廣東省深圳市寶安中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)

學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合&=?-5%-6<0卜B={y|y=2sinx},則A|J3=C）

A.[-2,3）B.（-3,2]C.（-6,2]D.[—2,6）

2.若{3,《（是平面內(nèi)的一個基底，則下列四組向量中可以作為平面向量基底的是（）

3.在VA3C中，內(nèi)角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,且滿足a:Z?:c=3:4:6,則cosA

的值為（）

,11〃4343

A.—B.—C.—D.-----

444848

4.復(fù)數(shù)z滿足忖=1,則|z-3+4i|（i為虛數(shù)單位）的最小值為（）

A.4B.5C.2D.3

5.水滴是劉慈欣的科幻小說《三體II?黑暗森林》中提到的由三體文明使用強互作用力（SIM）

材料所制成的宇宙探測器，因為其外形與水滴相似，所以被人類稱為水滴.如圖所示，水滴

是由線段AB,AC和圓的優(yōu)弧圍成，其中AB,AC恰好與圓弧相切.若圓弧所在圓的半

徑為2,點A到圓弧所在圓圓心的距離為4,則該封閉圖形的面積為（）

A.三邊均不相等的三角形

B.直角三角形

C.底邊和腰不相等的等腰三角形

D.等邊三角形

7.已知sina-sin尸=-g,cosa-cosy0=g,且e^O,^

,則tan（a-0的值為（）

A2^4口2m「V5D.一些

5522

8在“2C中，。是邊.上一定點，滿足加R，且對于邊AB上任意一點P,恒有

~PBPC>QBQC,貝U()

A.ZABC=90°B.ZBAC=30°

C.AB=ACD.AC^BC

二、多選題

9.已知虛數(shù)z滿足吃=-工+也i,則（）

22

A.z的實部為-工B.z的虛部為-Kli

22

C.|z|=lD.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限

10.在VABC中，已知石acosW^=6sinA,6=5^,則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)6<c<2時，此三角形有兩解B.VABC面積最大值為還

4

C.VABC的外接圓半徑為2D.若c=I,則此三角形一定是直角三角形

11.已知萬，b,萬是互不相等的非零向量，其中5是互相垂直的單位向量，

c=xa+yb（x,yeR）,記況=d，OB=b>OC=c>則下列說法正確的是（）

A.若他Y）@Y）=0,則。，A,B,C四點在同一個圓上

B.若（"口@-?=0,則同的最大值為2

C.若同=1,則伍V）?Y）的最大值為乎+1

D.若同=1,則x+y的最小值為

三、填空題

試卷第2頁，共4頁

12.已知向量荏=(5,6),BC=(3,m),AD=(-1,2m),若A,C,。三點共線，則根=.

13.己知尤”多是關(guān)于x的實系數(shù)方程，一4x+5=0的兩個虛根，則M+"』=.

14.在四邊形ABC。中，已知452+3(”+82+01=402+皮>2,若AB=3,AD=4,AC=6,

則的長度為.

四、解答題

15.已知同=3,W=2,(￡-B).(22+3&=9.

⑴求a和b的夾角；

⑵若向量工為分在￡上的投影向量，求B+].

16.已知函數(shù)/(x)=2sinxcos尤+2百cos?%一百.

⑴求了(%)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間；

⑵若〃a)=￡，ae]：，3，求cos,+胃的值.

17.如圖，點尸，。分別是矩形ABCD的邊OC,BC上的兩點，AB=3,AD=2.

⑴若加5=2配，CQ=^CB,O<A<1,求Q?通的范圍;

7T

(2)若/PAQ=w，求衣?硬的最小值；

JT

18.如圖，△AOD與ABOC存在對頂角/A0D=/50C=-,AC=2,8。=20，且8C=.

4

⑴證明：。為中點;

⑵若近sin2A+cosB=y/5,求OC的長.

19.已知夕e［0,萬),向量下=(cos。,sin。),b=(1,0),《、鳥、鳥是坐標(biāo)平面上的三點，使

得誣=2［西一(展西)萬］,通=2］砧一(5?四)5］.

?JT

(1)若8=3,A的坐標(biāo)為(20,21),求通；

(2)若。=事，|而46,求|加，的最大值；

(3)若存在a田0,萬)，使得當(dāng)中i=(cosa,sina)時，△片乙鳥為等邊三角形，求。的所有

可能值.

