第03講二項(xiàng)式定理

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：求二項(xiàng)展開式中的參數(shù)...................................................2

題型二：求二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng).................................................3

題型三：求二項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng).................................................4

題型四：求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)系數(shù).............................................5

題型五：求三項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng).................................................6

題型六：求幾個(gè)二（多）項(xiàng)式的和（積）的展開式中條件項(xiàng)系數(shù).......................7

題型七：求二項(xiàng)式系數(shù)最值.......................................................9

題型八：求項(xiàng)的系數(shù)最值........................................................10

題型九：求二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和'各項(xiàng)系數(shù)和..............................12

題型十：求奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和................................................13

題型十一：整數(shù)和余數(shù)問題......................................................14

題型十二：近似計(jì)算問題........................................................16

題型十三：證明組合恒等式......................................................17

題型十四：二項(xiàng)式定理與數(shù)列求和................................................21

題型十五：楊輝三角............................................................23

02重難創(chuàng)新練.................................................................29

03真題實(shí)戰(zhàn)練.................................................................37

//

題型一：求二項(xiàng)展開式中的參數(shù)

1.（2024?陜西榆林?模擬預(yù)測）（l+ox）7的展開式中/項(xiàng)的系數(shù)為84,則實(shí)數(shù)。=.

【答案】±2

【解析】（1+6丫展開式的通項(xiàng)為7；+J=C；（辦）'="中,

因?yàn)?項(xiàng)的系數(shù)為84,所以/c；=84,解得a=±2.

故答案為：±2

2.二項(xiàng)式仕x+sina］的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)和為最，貝!Jsina=_____；

（2J16

【答案】】或-；

42

【解析】二項(xiàng)式［gx+sina）的展開式為1+1=?！担ǎ皇?（$1110）。/"（7=0,1,2,3,4,5）,

故展開式的前三項(xiàng)的系數(shù)和為弓3，

16

故C；.*+C；-sincr+Cg--sin2cr=^,

整理得：8sin2a+2sina-1=0,

解得sina=一（或;.

故答案為：或;

24

3.已知+展開式中的常數(shù)項(xiàng)是540,則實(shí)數(shù)〃的值為

【答案】±6

【解析】由題意得，,+6）6的展開式的通項(xiàng)為北二cRjl一了=〃晨/一6,

令3左一6=0,解得，k=2f

所以d+的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為1葭=15小=540,

X

解得a=±6.

故答案為：±6.

6

4.（2024?河4匕滄州?三模）已知2x+的二項(xiàng)展開式中常數(shù)項(xiàng)為60,則“=

【答案】±1

6

【解析】2x+展開式的通項(xiàng)為卻=C*2X）6-.

6

令6-1=0,得廠=4,貝1J12x+

的常數(shù)項(xiàng)為C〉小22=60/,

,當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為60時(shí)，a=±l.

故答案為：±1.

題型二：求二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)

5.（2024?新疆?三模）已知的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為64,則其展開式的常數(shù)項(xiàng)為.（用

數(shù)字作答）

【答案】15

【解析】由題意可知，2,=64,得〃=6,

則J展開式的通項(xiàng)公式為c；aGI）'?『管，

3

令3-y=0,得廠=2,

所以展開式的常數(shù)項(xiàng)C〉（T）2=15.

故答案為：15

6.126+T］展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】240

【解析】+；展開式的通項(xiàng)公式為隼1=或（26）一（=Cb丁xT”

令一^―=0得左=2,4=C：24;C°=24。，

故答案為：240.

7.（2024?河北唐山?一模）在12式-!J的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字作答）

【答案】-8

【解析】因?yàn)椋?V-￡|

展開式的通項(xiàng)公式為:Tr+i=C；(2打=(-1/-2?￡無j/=0,1,2,3,4,

令12—4r=0,解得r=3,

所以常數(shù)項(xiàng)為：7；=-2xC：=-8.

