第11講弧長及扇形面積

內(nèi)容導航預習三步曲

第一步：學

匕教材精講精析、全方位預習

教材習題學解題、快速掌握解題方法

8大核心考點精準練

第二步：記

R-思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內(nèi)容掌握

第三步：測

穩(wěn)提升〈小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升

8析教材學知識

?知識點1扇形的弧長和面積計算

扇形：(1)弧長公式：/=處4；(2)扇形面積公式：S=^-=-lR

1803602

〃：圓心角R：扇形多對應的圓的半徑/：扇形弧長S：扇形面積

注意：

(1)對于弧長公式，關(guān)鍵是要理解1°的圓心角所對的弧長是圓周長的-，即「=至；

360360180

(2)公式中的n表示1。圓心角的倍數(shù)，故n和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；

(3)弧長公式所涉及的三個量：弧長、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個量就可以求出第

三個量.

(4)對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，

360

即360360

(5)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就

可以求出第三個量.

8練習題講典例

教材習題01

解題方法

口少..

(K-T\|fl]-jyO1?/J?期心電為60°.求3*弧長公式計算

***Gi?

【答案】

因為圓心角為60°,r=24cm

所以/=箸

180,

OOTTx24

180

=87r

答:該圓弧的弧長是87r

教材習題02

解題方法

已如島形「：則心電電12".史長為2i>w.京達'晶有的

弧長的面積

,fc!

【答案】

設扇形的半徑是Rem,則1怨A=20萬，解

loU

得：R=30,

則扇形的面積是：

鼻207rx30=3007r（cm2）.

練考點強知識練題型強知識

考點一求弧長

1.（24-25九年級下?廣東廣州?期中）如圖，4B為。。的直徑，點C在。。上，若乙。乙4=50。，AB=6,

則品1的長為（）

10C5

AA.—nB.-n

33

【答案】B

【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，弧長公式，先根據(jù)等邊對等角得到Noac=5。。,

由圓周角定理求出NBOC=100°,利用弧長公式計算即可.

【詳解】解：=OC/OCA=50°,

C.Z-OCA=ZOXC=50°,

,：BC=BC,

:.乙BOC=2ZOXC=100°,

'：AB=6,則O。的半徑為3,

.?.8。的長=生2=三11,

1803

故選：B.

2.（2025?浙江紹興?二模）若扇形的圓心角為80。，半徑為8,則它的弧長為.

【答案】■

【分析】本題考查了求弧長.根據(jù)弧長公式Z=黑即可求解.

180

【詳解】解：扇形的圓心角為80。，半徑為8,

它的弧長為提X811=^71,

故答案為：音R.

3.（2025?浙江杭州?二模）如圖，4,8,C是在。。上的點，NC=30。，=2,則48的長為.（結(jié)果保

留兀）

【答案】Y

【分析】本題考查了圓周角定理，弧長的計算，掌握以上知識是關(guān)鍵.

根據(jù)圓周角定理得到乙4。8的度數(shù)，再根據(jù)弧長公式計算即可.

【詳解】解：..NB所對的圓周角是NC,所對的圓心角是“。B,

/.AOB=2“=60°,

,760°x2n2ii

.?2c==,

AB180。3

故答案為：y.

4.（2025?吉林長春?二模）如圖，正五邊形ABCDE的邊長為2,以點4為圓心，AB長為半徑作圓，則該圓在

正五邊形內(nèi)部的族的長為（結(jié)果保留TT）

A

【答案】）

【分析】本題主要考查了正多形的內(nèi)角和和內(nèi)角以及弧長公式，根據(jù)五邊形4BCDE是正五邊形，根據(jù)

正多邊內(nèi)角和等于5-2）x180。，求出內(nèi)角再根據(jù)弧長公式即可得出答案.

【詳解】解：：五邊形A8CDE是正五邊形，

：.ABAE=（1）；180。=]08。，

,,108HX26

9?1~~~=——TC,

BE1805

故答案為：|K.

5.（24-25九年級下?江蘇蘇州?階段練習）馬面裙是中國古代漢族女子主要裙式之一，隨著傳統(tǒng)服飾日益受

到關(guān)注，馬面裙也強勢“出圈”.如圖1為馬面裙的一種經(jīng)典款式，如圖2馬面裙可以近似的看作扇環(huán)，

其中AB長為0.6米，弧長8C為米，圓心角/&。。=45。，則弧長4。為米.

