第9講函數(shù)奇偶性與周期性

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激活思維

1.（人A必一P84例6,P85練習(xí)T2改）（多選）下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（BC）

A./（x）=2x4+3x2B./（x）=x3-2x

C，Ax）=x+-D.y（x）=］

X

2.若一個(gè)奇函數(shù)的定義域?yàn)閧—1,2,a,b},則“+b=（A）

A.-1B.1

C.0D.2

3.(人A必一P101復(fù)習(xí)參考題T9(l)改)已知奇函數(shù)＞=/)在區(qū)間［Q,切上單調(diào)遞減，且

有最大值加，那么下列說(shuō)法正確的是(B)

A.函數(shù)歹=/3)在區(qū)間［―b,—Q］上單調(diào)遞減，且八-b)=一冽

B.函數(shù)歹=於)在區(qū)間［―6,一㈤上單調(diào)遞減，且八-a)=一加

C.函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［一b,一幻上單調(diào)遞增，且八-b)=一冽

D.函數(shù)歹=於)在區(qū)間［—6,一幻上單調(diào)遞增，且八一a)=一冽

【解析】奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，最值互為相反數(shù).

4.(人A必一P86習(xí)題T11改)已知函數(shù)於)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x20時(shí)，段)=

x(l+x),則大一2)的值是_二金.

【解析】由題知人2)=6,因?yàn)槿藊)為奇函數(shù)，所以八—2)=—火2)=-6.

5.已知於)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)—1,1)時(shí)，於)=

—4N+2,—IWxVO,

“，OWxVl,

【解析】由題意得庫(kù)卜卜

I—4X2)f+2=L

聚焦知識(shí)

1.奇偶性

定義：若/(—x)=〃x),則以)為偶函數(shù)；若=則人功為奇函數(shù).

這兩個(gè)式子有意義的前提條件是：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

性質(zhì)：(1)奇函數(shù)的圖象關(guān)于一原點(diǎn).對(duì)稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸、對(duì)稱;

(2)若奇函數(shù)的定義域包含0,則必有于函=0；

(3)在關(guān)于y軸對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間內(nèi)，奇函數(shù)單調(diào)性_指同」偶函數(shù)單調(diào)性一擔(dān)反一.

(4)一1般地：奇士奇=奇；偶土偶=偶；奇X奇=偶；偶X偶=偶;奇義偶=奇，除法相

(5)復(fù)合函數(shù)的奇偶性：內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外.

(6)既奇又偶的函數(shù)只有一個(gè)y=0,但定義域可以有無(wú)數(shù)個(gè).

2.周期性

(1)對(duì)定義域內(nèi)任意x,存在非零常數(shù)T(T>0),使_"x+D=Hx)_成立,則7為九x)的周

期；

(2)若T存在最小值，則該值為最小正周期.

研題型素養(yǎng)養(yǎng)成

舉題說(shuō)法

目mn函數(shù)奇偶性的判定

例1

【解答】外)的定義域?yàn)閧-1,1},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又八一1)=八1)=0,八一1)=—7U)

=0,所以/(X)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

x2+2,x>0,

(2)於)=0,x=0,

、一x2—2,x〈0；

【解答】/(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)x>0時(shí)，/(一%)=—(一%)2—2=—(A2

+2)=一/)；當(dāng)％<0時(shí)，/(-x)=(-x)2+2=_(-x2_2)=—/(x)；當(dāng)工=0時(shí)，次0)=0,也

滿足八一x)=—Ax).故該函數(shù)為奇函數(shù).

YYI-kY

(3)j[x}=loga----(mW0)；

m-x

例十,T

【解答】")的定義域?yàn)?一|加I，H)，八一x)=log。'―-=logtz[m—J=—loga/匕=

m-\~xm~x

所以火x)為奇函數(shù).

ax~\~1

(4)段)=----(。>0且qWl).

ax—1

【解答】人X)的定義域?yàn)?-8,0)U(0,+8),且人—x)="^=AX2=一兀明所

ax-11-ax

以外)為奇函數(shù).

〈總結(jié)提煉A

判斷函數(shù)奇偶性的步驟是：①求函數(shù)的定義域，判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)

稱，則既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；②驗(yàn)證人一x)是否等于句(x),或驗(yàn)證其等價(jià)形式小)切;一

x)=0或4一”=±l(/(x)W0)是否成立.

