第03講二項式定理

目錄

01考情透視目標導航.............................................................2

02知識導圖思維引航.............................................................3

03考點突破?題型探究.............................................................4

知識點1：二項式展開式的特定項、特定項的系數(shù)問題................................4

知識點2：二項式展開式中的最值問題..............................................5

知識點3：二項式展開式中系數(shù)和有關(guān)問題..........................................6

題型一：求二項展開式中的參數(shù)....................................................7

題型二：求二項展開式中的常數(shù)項..................................................9

題型三：求二項展開式中的有理項.................................................11

題型四：求二項展開式中的特定項系數(shù).............................................13

題型五：求三項展開式中的指定項.................................................14

題型六：求幾個二（多）項式的和（積）的展開式中條件項系數(shù).......................16

題型七：求二項式系數(shù)最值.......................................................19

題型八：求項的系數(shù)最值.........................................................21

題型九：求二項展開式中的二項式系數(shù)和、各項系數(shù)和...............................23

題型十：求奇數(shù)項或偶數(shù)項系數(shù)和.................................................27

題型十一：整數(shù)和余數(shù)問題.......................................................29

題型十二：近似計算問題.........................................................31

題型十三：證明組合恒等式.......................................................33

題型十四：二項式定理與數(shù)列求和.................................................38

題型十五：楊輝三角.............................................................42

04真題練習?命題洞見............................................................45

05課本典例高考素材............................................................47

06易錯分析答題模板............................................................49

易錯點：混淆項的系數(shù)與二項式系數(shù)...............................................49

答題模板：求二項展開式中的特定項或項的系數(shù).....................................50

考情透視.目標導航

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

2024年北京卷第4題，4分

(1)今后在本節(jié)的考查形式依然以選擇或者填

2024年甲卷(理)第13題，5分

空為主，以考查基本運算和基本方法為主，難度中等

(1)二項式定理2023年北京卷第5題，4分

偏下,與教材相當.

(2)二項式系數(shù)的性質(zhì)2023年天津卷第11題，5分

(2)本節(jié)內(nèi)容在高考中的比重可能會持續(xù)降低，

2023年上海卷第10題，5分

但仍然是備考的重要內(nèi)容.

2022年I卷第13題，5分

復習目標：

(1)能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理.

(2)會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題.

㈤2

〃0知識導圖?思維引航\\

二項式定理

考點突確.題理輝寶

知識固本

知識點1:二項式展開式的特定項、特定項的系數(shù)問題

(1)二項式定理

一般地，對于任意正整數(shù)%都有：(a+by=C°a"+cy-'b+.■.+C；,anrbr+-■■+Qb"(n&N*),

這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做(。+3"的二項展開式.

nrr

式中的C/"-%'做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第r+1項：Tr+l=Cna-b,

其中的系數(shù)C；(r=0,1,2,”)叫做二項式系數(shù)，

(2)二項式(a+6廠的展開式的特點：

①項數(shù)：共有”+1項，比二項式的次數(shù)大1；

②二項式系數(shù)：第r+1項的二項式系數(shù)為C〉最大二項式系數(shù)項居中；

③次數(shù)：各項的次數(shù)都等于二項式的哥指數(shù)字母。降募排列，次數(shù)由〃到0；字母6升基排列，次

數(shù)從0到九，每一項中，a,6次數(shù)和均為“；

④項的系數(shù)：二項式系數(shù)依次是C：,C：,C；,…，Q,…，C；,項的系數(shù)是。與6的系數(shù)(包括二項式系

數(shù)).

(3)兩個常用的二項展開式：

nnrrr

①(a—b)=C°a-C\a"-'b+.??+(-l)-Cna"-b+.??+(-1)"-C"b"(〃eN*)

@(l+x)"=1+C>+C；x2+?--+C>r+???+X"

(4)二項展開式的通項公式

二項展開式的通項：IM=C：a"-方(r=0,1,2,3,

公式特點：①它表示二項展開式的第廠+1項，該項的二項式系數(shù)是G；；

②字母6的次數(shù)和組合數(shù)的上標相同；

③。與b的次數(shù)之和為

注意：①二項式(a+6)"的二項展開式的第r+1項C,V和(6+。廠的二項展開式的第r+1項C》"一"

是有區(qū)別的，應用二項式定理時，其中的。和b是不能隨便交換位置的.