圖1圖2

【答案】9

【分析】本題考查了弧長的計算，熟知扇形弧長的計算公式是解題的關(guān)鍵，根據(jù)弧長為|TT米及

44。。=45。的度數(shù)，可求出OB的長，再求出。4的長，然后利用弧長公式計算即可得解.

【詳解】解：：弧長為|TT米，乙4。。=45。，

457r082

???-----------=-7T,

1805

解得:OB=1.6

:48長為0.6米，，

的長為1米，

，弧長4。為：胃篙=3米），

故答案為：

4

考點二求扇形半徑

1.（24-25九年級上?廣西南寧?期末）150。的圓心角所對的弧長是5m則此弧所在圓的半徑是（）

A.12B.9C.6D.5

【答案】C

【分析】此題主要考查了弧長計算，關(guān)鍵是掌握弧長公式，=黑5為圓心角，r為半徑），根據(jù)弧長公

180

式即可求解.

【詳解】解：設此弧所在圓的半徑為X,

解得：x=6,

故選：C.

2.（2025?江蘇連云港?一模）如圖1,鋁合金窗簾軌道可以直接彎曲制作成弧形.若制作一個圓心角為120。的

圓弧形窗簾軌道（如圖2,軌道厚度不計），需用此材料40兀厘米，則此圓弧所在圓的半徑為____厘米.

【答案】60

nnr

【分析】本題考查了弧長的公式，熟練掌握弧長公式：1=:是解題的關(guān)鍵，利用弧長公式求解即可.

180°

【詳解】解：設圓弧所在圓的半徑為r,由弧長公式得:

.?120°X7rxr

40TT=----------

180°

解得：r=60,

故答案為：60.

3.（24-25九年級上?河南新鄉(xiāng)?階段練習）如圖，矩形紙片4BCD中，4D=12cm,把它分割成正方形紙片4BFE

和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形4BF和半徑最大的圓，恰好能作為同一個圓錐的側(cè)面和底面，則4B

的長為cm

【答案】8

【分析】本題考查了圓錐的計算，解題的關(guān)鍵是理解圓錐展開圖的扇形弧長等于圓錐的底面周長.設

AB=BF=xcm,則CF=（12-比）cm,根據(jù)圓錐展開圖的扇形弧長等于圓錐的底面周長列方程求解即

可.

【詳解】解：???四邊形是48FE正方形，

???AB=BF,N4BF=90°,

設AB=BF=xcm,則CF=（12—x）cm,

根據(jù)題意可得：窖=（12-久）兀，

180

解得：x=8,

??.AB=8cm,

故答案為：8.

考點三求圓心角

1.（2025?安徽淮北?二模）已知時鐘的分針長10cm,初始時刻為14:00整，如圖所示，若經(jīng)過一段時間后,

分針的針尖走過的路程為弓7T,則經(jīng)過一段時間后的時刻為（）

A.02:00B.14:0014:10

【答案】D

【分析】本題主要考查了弧長公式，鐘面角,

先根據(jù)弧長公式求出分針轉(zhuǎn)動的角度，再根據(jù)分針1分鐘轉(zhuǎn)動6?？傻么鸢?

【詳解】解：設分針走過的角度為九,

由題意可知，—=—

1803

解得n=60°,

所以分針走了10分鐘，即14:10.

故選：D.

2.（23-24九年級下?四川綿陽?期中）將一把折扇展開，可抽象成一個扇形，若該扇形的半徑為2,弧長為早,

則扇形的圓心角大小為（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

【答案】D

【分析】本題考查了弧長公式，圓心角的計算，掌握弧長公式的計算方法是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)弧長公式1=黑（I是弧長，n是圓心角度數(shù)，r是扇形半徑）得到n=竺也，由此即可求解.

180°nr

【詳解】解：扇形的半徑為2,弧長為弧長公式2=黑（Z是弧長，也是圓心角度數(shù)，r是扇形半徑），

3180

.180。1180°x等

..n=-----=---------=120°,

Ttr2TI

故選：D.