於)

1---V

變式1(1)設(shè)函數(shù)八x)=L=,則下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(B)

l+x

A./x—1)-1B.>-1)+1

c.y(x+i)-iD./(x+l)+l

【解析】由題意可得於)===—1+j.對(duì)于A,八x—1)—1=2—2不是奇函數(shù);

1+X1+XX

對(duì)于B,加-1)+1=4是奇函數(shù)；對(duì)于C,於+1)—1=———2,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

xx+2

不是奇函數(shù)；對(duì)于D,火x+l)+l=,，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù).

x+2

(2)(2024?南京二模X多選)已知函數(shù)加)滿足於)/(J)=/ay)+|x|+M，貝1(AC)

A./O)=lB./l)=-l

C./(x)是偶函數(shù)D.y(x)是奇函數(shù)

【解析】令尸0,則人0次0=的)+兇，令x=y=0,則胞)]2=犬0),解得的)=0或人0)

=1.若/(0)=0,則慟=0恒成立，不合題意，故人0)=1,A正確.由次0)=1,得以)=1+|尤I，

則人1)=2,B錯(cuò)誤.因?yàn)楹瘮?shù)｛x)=l+|x|的定義域?yàn)镽,八一X)=l+|—x|=l+慟=/(x),故

八X)為偶函數(shù)，C正確，D錯(cuò)誤.

目幀巨函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

視角1求值(解析式)

例2-1(1)已知函數(shù)人x)是奇函數(shù)，當(dāng)x20時(shí)，/(x)=2x—1,則五-2)=(D)

3

A.1B.--

4

C.3D.l3

【解析】當(dāng)時(shí)，加)=2工一1,則H2)=22—1=3.因?yàn)楹瘮?shù)Hx)是奇函數(shù)，所以人一

2)=-/(2)=-3.

(2)(2025?亳州期初摸底)已知函數(shù)人x)的定義域?yàn)镽,>=加)+己是偶函數(shù)，y=/(x)—3e>

是奇函數(shù)，則;(In3)的值為(D)

7

A.-B.3

3

CTD.11

33

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以次-x)+er=/a)+e\即人￥)—/(—x)=e

r一廿①.又因?yàn)楹瘮?shù)>=/(x)—3^為奇函數(shù)，則人一x)—3er=—/(x)+3ex,即_#%)+/(—%)=

3^+3一②.聯(lián)立①②可得｛x)=H+2er,所以/(In3)=6瓜3+2「瓜3=￡

變式2-1(2024?淮北二模)若函數(shù)於)=ax+lne+l)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=(B)

101

AA.-B.

22

C.-D.--

ee

【解析】依題意，八一x)=/(x),即一"+ln(er+l)=qx+ln(廿+1),整理得2〃x+ln

1

I=0,即Zox+lne^nO,則有(2a+l)x=0.因?yàn)閤不恒為0,故必有2Q+1=0,解得q

=_1

2

視角2函數(shù)圖象識(shí)別

例2-2（2024?全國(guó)甲卷理）函數(shù)/[x）=—N+6—er）sinx在區(qū)間[-2.8,2.8]上的大致

圖象為（B）

【解析】/（一%）=—x2+（e-x—^sin（―x）=—x2+（e"—e"x）sinx=/（x），又函數(shù)的定義域

為[—2.8,2.8],故該函數(shù)為偶函數(shù)，排除A,C.又｛1）=—1+[ee]sinl>—l+[ee]sin

——1———^>0,故可排除D.

622e42e

變式2-2（2024?揚(yáng)州期末X多選）已知函數(shù)/（工）=%0+供-"）是奇函數(shù)或偶函數(shù)，貝幼=

4）的圖象可能是（BC）

【解析】由已知得八一X）=一+若>=/（X）為偶函數(shù)，則一%（。一%+4鏟）=%（^

十四一%）恒成立，所以％（1+〃）（曠+?-%）=0恒成立，故〃=—1,則於）=》（曠一e"）,所以x>0

時(shí)有/（x）〉0,且/（X）單調(diào)遞增，顯然C正確，D錯(cuò)誤.若y=/（x）為奇函數(shù)，則一1（0。+恁、）

=一式^+公一%）恒成立，所以X（Q—1）⑹一er）=0恒成立，故4=1,則以￥）=%（。+?一”）,所

以x〉0時(shí)有人x）〉0,且/（x）單調(diào)遞增，顯然B正確，A錯(cuò)誤.