②通項是針對在(。+6廠這個標準形式下而言的，如(。-加0的二項展開式的通項是=(-l『C；a"T?

(只需把-b看成b代入二項式定理).

【診斷自測】已知在(x+a)5的二項展開式中，各項系數(shù)和為-32,則展開式中，含/項的系數(shù)為.

【答案】90

【解析】由題意，(1+a)5=—32a=—3,

故二項式為(尤-3)5,其通項公式為Tr(i=(-3yq/，,r=0,1,2,3,4,5,

所以r=2時，有￡=(-3)2￡/=90尤3,故含工3項的系數(shù)為90.

故答案為：90

知識點2：二項式展開式中的最值問題

(1)二項式系數(shù)的性質(zhì)

①每一行兩端都是1,即c；=c：；其余每個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即c3=c;i+c：.

②對稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即C：=CL.

③二項式系數(shù)和令a=>=l,則二項式系數(shù)的和為C,；+C：+C；+…+￡；+…+C：=2",變形式

Q+C；+…+C：+…+C：=2"-L

④奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和在二項式定理中，令a=l,6=-1,

貝Uc°-c：+c；—c；+…+(-1/c：=(i-iy=o,

從而得到：C：+C：+C：…+C廠+…=C：+C；+…+C；川+…=g2"=2'T.

⑤最大值：

如果二項式的基指數(shù)〃是偶數(shù)，則中間一項7；的二項式系數(shù)C：最大；

-+1

2

n-1n+1

如果二項式的幕指數(shù)”是奇數(shù)，則中間兩項rn+l的二項式系數(shù)cF，相等且最大.

——-----+1

22

(2)系數(shù)的最大項

求m+云)”展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法.設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為44,…，4+1，設(shè)

第r+1項系數(shù)最大，應有,從而解出廠來.

lA+iwA*

【診斷自測】設(shè)機為整數(shù)，(元+y廣展開式的二項式系數(shù)的最大值為。，(尤+y廣M展開式的二項式系數(shù)的

最大值為匕，若11。=65,則m=

【答案】5

【解析】(龍+y廣展開式的二項式系數(shù)的最大值為c，“，

(無+?*展開式的二項式系數(shù)的最大值為c器|=c然?,

因為n〃=6b,所以lie黑=6C*|,即11X-5=6X/高八解得m=5,

m!xm!(m+1)!xm!

故答案為：5.

知識點3：二項式展開式中系數(shù)和有關(guān)問題

常用賦值舉例:

n2nrr

(1)設(shè)(a+。)"=C>"+C'na-'b+C1alb+.??+C^ab+.??+C?”,

二項式定理是一個恒等式，即對“，6的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問題的需要靈活選取。，b

的值.

①令。=6=1,可得：2”=C：+C：+…+C；

②令a=l,6=l,可得：0=C-C：+C；-C：…+(-1丫C：,即：

C：+C；+-..+C：=C；+C：+—?+C：T(假設(shè)〃為偶數(shù))，再結(jié)合①可得:

C：+《+…+C：=C；+C：+…+C,：-1=2-

(2)f(尤)=a“x'+。._［尤"1+“”_2彳"~+???+QyX+CIQ,貝。

①常數(shù)項：令x=0,得4=/(0).

②各項系數(shù)和：令x=l,得/(I)=4+q+%+…+a,,T+%.

③奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和

⑴當”為偶數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為a。+%+%+…=:⑴1八一1)

偶數(shù)項的系數(shù)和為4+/+4+…=/(1)~/(-1)

(可簡記為：〃為偶數(shù)，奇數(shù)項的系數(shù)和用“中點公式”,奇偶交錯搭配)

(拓)當〃為奇數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為%+%+%+-/?⑴-7'(T)

2

偶數(shù)項的系數(shù)和為4+%+%+…="1)1"T)

(可簡記為：〃為奇數(shù)，偶數(shù)項的系數(shù)和用“中點公式”，奇偶交錯搭配)

2nxn

若/(%)=+a2x+???+cin_xx~+anx,同理可得.

注意：常見的賦值為令x=0,x=l或x=-l,然后通過加減運算即可得到相應的結(jié)果.

