引言因式分解是代數(shù)運算的“橋梁”，它將多項式拆解為更簡單的乘積形式，為分式化簡、方程求解、函數(shù)分析等高級內(nèi)容奠定基礎。而提取公因式法作為因式分解的“第一步驟”，是最基本、最常用的方法——無論是公式法（如平方差、完全平方）還是分組分解法，都需要先通過提取公因式簡化多項式結構。熟練掌握提取公因式法，能幫助我們快速破解多項式的“密碼”，提升代數(shù)運算的效率與準確性。一、基本概念與步驟回顧在開始練習前，我們先梳理提取公因式法的核心邏輯，確?；A扎實。1.公因式的定義公因式是多項式各項中公共的因式，由三部分組成：系數(shù)部分：各項系數(shù)的最大公約數(shù)（GCD）；字母部分：各項都含有的相同字母；指數(shù)部分：相同字母的最低次冪（即各項中該字母指數(shù)的最小值）。例：多項式\(6x^2y-9xy^2+3xy\)的公因式是\(3xy\)（系數(shù)GCD為3，相同字母為\(x\)、\(y\)，最低次冪分別為1、1）。2.提取公因式的步驟找：確定各項的公因式（系數(shù)、字母、指數(shù)）；提：將公因式從各項中提取，剩余部分寫在括號內(nèi)（每一項是原項除以公因式的結果）；查：檢查括號內(nèi)的多項式是否還能繼續(xù)因式分解（若能，需繼續(xù)分解；若不能，則完成）。3.符號處理技巧當多項式首項系數(shù)為負數(shù)時，將負號與公因式一起提取，括號內(nèi)各項需變號。例：\(-4x+8y=-4(x-2y)\)（提公因式\(-4\)，括號內(nèi)\(x\)不變，\(8y÷(-4)=-2y\)，故為\(x-2y\)）。二、專項題型練習以下按公因式類型設計專項練習，逐一突破難點。題型1：系數(shù)為公因數(shù)（含單字母或無公共字母）特征：各項系數(shù)有GCD，字母部分可能僅一項含字母，或無公共字母。例題：分解\(5x+15\)解析：公因式為5（系數(shù)GCD），提取后得\(5(x+3)\)。練習題（寫公因式及結果）：1.\(3a+9\)（公因式：______，結果：______）2.\(4y-12\)（公因式：______，結果：______）3.\(2x+8\)（公因式：______，結果：______）4.\(7m-21n\)（公因式：______，結果：______）5.\(10+5k\)（公因式：______，結果：______）題型2：含相同多項式公因式特征：各項含相同的多項式（如\(x-2\)、\(a+b\)）。例題：分解\(m(a-2)+n(a-2)\)解析：公因式為\((a-2)\)，提取后得\((a-2)(m+n)\)。練習題（寫公因式及結果）：1.\(a(x+1)+b(x+1)\)（公因式：______，結果：______）2.\(3p(y-2)-2q(y-2)\)（公因式：______，結果：______）3.\(x(m-n)+y(m-n)\)（公因式：______，結果：______）4.\(2(a+b)+c(a+b)\)（公因式：______，結果：______）5.\(5(x-3)-(x-3)\)（公因式：______，結果：______）（提示：第二項為\(1×(x-3)\)）題型3：公因式為負系數(shù)特征：首項系數(shù)為負，需提取負公因式。例題：分解\(-6x^2+12x\)解析：公因式為\(-6x\)（負號+系數(shù)GCD+字母最低次冪），提取后得\(-6x(x-2)\)。練習題（寫公因式及結果）：1.\(-2a+4b\)（公因式：______，結果：______）2.\(-3x^2-9x\)（公因式：______，結果：______）3.\(-5y^3+10y^2\)（公因式：______，結果：______）4.\(-4m+8n-12p\)（公因式：______，結果：______）5.\(-a^2b-ab^2\)（公因式：______，結果：______）題型4：含字母指數(shù)的公因式特征：各項含相同字母，但指數(shù)不同，需取最低次冪。例題：分解\(x^3y^2+x^2y^3\)解析：公因式為\(x^2y^2\)（\(x\)最低次冪2，\(y\)最低次冪2），提取后得\(x^2y^2(x+y)\)。練習題（寫公因式及結果）：1.\(a^2b+ab^2\)（公因式：______，結果：______）2.\(x^4y^3-x^3y^4\)（公因式：______，結果：______）3.\(2m^3n^2+4m^2n^3\)（公因式：______，結果：______）4.\(3p^2q-6pq^2\)（公因式：______，結果：______）5.\(a^5b^2-a^3b^4\)（公因式：______，結果：______）題型5：多字母混合公因式特征：各項含多個相同字母，需同時考慮系數(shù)、字母及指數(shù)。例題：分解\(4a^2b-8ab^2+12abc\)解析：公因式為\(4ab\)（系數(shù)GCD4，\(a\)最低次冪1，\(b\)最低次冪1），提取后得\(4ab(a-2b+3c)\)。練習題（寫公因式及結果）：1.