2024-2025學(xué)年下學(xué)期高一年級(jí)期末考試

數(shù)學(xué)試卷

本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分為150分.

考試用時(shí)120分鐘.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.己知復(fù)數(shù)Z滿足(1—z)l=2,則復(fù)數(shù)z的虛部為()

A.-iB.-1C.2iD.2

【答案】D

【解析】

【分析】先求出z,再結(jié)合虛部定義可解.

2

【詳解】(1—2)i=2,貝H—z=；=—2i,則z=l+2z"虛部為2.

故選：D.

1r

2.已知向量￡與匕的夾角為30°,|。|=若，可=2,則a—%=()

A.1B.2-73C.2+gD.而

【答案】A

【解析】

【分析】借助向量模長與數(shù)量積的關(guān)系與數(shù)量積的計(jì)算公式計(jì)算即可得.

r2r,r

【詳解】a-b=a-2a-bcos30°+|z?|

3-2X73X2X^+4=1.

故選：A.

3.如圖所示，在VA3C中，。為8C邊上的三等分點(diǎn)，若AC=b>E為中點(diǎn)，則=

A

A.二口B.2/

3636

1-1,D.L+L

C.—aH—b

3636

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可求解.

1

【詳解】BE=AE-AB=^AD-AB-IAB+-BC\-AB--AB+-(AC-AB)=--AB+-AC=--a+-b

2326、3636

故選：A

4.設(shè)/,機(jī)是兩條直線，夕是兩個(gè)平面，則(

A.若a///?,///a,ml1[3,則/〃機(jī)

B.若。///7,HIm,mX./3,則/_La

若。_L〃，Illa,mlIp,貝“，相

D.若(z_L/?,Illa,mll/3,則/〃小

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)線面平行或垂直的判定及性質(zhì)定理逐個(gè)判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,若。//〃，Illa,mlIp,貝U與機(jī)可能平行，也可能相交，還可能異面，故A錯(cuò)

誤;

對(duì)于B,若/〃加，ml)3,貝又。//月，所以故B正確;

對(duì)于C,D,aVp,lUa,m!I/3,貝心與，"可能平行，也可能異面或相交，故C,D錯(cuò)誤;

故選：B.

5.已知向量人=(1,2),向量a在b方向上的投影向量為一；。，則4.0=(

C.——D.-

22

【答案】C

【解析】

a-bb

【分析】利用向量。在b方向上的投影向量為仃義不，代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得

\b\\b\

a-bba-b

1,xb21,2..j.21,,25

［詳解］由題意：1^r^-T］=--b=>-w=T=a-b=——b=—\b［=—.

忖忖2忖222"2

故選：C

6.如圖，正四棱臺(tái)ABCD—4與￡。1，上下底面的中心分別為。1和0,若A5=244=4,

ZA.AB=6Q°,則正四棱臺(tái)ABC?！狝4G〃的體積為（）

,20&D28A/2020cc28#

3333

【答案】B

【解析】

【分析】利用解等腰梯形可求得棱臺(tái)的高，從而利用臺(tái)體體積公式即可求解.

【詳解】因?yàn)锳BC。—44。］。是正四棱臺(tái)，45=24用=4,ZA1AB=60°,

側(cè)面以及對(duì)角面為等腰梯形,

故A44片),AO=^AC=^AB=2日

cosZ^AB2

4。=*AB]=叵,所以O(shè)O]=JA412TAO_A0j2=屈,

所以該四棱臺(tái)的體積為V=g°a?(SABCD+S&耳Gq+JSABCDSABCDJ=*(16+4+8)=28,,

故選：B.

7.一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4.連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體兩次，并記錄每

次正四面體朝下的面上的數(shù)字.記事件A為“兩次記錄的數(shù)字和為奇數(shù)”，事件8為“兩次記錄的數(shù)字和大于

4”，事件C為“第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)”，事件。為“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則（）

A.A與。互斥B.C與。對(duì)立

C.A與3相互獨(dú)立D.A與C相互獨(dú)立

【答案】D

【解析】

【分析】列舉出基本事件，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷：

對(duì)于A：由事件A與。有相同的基本事件，否定結(jié)論；對(duì)于B：由事件C與。有相同的基本事件，否定

結(jié)論；對(duì)于C、D：利用公式法進(jìn)行判斷.

【詳解】連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體兩次，基本事件有：（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,

（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）.

其中事件A包括：（1,2）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（3,2）,（3,4）,（4,1）,（4,3）.

事件8包括：（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）.

事件C包括：（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）.