236

【診斷自測】設(shè)（一2尤+1『=%+aAx+a2x+a3x+???+a6x,則同+同+同+…+|%|=__-

【答案】728

【解析】因^/（—2%+1）=%++.?,+4%6,

所以（2%+1）=|/|+|%|%+I%|%?+|?|d+...+l4]九6,

令第=1,可得（2+1）=|++E|+…+1。61=729,

令％=0,可得（0+1）6,

所以%|+|%]+|聞+.?,+院|=729—1=728.

故答案為：728.

題型一：求二項展開式中的參數(shù)

【典例1?1］在［辦-去J展開式中V的系數(shù)為—270,貝匹的值為.

【答案】-3

【解析】因為展開式的通項為C；(依廣［一9］=(-1)'/(＞『之,=0,1,2,3,4,5,

3

令5-y=2,解得廠=2,

因為Y的系數(shù)為(-1)2a3Cf=10a3=-270,解得a=一3.

故答案為：-3.

【典例1-2】已知二項式］辦-的展開式中的常數(shù)項為-20,則仍=—.

【答案】1

［解析］由題意可知展開式的通項為Tk+l=C其依嚴［-=C"a6T.(一6y尤6口水=o,1,2,…,6,

令6—2左=0,解得左=3,

可得T4=C/3可力3=-20a3b3=-20,即尊=1.

故答案為：L

【方法技巧】

在形如（依"+法"）N的展開式中求xr的系數(shù)，關(guān)鍵是利用通項求r,則廠=遜二.

m-n

【變式1-1］（2024?四川成都?模擬預測）在卜+?1（機＞0）的展開式中，常數(shù)項為90,貝

【答案】A/6

【解析】二項式［尤+gJ（根＞0）展開式的通項公式C〉產(chǎn)，.（如-2丫=”.晨〃6-3"

令6-3廠=0,解得r=2,所以常數(shù)項療?晨=15〃=90,加=而（負根舍去）.

故答案為：^6

【變式1-2］在的展開式中,犬的系數(shù)為12,則。的值為

【答案】-2

【解析】因為的展開式的通項為:

Tr+l=C"6"（_iy"獷'=JI）'"C"6-z，，

又因為X,的系數(shù)為12,

所以當6-2廠=4時，r=\,

所以（-DSC；=（-l）-a-C*=-6a=12,

解得a=-2.

故答案為：-2

【變式1-3］（2024?高三?上海?開學考試）己知二項式卜+1）的展開式中存在常數(shù)項，正整數(shù)〃的最小值

為一

【答案】4

【解析】二項式卜+：J的通項為2=《任廠=ck”-4,,

若展開式中存在常數(shù)項，只需3"-4r=0,0＜rO/eZ,

3

貝=所以正整數(shù)”最小取4.

故答案為：4.

【變式1-4］（2024?高三?山西呂梁?開學考試）已知展開式中x的系數(shù)為80,則h.

【答案】-2

【解析】通項公式加=匠（小廠.’口=q,

令10-3r=l,貝什=3,

因為x的系數(shù)為C；x（-幻3=8o,故左=一2.

故答案為：-2

題型二：求二項展開式中的常數(shù)項

【典例2-1】（2024?高三?浙江?升學考試）（必+：］的展開式中，常數(shù)項為—

【答案】3

【解析】由3+口展開式中的通項公式為：小=《（『/［口=《尸3

令6—3左=0,則左=2,

故,2+（］展開式中的常數(shù)項為：（=C；x°=3,

故答案為：3.

【典例2-2】（2024.高三.江蘇?開學考試）展開式中的常數(shù)項為—.

【答案】一萬/TQ5

展開式的通項（+1=7》？

【解析】二項式X

(0<r<9_S.reN),

令彳=0,解得r=3,所以展開式中常數(shù)項為n=［g［c=-

故答案為：q21

【方法技巧】

寫出通項，令指數(shù)為零，確定廠，代入.

【變式2-1］（2/+1）卜一一1的展開式中的常數(shù)項為（請用數(shù)字作答）

【答案】10

【解析】卜-展開式的通項之產(chǎn)ckk(-X-')"=[(-1/C^]-/2上信=0,1,2,3,4,5,6),

為了得到常數(shù)項，與2/相乘的項需滿足6-2左=-2,即左=4,

與1相乘的項需滿足6—2左=0,即左=3,

因此常數(shù)項為2X(1)4晨]+1X(1)3晨]=2X15-20=10.

故答案為：10

【變式2-2】二項式1+；]的展開式中的常數(shù)項為—.