故答案為：-8

8.（2024.全國.模擬預(yù)測）（2元-3）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

【答案】240

(]、5-尸1Y5_5

【解析】展開式的通項(xiàng)公式為刀包=c>X2一2一=C；-(-2)r-xr?

V7

令M-'yT或"I-卜二。，解得廠=?（舍去）或r=3,

26265

故所求常數(shù)項(xiàng)為-3義（2卜（-2）3=240.

故答案為：240

題型三：求二項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng)

9.寫出|3x2展開式中的一個(gè)有理項(xiàng)為

【答案】729x12（答案不唯一）

【解析】展開式的通項(xiàng)公式為

(_1_5

=晨(3/廣=(-l)rx36-rC；x12-r(廠=0,1，…,6),

所以展開式中的有理項(xiàng)分別為：廠=0時(shí)，7]=36X12=729X12；

r=2時(shí),T；=34C^7=1215X7.廠=4時(shí)，7；=32C^2=135x2；

廠=6時(shí)，Tj-x~3.

故答案為：729儲(chǔ)2（四個(gè)有理項(xiàng)任寫其一均可）.

10.在的展開式中，有理項(xiàng)有項(xiàng).

【答案】17

100

f—100-rr300-5r

【解析】五+曠的展開式的通項(xiàng)為（+]=C；0a—”=C；0G?*—1，

300-5r

令為整數(shù),貝V=0,6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96,共17項(xiàng).

6

故答案為：17.

11.（2024?高三?江西?開學(xué)考試）已知[上一旅）的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，寫出展開式中

的一個(gè)有理項(xiàng).

【答案】一（或u20x,或256元已寫出其中一個(gè)即可）

【解析】由題意知展開式中共有9項(xiàng)，所以〃=8,

所以"-旨1的展開式的通項(xiàng)為=C；（一2）'》今，0<r<8,reZ.

3

若4+i為有理項(xiàng)，則4—所以〃=0,4,8,

4

33

44x82

故展開式中所有的有理項(xiàng)為1=C；（-2）°x4=工4,4=仁（_2）晨一片=1120x-Tg=C?（-2）\^=256x--

故答案為：/（或ii20x,或256r2,寫出其中一個(gè)即可）

題型四：求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)系數(shù)

12.（2024.高三.四川成都?開學(xué)考試）二項(xiàng)式的展開式中第5項(xiàng)為

【答案】15

【解析】展開式通項(xiàng)為’?卜五’=（T'C”>6,

3'4

—=15.

故答案為：15.

13.（2024?安徽蕪湖.三模）寫出的展開式的第4項(xiàng)的系數(shù):（用數(shù)字表示）

【答案】-160

1|3=-160J.

【解析】人=或（2到3一一

故答案為：-160

14.（2024?高三?北京?期中）在（1-2?）”的二項(xiàng)展開式中，第四項(xiàng)為

3

【答案】-32/

【解析】由題設(shè)="-2?y=（-2yc,，

33

當(dāng)r=3時(shí)，第四項(xiàng)為4=（_2）3（2*5=_32#-

3

故答案為：_329

15.，-5I的展開式的第4項(xiàng)是.

【答案】-20?

【解析】由題設(shè)，二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)為一5），=（-1），鼠/當(dāng)"=0』,…,6,

4x3

第4項(xiàng)為n=（_1）3c"一行=-20/-

故答案為：-20d

題型五：求三項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)

16.（2024?山東?二模）+展開式中的系數(shù)為（）

A.-840B.-420C.420D.840

【答案】c

【解析】現(xiàn)有8個(gè)|1+尤_工|相乘，從每個(gè)（1+尤中的三項(xiàng)1,尤,-‘各取一項(xiàng)相乘時(shí)，若結(jié)果為小廠2的

、y)1y)y

常數(shù)倍，則所取的8項(xiàng)中有4個(gè)1,2個(gè)x,2個(gè)一工.

y

所以，總的選取方法數(shù)目就是c：CC=70X6X1=420.

