函數(shù)的奇偶性三大題型(含答案)

【知識(shí)歸納】

一、奇偶性定義

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

一般地，設(shè)函數(shù)兀0的定義域?yàn)?/p>

偶函數(shù)如果▽尤e。，都有一xGD,且N—x)關(guān)于y軸對(duì)稱

="),那么函數(shù)八X)就叫做偶函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)兀0的定義域?yàn)锳

奇函數(shù)如果VxG。，都有一xG。，且V)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

=-f(x),那么函數(shù)4r)就叫做奇函數(shù)

二、判斷函數(shù)的奇偶性的兩個(gè)必備條件

(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，否則即為非奇非偶函數(shù).

(2)判斷/(%)與/(-%)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)

系式/(幻+/(-x)=0(奇函數(shù))或/(%)-/(-%)=0(偶函數(shù)))是否成立.

【題型研究】

題型一：函數(shù)奇偶性的判斷

1.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()

A.y=xB.y=3x2

C.y=-D.y=_r|(xw[O,l])

x

2.下列函數(shù)是偶函數(shù)且在(0,+oo)上單調(diào)遞增的為()

A./(x)=x--B./(%)=*C./(%)=4xD./(x)=ln無

x

3.下列函數(shù)中，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且在定義域上單調(diào)遞增的是()

A.f(x)—sinx—2xB./(x)=ln(x—1)+ln(x+1)

C.D-/(x)=7TI

4.設(shè)函數(shù)/(%)=111|%+3|+111|尤一3|,則f(x)()

A.是偶函數(shù)，且在(-8,-3)單調(diào)遞減B.是奇函數(shù)，且在(-3,3)單調(diào)遞減

C.是奇函數(shù)，且在(3,一)單調(diào)遞增D.是偶函數(shù)，且在(-3,3)單調(diào)遞增

5.函數(shù)=)

A.是奇函數(shù)B,是偶函數(shù)

C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.是非奇非偶函數(shù)

1—X

6.設(shè)函數(shù)/(x)=——，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

1+x

A./(x-l)-lB./(x—1)+1C./(x+l)-lD./(x+D+l

7.函數(shù)/(%)為奇函數(shù)，g(%)為偶函數(shù)，在公共定義域內(nèi)，下列結(jié)論一定正確的是()

A./(x)+g(x)為奇函數(shù)B./(x)+g(x)為偶函數(shù)

C./(x)g(x)為奇函數(shù)D./(x)g(x)為偶函數(shù)

題型二：利用奇偶性求值(解析式)

8.設(shè)/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)"0時(shí)，/(x)=2'+2x+6(6為常數(shù))，/(-I)=()

A.-3B.-1C.1D.3

9.已知函數(shù)/(乃是定義在[-2,2]上的奇函數(shù),且當(dāng)xe(0,2]時(shí),f(x)=x2-2x+2,則/(x)的最小值

是()

A.-2B.-1C.1D.2

10.若函數(shù)/(x)是在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，=，則/(x)的值域?yàn)?)

A.(-1,1)B.(-00,-1)51,+00)

C.(-1,0)(0,1)D.(-oo,0)<j(0,+oo)

[x+a,x<0

11.若〃尤)=,,八是奇函數(shù)，貝!]()

[bx-l,x>0

A.a—1,b~—1B.a——1,b~1C.a==1D.a——1,b——1

題型三：利用奇偶性解不等式

12.已知偶函數(shù)/(x)在。―)單調(diào)遞增，若/(2)=—2,則滿足/(x—1)…—2的％的取值范圍是()

A.(-oo,-l)o(3,+c?)B.(ro,—l]53,+oo)

C.[-1,3]D.(-<x),-2]o[2,+co)

41%I

13.已知函數(shù)/(x)=丁詈，則不等式/(2x—3)<2的解集是()

l+|x|

A.(1,2)B.(-，-)

C.(-oo,1)D(2,+oo)D.(-oo,—)(—,+oo)

14.函數(shù)/(x)在(—，轉(zhuǎn))單調(diào)遞減,且為奇函數(shù)./⑴=-1,則滿足T期(x—2)1的x的取值范圍是.()

A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]

6已知定義在(-8,0)=(0,+8)上的奇函數(shù)/(x)在(ro,0)上單調(diào)遞減，且滿足/(2)=2,則關(guān)于X的不

等式/O)<sin萬x+x的解集為()

A.(―℃,—2)LJ(2,-Ko)B.(―2,0)。(2,+co)

C.(-,—2)50,2)D.(-2,0)0(0,2)

16.已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xe[0,+8)時(shí)，/(x)單調(diào)遞減，則不等式

/(2%-1)+/(5%一13)<0的解集為()

A.(2,+co)B.(-oo,-2)C.(-℃,2)D.(-2,+oo)

【自我檢測(cè)】

17.已知函數(shù)/(x)=x\a-2工—2一工)是偶函數(shù)，則。=.