【答案】240

【解析】二項式展開式的通項公式為(+]=-2r-=2r-'x~^，

46-jr=0,解得廠=4,則常數(shù)項為京=24.C：=240.

故答案為：240

【變式2-3][石的二項展開式中的常數(shù)項為.(結(jié)果用數(shù)值表示)

【答案】15

【解析】由(石+捻]可得加=C；國“尼J=3Y.無學，

5-5r

令三一=0,即r=l,貝|J7；=3LC；Y°=15,

即+的二項展開式中的常數(shù)項為15.

故答案為：15.

【變式2-4](2024.全國?模擬預測)[1-的展開式中第2項的二項式系數(shù)為6,則其展開式中的常數(shù)

項為?

【答案】15

【解析】因為[[-好]的展開式中第2項的二項式系數(shù)為6,所以C：=6,n=6,

[1無2；的展開式的通項公式為心=晨]￡|6=(_1)「晨”-6,

令3—6=0,得r=2,故展開式中的常數(shù)項為C"(-=15.

故答案為：15.

題型三：求二項展開式中的有理項

【典例3-1】（2024?全國?模擬預測）的展開式中，有理項是第一項.

【答案】3

【解析】

其中左=0,1,2,3,4,5,

當IM為有理項時，巴盧為整數(shù)，結(jié)合左=0,1,2,3,4,5,

0

所以左=2,即有理項是展開式中的第3項，

故答案為：3

【典例3-2】（2024?山東煙臺?三模）己知的展開式中共有7項，則有理項共一項.（用數(shù)字表示）

【答案】4

【解析】因為x-一三的展開式中共有7項，所以〃=6,

則通項加=鼠尤6T

當廠=0,2,4,6時，6-—eZ,相應項為有理項，故有理項共有4項.

故答案為：4

【方法技巧】

先寫出通項，再根據(jù)數(shù)的整除性確定有理項.

【變式3-1】已知的展開式中，僅有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中有理項的個數(shù)

為.

【答案】2

【解析】（卜2局的展開式有〃+1項，因為僅有第5項的二項式系數(shù)最大，所以〃=8

（_l>8-r（工丫5_16

”?一2/=0（-2）'#亮

\\7

當r=2時，。一苧=-1,當r=8時，方-學=4,符合題意

6666

所以展開式中有理項的個數(shù)為2

故答案為：2

【變式3-2］（2024.高三.上海.單元測試）二項式（班+尤嚴的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)為一

【答案】5

【解析】因為（吹+x嚴展開式的通項為/川=新,3%尤一

要使系數(shù)為有理數(shù)的項，需4為整數(shù)，所以/'=0,3,6,9,12,共5項.

故答案為：5.

【變式3-3］（2024?高三?吉林通化?期中）在，一2J的展開式中，有理項的個數(shù)為—.

【答案】7

z_、12-左3女

【解析】展開式中的第左+1（左=0,1，…,12）項為CM?卜京=（-2尸C：2產(chǎn)6，

當上=0,2,4,6,8,10,12時為有理項，共7項.

故答案為：7.

【變式3-4］在卜+內(nèi)y『。的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有一項.

【答案】6

【解析】由題意知，（x+君'產(chǎn)展開式的通項公式為&=c（退方=3兀，。-N，

當:（0W"20,reN）為整數(shù)時，3立方3y的系數(shù)為有理數(shù)，

所以r=0,4,8,12,16,20,即（x+班丫產(chǎn)展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項共有6個.

故答案為：6

【變式3-5］已知一京）的展開式中第4項與第6項的二項式系數(shù)相等，寫出展開式中的一個有理

項.

【答案】一,U20X,256^2（寫出其中一個即可）

〃I〃I

【解析】由題意知c：=c：,所以?=:,

（〃一3）!3!（n-5）!5!

整理得〃2—7〃-8=0,解得〃=8或〃=—1（舍去），

所以［石-2］的展開式的通項為：

（4廣］一房］=C；（-2）"丁，0<r<8,reZ.

3

若加為有理項，貝ij4-?eZ,所以r=0,4,8,

故展開式中所有的有理項為：7]=C"(-2)°X4=X4,

33

4--x44--x8

42

4=C：(-2)4尤=1120%>q=C；(-2)8尤4=256x■

故答案為：/，H20x,256x-2

題型四：求二項展開式中的特定項系數(shù)

【典例4-1】二項式（2x-：）5展開后的第三項是

■田心■80

【答案】y

［解析］因為,

所以…（2x）3

QA

故答案為：毀

【典例4-2】（2024.浙江紹興?二模）［己-2元j的展開式的第四項為.

