函數(shù)的定義域重點(diǎn)考點(diǎn)專題練

2026年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備考

一、單選題

1.下列函數(shù)中，定義域?yàn)?0,+8)的函數(shù)是()

A.于(x)=CB./(x)=lnxC.f(x)=2xD./(%)=tanx

“、1

2.函數(shù)/(力=皿2X+1)的定義域?yàn)?)

A.(——,+oo)B.,0)(0,+oo)C.[——,+cc)D.[0,+oo)

3.已知函數(shù)/(%)=Jov'+2x+c的定義域?yàn)镽，則/+4。2的最小值為()

A.1B.2C.4D.5

4.4知函數(shù)/(力=，^+2奴+1的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(0,1]B.[0,1]C.(1,+⑹D.[1,+8)

5.函數(shù)/(X+1)的定義域?yàn)閇-2,2],函數(shù)g(x)=則g(x)的定義域?yàn)?)

A.[0,2)U(2,4]B.[-1,2)U(2,3]

C.],2)U(2,4]D.[，2)U(2,3]

二、多選題

6.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A.y=x2+2B.y=|ex-l|

c4

C.y=lg|x|+lD.y=x+—

x

7.若函數(shù)/（%）=小g,則（）

A.B.的最小值為0

C.〃x）是奇函數(shù)D.〃尤）的定義域?yàn)椋ā?，T[i，H

三、填空題

8.函數(shù)/(%)=7不彳+，16-％2的定義域是.

4Y—[

9.9知函數(shù)/(x)=0的定義域是R,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是_______

ax+ax-3

10.已知定義域?yàn)閇l—3a,a+l]的奇函數(shù)/(x)=x3+b/+x,貝葉(3尤+b)+“x+a”0的解集為

11.函數(shù)“尤)=7占+log3尤的定義域?yàn)?

Y-L1

12.已知函數(shù)/(?=、的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是_________.

ax-2ax+l

13.函數(shù)/(x)=Jx+1+Jx-l的最小值為.

14.函數(shù)/(尤)="工的定義域?yàn)镽,請(qǐng)寫出滿足題意的一個(gè)實(shí)數(shù)。的值

四、解答題

15.求下列函數(shù)的定義域:

3九

⑴"二

(2)/(x)=f

(4)/(X)=@F

x-1

16.已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)椋?』,求函數(shù)g(x)=/(x+a)+/(x-a)的定義域.

17.已知函數(shù)函尤)=2+log“(x-l)(。>0,且awl)的圖象過點(diǎn)(3,3).

⑴求實(shí)數(shù)a的值；

(2)求函數(shù)/(元)的定義域，并判斷其在定義域上的單調(diào)性(不需要證明)；

⑶解關(guān)于x的不等式/Qx-3)</(21-2.).

18.已知函數(shù)〃x)=+3(l-a)%+6.

⑴當(dāng)a=0時(shí)，求〃x)的值域；

⑵若“力的定義域?yàn)椋?2,1］,求實(shí)數(shù)。的值；

(3)若f(x)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

19.已知函數(shù)〃x)=lg［(a2-l)尤2-(l-a)尤+l］的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案

題號(hào)1234567

答案BBCBCACACD

1.B

【分析】利用各個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的定義及要使得函數(shù)有意義即可求得定義域，由此得出答案.

【詳解】對(duì)于A,要使得根號(hào)下有意義，則X20,即定義域?yàn)椋?,+8）,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,要使得對(duì)數(shù)有意義，則真數(shù)x>0,即定義域?yàn)椋?,a）,故B正確；

對(duì)于C,由指數(shù)函數(shù)的定義可知其定義域?yàn)镽,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,要使得正切函數(shù)有意義，則xwE+gAeZ,即定義域?yàn)?故D錯(cuò)誤；

故選：B.

2.B

【分析】由題得2x+l>0且ln（2尤+1）彳0,解不等式組即得函數(shù)的定義域.

【詳解】由題得2x+l>0且也（2>+1）工0,

解得：尤>一萬■且尤中0,

xe［一；,。］（0，+=°）,

故選：B

3.C

【分析】根據(jù)函數(shù)定義域求出ac?l,利用基本不等式可求答案.

【詳解】由題可知。>0,且4一4酸<0,即。此1,所以。2+4。224收24,

當(dāng)且僅當(dāng)“=&,c=也時(shí)，等號(hào)成立，所以/+4C2的最小值為4.

2

故選：C.

4.B

【分析】轉(zhuǎn)化為不等式ox?+2依+12。對(duì)任意的xwR恒成立，分〃=0與兩種情況，結(jié)合根的

判別式得到不等式，求出答案.

【詳解】由題意，不等式依2+2依+12。對(duì)任意的％wR恒成立.

當(dāng)。=0時(shí)，120恒成立，即〃=0符合題意.

［a>0

當(dāng)時(shí)，貝"-A/c，解得OvaWL

［A=4?-4a<0

綜上，”的取值范圍是［0,1］.