視角3解不等式

例2?3（2024?永州三模）已知函數(shù)於）=e"—er+sinx—x+2,其中e是自然對(duì)數(shù)的底

數(shù).若｛log。十43）>4,則實(shí)數(shù)，的取值范圍是（C）

B.G+9

C.(0,8)D.(8,+8)

【解析】因?yàn)閒(x)=ex+e~x+cosx~1^2\Zex-e-;v+cosx~1=1+cos所以/(x)在

R上單調(diào)遞增.令g(x)=/(x)—2,所以g(x)在R上單調(diào)遞增，"r)=g(x)+2.因?yàn)間(—x)=er

一鏟+sin(―x)+x=—g(x),所以g(x)為奇函數(shù)，則"og￡)+｛3)>4化為g(log￡)+2+g(3)

11

+2>4,所以g(log0>—g(3)=g(logf)>g(—3)=log￡>亍3,解得0VfV8.2

111

視角4最值性質(zhì)22

例2-4已知定義域?yàn)镽的函數(shù)｛xlna+VsUZmeR)有最大值和最小值，且最大值

2+cosx

與最小值的和為6,則

【解析】令g(x)=%nx,顯然g(x)為奇函數(shù)，最大值、最小值互為相反數(shù)，分別設(shè)

2+cosx

為M,-M,貝I加)=°+-^111^-(061t)的最大值、最小值分別為M+a,-M+a,和為2a

2+cosx

=6,貝!］a=3.

目幀周函數(shù)的周期性

例3(1)若加)滿足於+2)=一/)，且人1)=—5,則加：5))=_5_.

【解析】因?yàn)樨+2)=—兀0所以7=4,所以｛5)=/(1)=-5,所以歡5))=/(—5)

=A—1).令x=—1,則<1)=一八—1)=—5,所以歡5))=八一1)=5.

(2)若定義在R上的函數(shù)加)滿足加+3)+加+1)=負(fù)2),則［2024)=。.

【解析】因?yàn)?(x+3)+/+1)=｛2),代入x—2得，｛x+l)+/(x—1)=H2).兩式相減得，

>+3)=/(x-l),即於+4)=加)，所以4為函數(shù)加)的周期，因此大2024)=/(4X506)=/(0).

在｛x+3)+/(x+l)=A2)中，令x=—1,得人2)+｛0)=｛2),所以｛0)=0,即人2024)=0.

〈總結(jié)提煉A

周期性的幾個(gè)常用結(jié)論

對(duì)於)的定義域內(nèi)任一自變量的值x,周期為7,則：

(1)危+a)=/(x+6):可得於)為周期函數(shù)，其周期7=/-0;

(2)於+°)=一加)0/2的周期7=20;

(3)人工+0)=上=於)的周期T=2a;

fix)

(4)；(x)+/(x+a)=網(wǎng)左為常數(shù))m/(x)的周期T=2a;

(5)外>"+0)=履左為常數(shù)的周期T=2a.

變式3(2024?蘇中蘇北八市三調(diào))已知函數(shù)人x)的定義域?yàn)镽,且｛x+1)為偶函數(shù)，人x

26

+2)—1為奇函數(shù).若人1)=0,則左］義左)=(C)

A.23B.24

C.25D.26

【解析】由於+1)為偶函數(shù)，得人x+l)=/(—x+1),所以/(X)關(guān)于X=1對(duì)稱.由人X

+2)—1為奇函數(shù)，得八一%+2)—1=—/+2)+1,即八—x+2)+/(x+2)=2,則次x)關(guān)于點(diǎn)

(2,1)對(duì)稱.由｛x)關(guān)于x=l對(duì)稱得以)=黃一x+2),則｛x)+/(x+2)=2,負(fù)x+2)+負(fù)x+4)

=2,作差得/(x)=/(x+4),所以/(x)為周期函數(shù)，且周期為4.因?yàn)槿?)+八3)=2,負(fù)1)=0,

所以火3)=2.因?yàn)榛?)=八2),火0)十42)=2,所以次0)=火2)=1,丹4)=/(0)=1,則X1)+_/(2)

2426

+｛3)+八4)=4,所以g［人人)=24,^?=24+1+0=25.

隨堂內(nèi)化

1.(2024?泰州2月調(diào)研)已知函數(shù)人x)=3坦是定義在R上的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)。=

l+e^

(C)

A.-1B.0

1

D.1

2

【解析】因?yàn)樨為奇函數(shù)，所以｛一x)=-/(x),即e"、sin(—x)=_g^因?yàn)閤

1+e*1+鏟

p~ax^axRXp~axptzr1

不恒為o,所以二一=q-,所以-----，即x—ox=ax,解得a=一.