試卷第4頁，共4頁

《廣東省深圳市寶安中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號12345678910

答案DBCACDBDACABD

題號11

答案AD

1.D

【分析】分別求出集合再根據(jù)并集的定義即可得解.

【詳解】由題意得4={無產(chǎn)_5.-6<0}=?一1<無<6},B={y|j=2sinx)={y|-2<y<2),

所以AU3=[-2,6).

故選：D.

2.B

【分析】利用基底的性質(zhì)結(jié)合選項可以判斷.

【詳解】因為1-21=-（21-可，所以仔-2最27可不能作為平面向量的基底，A不正

確；

因為2冢+3晟3不+2段不共線，所以佰+3Z,31+2可能作為平面向量的基底，B正確；

因為6冢+4￡=2（2不+3可，所以｛2最+3最6冢+4可不能作為平面向量的基底，C不正確；

因為=-21最-;冢），所以h-2?-；“"不能作為平面向量的基底，D不正確；

故選：B

3.C

【分析】設(shè)a=3k,b=4k,c=6k,由余弦定理求解即可.

【詳解】a:b:c=3:4:6,不妨設(shè)。=3左,0=4左,c=6左，k＞。，

^22_216V+36V-9V43

由余弦定理cosA=--------------

2bc48V-48

故選：C.

4.A

【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z的軌跡，再利用數(shù)形結(jié)合求模的最小

值.

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z,由|z|=l知，點Z的軌跡為以原點為圓心,

半徑為1的圓，|z-3+4i|表示圓上的點到點C（3,T）的距離，如下圖,

答案第1頁，共13頁

如圖,最小值為忸C|=|OC|-1=5-1=4.

故選：A

5.C

【分析】作出輔助線，得至AB=AC=243,利用扇形面積公式和三角形面

積公式得到答案.

【詳解】取優(yōu)弧BC所在圓的圓心。，連接AO,BD,CD,則CDLAC,

712

則AO=4,5O=CD=2,所以N5AO=NCAD=—,則N3Z)C=—兀，

63

AB=AC=-742-22=25/3，

故優(yōu)弧BC對應(yīng)的圓心角為wn,對應(yīng)的扇形面積為兀x2?=—7t,

S

而.ABD=S’ACD=gx26X2=273,

所以該封閉圖形的面積為|兀+凡.+久小》=|兀+4括.

故選：C

6.D

【分析】由已知可得二A的角平分線與8c垂直，可分析出VABC是等腰三角形，根據(jù)數(shù)量

積公式可求角A,即可判斷.

ABAC

【詳解】因為后方尋分別為與麗，質(zhì);同向的單位向量，

答案第2頁，共13頁

因為禺+/BC=O,可知NA的角平分線與BC垂直，則AB=AC,

unituum

mA3AC11/AI.I

又因為-we----=lxlxcosZA=—,即cosnnA=—,

|AB|\AC\22

且/Ae（o,7i）,則=所以VABC是等邊三角形.

故選：D.

7.B

QC

【分析】將條件的兩個式子平方相加可得2-2cos（。-￡）=],然后可得cos（a-分）=,，再

由sina-si“=-g<0,私/40,鼻，可得（"尸）￡（一今,0）,從而可求出

sin（6z-/?）=9由商式關(guān)系可求得tan（a—尸）=一^^^.

24

【詳解】由sin1一sin尸=一耳，得sin2。一2sin。sin￡+sin?尸=§,

24

由coscr-cos0=1,cos2a-2cosacosy0+cos2=—,

Q5

兩式相加得，2—2cos（a—分）=§,所以可得cos（a-Q）=§,

因為sin&_sin,=_g<0,所以（a-0）e,

所以sin（々一6）=_2^^，tan（a~=

故選：B

8.D

【分析】在AABC中，取8c的中點。，A8的中點E,連接CE,DQ.由而?近2班.就

可得QDLAB,即可判斷各選項正誤.

【詳解】在AABC中，取BC的中點Z）,A8的中點E,連接CE,DQ.

^PBPC=（PD+DB）（PD+OC）=（PD+DB）（PD-DB）=|PD|2-|DB|2,

誣衣=（而+西?廊+西=（西+西?回-珂=|珂-網(wǎng)2

由而反“B.QC,得回閆的『，因點到直線垂線段最短，可知QDLAB.