18.若/(?=學(xué)1+1為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)。=.

e-1

19.定義在R上的奇函數(shù)/(x),當(dāng)％>0時(shí)，/(x)=2x-x2,則/(0)+/(—D=.

20.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)XW(F,0)時(shí)，/0)=2/一3兀+1,則/(3)=.

21.已知/(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，若/(x)+g(x)=2a,則g(—1)=.

22.若函數(shù)/(x)="—e",則不等式/(Inx)+/(Inx-l)>0的解集是

3

23.已知函數(shù)/(刈=2，+，-2一，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若/(2x—1)>萬，則x的取值范圍為.

答案和解析

1.【答案】B

【解答】

解：對(duì)于A,>=x是奇函數(shù)，不符合題意；

對(duì)于8,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足/(-x)=/(X),是偶函數(shù)，符合題意；

對(duì)于C,y=工是奇函數(shù)，不符合題意；

x

對(duì)于。，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不符合偶函數(shù)的定義，不符合題意.

故選B.

2.【答案】B

【解答】

解：對(duì)于A,y(x)=x—工的定義域?yàn)椋鹸l.x*。｝,/(—x)=—/(X),則/(X)為奇函數(shù)，不符合題意；

X

對(duì)于2,7(x)=即的定義域?yàn)镽,f(-x)=f(x),則/(x)為偶函數(shù)，且在(0,一)上單調(diào)遞增，符合題

思；

對(duì)于C,f(x)=y的定義為[。,內(nèi)>),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故/(X)為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；

對(duì)于/0)=111%的定義為(0,+8),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故/(x)為非奇非偶函數(shù)，不符合題意.

故選：B.

3.【答案】D

【解答】

解：函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為奇函數(shù)，

A尸(x)=cosx—2<0,函數(shù)為減函數(shù)，不滿足條件，排除A；

[x-l>0/、

A由1c得X>1,即函數(shù)的定義域?yàn)?1，+8),定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，為非奇非偶函數(shù)，不滿足條

[x+1>0

件，排除&

C定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，Cx)=e：e*,/(_x)=￡l±￡=/(x),函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，不滿

足條件，排除G

l-ex

pX_1“r_1~~~l-exex-1

。.定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，/(%)=--/(-^)=——=T^-r一京-小)，故為奇

xx7r

八e+1e+11+ee+l

函數(shù),

er_1?

/(x)=-~-=1—-—,易得/(x)為增函數(shù).

ex+1ex+1

故選D

4.【答案】A

【解答】

解：函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x*3且無3},

則/(-x)=ln|-x+3|+ln|—x-3|=ln|x-3|+ln|x+3|=/(x),則/(x)是偶函數(shù)，排除8,

/(尤)=ln|x+3|+ln|x-3|=ln|x+3||_r-3|=ln|V-9|,

當(dāng)x<—3時(shí)，/=/一9為減函數(shù)，且?！?,此時(shí)y=ln|r|為增函數(shù)，

，此時(shí)/(x)為減函數(shù).

故選：A.

5.【答案】B

【解答】

解：原函數(shù)的定義域?yàn)?-1,1),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

f(x)=(X-1)?=-(1-

V1-XV1-^

=-J(1+x)(l-x),

■■■f(-x)=_J(1-x)(l+x)=/(x),

.??原函數(shù)是偶函數(shù)，

故選B.

6.【答案】B

【解答】

.?EAL.、1—x—(x+1)+22

解：因?yàn)?(x)=——=———--=-1+——，

1+xl+xX+1

所以函數(shù)/(X)的對(duì)稱中心為(—1,—1),

所以將函數(shù)/(X)向右平移一個(gè)單位，向上平移一個(gè)單位，

得到函數(shù)y=/(x—1)+1,該函數(shù)的對(duì)稱中心為(0,0),

故函數(shù)丫=/。-1)+1為奇函數(shù).

故選：B.

7.【答案】C

【解答】

解：./(X),g(x)分別是R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，

f(-x)=-/(X),g(-x)=g(x).

令G(x)=/(x)+g(x)

貝I]G(-x)=f(-x)+g(—x)=-f(x)+g(x),

.?.G(—x)不一定與G(x)或一G(x)相等,故A、B錯(cuò)誤.

令/(x)=/(x)g(x),

貝F(-x)=/(—x)g(—x)=-/(x)g(無)=一產(chǎn)(x),

，尸(x)=/(x)g(x)為奇函數(shù)，故c正確，￡>錯(cuò)誤；

故選：C.

8.【答案】A

【解答】解：由/(x)為R上的奇函數(shù)知/(。)=0,得b=—l,

則f(x)=2*+2,x—1,f(1)—3.

又/(-D=-”1)，

所以/(―D=-3.