事件。包括：（L2）,（1,4）,（2,2）,（2,4）,（3,2）,（3,4）,（4,2）,（4,4）.

對(duì)于A：因?yàn)槭录嗀與。有相同的基本事件，（1,2）,（1,4）,（2,3）,（3,2）,故A與?；コ獠怀闪?故A錯(cuò)

誤；

對(duì)于B：因?yàn)槭录﨏與D有相同的基本事件，（1,2）,（1,4）,（3,2）,（3,4）,故C與。對(duì)立不成立.故B錯(cuò)

誤；

對(duì)于C：因?yàn)镻（A）=W=；,P（3）=2《而P（AB）q=|.因?yàn)槭ˋ5）H尸⑷尸（5）,所以

A與B不是相互獨(dú)立.故C錯(cuò)誤；

Q1Q1A1

對(duì)于D：因?yàn)镻（A）=一=—,P（C）=—,而尸（AC）=—=—.因?yàn)閮蓚€(gè)事件的發(fā)生與否互不影響,

162162164

且尸（AC）=P（A）P（C）,所以A與C相互獨(dú)立.故D正確.

故選：D

8.如圖，計(jì)劃在兩個(gè)山頂",N間架設(shè)一條索道.為測量M,N間的距離，施工單位測得以下數(shù)據(jù)：兩個(gè)山

頂?shù)暮０胃進(jìn)C=lOOGm,NB=5O0m,在3c同一水平面上選一點(diǎn)A,在A處測得山頂",N的仰角

分別為60°和30°，且測得NM4N=45，則M,N間的距離為（）

A.100mB.5076mC.100底mD.100V3m

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，在直角八4&0和直角A6N中，分別求得40=200和AN=100后，再在，AMN

中，利用余弦定理，即可求解

【詳解】由題意，可得NMAC=60,/乂43=30,MC=100/,NB=50忘,NA￡4N=45,

且NMC4=NNBA=90，

MC

在Rt-ACM中，可得AM=---------二200m,

sin60

在Rt^ABN中，可得⑷V=^^-=100"n,

sin30

在中，由余弦定理得

MN2=AM2+AN2-2AM-ANcosZMAN

=100222+（0）、2x2x0x曰=20000,

所以MN=1000m.

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的分布形態(tài).圖（1）形成對(duì)稱形態(tài)，圖（2）形成“右拖

尾”形態(tài)，圖（3）形成“左拖尾”形態(tài)，根據(jù)所給圖作出以下判斷，正確的是（）

B.圖（2）的平均數(shù)〈眾數(shù)＜中位數(shù)

C.圖（2）的眾數(shù)〈中位數(shù)〈平均數(shù)

D.圖（3）的平均數(shù)〈中位數(shù)〈眾數(shù)

【答案】ACD

【解析】

【詳解】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的概念結(jié)合圖形分析判斷.

【分析】圖（1）的分布直方圖是對(duì)稱的，所以平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)，故A正確；

圖（2）眾數(shù)最小，右拖尾平均數(shù)大于中位數(shù)，故B錯(cuò)誤，C正確；

圖（3）左拖尾眾數(shù)最大，平均數(shù)小于中位數(shù)，故D正確.

故選：ACD.

10.函數(shù)"x）=Asin（0x+。）4〉0,。〉0,憫＜］的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）

A.沖號(hào)是〃龍）的一條對(duì)稱軸

B."%）在，?上單調(diào)遞增

JT

C.在-§,0上的最小值為—J5

57r

D.“X）向右平移三個(gè)單位后為一個(gè)偶函數(shù)

【答案】BD

【解析】

【分析】由圖可知A=0，結(jié)合周期求得。=2,進(jìn)而求得/(x)=J^sin(2x+°),進(jìn)而逐項(xiàng)計(jì)算判斷即

可.

【詳解】由圖知;/(電.=—A=—垃，則4=百，

IE7717CLr-t、tE271_

—T=—7i—=—，所以7=兀，則口=—=2,

41234T

即/(x)=V2sin(2x+^).

2)22

因?yàn)?A^sin—71+(p\=0,所以§■兀+0二左兀，keZ,即0=一§兀+E,keZ.