A選項，因QDLAB,則/。。8=90°,則ZABC<90。，故A錯誤；

B選項，由題目條件，無法判斷二胡C大小，故B錯誤；

答案第3頁，共13頁

CD選項，因。8=；A3,E為AB中點，則。為切中點，結(jié)合。為8c中點，可知。?！–E,

CE1AB,又E為A8中點，則AC=3C,又由題目條件不能判斷AB,AC關(guān)系，故C錯誤,

D正確.

故選：D

【分析】由復(fù)數(shù)的概念可判斷AB選項；利用復(fù)數(shù)求模公式判C選項；z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的

(1萬、

點為-子-+可判斷D選項.

I22J

【詳解】因』;+爭,則z=1一當(dāng),故z的實部為—，虛部為邛,

忖=J'g[+=1，Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為—；，-日'，在第三象限，

故AC正確；BD錯誤；

故選：AC

10.ABD

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，結(jié)合二倍角公式求出B,再結(jié)合正弦定理、

三角形面積公式、余弦定理逐項判斷即得.

【詳解】在VABC中，由6"cos4<=6sinA及正弦定理，得gsinAcos（巴-0）=sinBsinA,

222

而sinA>0,則65山0=$m8=25由0850,X0<—<—,因此cosO=3,,即

222222226

對于A,當(dāng)有<c<2時，Ob,則。冶，由正弦定理得：

立

■nrcsinB'乂21>/3角C有兩個值，三角形有兩解，A正確；

b622

對于B,由余弦定理得3=/=/+。2-2。。8$弓2。。，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號,

答案第4頁，共13頁

因此VABC面積S.Re=LqcsinK=叵，B正確；

?ABC2344

P_1b1B

-

對于C,VABC的外接圓半徑一5sinB2后一，C錯誤；

了

I*JTJT

對于D,當(dāng)c=l時，.csinB21，而c<6,<0<C<-,解得C=：,

sinCr=--------=—=—36

bV32DO

jr

因此8+。=”，此三角形一定是直角三角形，D正確.

2

故選：ABD

11.AD

【分析】對于A選項，(a-c)-(b-c)=O<^CA±CB,后由/4O8+/4CB=7i可得答案.

對于B選項，由A分析可知，O,A,B,C四點在同一個圓上.又同=|反則其長度為圓

上弦的長度.

對于C選項，由題可得A,B,C均在以。為圓心、1為半徑的圓上，設(shè)

A(cos%sina),C(cos/7,sin尸)，又礪J_礪，貝!|3(-sina,cosa).

表示出W3?僅-C)后可得答案.

_..,「cos￡=xcosa-ysina

對于D選項，由乙=4+乃結(jié)合C選項分析，得《.A，

=xsma+ycosa

又由忖=1,可得尤2+y2=1,后由重要不等式可得答案.

【詳解】對于A選項，如圖，若他-3?-4=0,則回.麗=0,所以函，又〃5,

所以NAO3+/ACB=7T,所以。，A,B,C四點在同一個圓上，故A正確；

對于B選項，若("曰0-^=0,由A選項知，。，A,B,C四點在同一個圓上，

又同則其長度為圓上弦的長度.當(dāng)線段0C為該圓的直徑時，同最大，且最大值等

答案第5頁，共13頁

于|AB|=，同2+1同=41,故B錯誤；

對于C選項，由題可得A,B,C均在以。為圓心、1為半徑的圓上,

設(shè)。4=（85。其11。）,0。=（85分同叨），又礪_L礪，貝!J

71

OB=COSI+6TI,sinI+6T一sin4cosc).其中a,(3G[0,2TI).

2

則

=(0A-0C)(0B-dC)=(cosa-cos尸)?(-sin6z-cos尸)+(sina-sin尸)?(cosa—sin尸)

=sintzcos/?-sin/?cosa-(cosacos/3+sinasin/7)+1

=sin(a—4)一cos(a—4)+1=1+V2sinJ<1+V2,

當(dāng)a-尸=邛3IT時取等號.故C錯誤.

4

cos/3=xcosa-ysina

對于D選項,由C選項分析結(jié)合E=元。+仍可知

sin/=xsina+ycosa

又同=1,貝U(xcosa—ysinaj+(烈ina+ycosaj—i

=x2(cos2a+sin26Z)+y1(cos2cr+sin26z)—2盯cosasina+2盯cosasincr=1

nJ+,2=],

則由重要不等式有：（X+y）2=f+/+2沖W2（f+/）=2.

得x+”-四，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=-［時取等號.故D正確.

