指對幕函數(shù)(六大考點)

考點。1:指數(shù)基礎(chǔ)運算及特殊運算

考點02：對數(shù)基礎(chǔ)運算

考點03：指對數(shù)函數(shù)底數(shù)大小的比較

指對幕函數(shù)

原裔盛技巧及考點利心

考點01:指數(shù)基礎(chǔ)運算及特殊運算

1、有理數(shù)指數(shù)幕的分類

〃個

⑴正整數(shù)指數(shù)塞二〃?〃?〃?〃?〃…〃(〃￡N*)

⑵零指數(shù)累?！?1(〃00)

⑶負整數(shù)指數(shù)塞=2(aw0,九eN*)

an

(4)0的正分數(shù)指數(shù)幕等于0,0的負分數(shù)指數(shù)幕沒有意義.

2、有理數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì)

(l)am-an=am+n(a>0,zn,〃wQ)

⑵(a"')"=a'""(a>0s〃wQ)

(3)(ab)m=ambm(a>0,Z?>0,me2)

___m

(4)A/O?"=an(a>0,m,neQ)

3、根式的定義

一般地，如果x"=a,那么x叫做a的幾次根式，其中N*)丘'叫做根式，〃叫做根指數(shù)，a叫做

開方數(shù).

4、對于根式加，要注意以下幾點

（1）〃EN且〃>1；

⑵當(dāng)〃為奇數(shù)時，后=a；當(dāng)九為偶數(shù)時，也久=同=<a,a>0

-a,a<0

⑶負數(shù)沒有偶次方根；

（4）0的任何次方根都是0

5、多重根號問題，首先先寫成指數(shù)形式

￡

3=a2

1

-as=層

特殊運算：形如x+》T=a,求下列各種形式的值的思路.

（11Y

11———

（1）r2,/2；根據(jù)/+/=x+/+2計算即可；

（2）/十廣2；根據(jù)（%+/『二九2+廠2+2計算即可；

（3）/一九［由于X_%-1=±J（%_XT）2=±?大+婷）2—4,進而根據(jù)/—％-2+—工一1）即可求解.

（4）x1-x~l；根據(jù)］-=±J（X+%T）一4計算即可

（5）X3+%—3根據(jù)（％2+尤—2乂1+%—1）=%3+%―3+%+%-1計算即可

（6）X3-X-3根據(jù)（尤2+尤-）=尤3_%-3_5+%-1計算即可

1.下列各式正確的是（）

1111if_n-Ifl1二）4

xD.2x3-x3-2x3=1__

C.a^a^a豆=*?。J%

2.用分數(shù)指數(shù)基的形式表示。3.后（a>o）的結(jié)果是（）

5

C./

A.a2B./D.

3.化簡y/m6（jn<0）的結(jié)果為（）

A.mVmB.my[—m

C.-my[mD.-myJ-m

計算2*+里+——-7(1-V5)°,結(jié)果是

4.)

A/272—1

1

A.1B.2A/2C.加D.2-2

5.)

17-1

ABC.D.

-訪-訪8匹

J_V1A

6.化簡1+2三1+2161+281+2々1+22的結(jié)果為（)

7v77

（1

1、

A.-1一2一五B.1-232

2I2

7

1-1

1+2行

C.D.~2

3_3

7.已知川+m2=4,則冽:一上:的值是()

m2-m2

A.15B.12C.16D.25

8.化簡(1-〃)的結(jié)果是（）

A.\ja-lB.—y/a—1\]l—aD.—y/l—a

9.下列各式中成立的是（）

￡

A.m7n7B.