3

因?yàn)镮d＜］，得夕=方，所以/(x)=esin12x+1J,

對(duì)于選項(xiàng)A,x=-3時(shí)，2x+-=--,又因?yàn)楹瘮?shù)y=sinx不關(guān)于x=—二對(duì)稱,

3333

所以x=-/不是/(x)=0sin|2x+1［的對(duì)稱軸，故A錯(cuò)誤；

JTTT71(7171)[7171I

對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)xe(-§,五)時(shí),2x+yelI,因?yàn)楹瘮?shù)丁=$山》在[—§，5)上單調(diào)遞增,

所以/(x)=0sin［2x+Wj在(—m*)上單調(diào)遞增，故B正確;

對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)xe-=,0時(shí)，2x+=e—，最小值為了(-烏)=-YS，故C錯(cuò)誤；

L3J3L33J32

對(duì)于選項(xiàng)D,f(x-=-^2cos2x,又因?yàn)椤?cos2(—x)=—&cos2x,

所以/(x-1^)=-應(yīng)cos2x是偶函數(shù)，故/(x)向右平移|1個(gè)單位后為一個(gè)偶函數(shù)，故D正確.

故選：BD.

H.在直四棱柱ABC?！狝gG2中，所有棱長均2,/B4Z)=60。，P為CR的中點(diǎn)，點(diǎn)。在四邊形

DCG2內(nèi)(包括邊界)運(yùn)動(dòng)，下列結(jié)論中正確的是(

A.當(dāng)點(diǎn)。在線段CQ上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四面體ARPQ體積為定值

B.若AQ〃平面A3P,則A。的最小值為百

c.若△ABQ的外心為〃，則為定值2

D.若AQ=J7,則點(diǎn)Q的軌跡長度為莖

【答案】ABD

【解析】

【分析】由題易證得2c〃面A5P,所以直線C2到平面的距離相等，又，的面積為定值，

可判斷A；取。2,DC的中點(diǎn)分別為M,N,連接AM,故V,AN,由面面平行的判定定理可得平面

〃面AMN,因?yàn)锳Qu面AAW,所以AQ〃平面當(dāng)A。_LMN時(shí)，A。有最小值可判斷

B；由三角形外心的性質(zhì)和向量數(shù)量積的性質(zhì)可判斷C；在。上取點(diǎn)A，4,使得

DA=BRA=I,易知點(diǎn)。的軌跡為圓弧44可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)锳3//AC,又因?yàn)锳5u面面所以2c〃面A/P,所以

直線C?到平面43尸的距離相等，又.43尸的面積為定值，故A正確;

對(duì)于B,取。Dj,DC的中點(diǎn)分別為連接AM,MN,⑷V,

則易證明：AM//PC,411.面48尸，「。仁面43尸，所以AM〃面A3P,

又因\BHMN,,加乂仁面A5P,面ABP,所以MN〃面/BP,

MNr\AM=M,所以平面ABP〃面4VW,4。＜3面4^?/,所以AQ〃平面ABP

當(dāng)AQLMN時(shí)，AQ有最小值，則易求出AM=石,MN=J5,

AN=VAD2+DN2-2AD-DNcos120°4+l-2x2xlxS,所以。，“重合，所以則AQ

的最小值為AM=石，故B正確;

對(duì)于C,若△ABQ的外心為過M作于點(diǎn)"，"="+22=20

1-2

則45?4河=543=4.故C錯(cuò)誤；

4

H

JT

對(duì)于D,過人作a。，GA于點(diǎn)o,易知a。，平面cqq,0°=A〃COS§=I

在。上取點(diǎn)4,4,使得RA=^,%=i,則AA=44=S，04=04=77^3=2

所以若AQ=J7,則。在以。為圓心，2為半徑的圓弧4A上運(yùn)動(dòng)，

又因?yàn)椤?=1,%=百，所以4。&=3,則圓弧4A等于號(hào)，故D正確.

故選：ABD.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.

12.一水平放置的平面圖形，用斜二測畫法畫它的直觀圖，此直觀圖恰好是邊長為1的正方形（如圖所

示），則原平面圖形的面積為.

【答案】2拒

【解析】

【分析】由直觀圖作出原圖，確定原圖結(jié)構(gòu)，然后計(jì)算面積.

c

【詳解】v\t\

q;~x

直觀圖恰好是邊長為1的正方形，所以。以=1,O'B'=V2

由直觀圖知原圖為平行四邊形。46C,Q4=O'A'=1,OBLOA,OB=2O'B'=2^2.

所以原平面圖形的面積為lx2行=2^2，

故答案為：2后.

13.已知函數(shù)/'(x)=cos(ox+9)為奇函數(shù)，則符合條件的一個(gè)。的取值可以為.

TTJT

【答案】一(答案不唯一，(p=E+—,keZ)

22

【解析】

【分析】由正余弦型函數(shù)的奇偶性，結(jié)合誘導(dǎo)公式列式求解即得.