3.（2025?云南德宏?一模）物理實驗課上，同學們分組研究定滑輪“可以改變用力的方向，但不能省力”時,

小文同學用一個半徑為18cm的定滑輪帶動重物上升，假設繩索（粗細不計）與滑輪之間沒有滑動，當

重物上升時，滑輪上點A經(jīng)過的弧長為15兀cm,則點A繞。點轉(zhuǎn)過的度數(shù)為.

口重物

【答案】150°

【分析】本題考查了弧長公式的計算，熟練掌握弧長公式是解此題的關(guān)鍵.設旋轉(zhuǎn)的角度是滸，根據(jù)

當重物上升時，滑輪上點A經(jīng)過的弧長為15Ttem,利用弧長公式計算即可得出答案.

【詳解】解：設滑輪上點A轉(zhuǎn)過的度數(shù)為幾。，

???當重物上升時，滑輪上點A經(jīng)過的弧長為15ncm,

又???滑輪的半徑為18cm,

解得n=150,

???滑輪上點A轉(zhuǎn)過的度數(shù)為150。，

故答案為:150°.

4.（2025?四川成都?二模）"輪動發(fā)石車”在春秋戰(zhàn)國時期被廣泛應用，模型驅(qū)動部分如圖所示，其中OM,

ON的半徑分別是1cm和8cm,當OM順時針轉(zhuǎn)動2周時，ON上的點P隨之旋轉(zhuǎn)幾。，則n=.

【答案】90

【分析】本題主要考查了利用弧長求解圓心角.先求出點尸移動的距離，再根據(jù)弧長公式計算，即可

求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：點P移動的距離為2x211X1=4iran,

?71X11X8“

■?—4TT,

180

解得：n=90.

故答案為：90.

考點四求某點的弧形運動路徑長度

1.（2025?安徽滁州?一模）如圖，邊長為2Wcm的正六邊形螺帽，中心為點0,。4垂直平分邊CD,垂足為8,

AB=17cm,用扳手擰動螺帽旋轉(zhuǎn)90。，則點A在該過程中所經(jīng)過的路徑長為（）

A.(17+V3)TicmB.(17+2V3)TtcmC.lOitcmD.20ircm

【答案】C

【分析】本題主要考查了正六邊形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，弧長公式，利用正六

邊形的性質(zhì)和勾股定理求出0B的長度，進而得到。4的長度，最后根據(jù)弧長公式進行計算即可.

【詳解】解：如圖所示，連接。D,0C.

?：ADOC=—=60°,0D=0C,

6

...△ODC是等邊三角形，

/.0D=0C-DC=2V3cm,

OBLCD,

'.BC=BD—V3cm,

：.0B=y/OD2-BD2=3cm,

'：AB=17cm,

OA=OB+AB=20cm,

???點A在該過程中所經(jīng)過的路徑長=2鬻=10兀（cm）.

180

故選：C.

2.（2025?江蘇泰州?一模）如圖，將AABC繞點4順時針旋轉(zhuǎn)45。得到△力若"=4,則點C運動的路徑

長為

【答案】TT

【分析】本題考查了軌跡，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)弧長公式即可求出點C經(jīng)過的路徑長.

【詳解】解：ABC繞點4順時針旋轉(zhuǎn)45。得到AC=4,

.?.點C經(jīng)過的路徑長為：胃3=小

lot）

故答案為：It.

3.（24-25九年級上?吉林?期中）一塊含30。角的直角三角板48C按如圖所示的方式擺放,邊4B與直線/重合,

AB=10cm.現(xiàn)將該三角板繞點8順時針旋轉(zhuǎn)，使點C的對應點C，落在直線/上，則點A經(jīng)過的路徑

長至少為cm.（結(jié)果保留TT）

【答案】日田等

【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、弧長公式，先根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求得乙4B4=120。，AA'=AB=10cm,然

后根據(jù)弧長公式求解即可.

【詳解】解：由題意，^A'BC=^BAC=60°,AA'=AB=10cm.

.?.點A經(jīng)過的路徑長至少為工*=^cm,

1803

故答案為：^Tl.

4.（24-25九年級下?吉林長春?期中）如圖，如圖，△48。和44B'C'是兩個完全重合的直角三角板,乙8=30°,

長為8cm.三角板4"C繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)，當點4落在邊上時，則點4所轉(zhuǎn)過的路徑長為

cm.