_________3

C?y/x3+y3=(x+yYD.炳=#)

10.設(shè)a$R,/(x)=.j-(xeR),“元）為奇函數(shù)，則a的值為

考點02:對數(shù)基礎(chǔ)運算

1、對數(shù)運算法則

①外和內(nèi)乘：loga（ACV）=logaM+log“N②外差內(nèi)除：loga=log”〃一log”N

~N

③提公次方法：log帆/?〃='lOgaM私"￡氏）④特殊對數(shù)：lOgql=0

am

bb

⑤指中有對，沒心沒肺，真數(shù)為幾，直接取幾：a'°^=b,\ogaa=b

2、對數(shù)的定義

一般地，如果優(yōu)=N（a〉O,awl）,那么數(shù)x叫做以。為底N的對數(shù)，記x=log”N淇中。叫做對數(shù)的底數(shù)，N

叫做對數(shù)的真數(shù)（N>0）

3、換底公式

①常用換底log”6="曷*■②倒數(shù)原理log。6=」一

log,”。log,tz

③約分技巧bg“6?logbc=蚣X四￡=虹=bg〃C④具體數(shù)字歸一處理：1g2+1g5=1

IgaIgZ?Iga

11.下列等式正確的是（）

22

A.(Ig5)+21g2-(lg2)=lB.log35.log32.log59=3

______I_ri_2

C.log^2V2+eln2+7(H-5)2=71D.,6；+#0.0625.[(。優(yōu)取嚴正=1

12.若實數(shù)優(yōu)，"，f滿足5"1=7"=f且,+工=？，則7=()

mn

A.2拒B.12C.小D.V35

13.工廠廢氣排放前要過濾廢氣中的污染物再進行排放，廢氣中污染物含量V（單位：mg/L）與過濾時間r小時的

關(guān)系為y=%eR（%,。均為正的常數(shù)）.已知前5小時過濾掉了10%污染物，那么當(dāng)污染物過濾掉50%還需要經(jīng)

過（）（最終結(jié)果精確到lh,參考數(shù)據(jù)：lg2。0.301,lg3?0.477）

A.43hB.38hC.33hD.28h

14.若〃=log35,5b=6,貝iJMTog32=()

A.1B.-1C.2D.-2

15.設(shè)Iog23=3p,log35=q,則lg5=()

(3Pq

A.p2+Q1B.[3p+2q)cD.pq

?1+3pq

16.已知定義在R上的奇函數(shù)函x）滿足/（2-x）寸㈤,當(dāng)0W1時,/（x）=2r-l,則〃晦12）=（）

11-11

A.—B.——D.g

3432

17.己知log?3=a,2〃=7,用a,b表示log4256為()

,b+33bb+33b

A.——B.------C.----------D.---------

a+ba+ba+b+1a+Z?+1

18.(log43+log83)(log32+log92)=______.

19.方程臚3+/4=/5的正實數(shù)解為

115,

20.己知"1,小一/二一5'則"一.

考點03:指對數(shù)函數(shù)底數(shù)大小的比較

形如：y==b*,y=c*,y=d'

圖象如下：

先畫一條x=l的直線，明確交點，由下至上底數(shù)越來越大.

形如：y=logflx,y=log；,x,y=logfx,y=log、x確定a,仇c,d大小關(guān)系

其中七=c,々=%玉=a,,

先畫一條y=l的直線，明確交點，由左至右底數(shù)越來越大.故c<d<a<b

21.圖中曲線分別表示a,b,c,d,的關(guān)系是（）

A.0<a<b<l<d<cB.0<b<a<l<c<d

C.Q<c<d<\<a<bD.0<c<d<l<b<a

22.圖中曲線分別表示y=log。％,y=log/,y=logcX,y=log/X的圖象，a,仇c,d的關(guān)系是（）

I產(chǎn)b&X

A.a<b<d<cB.b<a<c<d

C.d<c<a<bD.c<d<a<b

23.如圖，曲線G，。2，C4分別對應(yīng)函數(shù)y=iog“d，y=iog。產(chǎn)，y=^gax,y=iog〃3的圖象，則

A.a4>a3>l>a2>a1>0B.Q3>%>1>%>%>0

C.%>%>1>%>%>0D.a1>a2>1>a3>a4>0

24.如圖所示的曲線C\,C2,C3,g分別是函數(shù)y=log/,y=log/,y=log*,y=logd%的圖象，則c,d

A.d<c<b<aB.c<d<a<b

C.b<a<c<dD.c<d<b<a

25、如圖是指數(shù)函數(shù)①y=優(yōu)；?y=bx；③y二/；④）二〃”的圖象，則與1的大小關(guān)系是（

4?a<b<l<c<dB.b<a<l<d<cCl<a<b<c<dD-a<b<l<d<c

26.已知在同一坐標(biāo)系下，指數(shù)函數(shù)丁=優(yōu)和y=Z/的圖象如圖，則下列關(guān)系中正確的是（）

b<a<lC.a>b>\D.b>a>l

考點04:指對數(shù)函數(shù)過定點問題

指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

函數(shù)y=axy=ax

a>l0<a<l

F)y=(,

圖象

ol~~i*o|~~i~~*

最特殊點ax=a即x=l,y=〃圖象都過(1,a)