1+e*1+exeY+1e^+l2

2.(2025?宿遷期中)設(shè)函數(shù)加)=小|,則不等式X21ogu)+^3-logu)<0的解集是

(B)

A,以27)BU

C.(0,27)D.(27,+°°)

x2,x20,

【解析】fix)=x\x\,XGR,則加)=?作出函數(shù)人X)的圖象如圖所示，可

—x2,x<0,

知火X)是R上的增函數(shù).又八一X)=—x|—R=-x|x尸-/X)，所以加)是奇函數(shù).不等式次21ogM)

+/3—log3X)<0可化為/(21og3X)<—/(3—log#),所以/(21ogM)<y(l0gM—3),則210gM<k>gM

—3,5plog3X<—3,解得即不等式y(tǒng)(2k)g3X)十/(3—log3X)的解集是

(第2題答)

3.(2024?十堰期末)(多選)已知定義在R上的函數(shù)次x)在(-8,2］上單調(diào)遞增，且九x+2)

為偶函數(shù)，貝1(BD)

A.於)的對(duì)稱中心為(2,0)

B.7(x)的對(duì)稱軸為直線x=2

C.八―1)>44)

D.不等式“c+3)>A4x)的解集為1―8'Ju(l,十叼

【解析】因?yàn)?+2)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于〉軸對(duì)稱，所以/x)圖象的對(duì)稱軸為直線x

=2,故A錯(cuò)誤，B正確；又火%)在(一8,2]上單調(diào)遞增，所以八%)在[2,+8)上單調(diào)遞減，

所以八一1)={5)</(4),故C錯(cuò)誤；由不等式<x+3)>/(4x)結(jié)合/)的對(duì)稱性及單調(diào)性，得

|x+3—2|<|4x—2|,即(x+3—2)2<(4X—2)2,即(5x—l)(3x—3)>0,解得或x>l,所以

f-oo1]

不等式八x+3)>/(4x)的解集為I'5ju(l,+°o),故D正確.

4.已知函數(shù)人x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且周期為2,當(dāng)xG[—1,0)時(shí)，負(fù)x)=0—1,

貝1

【解析】由題知當(dāng)X=—1時(shí)，1)=1.因?yàn)楹瘮?shù)人x)的周期7=2且為偶函數(shù)，所以

>+2)=?,所以負(fù)3)=人1)=八一1)=1.

「溫馨提示,

i

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配套精練

A組夯基精練

一、單項(xiàng)選擇題

1.(2024?蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)若函數(shù)y=4c)—1是定義在R上的奇函數(shù)，則八一1)+{0)+火1)

=(A)

A.3B.2

C.-2D.-3

【解析】設(shè)尸(x)=Ax)—1,則尸(x)+尸(一x)=0,即兀0—1+八一X)—1=0,即")+八一

x)=2,所以{1)+八一1)=2.因?yàn)槭?0)={0)—1=0,所以{0)=1,故人一1)+{0)+{1)=2

+1=3.

2.已知函數(shù)兀v)=asinx+ZrG+4,若/(lg3)=3,

【解析】由人lg3)=asin(1g3)十從由十4=3,得。sin(1g3)+從陰=T,則3.

3____

=/(—lg3)=~asin(1g3)—Z>A/lg3+4=1+4=5.

+3—

3.(2024?福州、廈門三檢)函數(shù)加尸〒=的圖象大致為(A)

w+i

【解析】函數(shù)義x)=^=的定義域?yàn)镽,故排除C,D.又八一勸=段)，即以)為偶函

\x2+l

數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，排除B.

4.(2024?邯鄲三調(diào))已知人x)是定義在R上的偶函數(shù)，{x+2)=/(x),且兀0在[―1,0]±

單調(diào)遞減，若a=/(log345),6=八一log58),c=/Q,貝1(B)

A.a〈b〈cB.a〈c〈b

C.c<.a<bD.b<c〈a

【解析】因?yàn)樾?是偶函數(shù)，於+2)=加)，於)在［-1,0］上單調(diào)遞減，所以加)在［1,

3

2］上單調(diào)遞減.a=Xlog345)=fl2+log35)=Xlog35),b=/(—log58)=Xlog58),因?yàn)?=125>

444

34

34=81,8=512<5=625,所以5>33,8<53)所以I<log58<；<log35<2,所以人log58)

>/(log35),故aVcVb.