每個(gè)這樣選取后相乘的結(jié)果都是f九2］一；［=/y一2,即給系數(shù)的貢獻(xiàn)總是1,所以Yy-2的系數(shù)就是全部的

選取數(shù)420.

故選：C.

17.（2024?新疆烏魯木齊?一模）（f-x+y）5的展開式中犬＞2的系數(shù)為（）

A.-30B.-20C.20D.30

【答案】A

【解析】⑺…q=［—,，

其展開式的通項(xiàng)公式為Tr+l=C；（/_x廣/；

令r=2,則4=C（f一了丫丁,

而（/一工丫的展開式的通項(xiàng)公式為：

乙=砥卜2廣.（一司=（一球。6一3

令k=l,貝!］（/一尤+y）5的展開式中％5y2的系數(shù)為：

Cfx（-l）1xC*=-30,

故選：A.

18.（2024?浙江?一模）（1+%-pF展開式中含/丁項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.30B.-30C.10D.-10

【答案】B

【解析】由題意得，（1+X-爐展開式中含尤）的項(xiàng)為（C；?f）.［c；.H）］-（C1X12）=-30X2J,

所以（1+尤-、）5展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為-30.

故選：B

19.在（l+x+擊）|°的展開式中，/項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.30B.45C.60D.90

【答案】B

【解析】在（1+無+$嚴(yán)=口+（彳+&）嚴(yán)的展開式中，通項(xiàng)公式為4+尸c;。?0+&［,

對于口+擊］，通項(xiàng)公式為qM=C>V"（x-2°2°『=C>xTw，y,r<10,r.keN,

-2021k=2,可得r=2021左+2,故廠=2,k=0,

故/項(xiàng)的系數(shù)為C；°C；=45,

故選：B.

題型六：求幾個(gè)二（多）項(xiàng)式的和（積）的展開式中條件項(xiàng)系數(shù)

20.若k3+4）［：+白］的展開式中/的系數(shù)為孩，則〃=（）

A.——-B.±—C.±2D.+4

24

【答案】C

【解析】因?yàn)?，展開式的通項(xiàng)公式為人==晨］￡|6,6告，

令6T=3,得r=2；令6號=0,得「=4.

所以（丁+4）\+｛］的展開式中尤3的系數(shù)為4Cixd+CixH、11，得。=±2.

故選：C.

21.已知（以+1）（2元-了的展開式中/的系數(shù)為448,則該展開式中Y的系數(shù)為（）

A.56B.-98C.106D.-112

【答案】D

【解析】依題意，（ar+l）（2x-l）7=av（2x-l）7+（2x-l）7,

二項(xiàng)式（2x—I）’的展開式的通項(xiàng)加=C；（2x）71（-iy,

于是一〃C；X22+C；X23=—84Q+280=448,解得.=—2,

所以3+l）（2x-球的展開式中/的系數(shù)為—2C；x2-C；x22=-28-84=-112.

故選：D

22.（2024?廣西南寧?一模）（1-—展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.60B.4C.-4D.-64

【答案】C

【解析】二項(xiàng)式。）6的展開式的通項(xiàng)公式為7r+1=（-1）丁$-22-6.%6號"=0,1,2,3,456,

令6-卞二。，求得廠=4,令6-?=-3,求得廠=6,

22

由于（1一/）傅_君6=傅一君6一爐傅——6,

266

故其展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（一1）4d-2-（-l）ct-2=60-64=-4

故選：C

23.（2024?廣東汕頭?一模）［l+gj（l+xy展開式中V項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.42B.35C.7D.1

【答案】A

【解析】(1+耳7的展開式通項(xiàng)為(+1="/(尸=0,1,2,.,7),

因?yàn)椤?=(l+x)+x3(1+x),

在C；"（=0,1,2,,7）中，令r=3,可得V項(xiàng)的系數(shù)為c；=35；

在E3C：./=CJ"3（左=0,i,2,.,7）中，令-3=3,得％=6,可得爐項(xiàng)的系數(shù)為C：=7.

所以，［1+2］（1+”7展開式中無3項(xiàng)的系數(shù)為35+7=42.