TT

【詳解】函數(shù)/(x)=cos(0x+9)為奇函數(shù)，則"二版+萬,左eZ,

IT

所以符合條件的一個(gè)。的取值可以為一.

2

7T

故答案為：—

2

14.在VABC中，^ACB=120,AC=2,AB=的角平分線交AB于。，則CD=.

【答案】-

3

【解析】

【分析】在VA3C中，由余弦定理可得：BC=1,由正弦定理可得sin3=0,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可

7

7萬CD

得：DA=2BD=2,在△BCD中，由正弦定理可得：-----.即可求解?

3sinBsinZDCB

【詳解】因?yàn)樵赩ABC中，/AC5=120,AC=2,AB=J7

C

BDA

由余弦定理可得：AB2=AC2+BC2-2AB-BCcosZACB，解得BC=1

2=?

ACAB

由正弦定理可得:即sin36，解得:sinB=叵,

sin3sinZACB

~27

BDBC

因?yàn)镹ACB的角平分線交A3于。，所以/BCD=60°，由角平分線性質(zhì)可得:所以

DA-AC)

277

DA=2BD

亍

叵

CDBDCD3CD=

在△BCD中,由正弦定理可得:即不"走’解得:t

sin3sinNDCB

故答案為：一

3

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.己知函數(shù)/(%)=asinxcosx+cos2x+—

I6

(1)求。的值和了(%)的最小正周期；

(2)求“X)在［0,可上的單調(diào)遞增區(qū)間.

【答案】(1)a=^,7=兀；

2兀

(2)T,7t

【解析】

【分析】(1)根據(jù)=|求出。，然后利用三角恒等變換公式化簡，由周期公式可得;

⑵利用整體代入法求出/(九)的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合xe［0,兀］可得.

【小問1詳解】

.7171「兀兀)3

因?yàn)榱薱isin—cos—Fcos—I—

44^26)2

113

即―?！?_,解得。=4,

222

]

所以/(%)=4siitnxcosx+cosf2%+-^I=2sin2x+——cos2x——sin2x

22

=—sin2x+cos2%=\/3sin2%+-^j,

27r

所以/(%)的最小正周期為萬=兀.

【小問2詳解】

Ji'Jijiji

由----b2kji<2x+—<—+2foi,keZ,解得----\-kn<x<—+kji,k^Zj,

26236

jrjr

所以/(九)的單調(diào)遞增區(qū)間為一§+防!：,石■+E,keZ,

IT27r

所以/（%）在［0,可上的單調(diào)遞增區(qū)間為0,-,—,71

16.在VABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且（2a+c）cos5+bcosC=0.

（1）求角2的大?。?/p>

（2）若6=JU,ac=3,求VABC的面積和周長.

【答案】（1）——；（2）S^ABC=,4+y/13.

34

【解析】

【分析】（1）由余弦定理化角為邊可得02+02—82=—近，再利用余弦定理即可求解;

（2）由面積公式即可求出面積，再利用余弦定理得出a+c=4即可求出周長.

2.2I22,i22

【詳解】（1）由余弦定理，得cos5=a,cos￥="一。，

laclac

222

將上式代入(2。+c)cosB+Z?cosC=0,整理得a+c-b=-ac，

a1+C1-b1-ac￡

cosB-

laclac2

2

??,角5為VABC的內(nèi)角，???3=—%.

3

(2)在VABC中，SARr=--ac-sinB=--3--=^-，

ABC2224

在VABC中，由余弦定理匕2=4+02—2accos3，

_2

將。=A/13,ac=3,B=—兀,

3

代入得b2-(a+c)2-lac-2tzccosB,

13=(O+C)2—2OC

a+c=4,

VABC的周長為q+c+6=4+Ji?.

17.為了解高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)的基本情況，抽取部分高一年級(jí)學(xué)生開展體質(zhì)健康能力測試，滿分100

分.參加測試的學(xué)生共40人，考核得分的頻率分布直方圖如圖所示.

,并估計(jì)全校高一年級(jí)體測成績的60%分位數(shù);

（2）為提升同學(xué)們的身體素質(zhì)，校方準(zhǔn)備增設(shè)體育課的活動(dòng)項(xiàng)目.現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從得分在

［70,90）內(nèi)的學(xué)生中抽取5人，再從中挑出兩人進(jìn)行試課，求兩人得分分別來自［70,80）和［80,90）的概

率;

（3）現(xiàn)已知直方圖中考核得分在［70,80）內(nèi)的平均數(shù)為75,方差為9,在［80,90）內(nèi)的平均數(shù)為85,方

差為4,求得分在［70,90）內(nèi)的平均數(shù)和方差.