【答案】-160

【解析】的展開式的通項為4+1=&(一2x)'=(-1)'2'C"2L6/=0,1,**-,6,

X

令r=3,得7；=（-1）323C^°=-8X6X5X4=-160.

3x2x1

故答案為：-160.

【方法技巧】

寫出通項，確定廠，代入.

【變式4-1］（2024.陜西渭南.二模）d-2x）6展開式中的/項是.

X

【答案】240Y

【解析】依題意，（：-2姍展開式中的/項是CU：（_2X）4=240X2.

故答案為：240/

6

【變式4-2］（2024?湖北.模擬預測）x展開式中尤2項的系數(shù)為

【答案】30

【解析】“一曰展開式的通項表達式為2=（-1）'最尸用=（-i）y（可「，

當6—2r=2時，r=2,

4=（-1『C.可=30/.

故答案為：30.

【變式4-3】二項式1^一彳：的展開式的中間項為

【答案】-252

【解析】設(shè)后與展開式為小哇「（叫口,

總共11項，中間項為第6項，此時廠=5,所以￡="￡［（-1）505=-252.

故答案為：-252.

【變式4-4］（2024.高三.上海浦東新?期中）（2%+1戶的展開式的第8項的系數(shù)為（結(jié)果用數(shù)值表示）.

【答案】960

【解析】因為，（2x+l）i°展開式的第8項為C：0（2X）3=960X3,

所以，（2元+1戶的展開式的第8項的系數(shù)為960.

故答案為：960

題型五：求三項展開式中的指定項

【典例5-1】（2024.高三.江蘇南京?開學考試）（d-x+y）5的的展開式中％3y3的系數(shù)為（）

A.30B.-30C.20D.-20

【答案】D

【解析】從5個含有尤2,的括號中，其中1個括號中取爐，一個括號中取-X,3個括號中取V,乘在

一起構(gòu)成尤3y3這一項，

這一項為C；?爐.C：.（—%）.c：?y3=-20x3/,所以的系數(shù)為_20.

故選：D

【典例5-2】（2024?江蘇南京?模擬預測）1+1一；］的展開式中，/■的系數(shù)為（）

A.60B.-60C.120D.-120

【答案】A

【解析】由題意可知：“+=1+1一；］的通項為&=G（x_/,r=0』,...,6,

kMk

且（X-；嚴的通項為Sk+l=或一產(chǎn)t=（一2yCb_rxy-,

令k=2,6-r-k=4,解得左=20=0,

所以士的系數(shù)為C：（-2）y=60.

y

故選：A

【方法技巧】

三項式（a+。+c）〃（〃￡N）的展開式：

（a+b+c/=［（a+b）+c］n=…+C；（a+/?）〃一，+???=???+&（???+Q一優(yōu)一「一%"+???）/+.一

+C：CFV+…

若令rtT-q=p,便得到三項式（a+》+c）"（〃￡N）展開式通項公式：

pqr

C^C^_rabc（p,q,reN,p+q+r=n）f

其中c；&,=---------------（"一以=-^―叫三項式系數(shù).

r!（n-r）!q\{n—r—q）\p\q\r\

【變式5-1］（2024?高三?貴州貴陽?開學考試）（尤2+x+y）5的展開式中Vy3的系數(shù)是（）

A.5B.10C.20D.60

【答案】C

【解析】依題意，（/+x+y）5的展開式中項是5個多項式/+x+y中取3個用y,

余下2個取1個用犬,最后1個用X的積，即C83.c%2.尤=20尤3y3,

所以（/+x+y）5的展開式中的系數(shù)是20.

故選：C

【變式5-2］（2024?新疆喀什三模）（/+%+|展開式中，/的系數(shù)為（）

A.20B.30C.25D.40

【答案】B

【解析】，+x+l）5展開式中，L的項為C江3.I2+C52.C%.I3=30X3,

則x，的系數(shù)為30.

故選：B.