故選：A.

題型七：求二項(xiàng)式系數(shù)最值

24.已知二項(xiàng)式（1-以）"的展開式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為64,則正數(shù)

a的值為.

【答案】3

【解析】因?yàn)椋?-辦）"的展開式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，

所以展開式一共有7項(xiàng)，即〃=6,令x=l,得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為（l-a）6=64,

所以。=3或a=—1（舍去），所以正數(shù)。的值為3.

故答案為：3.

25.若（6+：）的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的x項(xiàng)為.

【答案】112x

【解析】由題意，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大知，

展開式中有共9項(xiàng)，則“=8,

所以［6+的展開式的通項(xiàng)為

令^^=1,解得％=2,

2

故展開式中的x項(xiàng)為C>22尤=112尤.

故答案為：H2x.

26.已知二項(xiàng)式（2尤-1）”的展開式中僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則〃=.

【答案】6

【解析】因?yàn)槎?xiàng)式（2xT）"的展開式中僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，

根據(jù)二項(xiàng)展開式的性質(zhì)，可得中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以展開式一共有7項(xiàng),

n

所以“為偶數(shù)且1=3,可得〃=6.

故答案為：6.

27.的展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則第四項(xiàng)為.

［答案］120尤11206

【解析】因?yàn)檎归_式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即］+1=6,所以九=10,

所以（=C；o（6）7］1|=120%2.

故答案為：120X；

題型八：求項(xiàng)的系數(shù)最值

28.已知口3+：；,>0）的展開式中唯有第5項(xiàng)的系數(shù)最大，則a的取值范圍是（）

45

C.

353

【答案】A

【解析】卜+三；的展開式的通項(xiàng)為&=晨（無=晨.優(yōu)量",

由題可知」5,解得

IVz6,a>c6,ciJz

故選：A

29.二項(xiàng)式。-x）4用（〃eN,〃21）的展開式中，系數(shù)最大項(xiàng)的是（）

A.第2”+1項(xiàng)B.第2〃+1項(xiàng)和第2〃+2項(xiàng)

C.第2九項(xiàng)D.第2”+2項(xiàng)

【答案】A

【解析】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式％=（-1『CZ片，

可知系數(shù)為（-球質(zhì)角，與二項(xiàng)式系數(shù)相比只是符號的區(qū)別，

二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第2〃+1項(xiàng)和第2〃+2項(xiàng),

又由第2〃+1項(xiàng)系數(shù)為（-1）2KCi"=,

第2”+2項(xiàng)系數(shù)為（T嚴(yán)5；=<0,

故系數(shù)最大項(xiàng)為第2〃+1項(xiàng).

故選：A.

30.（2024?江西南昌?三模）若12/-的展開式中有且僅有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)

最大的是（）

A.第二項(xiàng)B.第三項(xiàng)C.第四項(xiàng)D.第五項(xiàng)

【答案】B

【解析】因?yàn)椋?/一［1的展開式中有且僅有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,

所以二+1=5,解得〃=8,

2

則的展開式通項(xiàng)為Tk+1=C如2/廣CX28Tx(-1丫X￡6屈伏=o,1,2,3,4,5,6,7,8),

當(dāng)上為奇數(shù)時(shí)，系數(shù)為負(fù)數(shù)，當(dāng)上為偶數(shù)時(shí)，系數(shù)為正數(shù),

所以展開式中系數(shù)最大時(shí)，上為偶數(shù),

由展開式通項(xiàng)可知4=c；2'寸6=256/6,4=626產(chǎn)=1792_?°,7；=^24%4=1120/,

T—06,2-2_iiQ-2rp_^8^0-8_-8

■Z7v-zQ乙J.J.4,J.Q乙4*

所以展開式中系數(shù)最大的是第三項(xiàng),

故選：B

31.（2024?全國?模擬預(yù)測）的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為（）

56x3_p_56x570/

A.70B.56C.^或D

yJ3-丁

【答案】D

（）產(chǎn)（）卜；由二項(xiàng)式系

【解析】的展開式的通項(xiàng)公式為Ms-iyy,|-iyc,

數(shù)中，C；最大，此時(shí)該二項(xiàng)展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)（TpC；最大，的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為

70/

故選：D.