【答案】加費

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，求弧長，等邊三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的

性質(zhì)，根據(jù)三角形內(nèi)角和和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到NA=60°,AC==4cm,再根據(jù)

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得C4=C4于是可判斷AC44為等邊三角形，所以=60。，然后根據(jù)弧長公式計算

弧44的長度即可.

【詳解】解：???^ACB=90°,ZB=30°,AB=8cm,

?2=60。,AC=lAB=4Cm,

???三角板49C'繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)，點4落在48邊上，

ACA'=CA,

.?.AC44,為等邊三角形,

/.ACA'=60°

607rx447r

???弧44,的長度==—cm,

1803

即點4所轉(zhuǎn)過的路徑長等cm.

故答案為：詈cm.

考點五求扇形面積

1.（2025?浙江嘉興?二模）如圖，點A,B,C在。。上.若。。的半徑為1,ZC=30°,則扇形04B的面積

為（）

A1?1

A.-TtB.-Tt

64

【答案】A

【分析】本題主要考查了圓周角定理，扇形面積計算，由圓周角定理得到NOAB=2NC=60。，再根據(jù)

扇形面積計算公式求解即可.

【詳解】解：??"C=30。,

：./-OAB=2"=60°,

S_607rxl2_i

5扇形40B=360=671

故選：A.

2.（2025?貴州貴陽?一模）如圖①是一塊弘揚“新時代青年勵志奮斗”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖

如圖②所示，它是以點。為圓心，。4OB長分別為半徑,圓心角N。=120。的扇面，若。4=3m,OB=

1.5m,則陰影部分的面積為（）

AA.—97rm2z

443

【答案】A

【分析】本題考查了扇形的面積，掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)S陰影=S扇形/OQ—S扇形R0C直接求解即可.

【詳解】解：如圖，S陰影=S"2).

故選：A.

3.（24-25九年級下?重慶?期中）如圖，點4B,C是。。上的點，且NACB=40。，。。的半徑為2,則此

陰影部分的面積為（）

.8

A.-71B.|兀D

99-I

【答案】A

【分析】本題考查圓周角定理，扇形的面積，熟練掌握圓周角定理和扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.先利

用圓周角定理得出/4。8=2/-ACB=80°,再利用扇形面積公式計算即可.

【詳解】解：；NaC8=40。，

：.^AOB=2N4CB=80°,

2

?r_nnr_80KX22_8TT

陰影-360-360-9

故選：A.

4.（2025?湖南常德?二模）圖1為人行通道扇形閘門，圖2為其上半部分的平面示意圖.閘門關(guān)閉狀態(tài)時,

扇形ZMC與扇形相交于點C,且兩扇形的半徑分別是矩形4MNB的兩對邊和BN.已知MN=

60cm,圓心角乙4MC=（BNC=30°,則扇形AMC的面積等于crM.（結(jié)果保留加）

【答案】3007T

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積公式，熟練掌握相關(guān)知識點是

解題的關(guān)鍵.

證明△CMN是等邊三角形，求出AM=CM=60cm,得至眩扇形人心==弋：：。=300TT（cm2）,

即可得到答案.

【詳解】解：???矩形ZMNB,

??.AM=BN,"MN=乙BNM=90°,

???/LAMC=乙BNC=30°,

???乙CMN="MN-"MN=60°,Z.CNM=乙BNM-Z.BNC=60°,

???AM=CM,BN=CN,

??.CM=BN,

??.△CMN是等邊三角形，

.?.CM=MN=60cm,

AM=CM=60cm,

c307rAM2307Tx6()2/?、

南私TT

???扇S形ZM4CA=3-6--0--=----3--6-0---=300(cm"),

故答案為：300兀

考點六求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積求弓形面積

1.（2025?廣東湛江?二模）如圖，某汽車車門的底邊。M長為1m,車門側(cè)開后的最大角度為80。.若將一扇

車門側(cè)開，則這扇車門底邊掃過區(qū)域的最大面積是（）

【答案】B

【分析】本題考查了扇形的面積，根據(jù)扇形的面積公式直接計算即可求解，掌握扇形的面積公式是解題

的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意可得，車門底邊掃過區(qū)域的最大面積=警察=W1112,

3609

故選：B.