【變式5-3](2024?云南昆明?模擬預測)(Y+2x-y)5的展開式中，項的系數(shù)為()

A.10B.-30C.60D.-60

【答案】C

【解析】由多項式，+2x-y)5展開式的通項為&I=G(X2+2X)5T(-4，

令r=2,可得(=C；，+2?3(_y)2,

又由，+24展開式的通項為心=產(chǎn).(2x)A=2kC：x6-k,

當上=1時，可得弓=2仁；/，

所以展開式中項系數(shù)為C；x2xC；=60,

故選：C.

【變式5-4](2024.河北滄州.二模)在(尤-2y+3z)6的展開式中，回y項的系數(shù)為()

A.6480B.2160C.60D.-2160

【答案】A

【解析】(x-2y+3z)6相當于6個因式(x-2y+3z)相乘，其中一個因式取x,有C；種取法，

余下5個因式中有2個取-2y,有C；種取法，最后3個因式中全部取3z,有C；種取法，故(x-2y+3z)6展

開式中孫2Z3的系數(shù)為c；xlxC；x(-2)2xC；x33=6480.

故選：A.

題型六：求幾個二(多)項式的和(積)的展開式中條件項系數(shù)

【典例6-1】(2024?高三?全國?課后作業(yè))(l+0](x-2y)8的展開式中/y5的系數(shù)為()

A.3584B.-3584C.7168D.-7168

【答案】A

【解析】由題意可得

fl+—24=(x-2y)8+—(x-2y)8=之晨/《(-2?+牛之丈產(chǎn)“一2?,

vy)y&=oy卜=。

令8—％=3,解得k=5,令8—左=2,解得％=6,

含無學項為[(-2)5以+3X(-2)6C；卜3y5,即3584尤3y5,

所以的系數(shù)為3584,故A正確.

故選：A

【典例6-2】（2024?北京大興.三模）在+的展開式中，x的系數(shù)為（）

A.9B.15C.-18D.-45

【答案】A

【解析】（3X+1）3L-1=（3X+1）3L2-2+二］=（3X+1）372一2（3x+iy+（3x+iy二

易知，（3尤+1丫.尤2的展開式中，沒有了項;

因為-2（3x+iy的展開式的通項為：a=-2C：（3x廣，

令3-左=1,即左=2,所以-2（3x+l）3展開式中，x的系數(shù)為-2C；X33-2=-18；

又因為（3龍+葉.B的展開式的通項為：TM=C：（3元）“}=Ux33"x尤一,

a1

令1一左=1,即左=0,所以（3X+1）3.J展開式中，尤的系數(shù)為C；X33-0=27；

綜上，在（3%+1）［尤_］的展開式中，x的系數(shù)為-18+27=9,

故選：A.

【方法技巧】

分配系數(shù)法

【變式6-1］（2024.西藏.模擬預測）在停一芝）0+獷的展開式中，刀的系數(shù)為（）

A.-4B.4C.-8D.8

【答案】D

【解析】在（尤的展開式中，通項公式為（+i=C"6-，y，，

故Vy3,移5的系數(shù)分別為或,C］

所以在2—三（x+y）6的展開式中，尤2>4的系數(shù)為c：—2c：=8.

故選：D.

【變式6-2］已知-d（x+y）7展開式中x5y2的系數(shù)為28,則該展開式的各項系數(shù)和為（

A.2-8B.2.C.0D.28

【答案】D

【解析】根據(jù)（x+4的展開式通項&|=CRTy7=0,l,2,3,4,5,6,7,

當與上配對時，r=l,故的系數(shù)為c；=7,

X

當與一。配對時，r=2,故^丫?的系數(shù)為C，（—a）=—21a,

所以7—214=28,故。=一1；

故令尤=y=l,則各項的系數(shù)和為28.

故選：D.

【變式6-3］（2024?全國?模擬預測）（2孫+1）［尤-；］的展開式中三的系數(shù)為（）

A.-27B.-3C.3D.27

【答案】C

【解析】［X-；］的展開式的通項公式為4+i=c"6r；—=（-iy.

當r=4時，T5=C1?—=15—；

yy

當r=5時，T6=―或~=一62.

yy

因此（2xy+l）1-J的展開式中:的系數(shù)為1X15+2X（-6）=3,

故選：C.