題型九：求二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和、各項(xiàng)系數(shù)和

32.已知(2%—3)9=4+4(元—1)+出(尤—I)?+...+。8(%—I)8+%(%—1)9，則。0+2%+3〃2+…+9/+IO%=(

A.9B.10

C.19D.29

【答案】C

9

［解析］因?yàn)?2%—3)9=/+4—+%(X—1)2_|_+/(1一1)8+6Z9(X-1),

_0

所以—=aQ(%_1)+4—+。2(%—1)3++。8—+。9(^1)

分別對兩邊進(jìn)行求導(dǎo)得(2%-3)9+18(%-1)(2%-3)8

=4+2%(%—1)+3%(％—1)++9〃8(%—1)+10%(%—1)，

令x=2,得(2x2—3)+18(2—l)(2x2—3)=%+2〃］+3a2+,+9/+10。9，

以CLQ+24+3%++9火+10g=19,

故選：C

33.若(1+2%)(1-2%)7=〃0+%%+。2%2+?，?+。8%8,則％+4+%+…+%的值為()

A.-2B.-3C.253D.126

【答案】C

【解析】令%=1,

CLQ+q+%+...+%=—3,

%=2x(-2)，--256,

.■?％+???+%=_0s—3=253.

故選：C.

8

34.已知對任意實(shí)數(shù)%,(2x—球=%+q(x+l)+%(x+l)2+,+tz8(x+l),則下列結(jié)論成立的是()

A.%+%++4=1

38+1

B.%+%+&+〃6+〃8=-------

C.?+||++%=256

D.4+2a?+3a3++84=16

【答案】C

【角軍析】因(2］一1)8=%+%(X+1)+%(X+1)2+.+〃8(X+l)8(*)

對于A項(xiàng)，當(dāng)％=-1時(shí)，代入（*）可得。0=38,當(dāng)X=o時(shí)，代入（*）可得〃0+6+〃2+…+〃8=（―1）8=1，

所以4+4++。8=1-38,故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于B項(xiàng)，當(dāng)了=—2時(shí)，代入（*）可得%—%+出—/----%+%=（―5）8=5*,

58+1

又4+〃1+%+???+/=1,所以〃0+〃2+〃4+〃6+。8=一廠，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于C項(xiàng)，當(dāng)x=-g時(shí)，代入（*）可得4+與+||++與=（-2）=256,故C項(xiàng)正確；

對于D項(xiàng)，對（*）兩邊求導(dǎo)可得16（2x—I）,=4+2%（x+1）+3〃3（%+++8〃8（X+1）7,

,當(dāng)％=0時(shí)，%+2%+3/++8%=16?（―I），=—16,故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

35.已知（2彳-二）的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為M,各項(xiàng)的系數(shù)之和為N,若M-N=63,則展

開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.180B.60C.280D.240

【答案】D

【解析】（2彳-《］的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和M=2".

對于（2苫一二），令x=l,貝UN=（2xl—gj=1.

由"-N=2"-l=63,解得"=6.

所以的展開式的通項(xiàng)公式為J=鼠（2尤廣=（-1）'x26Tq/3，

令6-3廠=0,貝!!r=2,

故［2工-二）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為4=（T）2X24XC：=240.

故選：D.

題型十：求奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和

s

36.（2024?高三?上海普陀?期末）已知（3%—1）8=%+。9+生/+-+asx,則弓+/+%+%=（用數(shù)

字作答）.

【答案】-32640

【解析】由（3%-1）8=%+4%+々2%2++Q8f，

令x=1得，4+%+L+/=28,①

令x——1得，4—%+%—%+L+〃8=4*,②

①—②得，2（4+生+生+%）=28—4',

28-48

/.%+/%%=—————32640.

故答案為：-32640.