【答案】（1）f=0.03,60%分位數(shù)為85

⑵-

5

（3）平均數(shù)為81,方差為30

【解析】

【分析】（1）利用頻率分布直方圖中所有矩形的面積之和為1,可求出f的值，利用百分位數(shù)的概念可求出

60%分位數(shù)；

Q

（2）分析可知，抽出的5位同學(xué)中，得分在［70,80）的有5x步=2人，設(shè)為A、B,在［80,90）的有

5x—=3人，設(shè)為。、b、c,利用列舉法結(jié)合古典概型的概率公式可求出所求事件的概率;

20

(3)利用分層抽樣的均值和方差公式可求得結(jié)果.

【小問1詳解】

由題意得：10x(0.01+0.015+0.020+/+0.025)=1,解得/=0.03,

抽取的樣本中，設(shè)第60百分位數(shù)為x,

前三個(gè)矩形的面積之和為(0.01+0.015+0.02)xl0=0.45,

前四個(gè)矩形的面積之和為0.45+0.03x10=0.75,所以，xe(80,90),

貝U0.01X10+0.015義10+0.02x10+0.03x(x-80)=0.6,

解得x=85,因此高一年級(jí)體測成績的60%的分位數(shù)為85.

【小問2詳解】

Q

由題意知，抽出的5位同學(xué)中，得分在［70,80)的有5x步=2人，設(shè)為A、B,

19

在［80,90)的有5義與=3人，設(shè)為。、b、c.

則樣本空間為CUKAIMAMMA/MACMBMMBMJB,c),(?,￡?),(?,c),(Z?,c)},

H(Q)=10,

設(shè)事件M=兩人分別來自［70,80)和［80,90),

則M=,則n（M）=6,

n（M）_6_33

因此P(川)=,所以兩人得分分別來自［70,80)和［80,90)的概率為w.

H（Q）-10-5

【小問3詳解】

由題意知，落在區(qū)間［70,80)內(nèi)的數(shù)據(jù)有40x10x0.02=8個(gè),

落在區(qū)間［80,90)內(nèi)的數(shù)據(jù)有40x10x0.03=12個(gè).

L

記在區(qū)間［70,80)數(shù)據(jù)分別為X1、與、、x8,平均分為「方差為

在區(qū)間［80,90)的數(shù)據(jù)分別為為以、%、L、y%，平均分為7,方差為

這20個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為三，方差為S2.

由題意，%=75>y=85,s：=9,sj=4,

_]8_In_

8x+12y8x75+12x85

且、9,Yiz=----------=------------------=OO11.

2020

由分層抽樣方差公式可得：

/=、[對(duì)+8（亍-可，12sj+12（》—可2]

=g[s：+（亍_N）[+g[s；+（7一彳）2

=|[9+（75-81）2]+j4+（85-81）2=30

故得分在[70,90）內(nèi)的平均數(shù)為81,方差為30.

18.如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA=PD=DC=BC=-AB=1,AB//CD,

2

ZAPD=ZABC=90°,平面R4O,平面A3CD,E為P4中點(diǎn).

（1）求證：24，面。&）；

（2）點(diǎn)。在棱PB上，若二面角尸-A。-。的余弦值為好，求黑的值.

5PB

【答案】（1）證明見解析

⑵3

【解析】

【分析】（1）利用解直角梯形得到線線垂直，再證明線面垂直即可；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)共線向量參數(shù)來表示動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量，再借助空間向量法，來求解二面角

的余弦值，從而可得參數(shù)值，去求解問題.

【小問1詳解】

證明：由題意：BC=CD=1,/BCD=90°,ABI/CD,

...解這個(gè)直角梯形ABCD可得：BD=叵,AD=JL

又AB=2,：.BD~+AD2=AB2,即BZ)_LAD，

又-面？4。_1_面ABC。，面Q4Dc面ABCD=A￡>，5￡>u面ABCZ),

，1面BLD，又??B4u面？AD，5DLK4，

又：PA±PD，且BDu面PBD，PDu面PBD，BD\PD=D,

/.上4_L面P3D；

【小問2詳解】

以。為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則。(0,0,0),A(V2,0,0),8(0,72,0),P與0,與

.-.DA=(V2,0,0),DP=與0,與,PB=―寺①,—

(桓LO、

設(shè)PQ-PB,有=。尸+尸。=DP+APB=^(l-2),V22,^-(l-2)j,