故選：AD

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題涉及向量，三角函數(shù).判斷A,B選項關(guān)鍵為能由伍-弓―（5-W=0

得到/_L而，從而可以得到。，A,B,C四點在同一個圓上.

判斷C,D選項關(guān)鍵，為利用A,B,C在單位圓上設(shè)出其坐標(biāo)，后利用向量坐標(biāo)表示結(jié)合

三角函數(shù)，不等式知識解決問題.

12.--

17

【分析】由向量線性運算的坐標(biāo)表示得AC=（8,m+6），根據(jù)三點共線有工=九而且?guī)譭R,

即可求加值.

答案第6頁，共13頁

【詳解】由/=而+第=(8,m+6),又A,C,。三點共線,

2=-8

_一[-2=8

所以AC=/LM>且XeR,貝叫c,/可得《6.

[2mZ=m+o

17

故答案為：

13.旦

2

【分析】首先求出方程的兩根虛根，再計算其模與和，從而得解.

【詳解】因為4X+5=0,即(％—2『=—1=(土i『,

所以再=2-i,%=2+i,

則㈤=闖=+12=百,玉+々=2—i+2+i=4,

所以正^=述=且

xl+x242

故答案為：好

2

14.~J14：

【分析】設(shè)E歹分別為AC,8。的中點，先證明瓦歹兩點重合，則四邊形ABCD為平行四邊

形，再分別將北,而用麗，而表示，結(jié)合數(shù)量積的運算律即可得解.

【詳解】如圖，設(shè)瓦尸分別為AC即的中點，

則前=反-函屈=醺+麗=前十麗,

所以反2=EC+EB-2ECEB,AB2=EC+EB+2ECEB<

兩式相加得就2+福2=2或2+2麗2=2麗2+!通、①

2

同理可得麗2+蒞2=2而2*②

2

答案第7頁，共13頁

由①+②得而+品?+方+茄2=2（麗2+雷）+③

因為歹為5。的中點，

所以2萬=麗+而,

則4麗2=麗2+前2+2麗.詼，④

^\BD=ED-EB>則前2=前2+麗2_2亦畫，⑤

由④+⑤得麗2+4前2=2（麗2+9],⑥

由③⑥可得市,+而?+麗?+而2=熱+沅2+4產(chǎn)，

即AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4EF2，

又因為■+心+CD2+DA2=AC2+BD2,

所以跖=0,所以耳尸兩點重合，

所以AC,3?；ハ嗥椒?，所以四邊形ABCD為平行四邊形，

則/=詬+而，

AC2=AB2+AD2+2AB-AD>即36=9+16+2加而，

所以2通?通=11，

因為防=通一通，

所以而,=君+啟-2布.瓶=16+9-11=14，

所以|叫=m，即=

故答案為：V14.

71

15.（Dy;

⑵S

【分析】（1）根據(jù)題意，利用向量的運算法則，求得24=3,結(jié)合向量的夾角公式，即可

求解；

（2）根據(jù)題意，求得向量結(jié)合忸+片行+產(chǎn)吊曰+行：,即可求解.

【詳解】（1）解：由向量忖=3跖|=2,

答案第8頁，共13頁

貝!JQ-歷《2￡+3歷=27一3片+75=18-12+7方=9,解得鼠石=3,

「-i門ci'b3177

設(shè)向量2和石的夾角為aee[0,7t],則。°$夕=雨=三=5,所以。=三,

所以向量￡和》的夾角為土

a_a-ba_1-

（2）解：向量）為方在々上的投影向量，可得c=b<os。

問問忖3

2-一2

則忸+4=b+-a=+—a'b+br=*-X9+-X3X2X-+4=A/7

33932

16.(1)答案見詳解

(2)57

26

【分析】（1）利用三角恒等變換整理可得”x）=2sin[2x+gj,結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求最小

正周期和單調(diào)區(qū)間;

（2）由題意可得sin[2a+§卜7171

g根據(jù)角的關(guān)系2Y”+I3H6結(jié)合三角恒等變換分

析求解.

【詳解】(1)因為/(x)=2sinxcosx+20cos。％-g'=sin2x+^cos2x=2sinf2x+^I,

Ojr

可得“X）的最小正周期7=與=兀；

TTTTJT)jrIT

令2hi—<2x+—<2kn+—,keZ,解得fai-----<x<ku---GZ；

232]2]2

TTjr3TTJT/jT

令2E+—?2x+—K2E+—,kqZ,角星得ford----<x<ku-\---,kGZ；

2321212

TT77r

所以〃尤）的單調(diào)遞增區(qū)間為E喑也+親,keZ,單調(diào)遞減區(qū)間為kji+-,kji+-^-,kwZ.