故選：B

5.C

【分析】根據(jù)/(x+1)的定義域可得x+le[-l,3],即可根據(jù)分式以及根式的性質(zhì)求解.

【詳解】由于〃x+1)的定義域?yàn)閇-2,2],故xe[2,2],，x+l?-l,3],

-l<x-l<3

“尤T)

因此g(x)=的定義域滿足，2x-l>0解得且

J2x-1?(尤-2)

x-2w0

故定義域?yàn)閇；，2卜(2,4],

故選：C

6.AC

【分析】求出各個(gè)函數(shù)的定義域，代入-x判斷函數(shù)奇偶性，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),

即可得出單調(diào)性.

【詳解】設(shè)/(可=/+2,g(x)=|ex-l|,/z(j：)=lg|x|+l,k(x)=x+^

對(duì)于A項(xiàng)，易知〃x)=d+2定義域?yàn)镽,

且"-X)=(T)2+2=〃X),所以〃x)=d+2為偶函數(shù).

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，/(X”%2+2在(0,+8)上單調(diào)遞增.故A正確;

對(duì)于B項(xiàng)，g(x)=,-l|定義域?yàn)镽,

且g(-x)=卜-*-1卜g(x),所以g⑺=p-1|不是偶函數(shù).故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng),網(wǎng)力=建國+1定義域?yàn)閧幻彳<0},

且A(-x)=lg|-x|+l=lg|x|+l=A(x).

當(dāng)x>0時(shí)，/z(x)=lgx+l在(0,+功上單調(diào)遞增.故C正確;

對(duì)于D項(xiàng)，%(同=尤+3定義域?yàn)閧x|xw0},

HA\4

X+;卜所以左(尤)=龍+1為奇函數(shù).故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

7.ACD

【分析】用特值法可判斷A、B；求出函數(shù)f(x)的定義域判斷D；利用奇函數(shù)的定義既可判斷C.

【詳解】f網(wǎng)=6義及=底,故A正確；

由尤2-120,得故D正確.

因?yàn)?'(-2)<0,所以〃x)的最小值不是0,故B錯(cuò)誤.

因?yàn)椤╛彳)=-犬77二T=-/(x),所以〃x)是奇函數(shù)，故C正確.

故選：ACD.

8.(T4]

【分析】根據(jù)分母不等于零和被開方數(shù)大于等于零列不等式，解不等式即可.

[尤+4w0

【詳解】由題意得“2、c，解得-4<x<4.

[16—%>0

故答案為：(T,,4].

9.(-12,0]

【分析】分析可知依2+依-3片0對(duì)任意實(shí)數(shù)X都成立，分。=0和4H0兩種情況，結(jié)合A判別式列式

求解.

【詳解】由題意得g2+改一3Ho對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，

當(dāng)。=0時(shí)，-3?0,符合題意；

當(dāng)。片0時(shí)，滿足△=4+12。<0,解得一12<。<0；

綜上所述，實(shí)數(shù)〃的取值范圍為(-12,0].

故答案為：(-12,0].

-

1。?卜1凡2一

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)及定義域的對(duì)稱性，求得參數(shù)a,6的值，求得函數(shù)解析式，并判斷單調(diào)

性.〃3》+切+〃X+。絲0等價(jià)于7'(3可2-〃X+1)=/[-(》+1)],根據(jù)單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為自變

量的大小關(guān)系，結(jié)合定義域求得解集.

【詳解】由題知，/(-^)=-%3+bx2-x=-f(x)=-x3-bx2-x,

所以26爐=0恒成立，即〃=0.

又因?yàn)槠婧瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以1—3a+(a+l)=0,解得a=l,

因止匕/(%)=X3+%,XG[-2,2],

由y=V單調(diào)遞增，y=x單調(diào)遞增,

易知函數(shù)，(x)單調(diào)遞增，

故/(3x+b)+"x+a”0等價(jià)于/(3x)+/(x+l”0

等價(jià)于/(3x)>-/(x+l)=/[-(^+1)]

3x>-（x+l）

即卜2V3xV2,解得工￡12.

-2<x+l<2L-1

12~

故答案為：一對(duì)§

11.（0,1）

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得出關(guān)于X的不等式組，即可解得函數(shù)F（x）的定義域.

一“、11[l-x>0

【詳解】對(duì)于函數(shù)/（%）=^^+10g3%，有\(zhòng)〉0'解得。<%<1，

故函數(shù)/（%）=7=；+1。83%的定義域?yàn)椋?。?）.

故答案為：（0」）.

12.0<a<l

【分析】根據(jù)分式函數(shù)中分母不為0得X/x￡Rg2_2依+1W0恒成立，分類討論，〃=0時(shí)符合題意,

時(shí)利用判別式法列不等式求解即可.

【詳解】函數(shù)/。）=,「，的定義域?yàn)镽,

得VxeR.ax?-2辦+1/0恒成立，

當(dāng)。=0時(shí)，I/O恒成立；

當(dāng)。W0時(shí)，A=4/-4o<0<得

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍是0Wa<L

故答案為：0Wa<l

13.a

【分析】先求得函數(shù)Ax）的定義域，進(jìn)而判斷函數(shù)〃x）的單調(diào)性，進(jìn)而可求最小值.