9.【答案】A

【解答】

解：根據(jù)題意，當(dāng)xe(0,2]時(shí)，/(%)=x2-2x+2=(x-1)2+1,

-/(X)是定義在[-2,2]上的奇函數(shù),則xe[-2,0)時(shí),

.?./(x)G[-2,-1],/(0)=0,

故/(x)的最小值為-2.

故答案為A.

10.【答案】A

【解答】

解：當(dāng)x>0時(shí)，e(0,l),

因?yàn)?(x)是R上的奇函數(shù)，所以/(0)=0；

當(dāng)x<0時(shí)，由于/(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故/(盼€(—1,0),

所以"x)e(—1,1).

故選：A.

11.【答案】C

【解答】

解：易知定義域?yàn)閧xlxwO},

若了(九)為奇函數(shù)，可得f[/(-"I)=-/(l)

[J(-2)=一/(2)

[-l+a=-(b-1)[a=l

即O1八，解得L<

[-2+a=~(2b-1)[b=l

f^+l,x<0八

此時(shí)f(x)=?八，經(jīng)檢驗(yàn)/(尤)是奇函數(shù)，符合題意.

故選：C.

12.【答案】B

【解答】

解：因?yàn)榕己瘮?shù)在。―)上單調(diào)遞增，

所以/(%)在(-8,0)上單調(diào)遞減，

又因?yàn)?(—2)=—2,

所以/(x—1)…—2=4(—2)=/(2),

所以|xT|..2,

解得尤e53,??),

故選B.

13.【答案】A

【解答】

4IT4|九I型、

解:因?yàn)?(—x)=――;=/(x),定義域?yàn)镽,

1+1一%Il+1-vl

所以/(x)是偶函數(shù),

4九4

當(dāng)x..O時(shí)，/(%)=——=4--------是增函數(shù)，

l+x1+X

又因?yàn)?(1)=2,

所以/(2x—3)<2,即f(2x-3)<〃l),Bp/(|2x-3|)</(l),

所以|2x—3|<1,

所以—l<2x—3<1,

解得1<x<2,

所以不等式f(2x-3)<2的解集是(1,2).

故選：A.

14.【答案】D

【解答】

解：函數(shù)/(X)在(F,。)單調(diào)遞減，且/(1)=—1,.?./(-1)=―/(1)=1,由―1顆(X—2)1,得

-1M-21,O3.

故選：D.

15.【答案】B

【解答】解：令gO)=/(x)-sin;rx-x,

貝Ug(-x)=/(-尤)+sin%龍+尤=-g(無)，定義域?yàn)?ro,。)o(0,+oo).

即g(?為奇函數(shù)，奇函數(shù)/(x)在(ro,0)上單調(diào)遞減，

則/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

因?yàn)閤e(O,l]時(shí)，/(x)>/(2)=2,Oin^-x1,

/.-2,,-sin;rx-尤<0,

所以此時(shí)g(x)=/(x)-sin7TX-x>0；

當(dāng)xw(l,2)時(shí)，sin萬％,0,f(x)-sinix>2,

所以g(x)=/(x)-sin^-x-%>0；

當(dāng)x=2時(shí)，g(2)=/(2)-sin2^-2=0；

當(dāng)xe(2,3)時(shí)，f(x)</(2)<2,sin^x>0,g(x)=/(x)-sin%x-x<0,

當(dāng)xe[3,+oo)時(shí)，/(x)</(2)<2,-x-sin萬x<-2,

所以gO)=/O)-sin%無一尤<。,

所以當(dāng)xe(2,?>。)時(shí)g(x)<。，

由奇函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)xe(—2,0)時(shí)g(x)<0,

故選：B.

16.【答案】A

【解答】

解:/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間。R。)單調(diào)遞減，

所以/(x)是定義在R上的單調(diào)遞減函數(shù)，

不等式f(2x-1)+f(5x—13)<0等價(jià)為/(2x-1)</(—5x+13),

即2x—1>—5x+13,得無>2即不等式的解集為(2,+<?).

故選A.

17.【答案】1

【解答】

解：函數(shù)/。)=%3(口.2工-2-*)是偶函數(shù)，

y=/為R上的奇函數(shù)，

故y=a?2、—2r也為R上的奇函數(shù)，

所以無=0時(shí)，y=a-20—2°=a—l-0,

所以a=l,經(jīng)檢驗(yàn)，。=1滿足題意，

故答案為：1.

18.【答案】1

【解答】

解：因?yàn)?(X)==M+l為奇函數(shù)，定義域?yàn)?-8,0)。(0,+8),

所以八一助=一八月，

.<2+1<2+1

則------+1=---------1,

e-x-lex-l

即(〃+l)e"+]二一

l-exex-l

解得a=l.

故答案為：1.

19.【答案】—1

【解答】解：/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，/(-%)=-/(%)

.?"(0)=0,/(-1)=-/(1),

又,「當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=2X-x*2,

.■./(0)+/(-I)=/(0)-/(I)=0-2+1--1.

故答案為-1.

20.【答案】44

【解答】

解：是