1U0口門.兀5

(2)因為〃a)=2sin12a+]J=石，即sn12a>

1313

715兀4兀

且,貝12a+]e

a￡T'T

212

可得cos|2al-sin(2^+-^

-13)

71兀71.c71.715-125/3

所以cos2a+—=cos2a+]=cos2a+-cos—+sm2a+—sm—=-----------

I6j6l3.63626

17.(1)[4,9]；

答案第9頁，共13頁

(2)1272-12

【分析】(1)借助向量的線性運算及數(shù)量積公式計算即可得；

(2)建立平面直角坐標(biāo)系后借助三角函數(shù)與基本不等式計算即可得

【詳解】⑴由AB=3,AD=2,故西=鼻岡=3"匹叫詞=2/1,

貝網(wǎng)=2-24,

APAQ=(Ai)+DPy(AB+BQ)=Ai)AB+AD-BQ+DPAB+DPBQ

=0+2(2-22)+32x3+0=52+4,

由0W4W1,故Q?而e[4,9]；

A8為x軸，建立直角坐標(biāo)系,

則Q(3,3tan&),P2tan〉,2,

71\-1-tana/

AP-AQ=6tana+6tana=6x----------+6tana

J1+tana

———+6tana-6=6--—+tana+l|-12

1+tancr1+tancr)

>12.--——(tana+l)-12=12>/2-12,

1+tana

2

當(dāng)且僅當(dāng)+即tana=Gl時'等號成立'

^AP-AQ的最小值為1272-12.

18.(1)證明見解析

⑵:

【分析】(1)設(shè)OC=x,OB=y,結(jié)合余弦定理，表示出AD?與8c2,根據(jù)BC=A￡＞列式

化簡可得.

答案第10頁，共13頁

（2）先確定角A,3的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)&sin2A+cos8=6求角B的三角函數(shù)，再在△08C

中用正弦定理，可求OC的長.

【詳解】⑴設(shè)OC=x,OB=y,則OA=2-x,OD=2及-y.

在△AOD中，由余弦定理得：A>=（2_療+（2后-y『_2x（2-力（2后-y）x*

在ABOC中，由余弦定理得：BC2=x2+y2-2xyx^.

由8c=AD,所以（2-x『+僅虎—y）-2x（2-x）x^2\/2-=x2+y2-2xyx^~.

化簡得：y='Jl.

故。為BD中點.

（2）如圖：

過。點做￡>E〃5C,交AC與E.

則/EDO=/CBO.

ZEDO=ZCBO

TT

由/EOD=NCOB=—\nAOED三AOCB(A45).

4

OD=OB

所以3c=DE,又5C=AD,所以DE=Z14.

所以NA=NDE4.

TT3兀

所以NOED=TT—A,XZOED=ZC,B+C=n一一=—.

44

TT

所以A=5+：.

4

由逐sin2A+cosB=6=^>A/5sin2^B+^+cosB=y/5=>cos2B+cosB=y/5

所以百(2cos25-1)+COS3=^=26cos23+cos3-2逐=0.

又—1<cosB<\,所以cosB=3叵，所以sin3=.

55

所以sin[8+烏]=sin3cos—+cosBsin--YEx36_.

I4j442510

答案第11頁，共13頁

叩.QM

即sinC—-------?

10

OBocJL=2￡2

在△O3C中，根據(jù)正弦定理，可得：上\=—=3加一正=OC=[.

smCsinB--——3

105

TFTTSTT

19.(1)(0,0)；(2)12；(3)

626

【分析】利用向量線性運算的坐標(biāo)表示，(1)可得函=(0,84cos2-40sin2。)代入。=不，

即可求圾的坐標(biāo)；(2)可得函=24(0,cos6sin(a-e))代入。=,，即可求其|加的最值;

'您H弱

(3)求配、場的坐標(biāo)，進(jìn)而可得麗、甫,結(jié)合題設(shè)有___.1,應(yīng)用三

cos^,^^=--

11

角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)，可得|sin(a-e)|=5、cos2a=--,由分類討論的方式求。

的所有可能值.

【詳解】⑴由題意，函=(20,21),

OR,=2[函一m-兩源=2[(20,21)-(20c