①定義域R值域（0,+s）

②卅=1即當(dāng)x=0,y=l圖象都過定點（0,1）,

性質(zhì)③即不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

④當(dāng)x>0時,y>l；當(dāng)x<0時，0勺<1④當(dāng)x<0時，y>l；當(dāng)x>0時，0<y<l

⑤在（-8,十◎上是增函數(shù)⑤在（-8,十◎上是減函數(shù)

對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

由于對數(shù)圖象是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，所以對數(shù)函數(shù)的圖象只需由相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于y=x對稱即可，當(dāng)然也

分。>1和0<。<1兩種情況討論，討論如下

a＞\0＜。＜1

y

I『1尸log心rl

圖象3,0）

oM（i,o）5（）

1尸10g“工

①定義域：（0,+oo）

②值域：R

性質(zhì)③當(dāng)％=1時，y=0,即過定點（1,0）

④當(dāng)x>l時，y>0；當(dāng)0<x<l時，y<0④當(dāng)x>l時，y<0；當(dāng)0<x<l時，y>0

⑤在（0,+8）上是增函數(shù)⑤在（0,十◎上是減函數(shù)

27.函數(shù)〃尤）=，+2—3的圖象過定點A,且定點A的坐標(biāo)滿足方程爾+利+2=0,其中機>0,〃>0,則工+士的

mn

最小值為（）

A.6+40B.9C.5+2忘D.8

28.己知函數(shù)/（x）=2+/A4m>。且的圖象恒過定點尸，則尸點的坐標(biāo)為（）.

A.（0,2）B.（2,3）

C.（2,4）D.（4.0）

29.函數(shù)/卜）=獷_]3>0,且。力1）恒過定點（）

A.（1,-1）B.（1,1）C.（0,1）D.（0,-1）

30.函數(shù)"%）="1+1（。>0且awl）的圖象恒過定點則/為（）

A.,,2）B.（0,2）C.（0,1）D.[對

31.己知函數(shù)_y=2+log“（x-l）（a>0且aW1）的圖象恒過定點A,且A點在直線〃氏一丫+〃=0（孤”>0）上，貝U

2"+（0）"的最小值是（）

A.4A/2B.2垃C.2D.甘

32.函數(shù)y=a*M-2（a>0,awl）的圖象恒過定點A,且點A的坐標(biāo)滿足方程M+〃y+l=0,其中〃z>0,n>0,則

女2+上1的最小值為（）

mn

A.7B.6C.3+2及D.2+72

33.當(dāng)a〉0且awl時，函數(shù)/（%）=ax-2023+2023恒過定點（）

A.(2022,2023)B.(2023,2024)C.(2024,2025)D.(2025,2026)

34.已知函數(shù)〃力=1。8“(3%-2)+百(4>0,分1)圖象恒過的定點在雙曲線二-二=1的一條漸近線上，雙曲線離

2m

心率為e,則根-e等于().

A.2B.3C.4D.5

22

35.若函數(shù)y=log/x-2)+l(a>。，且a*D的圖象所過定點恰好在橢圓工+乙=1(機>0,">0)上，則的最小

mn

值為()

A.6B.12C.16D.18

36.函數(shù)〃x)=log“(4x-3)(a>0且"1)的圖象所過的定點為()

A.0，。)B.OC.(1,1)D.臣]

考點05:涉及指對數(shù)分段函數(shù)判斷參數(shù)的取值范圍

,/\"(%),x<m

形如：G(x)=，<

g(x\x>m

①如果G(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，滿足：y(x)為遞增函數(shù)，g(x)為遞增函數(shù)，

②如果G(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，滿足：/"(X)為遞減函數(shù)，g(x)為遞減函數(shù)，g(m)<f(m).