\(2x^2y-4xy^2+6xyz\)（公因式：______，結果：______）2.\(3a^3b^2-6a^2b^3+9a^2b^2c\)（公因式：______，結果：______）3.\(5m^2n-10mn^2+15mn\)（公因式：______，結果：______）4.\(6p^2q^3-12pq^4+18p^3q^2\)（公因式：______，結果：______）5.\(ab-ac+ad\)（公因式：______，結果：______）題型6：需要變形的公因式特征：各項含“互為相反數(shù)”的多項式（如\(b-a\)與\(a-b\)），需通過符號變形轉化為相同公因式。常見變形：\(b-a=-(a-b)\)，\(c-d=-(d-c)\)。例題：分解\(a(b-c)-d(c-b)\)解析：變形\(c-b=-(b-c)\)，原式變?yōu)閈(a(b-c)+d(b-c)\)，提取公因式得\((b-c)(a+d)\)。練習題（先變形再提?。?.\(m(n-p)+q(p-n)\)（提示：\(p-n=-(n-p)\)）2.\(2a(b+2)-3b(2+b)\)（提示：\(2+b=b+2\)）3.\(x(y-1)-y(1-y)\)（提示：\(1-y=-(y-1)\)）4.\(3(p-q)+5(q-p)\)（提示：\(q-p=-(p-q)\)）5.\(a(x-2y)+b(2y-x)\)（提示：\(2y-x=-(x-2y)\)）三、綜合練習題以下10道題覆蓋所有題型，檢驗綜合應用能力：1.\(6x+18\)2.\(m(a-3)+n(3-a)\)3.\(-4y^2+8y\)4.\(x^2y^3+x^3y^2\)5.\(3a^2b-6ab^2+9abc\)6.\(2(x+y)-3(y+x)\)7.\(-5m+10n-15p\)8.\(a(b-c)+d(c-b)\)9.\(4x^3y-8x^2y^2+12xy^3\)10.\(mn-mp+mq\)四、答案與解析專項題型練習答案題型1：1.3，\(3(a+3)\)2.4，\(4(y-3)\)3.2，\(2(x+4)\)4.7，\(7(m-3n)\)5.5，\(5(2+k)\)題型2：1.\((x+1)\)，\((x+1)(a+b)\)2.\((y-2)\)，\((y-2)(3p-2q)\)3.\((m-n)\)，\((m-n)(x+y)\)4.\((a+b)\)，\((a+b)(2+c)\)5.\((x-3)\)，\(4(x-3)\)（或\((x-3)(5-1)\)）題型3：1.\(-2\)，\(-2(a-2b)\)2.\(-3x\)，\(-3x(x+3)\)3.\(-5y^2\)，\(-5y^2(y-2)\)4.\(-4\)，\(-4(m-2n+3p)\)5.\(-ab\)，\(-ab(a+b)\)題型4：1.\(ab\)，\(ab(a+b)\)2.\(x^3y^3\)，\(x^3y^3(x-y)\)3.\(2m^2n^2\)，\(2m^2n^2(m+2n)\)4.\(3pq\)，\(3pq(p-2q)\)5.\(a^3b^2\)，\(a^3b^2(a^2-b^2)\)（注：\(a^2-b^2\)可繼續(xù)分解為\((a+b)(a-b)\)，但本題僅需提取公因式）題型5：1.\(2xy\)，\(2xy(x-2y+3z)\)2.\(3a^2b^2\)，\(3a^2b^2(a-2b+3c)\)3.\(5mn\)，\(5mn(m-2n+3)\)4.\(6pq^2\)，\(6pq^2(pq-2q^2+3p^2)\)5.\(a\)，\(a(b-c+d)\)題型6：1.\((n-p)(m-q)\)（變形后：\(m(n-p)-q(n-p)\)）2.\((b+2)(2a-3b)\)（無需變形）3.\((y-1)(x+y)\)（變形后：\(x(y-1)+y(y-1)\)）4.\(-2(p-q)\)（變形后：\(3(p-q)-5(p-q)\)）5.\((x-2y)(a-b)\)（變形后：\(a(x-2y)-b(x-2y)\)）綜合練習題答案1.\(6(x+3)\)（題型1）2.\((a-3)(m-n)\)（題型6，變形\(3-a=-(a-3)\)）3.\(-4y(y-2)\)（題型3）4.\(x^2y^2(x+y)\)（題型4）5.\(3ab(a-2b+3c)\)（題型5）6.\(-(x+y)\)（題型2，公因式\((x+y)\)）7.\(-5(m-2n+3p)\)（題型3）8.\((b-c)(a-d)\)（題型6，變形\(c-b=-(b-c)\)）9.\(4xy(x^2-2xy+3y^2)\)（題型5）10.\(m(n-p+q)\)（題型5）五、易錯點提醒1.漏掉系數(shù)GCD：如\(6x+4\)，公因式是\(2\)，而非\(x\)；2.漏掉字母最低次冪：如\(x^3+x^2\)，公因式是\(x^2\)，而非\(x^3\)；3.符號錯誤：提取負公因式時，括號內(nèi)各項未變號，如\(-2x+4\)，正確結果是\(-2(x-2)\)，而非\(-2(x+2)\)；4.未變形直接提取：如\(a(b-c)+d(c-b)\)，需先變形為\(a(b-c)-d(b-c)\)再提取；5.檢查不