二、多項(xiàng)選擇題

5.(2024?南通一調(diào))設(shè)函數(shù)4)的定義域?yàn)镽,於)為奇函數(shù)，/(l+x)=Al-x),八3)=1,

則(ABD)

A./-l)=lB.〃)=/(4+x)

18

c.?=y(4-x)D.X,?=-l

【解析】由於)為奇函數(shù)，知函數(shù)兀v)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱，又{l+x)=/(l—x),

則加0的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，故人x+2)=/(—x)=-/(x),則{4+x)=-/(x+2)=/(x),

所以外)為周期函數(shù)且周期為7=4,故B正確；<3)=/(—1)=1,故A正確；火4—x)=/(—x)

=一小)，故C錯(cuò)誤；由上可知人2)=一{0)=0,{4)={0)=0,所以人1)+42)+/(3)+{4)=

18

一八―1)+0+1+0=0,則石〃)={1)+次2)=-1,故D正確.

6.已知函數(shù)4)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，4)=」一一1,則下列說(shuō)法正確

2—x

的有(ACD)

3

A.當(dāng)％>0時(shí)，外)=1—-。

2+x

B./(0)=1

C.不等式歡x)<0的解集為(-1,0)U(0,1)

D.若函數(shù)y=|/(x)|一。的圖象與x軸有4個(gè)不同的交點(diǎn)，則0<°<；

一M——1

【解析】當(dāng)x>0時(shí)，一xVO,由題意可知人x)=~/(—%)=一出一(一%)

「J/

r3

--------1,x<0,

2—x

A正確.由題意可知｛0)=0,B錯(cuò)誤.由以上知/(X)—,0,x=0,令外)>0,

3

1---------，x>0,

-2+x

x>0,

則一IVxVO或x>l；令fix)<0,則xV—1或OVxVl.由xf(x)<0,得，或

m<o

x<0,

?即OVxVl或一IVxVO,C正確.令y=l/(x)|一。=0,得〃=心)|,作出的)|的

信)>0,

圖象如圖所示，由圖可知當(dāng)y=a和y=l/(x)|存在4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，D正確.

(第6題答)

7.(2024-湛江二模)已知函數(shù)而:)的定義域?yàn)镽,八x)不恒為零，且加+夕)+加一回=

WW)>則(ABD)

A./O)=l

B./(x)為偶函數(shù)

C./)在x=0處取得極小值

D.若人.)=0,貝|/(x)=Ax+4a)

【解析】對(duì)于A,令x=y=O,得物))=2漢0)]2,解得｛0)=0或義0)=1.當(dāng)川)=0時(shí)，

令>=0,貝U"(x)=Wx)/(O),則以)=0,這與/(x)不恒為零矛盾，所以｛0)=1,故A正確.對(duì)

于B,令x=0,則穴0+四+八0—四=弈求0),即%)=A—y),即於)為偶函數(shù)，故B正確.對(duì)

于C,<Xx)=cosx,滿足題意，此時(shí)x=0不是人無(wú))的極小值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D,令y

=a,得危+<2)+於-a)=4(x)/(a),若大a)=0,則兀r+a)=~/(x—a),則兀r)=—/(x+2a),

則J(x+4a)=—fix~\~2a)=flx),故D正確.

三、填空題

8.(2023?全國(guó)甲卷理)若y=(x—l)2+ax+sinG+J為偶函數(shù)，則a=2.

【解析】因?yàn)閥=/(x)=(x—Ip+ax+sinI2J=(x—l)2+qx+cosx=%2+cosx—2x+

QX+1為偶函數(shù)，定義域?yàn)镽,所以—%)=(-x)2_Fcos(—x)+2x—ax+l=/(x),解得Q=2.

9.(2024?棗莊一模)已知｛x+2)為偶函數(shù)，且義工+2)+火工)=—6,則42027)=_-3_.

【解析】因?yàn)樨+2)為偶函數(shù)，所以外+2)=/(—x+2),又加+2)+外)=—6,所以

八一1+2)+火工)=—6.因?yàn)?(x+2)+/(x)=-6,所以兀r+4)+j(x+2)=—6,所以火工+4)=/),

所以函數(shù)外)為周期函數(shù)，周期為4,所以人2027)=｛3)=/(—1).由八一x+2)+4x)=—6,可

得火1)+次1)=-6,由於+2)+次x)=-6,可得大1)+八―1)=一6,所以火1)=八―1)=-3,

所以人2027)=-3.