2.（24-25七年級下?江蘇無錫?期中）當汽車在雨天行駛時，為了看清道路，司機要啟動前方擋風玻璃上的

雨刷器.如圖所示是某汽車的一個雨刷器示意圖，雨刷器桿。M與雨刷在M處固定連接（不能轉(zhuǎn)動），

若測得4。=80cm,BO=20cm,當桿。M繞點。轉(zhuǎn)動90。時，雨刷掃過的面積是（）

A.1600ncm2B.1500-ncm2C.900itcm2D.800Ttem2

【答案】B

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，扇形面積，理解圖示，掌握扇形面積的計算是關(guān)鍵.

如圖所示，延長交。4于點C,與。4交于點D,可得△。/1B三△（M'B'（SSS）,貝USAOAB=SAOHB”

由S圓環(huán)=S扇形404'一S扇形。CD代入計算即可?

【詳解】解：如圖所示，延長BB咬。力于點C,與。4交于點D,

?旋轉(zhuǎn),

.OB=OB',OA=OA',AB=A'B',

.△OAB三△OA'B'(SSS),

?SAOAB=SHOA'B，，

.當桿。M繞點。轉(zhuǎn)動90。時，雨刷ZB掃過的面積是圓環(huán)A4DC的面積,

'AO=80cm,B。=20cm,AAOA'=90°,

,°J圓環(huán)=J扇形404'一》扇形0cp=曲==l5UUTTCm,

故選：B.

3.（24-25九年級上?廣東韶關(guān)?期末）如圖，在RtzXABC中，^BCA=90°,^BAC=30°,AB=8cm，把△ABC

以點8為中心，逆時針旋轉(zhuǎn)使點C旋轉(zhuǎn)到AB邊的延長線上點C，處，則4c邊掃過的圖形（圖中陰影部分）

的面積為（）

A.16兀B.12兀C.8兀D.47r

【答案】A

【分析】本題考查不規(guī)則圖形面積的計算.首先求出BC=4cm,AC=4V3cm,然后根據(jù)S陰影=

S扇形-SAABC-S扇形BCE+一S扇形BEC，結(jié)合三角形面積公式和扇形面積公式進行計算即可?

【詳解】解："：/.BCA=90°,^BAC=30°,AB=8cm,

???BC-4cm,AC=4-\/3cm,

S陰影=S扇形4，B4-S—BC—S扇形BCE+S^A'C'B-,扇形BEC'

S陰影=S扇形4，B4-S扇形BCE-S扇形BEC'

120TTx82607rx42607rx42

=-360360360

647T87T87r

=-333"

=167r(cm2),

故選：A.

考點七求其他不規(guī)則圖形的面積

1.（2023九年級?全國?專題練習）家庭折疊型餐桌兩邊翻開后成圓形桌面（如圖①），餐桌兩邊48和CD平

行且相等（如圖②），小華用皮尺量出BD=1米，BC=0.5米，則陰影部分的面積為（）

A.e―R）平方米B.仁一手）平方米C.仁―日）平方米D.仁一日）平

方米

【答案】B

【分析】此題主要考查了勾股定理以及扇形面積計算以及三角形面積求法等知識，熟練掌握特殊角的

三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.設圓心為。，連接CO,過點。作。ElCD于點E,進而得出CD,E。的長以

及NC。。的度數(shù)，進而由S弓形CD面積=S扇形CODFCOD得出弓形的面積，進一步即可求得陰影

部分的面積.

【詳解】解：設圓心為。連接CO,過點。作。ElCD于點E,

由題意可得出：ABCD=90°,

是。。的直徑,

,:BD=1米，BC=0.5米,

：.BC=^BD,CD=yjBD2-CD2=亨米

:.乙BDC=30°,

：.0E=^0D=（米

?：0C=OD,

：.^OCD=Z.BDC=30°,

."COD=120°,

弓形CD面積=S扇形COD-S&COD=—噂）一如"日=七一冷平方米,

陰影部分的面積為：2x0|-汾=（合祟平方米.

故選:B.