題型十一：整數(shù)和余數(shù)問題

37.（2024?湖北荊州?三模）已知（3x—l）2°24=%+qx+%尤2+L+生024鏟z"，貝M+g+L+出必被3除的余

數(shù)為（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】D

20-4

【解析】令*=。，得4=1,令X=l,得％+“]+。2++。2024=2,

=20241012

兩式相減，ax+a2++a2o242—1=4—1,

因?yàn)?⑼2=（3+1片=c：°y+%，"++制；3+。落，

其中C，23nH2+c：0123Km+L+C第3被3整除，所以4用被3除的余數(shù)為1.

綜上，4+a2+L+。2024能被3整除.

故選：D.

38.（2024?貴州黔南?二模）我國農(nóng)歷用“鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬”這12種動(dòng)物

按順序輪流代表各年的生肖年號，今年2024年是龍年.那么從今年起的（13耳+1）年后是（）

A.虎年B.馬年C.龍年D.羊年

【答案】B

【解析】由13"=（12+l）"=C；412.+C；J2i3++C；^121+C；t

1312

=12（C?412+C；412++C：：）+1,

故13.除以12的余數(shù)為1,故13"+1除以12的余數(shù)為2,

故（13"+1）年后是馬年.

故選：B.

39.（2024?江西鷹潭?二模）第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)在上海華東師范大學(xué)舉行，如圖是本次大會(huì)的會(huì)標(biāo)，

會(huì)標(biāo)中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4,這是中國古代八進(jìn)制計(jì)數(shù)符號，換算成現(xiàn)代

十進(jìn)制是3x葭+7x8?+4x++4x8°=2020,正是會(huì)議計(jì)劃召開的年份，那么八進(jìn)制數(shù)77…7換算成十進(jìn)制

數(shù)，則換算后這個(gè)數(shù)的末位數(shù)字是（）

iomci4

A.1B.3C.5D.7

【答案】C

【解析】由進(jìn)位制的換算方法可知，八進(jìn)制77二7換算成十進(jìn)制得：

8不7

1_?8

7x87+7x86+…+7x8、7x8°=7x——=88-1,

1-8

88-l=(10-2)8-l=C°108+C^107(-2)1+---+^10*(-2)7+C；(-2丫—1

因?yàn)镃；108+c；107(_2)+…+亡10](-2)7是10的倍數(shù)，

所以，換算后這個(gè)數(shù)的末位數(shù)字即為C；(-2)8-1的末尾數(shù)字，

由C；(-2『-1=255可得，末尾數(shù)字為5.

故選：C

40.(2024?福建三明?三模)各種不同的進(jìn)制在生活中隨處可見，計(jì)算機(jī)使用的是二進(jìn)制，數(shù)學(xué)運(yùn)算一般使

用的是十進(jìn)制，任何進(jìn)制數(shù)均可轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，如八進(jìn)制數(shù)(3750)8轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)的算法為

3X83+7X82+5X81+0X8°=2024.若將八進(jìn)制數(shù)777轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，則轉(zhuǎn)換后的數(shù)的末位數(shù)字是()

6個(gè)7

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

/\

【解析】777=7X85+7X84+7X83+7X82+7X81+7X8°

I6不7J8

=7X(85+84+83+82+81+8°)

=7X1^1-=86-1=(10-2)6-1

=C-1()6+C；?IO,G2p++C^-101-(-2)5+C?-10°-(-2)6-l

=10x[C°-105+C^-104-(-2)1++C,10°?(—2)5]+C?-10°-(-2)6-l

因?yàn)?0x[C305+C；-IO4.(-2)'++C>10°-(-2)5]是10的倍數(shù)，

所以換算后這個(gè)數(shù)的末位數(shù)字即為C>10°<-2)6-1的末位數(shù)字,

由C/10°?(-2)6-1=64-1=63,末位數(shù)字為3,

故選：A.