10.已知函數(shù)段)為R上的偶函數(shù)，對(duì)任意修，制￡(一8,0］,當(dāng)時(shí)，均有(修一

X2)(/(X1)—/(X2))<O成立.若"Og3")>2^1),則實(shí)數(shù)加的取值范圍為.

+0°)_.

【解析】由任意Xl,X2G(—8,0],X1WX2,均有(Xl—X2)(/(X1)—/(X2))<O成立，得兀。

在(-8,0］上單調(diào)遞減.又函數(shù)於)為R上的偶函數(shù)，則於)在［0,+8)上單調(diào)遞增.不等

式y(tǒng)(log3ZH)+>2/(1)^Alogsw)+X-log3m)>2/(1)<^>2/(log3W)>2/(l)<^A|log3w|)>

/(l),則|log3創(chuàng)>1,即log3m<-1或log3加>1,解得0<7M<g或機(jī)>3,所以實(shí)數(shù)加的取值

范圍為』'I)u(3,+°0).

四、解答題

11.已知函數(shù)/(X)的定義域是｛X,eR且xWO｝，對(duì)定義域內(nèi)的任意XI，X2都有?HX2)=Xxi)

+於2),且當(dāng)X>1時(shí)，?>0,｛4)=1.

(1)判斷函數(shù)加)的奇偶性并證明；

【解答】火X)是偶函數(shù)，證明如下：因?yàn)槿薠1X2)=7(X1)+4&),令X1=X2=1,則

+/U)，所以穴1)=0.令X1=X2=—1,則｛1)=八-1)+八一1),所以八-1)=0.令X1=X,X2=

-1,則八一x)=Xx)+八-1)="0，即對(duì)任意的xe(—8,0)U(0,+8)都有八一x)=/(x)成

立，所以八X)是偶函數(shù).

(2)求證：兀0在(0,+8)上是增函數(shù)；

【解答】依題意，任取Xl,X2G(0,+°°),且X1>X2,則(2xj=/lj+y(X2),即7(X1)

—八改)=0.因?yàn)楫?dāng)X>1時(shí),兀0>0,而X1>X2>O,則型>1,所以(J>0,所以人無(wú)1)一兀⑸

X2

>0,即於1)>加2),所以於)在(0,+8)上是增函數(shù).

(3)解不等式｛3x+l)W3-/(2x—6).

【解答】因?yàn)殪?是偶函數(shù),式4)=1,3=3{4)=火4)+大4)+犬4)={16)+義4)=人64),次3x

+1)+y(2x-6)=/((3x+1)(2x-6))=/(|(3x+1)(2x-6)|),所以不等式{3x+l)W3-/(2x—6)可

化為7(|(3x+l)(2x—6)|戶人64).由⑵可知,父x)在(0,+8)上是增函數(shù)，所以0V|(3x+l)(2x

ii7

一6)氏64,所以xW3,xW一：,且一64忘(3X+1)(2X一6)忘64,解得》#3中片一}且一：W;<<5,

所以xe_3,Ju[3,3]U(3,5],故原不等式的解集為-3,l)u[3,3]u(3,

5],

12.設(shè)函數(shù)啟)與g(x)的定義域是{%,￡區(qū)且、￡±1},/(%)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù)，且/(X)

+ga)=-x7.

x—1

(1)求加)與g(x)的解析式；

【解答】根據(jù)題意，知/Cx)+g(x)=^j,則/(—x)+g(—x)=----匚=~^一.又加)是偶

X—1—X—1x+1

函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，則義-x)+g(—x)=/3>—g(x)=^、，聯(lián)立兩式解得/(x)=T—,g(x)

x+1X2-1

X

X2—1

⑵十火2)+火3)+火4)的值.

【解答】由(1)知外)=三二,

X2—1

+八2)十八3)+次4)=巧+<21+

1,則+A4)J=3.

B組能力提升練

13.已知函數(shù)外)是三次函數(shù)且是幕函數(shù)，g(x)，尤)屋?”,貝Ug(—2025)+g(—2024)

+g(—2023)H-----l-g(0)H-------bg(2023)+g(2024)+g(2025)=(C)

A.4051B.8100

C.8102D.9094

丫3%亦+1r3

【解析】因?yàn)樾?是三次函數(shù)且是寨函數(shù)，所以4)=總所以g(x)=X；；二3+2-

令〃(x)=g(x)—2=*,則/?(—X)=g(—X)—2=°￥=二?=—/z(x),則〃(x)是奇函數(shù)，所以