2.（2025?河南周口?二模）如圖是6x4的小正方形網(wǎng)格，小正方形的邊長為2,點A和B是格點，連接

在網(wǎng)格中畫出以AB為直徑的半圓，圓心為點。，點C是格點且在半圓上，連接BC,則圖中陰影部分

的面積是（）

A.5-rt-10B.4n—10

【答案】A

【分析】本題考查了求扇形面積，勾股定理與網(wǎng)格問題，連接CO,證明NCOB=90°=NAOC,進而根

據(jù)三角形的面積公式和扇形面積公式進行計算即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接C。，

小正方形的邊長為2,0C=0B=742+22=2V5,BC=V22+62=2V10

：.OC2+OB2=BC2

:.乙COB=90°=^AOC,

圖中陰影部分的面積是S扇形一SMOB=券兀X（2V5）2-IX（2西）2=5兀-10

故選：A.

3.（2025?江蘇南通?二模）如圖，矩形ZBCD中，AB=4A/2,AD=2,以48為直徑作半圓。，則圖中陰影部

分的面積是（）

4824

4824C

兀

兀

------兀--

A.B.37T3D.33

【答案】B

【分析】本題主要考查了求扇形面積，垂徑定理，勾股定理.設CD與半圓。交于點E,F,過點。作

0Mle。于點則0M=4D=2,OF==|X4V2=2V2,根據(jù)垂徑定理可得EF=2EM,

LF0M=4E0M,再結(jié)合勾股定理可得0M=EM,EF=2EM=4,從而得到/EOF=90。，然后根據(jù)

S扇形EOF1SAEOF，即可求解.

【詳解】解：如圖，設CD與半圓。交于點E,F,過點。作。M1CD于點M,則OM=AD=2,OE=

>=|x4V2=2V2,

--------------

：.EF=2EM,乙FOM=LEOM,

：.EM=yJOE2-EM2=2,

OM=EM,EF=2EM=4,

EOM是等腰直角三角形，

."FOM=4EOM=45°,

:.乙EOF=90°,

???圖中陰影部分的面積是S扇形EOF—SAEOF=*產(chǎn)—|x2x4=211—4.

故選：B.

4.（2025?山西運城?模擬預測）如圖，已知扇形042,在其內(nèi)部作一個菱形。DCE,其中點。，E分別在04,

。8上，點C在池上.若。A=4,AAOB=60°,則圖中陰影部分的面積為（）

【答案】A

【分析】本題主要考查的是扇形面積、30度直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，根據(jù)勾股定理求

得。E的長是解題的關(guān)鍵.

連接OC,過點C作CH1OB,垂足為點H.根據(jù)菱形性質(zhì)可得NBOC=^AOB=30°,EC=OE,在內(nèi)△

OHC中，可求CH=2,OH=2V3,然后利用EC=OE在Rt△EHC中可求得。E=?百，最后由陰影部

分的面積=扇形OBC的面積-SAOBC求解即可.

【詳解】解：連接0C,過點C作CH1OB,垂足為點兒

:在菱形。DCE,ZXOS=60°,

:.乙BOC=-^AOB=30°,

2

/.CH=-0C,

2

9：0C=OB=0A=4,

CH=2,扇形。8C的面積=—x427r=—,

3603

OH=VOC2-CH2=V42-22=2V3,

???EH=OH-OE=2y[3-OE,

,在菱形。DCE,EC=OE,

：.OE2=(2V3-OF)2+22,解得：OE=2,

：.S^=-0E-EH=-x—x2=—

△U0BC2233

???陰影部分的面積=扇形OBC的面積—SAOBC=等-竽

故選：A.

5.（2025?河南新鄉(xiāng)?二模）如圖，在菱形4BCD中，NBCD=120。，點E為4B的中點，以E為圓心，4E長為

半徑畫弧交BD于點F,交BC于點G,若BD=45,則圖中陰影部分的面積為（）

A.yB.4V3-yC.4A/3D.8^3-^

【答案】B

【分析】連接EF、EG,EG交BD于H,由“直徑所對的圓周角等于90?！笨傻肗ZFB=90。，即

產(chǎn)點是AC、BD的交點.由菱形的性質(zhì)可得乙4BC=60。，^ABD=Z.CBD=30°,BF=2<3CF=2,

BC=4.再證△BHG=△FHE,則可得SABHG=SHFHE，進而可得S空白△BGF=S扇形GEF，則可得，求

得S扇形GEF=三兀，則可得S空白ABGF=三兀，由,陰影=SABCD-S空白ABGF即可得解?

本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形以及扇形的面積.熟練掌握以上知

識，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，連接EF、EG,EG交BD于H.