③如果G(x)由最大值，滿足：/(X)為遞增函數(shù)，g(x)為遞減函數(shù)，

④如果G(x)由最小值，滿足：/"(X)為遞減函數(shù)，g(x)為遞增函數(shù)，g(m)>f(m).

,/\fx<m

形如：G(x)=，<

g[x\x>m

①如果G(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，滿足：/(x)為遞增函數(shù)，g(x)為遞增函數(shù)，g(m)>f(m).

②如果G(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，滿足：/"(X)為遞減函數(shù)，g(x)為遞減函數(shù)，g(m)</

③如果G(x)由最大值，滿足：/(X)為遞增函數(shù)，g(x)為遞減函數(shù)，

④如果G(x)由最小值，滿足：，(x)為遞減函數(shù)，g(x)為遞增函數(shù)，g(m)>f(m).

,、log(ax2-4x+4),x>l.f(xA

37.已知y(x)=叭)在(fO,+o。)上滿足M2)M">0,則〃的取值范圍為()

(3-a)x+b,x<l々一石

A.(-co,0)B,[1,+<?)C.(-1,1)D.(fl)

(l-2a)x+a,x<2

38.函數(shù)y(x)=,/八c在H上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是()

Joga(x-V),x>2

12

A.(O)])B.一,一D.

23

m

logl(3-x),x<l,

39.若函數(shù)/(x)=J5的值域為H，則加的取值范圍為()

X2-6x+m,x..l

999

A.(0,8]B.(0,-]C.[-,8]D.(-8,-1]U(O,-]

/、x-3a,x>l

40.己知函數(shù)，(x)="在H上單調(diào)，則。的取值范圍為()

—X+4Z,XS1

A.B.(l,+oo)C.D.[1,+<?)

〔4‘)

2-T+I,X〉O

41.已知函數(shù)/(%)=<,,21、C的值域為R，則實數(shù)"的取值范圍是(

^(x2+-),%<0

2N

1、

A.B.C.(-,+oo)D.[-,+<?)

44

2+"+2(x'l)有最大值，則實數(shù)。的取值范圍為()

42.設(shè)函數(shù)/'(x)=

-log2(x+l),(x>l)

A.[0,oo]B.[-5,1]C.(oo,-5)D.[-5,+oo)

43.函數(shù)〃x)="(a>0且awl)在R上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是()

-x,%>0

A.(l,+8)B.(0,1)C.D.

,(3-tz)x+l,x<1、.

44.如果函數(shù)/(%)=:,滿足對任意玉W%，都有("12:>0成立,那么。的取值范圍是

a,x>l玉-x2

()

A.[1,3)B.(L3)C.[2,3)D.2J

考點06:指對數(shù)大小比較問題

指對數(shù)大小比較問題已經(jīng)成為高考的重難點問題，我們這里介紹五大核心思想.

核心思想一：同步《升。降》次法

logab=loga?,b"

234

形如：log23=log2,3=log233=log243=log2T3T

注意：一般情況下以2,3為底的對數(shù)比較大小，底數(shù)真數(shù)次方一起同升同降.

口訣：2,3為底眼睛亮，底真次方同升降.

核心思想二：先分離常數(shù)再比大小

當(dāng)?shù)讛?shù)與真數(shù)出現(xiàn)倍數(shù)關(guān)系，必須先將對數(shù)分離常數(shù)后作比較.

①10gHi(?？?=log,”夕+bg",m=log”，。+1

n

②log“,(pm")=bg,"P+log“m=log?；jp+M

口訣：底真出現(xiàn)倍數(shù)時，分離常數(shù)用起來

核心思想三：利用糖水變甜不等式比較大小

當(dāng)對數(shù)比較大小形式中出現(xiàn)底數(shù)與真數(shù)成等差數(shù)列時，可以采用糖水不等式放縮處理.

付二7八八皿一?人+根b+a+ma

形如：〃>/?>0,根>0則存在----->—,或------<—

a+mab