[x+l>0

【詳解】由，、八，可得XN1,所以函數(shù)的定義域?yàn)閇1,+8）,

x-l>0

y=Jx+1與y=Jx-1在口,+℃）上均為增函數(shù),

/(X)=V7TT+6二T在［i,+s)上為單調(diào)遞增函數(shù)，

.??當(dāng)x=l時(shí)，/(xU=72.

故答案為：

14.-1(答案不唯一)

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域求解即可.

【詳解】因?yàn)?金的定義域?yàn)镽,

所以爐-。20在R上恒成立，即aVd,

由于f20在R上恒成立，故實(shí)數(shù)。的取值范圍為(f,。］.

故答案為：-1(答案不唯一).

15.(l){x|x*4}

(2){x|xwO}

(3){x\%*1且工*2}

(4){x|xW4且"1}

【分析】(1)根據(jù)分式中的分母為不為零直接求解即可；

(2)根據(jù)分式中的分母為不為零以及偶次方根被開方數(shù)為非負(fù)實(shí)數(shù)直接求解即可；

(3)根據(jù)分式中的分母為不為零直接求解即可；

(4)根據(jù)分式中的分母為不為零以及偶次方根被開方數(shù)為非負(fù)實(shí)數(shù)直接求解即可.

【詳解】(1)x-4^0.'.x^4

所以定義域?yàn)閃x#4}

(2)T?^0,X2>0.-.X^0

所以定義域?yàn)閧xlxwO}

(3)?.x?-3尤+2w0;.xw2且xwl

所以定義域?yàn)閧X|》K2且xwl}

(4)且

所以定義域?yàn)閧x|x<4且xwl}

16.答案見解析

/、「IfO<x+a<1

【分析】由函數(shù)/(尤)的定義域?yàn)椋?。』可得?<x_q<］,對(duì)實(shí)數(shù)。的取值進(jìn)行分類討論，解該不等

式組，由此可解得函數(shù)g(x)的定義域.

Q<x+a<\-a<x<l-a

【詳解】由題意,即

Q<x-a<\a<x<a+\

當(dāng)1一或a+1v—a,即或；時(shí)，%不存在,

即g(%)的定義域?yàn)?,不滿足函數(shù)定義，函數(shù)g(%)無意義；

當(dāng)1一〃=〃，即〃=(時(shí)，x=g(x)的定義域?yàn)镠

當(dāng)a+l=_〃，即〃=_1時(shí)，x=g(x)的定義域?yàn)椋?；?

a<l-a

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，a<x<l-a,故g(%)的定義域?yàn)椋邸?一。］；

1—aW1+。

—U<〃+1

當(dāng)<。<一。時(shí)，即一］<〃<。時(shí)，—+故g(%)的定義域?yàn)椋垡籕M+1］.

〃+1<1—CL

綜上：

①當(dāng)a=1■或0=-1■時(shí)，g(x)的定義域?yàn)?，；，?/p>

②當(dāng)04"；時(shí)，g(x)的定義域?yàn)椋邸?1-勾；

③當(dāng)5<。<。時(shí)，g(x)的定義域?yàn)椋郇D；

④當(dāng)a>/或-;時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)?,g")不存在.

17.(1)2

⑵(L”)，函數(shù)/(尤)在(L+8)上單調(diào)遞增

(3)(2,3)

【分析】(1)將點(diǎn)(3,3)代入函數(shù)解析式求解；

(2)由(1)得函數(shù)/(x)=2+log2(x-l),從而可得其定義域，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷其單調(diào)性

即可.

2'-3>1

(3)易知/(x)=log2(x-l)+2在(1,+向上單調(diào)遞增，由求解;

21-2*">2'-3

【詳解】(1)解：因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=log.(x-l)+2(q>0且"1)的圖象過點(diǎn)(3,3),

所以〃3)=log.2+2=3,即log02=l,解得a=2；

(2)由(1)得〃=2,所以函數(shù)/(x)=2+log2(%-l),

由九一1>0解得％>1,

所以函數(shù)/(無)的定義域?yàn)?1,+8)，函數(shù)/(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增.

(3)由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知：〃x)=log2(x-1)+2在(1,+。)上單調(diào)遞增，

又/(2'-3)<了(21-2加)，

2r-3>l[2*>4

所以，21-2加>1,即，2'<10,即4<2'<8,

21-2%+1>2%-32'<8

解得2Vx<3,

所以不等式的解集為(2,3).

18.(1)半，+"

(2)2

⑶卜「五5』「?

【分析】(1)配方求解值域；

(2)得到-2和1是方程(l-/"+3(l-a)x+6=。的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理求解；

(3)考慮。=1,。=-1和1-片片0時(shí)，結(jié)合開口方向和根的判別式得到不等式，求出實(shí)數(shù)。的取值

范圍.

【詳解】(1)當(dāng)。=0時(shí)，〃X)=J.+3X