,：AB是OE的直徑，

???4AFB=90°,

，產(chǎn)點是力C、BD的交點，

,菱形中，/-BCD=120°,

???/.ABC=60°,

???4ABD=4CBD=30°,

-??BD=4V3,

BF=-BD=2V3,

2

???CF=BF-tanzFBC=2bx—=2,

3

??.BC=2CF=4,

AB=BC=4,

EB=EG=EF=EA=2,

???EB=EG,乙EBG=60°,

：.△EBG是等邊三角形，

???BH1EG,EH=GH,BG=EG=EF,

/.△BHG=AFHE(HL),

S^BHG=S^FHE,

???S空白>BGF=S扇形GEF，

???6F=6F,

???Z.GEF=2乙GBF=2x30°=60°,

c60q22

..S扇形GEF一病F.2--n,

Q_2

???3空白ABGF=］兀，

SABCO-CF-|X4V3X2=4V3,

S陰影=S&BCD-S空白ABGF=4。3--7T.

故選：B

8串知雙識框架

知識導圖記憶

O弧長及扇形面積?考向三：求圓心角

知識目標復核

L求弧長

2.求扇形的半徑

3.求圓心角

4.求扇形的面積

5.求不規(guī)則圖形的面積

過關(guān)測穩(wěn)提升

一、單選題

1.（2025?安徽滁州?一模）在扇形4。8中，4B的長為6n,^AOB=135°,則扇形40B的半徑為（）

A.8B.6C.5D.4

【答案】A

【分析】本題涉及扇形弧長公式，通過已知的弧長和圓心角，利用弧長公式來求解半徑.

將已知條件代入弧長公式，然后通過計算得出半徑的值.

【詳解】解：由題意得：6兀=等，

故答案為：8.

2.（24-25九年級上?廣東潮州?期末）若扇形的半徑為4,圓心角為120。，則此扇形的面積為（）

.8c416--y-

A.-nB.-71C.-71D.167r

333

【答案】c

【分析】根據(jù)扇形面積的計算方法進行計算即可.

本題考查扇形面積的計算，掌握扇形面積的計算方法是正確解答的關(guān)鍵.

【詳解】解：S扇形=冷若兀，

故選：C.

3.（2024?湖南?模擬預測）某校開展研學活動，其中有“列隊訓練”的項目.我們以“向右轉(zhuǎn)”為例研究其中蘊

含的數(shù)學知識，如圖，把右腳鞋底抽象成一條線段。2，忽略鞋底的摩擦、彈性等誤差.“向右轉(zhuǎn)”時，

以鞋跟。為圓心，順時針旋轉(zhuǎn)90。得線段OB.若某同學右腳鞋底。4長30cm,那么鞋尖A在“向右轉(zhuǎn)”

的運動中路徑長是（）

【分析】本題主要考查了軌跡、弧長公式等知識點，正確理解題意及熟練利用弧長公式是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)鞋尖A在“向右轉(zhuǎn)”的運動中路徑是以O為圓心。4為半徑，圓心角為90。的一段弧，再利用弧長公

式計算即可.

【詳解】解：依題意可知：鞋尖A在“向右轉(zhuǎn)”的運動中路徑長是一段弧長，其半徑是04=30cm,弧的

圓心角為90。，

二鞋尖A在“向右轉(zhuǎn)”的運動中路徑長=警箸=15兀cm.

180

故選：A.

4.（23-24九年級上?湖南湘西?期末）如圖，在矩形2BCD中，CD=2,NDBC=30。.若將BD繞點B旋轉(zhuǎn)后,

點。落在DC延長線上的點E處，點。經(jīng)過的路徑阿，則圖中陰影部分的面積是（）

A.—7T—2V3B.—7T—V3C.—?！?A/3D.—7T—4V5

3333

【答案】C

【分析】本題主要考查了扇形的面積公式，屬于基礎題.

用扇形面積減去^BCD的面積來求得正確答案.

【詳解】解：由題意可知，CD=2,ADBC=30°,

BD=4,BC=V42-22=2V3,

所以圖中陰影部分的面積是雙箸直—/xx2=f—2次.

360Z3

故選：C.