【變式6-4］（2024?福建福州?模擬預測）（1-X）5（1+2X『的展開式中/的系數(shù)為（

A.-14B.-6C.34D.74

【答案】B

【解析】（lf）5的展開式為&=q.（-iy.，（r=0,1,2,3,4,5）,

（1+2尤）4的展開式及+1=（272及々氣匕=。1,2,3,4）,

當廠=0,左=2時，尤2的系數(shù)為c［2?=24；

當r=l,%=1時，/的系數(shù)為一5X4X2=T0；

當r=2,4=0時，X?的系數(shù)為C；=10,

故/的系數(shù)為24+10-40=-6.

故選：B.

題型七：求二項式系數(shù)最值

【典例7-1】(2024?貴州?模擬預測)的展開式中，二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是—.(用數(shù)字作答)

【答案】24

【解析】因為〃=4,所以二項式系數(shù)最大的項為第3項，

又(x-.1的展開式的通項公式為4M=(O4rW4,reN),

令r=2,得到與=(2%2(-2)2=24,所以二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是24,

故答案為：24.

【典例7-2】已知(1+2x)A6的二項展開式中，二項式系數(shù)最大的項為華系數(shù)最大的項為兒則h:=

3_r3

【答案】y/-

【解析】由題意得。=或?？韶敖?。丁,通項加=￡2'尤'&=0,1,2,3,4,5,6),

C-2r>a+1-2r+1

當滿足'晨時'系數(shù)最大，

12

---->----

6T；+1,即r+1>2(6—r)n14

2(7-)*,解得了

r~7-r

又?.?r=0,l,…,6

解得r=4,

所以6=C：.(2x)4=240/,

,,b3x

故片萬

故答案為：—

【方法技巧】

利用二項式系數(shù)性質(zhì)中的最大值求解即可.

【變式7-1】(I-》)'的展開式中所有二項式系數(shù)的最大值是—(用數(shù)字作答).

【答案】70

【解析】因為〃=8,所以(l-x)8的展開式中所有二項式系數(shù)的最大項為第5項,

所以（1-x）8的展開式中所有二項式系數(shù)的最大值是C；==70,

4x3x2

故答案為：70.

【變式7-2】已知。+2行”的展開式中二項式系數(shù)最大的項只有第8項，則〃=—.

【答案】M

【解析】由（l+2xf的展開式中二項式系數(shù)最大的項只有第8項，得（1+2尤了的展開式共有15項，

所以附=14.

故答案為：14

【變式7-3】已知（犬+宏）”的展開式中，第四項的系數(shù)與倒數(shù)第四項的系數(shù)之比為;，則展開式中二項式

系數(shù)最大的項的系數(shù)為一.

【答案】280或560

n

【解析】由二項式，+《）”的展開式的通項公式卻=《卜2）［；［=rcnx~^,

23c31

由題知，產(chǎn)*=解得"=7，

所以，展開式中二項式系數(shù)最大的項為第4項或第5項，

則展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為23仁或2，C；,

即展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為280或560.

故答案為：280或560.

【變式7-4］（2024.高三.江蘇蘇州.開學考試）設(shè)“為正整數(shù)，（0+b）2"展開式的二項式系數(shù)的最大值為x,

（〃+6產(chǎn)+1展開式的二項式系數(shù)的最大值為兒若9x=5y,則

【答案】4

【解析】由g+6）2"展開式的二項式系數(shù)的最大值為4則有尤=c黑，

由（〃+6產(chǎn)+1展開式的二項式系數(shù)的最大值為y,則有y=c??+1,

由9x=5y,故有9C；"=5C=,

即9x色?=5x與土"，即9x1=5x&擔，即9（〃+1）=5（2〃+1）,

n!-n!n!-（n+l）!1n+1\\7

解得n=4.

故答案為：4.

題型八：求項的系數(shù)最值

【典例8-1】已知(1-x)”的展開式中，僅有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)的最小值為()

A.-126B.-84C.-56D.-35

【答案】C

【解析】因為(1-x)”的展開式中，僅有第5項的二項式系數(shù)最大，所以〃=8,

所以展開式的通項公式為(-xy=C；(T)b"要使展開式中系數(shù)的最小值，貝卜為奇數(shù)，取值為

1,3,5,7,所以當r=3或5時，系數(shù)C；(-iy最小，則展開式中系數(shù)的最小值為C；(-l)3=C；(-l)5=-56,

故選：C

的展開式中僅第4項的二項式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最大的項是第(

C.4D.5

【答案】B

【解析】由題意二項式系數(shù)僅C：最大，故〃=6,

6-2

所以二項式為X+，其通項公式為CM=C"6T=2-C"一。=0,1,工3,4,5,6,

設(shè)二項式展開式中第r+1項的系數(shù)最大，則有

:3,即4耳7故廠=2,經(jīng)經(jīng)驗符合題意,

r>—

3

所以展開式中系數(shù)最大的項是第3項.

