)心取最大值時(shí)，4取得最大值

;當(dāng)山）為°。的直徑時(shí)，血取得最大值，如下圖所示,

設(shè)心交3。于點(diǎn)連接。8

'：IABC的內(nèi)心

ABAD=ACAD

BD=CD

?.?HD是。。的直徑

BM=CM=-BC

..ADIBC,2

ZAMB=90°

?..oo的半徑長(zhǎng)為5,50-S

53/=-SC=1x8=4

0B=0D=5,AD=W,

OM=y/OB2-BM2=萬-42=3

MD=OD-OM=5-3=2

BD=yjBM2+MD2=V43+23=郃

AI=AD-DB=\Q-2>5

⑷的最大值為io-】"

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，垂徑定理的推論，等腰三角形的

判定，三角形外角的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并構(gòu)造出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.

27.【問題情境】

(1)如圖1,圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內(nèi)接正方形，那么大正方形面積是小正方形

面積的幾倍？小聽將小正方形繞圓心旋轉(zhuǎn)45°(如圖2),這時(shí)候就容易發(fā)現(xiàn)大正方形面積是小正方形面

【操作實(shí)踐】

(2)如圖3,圖①是一個(gè)對(duì)角線互相垂直的四邊形，四邊。、b、c、d之間存在某種數(shù)量關(guān)系.小昕按所

示步驟進(jìn)行操作，并將最終圖形抽象成圖4.請(qǐng)你結(jié)合整個(gè)變化過程，直接寫出圖4中以矩形內(nèi)一點(diǎn)尸為

端點(diǎn)的四條線段之間的數(shù)量關(guān)系為；

(3)類比【問題情境】中的方法解決問題：如圖5,越是°。的直徑，CD、即是。。的弦，且

AB//CD//EF,AB=5,CD=3,ER=4.則圖中陰影部分的面積為.

(4)如圖6,在圖3中“④”的基礎(chǔ)上，小昕將繞點(diǎn)p逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，他發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過程中-D4P

存在最大值.若PE=8,PF=5,當(dāng)NZMP最大時(shí)，求4D的長(zhǎng)；

；圖5圖6圖7

(5)利用圖4中的結(jié)論解決問題：如圖7,分別過矩形的四個(gè)頂點(diǎn)作其內(nèi)部的°。的切線，切點(diǎn)

分別為￡,F,G,H,若=BF=b,DH=c,則OG的長(zhǎng)為.(用含a,b,c的代數(shù)式

表示)

25

【答案】(1)2；(2)PA1+PC2=PB2+PD2-(3)s'；(4)439；(5)

CG=\]a2+c2-b2

【解析】

【分析】(1)利用圓與正多邊形的性質(zhì)分別計(jì)算兩個(gè)正方形的面積可得答案；

(2)如圖，由EG工FH