題型十二：近似計(jì)算問題

41.（2024.高三.河北?開學(xué)考試）已知二項(xiàng)式（元+0.01）”的二項(xiàng)式系數(shù)的和為1024,則〃=.試估

算尤=1時(shí)，（x+QOl）"的值為.（精確到0.001）

【答案】101.105

【解析】二項(xiàng)式(工+0.017的二項(xiàng)式系數(shù)的和為2,=1024,解得”=10,

10

當(dāng)x=1時(shí)，(1+0.01)1°=1+Co?0.01+C；o-0.0001++C；°-O.O1?l+C；o-O.Ol+C；o-0.0001

=1+0.1+0.0045=1.1045?1.105.

故答案為：10；1.105.

42.(2024.廣東深圳?模擬預(yù)測)定義區(qū)表示不超過x的最大整數(shù)QeR),如：[-1.3]=-2,[0.8]=。；定

義{x}=x-|x].

慳1+J亞]+虺[+虺]

(1)>=.

[1000][1000J[1000][1°OOJ

[999]J9992'999"_

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，1

(2)I1000J(1000^/閭+ioooI

n-1999

【答案】2+

21000

⑴由題意得,f999)1999"999"999

【解析】11000=

1000_1000_一1000'

222

999_(1000-1)_1000-2000+1_9%11

1000100010001000

9992]11

=998+—998=

iooo]10001000

9993(1000-1)310003—3x100()2+3x1000—1

2

-=1000-3000+3---------

wooiooo―10001000

fQQQ311,、999

——^^10002-3000+3------------(10002-3000+3-11=——,

[1000]1000\71000

r9994]1

由二項(xiàng)式定理同理可得，

1000[-1000'

9992]f999^11999499919991c

WOOJ+(1000J+[WOO----------1------------1----------=2

1000100010001000

999”999

（2）由（1）可歸納出當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí),

1000W00

999〃_1

當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí),

woolWOO

yj—1n+1

???當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，則有〒個(gè)偶數(shù)，〒個(gè)奇數(shù),

999]9992]19993\999n]n-1999

++

1OOO]1000||1000+1io6oj

n—I999

故答案為：2；2+

WOO

/L\2024

43.(1+72)的小數(shù)點(diǎn)后第100位數(shù)字是

【答案】9

【解析】設(shè)%=(1+?”+(1-忘則由特征方程可知其遞推式為4+2=2.+%.

但注意到%=2,出=6都是整數(shù)，由數(shù)學(xué)歸納法可知出.=(1+應(yīng)廣"+(1-3廣4是整數(shù)，

但顯然有(1-忘廣4<3而，因此所求小數(shù)點(diǎn)后第100位數(shù)字是9.

故答案為：9

44.實(shí)數(shù)1.9965精確到0.001的近似值為.

【答案】31.681

【解析】因?yàn)?/p>

1.9965=(2-0.004)5=C°X25-C*X24X0.0041+C；x23x0.0042-C^x22x0.0043+C；x2x0.0044一C；x0.0045

Q32-0.32+0.00128=31.68128,

將1.9965精確到o.ooi,故近似值為31.681.

故答案為：31.681.

45.(2024?高三?山西朔州?開學(xué)考試)(1.05)6的計(jì)算結(jié)果精確到0.01的近似值是.

【答案】1.34

【解析】(1.05『=(1+0.05)6=1+ci,OO5+C2,Q052+~1+0.3+0.0375=1.3375~1.34

故答案為：1.34

題型十三：證明組合恒等式

22n+1+1

46.￡20

k=03

【解析】令n-k=l,則

所吟2c八號花"+可、(1一可？中，

n02“+1.-1

所以￡2"-氣焉=一^~.