5.（23-24九年級上.新疆烏魯木齊?期中）已知圓上一段弧長為5;rcm,它所對的圓心角為100。，則該圓的半

徑為（）

A.6cmB.9cmC.12cmD.18cm

【答案】B

【分析】本題主要考查了弧長公式，設該圓的半徑為rem,根據(jù)弧長公式計算，即可求解.

【詳解】解：設該圓的半徑為rem,根據(jù)題意得：

解得：r=9,

即該圓的半徑為9cm.

故選：B

6.（21-22九年級上?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?期末）如圖，半徑為10的半圓的初始狀態(tài)是直徑平行于桌面上的直線

b,然后把半圓沿直線6進行無滑動滾動，使半圓的直徑與直線b重合為止，則圓心。運動路徑的長度等

于（）

o

b

A.IOTTB.57rC.10+5TTD.20兀

【答案】A

【分析】如圖，圓心。運動路徑的長度=OE+弧E。的長，根據(jù)弧長公式計算即可.

【詳解】如圖所示：

圓心。運動路徑的長度=0E+弧E0的長='2兀?10+'2兀?10=10兀

44

故選：A.

【點睛】本題考查了軌跡、圓的周長公式等知識，解題的關(guān)鍵是理清楚軌跡是什么圖形，記住弧長公

式，圓的周長公式是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

7.（2025?四川成都二模）如圖，在扇形40B中，。4=4,AAOB=150°,則扇形力0B的面積為

【答案】等/gir

【分析】本題考查扇形的面積公式，根據(jù)扇形的面積公式5=寰（〃為扇形圓心角的度數(shù)）直接求解

即可.

【詳解】解：由題意，該扇形力0B的面積為竺富=?，

3603

故答案為：等.

8.（24-25九年級上?黑龍江哈爾濱?期中）若120。圓心角所對的弧長是［ircm,則此弧所在圓的半徑的長是_

cm.

【答案】2

【分析】本題考查的是弧長的計算，掌握弧長的公式是解題的關(guān)鍵.根據(jù)弧長的公式黑計算.

loO

【詳解】解：根據(jù)弧長的公式黑，

180

1207rr4

=-7T,

1803

.*.r=2,

故答案為2.

9.（24-25九年級上?河南周口?期末）如圖，QB,QC,兩兩不相交，且半徑都是0.5,則圖中

四個扇形（即陰影部分）的面積之和為.

【答案】=

4

【分析】本題考查扇形的面積，關(guān)鍵是由圖形得到四個扇形的面積之和=半徑是65的圓的面積.四個

扇形的面積之和=半徑是0.5的圓的面積，由此即可計算.

【詳解】解：???四邊形內(nèi)角和是360。，

二四個扇形的面積之和=半徑是0.5的圓的面積=Jrx0.52=p

4

故答案為：

4

10.（24-25九年級下?廣東汕頭?開學考試）如圖所示，扇形。48從圖①無滑動繞著點4旋轉(zhuǎn)到圖②（4。2。=

90。）的位置，再由圖②緊貼直線運動到圖③，已知4。=60。，0A=2.由圖①到圖②點。所運動的路

徑長是（結(jié)果保留n）.

【答案】TT

【分析】本題主要考查了弧長公式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確運用弧長公式進行計算.

由圖①到圖②，點。所運動的路徑是以4為圓心，4。為半徑，圓心角為90。的弧長，利用弧長公式求解

即可.

【詳解】解：由圖①到圖②，點。所運動的路徑是以4為圓心，4。為半徑，圓心角為90。的弧長，

根據(jù)弧長公式1=黑（其中n為圓心角度數(shù)，r為半徑））,

180

可得路徑長：鬻=11,

180

故答案為：7T.

11.（2025?寧夏銀川?一模）“萊洛三角形”（圖1）是一種特殊的三角形，它是分別以等邊三角形的三個頂點

為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段弧組成的曲邊三角形.如圖2是小明畫出的一個“萊洛三角

形”.若該等邊AABC的邊長為6,則這個“菜洛三角形”的面積是.（結(jié)果保留根號和兀）

【答案】18TT-18V3

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，扇形面積，先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得乙4=N8=

22

ZC=60°,AB=BC=AC=6,再運用勾股定理算得=>JBA-AH=3AS^ABC=jXXCX

BH=9V3,觀察圖形得這個“菜洛三角形”的面積是3s扇形BAC