故選：B.

【方法技巧】

有兩種類型問題，一是找是否與二項式系數(shù)有關(guān)，如有關(guān)系，則轉(zhuǎn)化為二項式系數(shù)最值問題；如無關(guān)

系，則轉(zhuǎn)化為解不等式組：［42l+i,注意：系數(shù)比較大小.

【變式8-1］(2024?安徽?二模)已知［-彳)的展開式二項式系數(shù)和為256,則展開式中系數(shù)最大的項為

A.第5項B.第6項C.第7項D.第8項

【答案】C

【解析】由已知2"=256,故〃=8,故通項為九|=C"82]=（_l/c：2?-2*（左=0,1,…，8）,故

奇數(shù)項的系數(shù)為正數(shù)，偶數(shù)項的系數(shù)為負數(shù),

C&64C1；2

C；2°=1,C；2?<(:⑵,C&6=4C⑵,，-4-?=—'8>1

OOOOO(^4(3'5'zx

8'38C/4

故C；2$最大，因此第七項的系數(shù)最大,

故選：C.

【變式8-2]已知機為滿足S=〃+C；0G+C?+C，+…+C黑（“23）能被9整除的正整數(shù)n的最小值,則

卜-的展開式中，系數(shù)最大的項為（

)

A.第6項B.第7項C.第11項D.第6項和第7項

【答案】B

【解析】因為C；。。+C；。。+C公+C：。。+C：。。+C：。。+C：。。

,100

所以JOOJOO

Cb+Cjoo+Cioo+C*+??-+=C；oo+C+C1OO+C+.??+C^o=—=2"

所以C；。。+C：。。+C：0a+…+C：罌=299一1,

則S=n+Cf00+C^oo+C^oo+???+C[°°=2"+n-l

=23X33+H-1=833+n-l=(9-1)33+/I-1

S33231

=C°3X9-CJ3x9+C33x9+---+C1x9-C33+n-l

=(C；3X932—C；3x931+C；3X930+…+C；；)X9+"-2,

顯然C*X932-C；3X931+C；3X93。+…+/為正整數(shù)，

所以（C；3義932-C；3X931+C；3X93°+…+雋）X9能被9整除,

又〃23且S能被9整除，所以2能被9整除，

所以〃一2=9左（左￡N*）,貝I]〃=9左+2（左￡?4*）,

所以機=11,

所以在的展開式中，二項式系數(shù)最大的項為第6項和第7項,

又（x-￡|”的展開式的通項公式為?|^-1J（0<r<ll,reN）,

因為第6項的系數(shù)為負數(shù)，第7項的系數(shù)為正數(shù),

所以第6項的系數(shù)最小，第7項的系數(shù)最大.

故選：B.

【變式8-3］（x+lf4的展開式中，系數(shù)最大的項是（）

A.第11項B.第12項C.第13項D.第14項

【答案】C

【解析】因為（尤+I）24的展開通項公式為雹+1=G/24T,

又當r=12時，取最大值，

則系數(shù)最大的項是第13項工3=C）2.

故選：C.

【變式8-4］（2024?四川雅安?一模）（17嚴的展開式中，系數(shù)最小的項是（）

A.第4項B.第5項C.第6項D.第7項

【答案】C

【解析】依題意，Ox嚴的展開通項公式為＜M=C；o（Ty=（-iyC；oy（O4r41O/eN）,其系數(shù)為（-1）'?！?

當「為奇數(shù)時，才能取得最小值，

又由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知，C：。是｛G。｝的最大項，

所以當r=5時，取得最小值，即第6項的系數(shù)最小.

故選：C.

題型九：求二項展開式中的二項式系數(shù)和、各項系數(shù)和

【典例9-1】（2024?四川樂山?三模）設(shè)（％+2024）（2%-1產(chǎn)23=g+%%+%/+…+%（）249必，則

I々2024_/\

萬%齊a2聲a3,聲一（）

A.1B.-1