k=05

2〃

47.￡(r)yc舄=22"C小

k=0

,11

【角翠析］記/(%)=(1一4%)5，貝U/(-%)=(1+4%)2,

11_2_

所以/(x)/(-x)=(1-4x)-5.(1+4x)~2=(1-42X2廠

由于/(x)=￡《W，

k=0

00

所以/(T)=E(T)"C

k=0

_2〃,

所以f(x)f(-x)中一的系數(shù)為：￡(一i)*C?；2，)=E(T)'C，

無=0%=0

而（1-4-2『展開式中爐”的系數(shù)為22"C"，

In

所以X（-i）yc%=22"q成立

k=0

48.（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）對于數(shù)列｛g｝,稱｛△〃"｝為數(shù)列｛4｝的一階差分?jǐn)?shù)列，其中

△4=%+「%（〃€川）.對正整數(shù)人（人2）,稱｛A%｝為數(shù)列｛叫的上階差分?jǐn)?shù)列，其中

A%“=△（△"&）="t%一已知數(shù)歹|j｛%｝的首項(xiàng)卬=1,且｛△.一4一2"｝為｛a,,｝的二階差分?jǐn)?shù)列.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

1n

⑵設(shè)2=：（〃2-〃+2）,｛七｝為數(shù)列抄“｝的一階差分?jǐn)?shù)列，對TweN*,是否都有W>C=4成立？并說明理

2'z=i

由；（其中C：為組合數(shù)）

，、txn+t~xn1--

⑶對于（2）中的數(shù)列｛%｝,令%/：，其中g(shù)<f<2.證明：?<2"-22

22E

【解析】⑴因?yàn)椋∮靡?-2"｝為5｝的二階差分?jǐn)?shù)列，所以Aa“「a“-2"=1%,

將=〃向-〃“,代入得Aa“+「a"-2”=A%+「AM，整理得A%--=2",即。好「23=2",

所以需一張="故數(shù)列是首項(xiàng)為4，公差為、的等差數(shù)列，

因此，祟=g+(〃T)g即％=〃2"T.

(2)因?yàn)閮?yōu)｝為數(shù)列｛.｝的一階差分?jǐn)?shù)列，所以斗=%「￡=〃，

故l>C=a“成立，即為C；+2C；++吟；=小2"二①

Z=1

當(dāng)"=1時(shí)，①式成立；

當(dāng)”22時(shí)，因?yàn)樾?1=止(1+1)1=”.93+€1]++C：]),且〃《[；=&：,

所以①成立，故對VneN*都有nx,C：=%成立.

1=1

nn

(3)%=勺t+t—~，因?yàn)?1<r<2,所以⑵)">"<2",

故(2"+2f)-(f+尸)=&(2"T")[(2?r-l]>0,即f"+「"<2"+2f,

所以%4￡(小尸)《￡(2'+巧]^

i=l乙1=1zi=l乙Z-11——

2

7n

<2"-1.2-VF=2-2W

2

49.組合數(shù)有許多豐富有趣的性質(zhì)，例如，二項(xiàng)式系數(shù)的和有下述性質(zhì)：￡C=2”.小明同學(xué)想進(jìn)一步探究

k=0

組合數(shù)平方和的性質(zhì)，請幫他完成下面的探究.

⑴計(jì)算：cy+cy+o'Gf+cy+cy+cy,并與c；c比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？寫出一般性

結(jié)論并證明；

⑵證明：￡(-球(&)=(-1)匕“

k=0

⑶利用上述(1)⑵兩小問的結(jié)論，證明：￡?廠『=:?:+(-1尸《」.

k=\2

【解析】(1)(C°)2+(C*)2+(d)2=l+4+l=6=C;,(c；『+(c；y+(c；)2+(c；『=1+9+9+1=20=或,

規(guī)律:(c：)2+(c')2++(c：『=c>,證明如下：

(l+x)"(l+x)”的展開式中，V的系數(shù)為c：c：+c；c：T+c：cF++c：c°=(c°)2+(cQ2++(c：『，

同時(shí)(l+x)"(l+尤)"=(1+尤戶，(1+x)2"的展開式中無"的系數(shù)為C；",

所以?『+?『++（c：）2=q?.

（2）證明：（12廣的展開式中鐘的系數(shù)為

又（1-%2廣=（1-X廣（1+x）2n,（l-x）2，，（l+姨"的展開式中一的系