2．4.1向量在幾何中的應(yīng)用[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的幾何問題及其他一些實際問題的過程.2.體會向量是一種處理幾何問題的有力工具.3.培養(yǎng)運算、分析和解決實際問題的能力．[知識鏈接]1．向量可以解決哪些常見的幾何問題？答(1)解決直線平行、垂直、線段相等、三點共線、三線共點等幾何問題．(2)解決有關(guān)夾角、長度及參數(shù)的值等的計算或度量問題．2．用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”是怎樣的？答(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，距離，夾角等問題；(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．向量在平面幾何中的應(yīng)用(1)證明線段平行問題，常用向量平行(共線)的等價條件：a∥b(b≠0)?a＝λb?x1y2－x2y1＝0.(2)證明垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等價條件：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.(3)求夾角問題，常常利用向量的夾角公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).(4)求線段的長度或證明線段相等，可利用向量的線性運算、向量模的公式|a|＝eq\r(x2＋y2).2．向量在解析幾何中的應(yīng)用設(shè)直線l的傾斜角為α，斜率為k，A(x1，y1)∈l，P(x，y)∈l，向量a＝(a1，a2)平行于l，由直線斜率和正切函數(shù)的定義，可得k＝eq\f(y－y1,x－x1)＝eq\f(a2,a1)＝tanα.如果知道直線的斜率k＝eq\f(a2,a1)，則向量(a1，a2)一定與該直線平行．這時向量(a1，a2)稱為這條直線的方向向量．如果表示向量的基線與一條直線垂直，則稱這個向量垂直該直線．這個向量稱為這條直線的法向量．即直線y＝kx＋b的方向向量為(1，k)，法向量為(k，－1)；直線Ax＋By＋C＝0的方向向量為(B，－A)，法向量為(A，B)．要點一平面幾何中的垂直問題例1如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，求證：AF⊥DE.證明方法一設(shè)eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則|a|＝|b|，a·b＝0，又eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(b,2)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝b＋eq\f(a,2)，所以eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(a,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(b,2)))＝－eq\f(1,2)a2－eq\f(3,4)a·b＋eq\f(b2,2)＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,2)|b|2＝0.故eq\o(AF,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE.方法二如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為2，則A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(xiàn)(2,1)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(1，－2)．因為eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以eq\o(AF,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE.規(guī)律方法對于線段的垂直問題，可以聯(lián)想到兩個向量垂直的條件(向量的數(shù)量積為0)，而對于這一條件的應(yīng)用，可以考慮向量關(guān)系式的形式，也可以考慮坐標(biāo)的形式．跟蹤演練1如圖，點O是△ABC的外心，E為三角形內(nèi)一點，滿足eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，求證：eq\o(AE,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).證明∵O為外心，∴|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|.∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|2－|eq\o(OB,\s\up6(→))|2＝0，即eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.故eq\o(AE,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).要點二平面幾何中的長度問題例2如圖所示，四邊形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延長線交BA的延長線于F.求證：AF＝AE.證明如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為1，則A(－1,1)，B(0,1)．若設(shè)E(x，y)，則eq\o(BE,\s\up6(→))＝(x，y－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，－1)．又∵eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(BE,\s\up6(→))，∴x·(－1)－1×(y－1)＝0，∴x＋y－1＝0.又∵|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴x2＋y2－2＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2＝0，,x＋y－1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1＋\r(3),2)，,y＝\f(1－\r(3),2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1－\r(3),2)，,y＝\f(1＋\r(3),2)))(舍)．即Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(3),2)，\f(1－\r(3),2))).又設(shè)F(x′，1)，由eq\o(CF,\s\up6(→))＝(x′，1)和eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(3),2)，\f(1－\r(3),2)))共線得：eq\f(1－\r(3),2)x′－eq\f(1＋\r(3),2)＝0，得x′＝－2－eq\r(3)，∴F(－2－eq\r(3)，1)，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝(－1－eq\r(3)，0)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋\r(3),2)，－\f(1＋\r(3),2)))，∴|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋\r(3),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1－\r(3),2)))2)＝1＋eq\r(3)＝|eq\o(AF,\s\up6(→))|，∴AF＝AE.規(guī)律方法向量法求平面幾何中的長度問題，即向量長度的求解，一是利用圖形特點選擇基底，向向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐標(biāo)系，確定相應(yīng)向量的坐標(biāo)，代入公式：若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2).跟蹤演練2如圖，平行四邊形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，對角線BD＝2，求對角線AC的長．1．若M為△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足(eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→)))·(eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))－2eq\o(MA,\s\up6(→)))＝0，則△ABC為()A．直角三角形B．等腰三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形答案B解析由(eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→)))·(eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))－2eq\o(MA,\s\up6(→)))＝0，可知eq\o(CB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，設(shè)BC的中點為D，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，故eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(CB,\s\up6(→))⊥eq\o(AD,\s\up6(→)).又D為BC的中點，故△ABC為等腰三角形．2．如圖，在圓O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，則eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值是()A．－8B．－1C．1D．8答案D解析取BC的中點D，連接AD、OD，則有OD⊥BC，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\x(\o(AC,\s\up6(→)))2－eq\x(\o(AB,\s\up6(→)))2)＝eq\f(1,2)×(52－32)＝8，選D.3．正方形OABC的邊長為1，點D、E分別為AB，BC的中點，試求cos∠DOE的值．解以O(shè)A，OC所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，由題意知：eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，故cos∠DOE＝eq\f(\o(OD,\s\up6(→))·\o(OE,\s\up6(→)),|\o(OD,\s\up6(→))|·|\o(OE,\s\up6(→))|)＝eq\f(1×\f(1,2)＋\f(1,2)×1,\f(\r(5),2)×\f(\r(5),2))＝eq\f(4,5).即cos∠DOE的值為eq\f(4,5).4．在△ABC中，AB＝AC，D為AB的中點，E為△ACD的重心，F(xiàn)為△ABC的外心，證明：EF⊥CD.證明建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)A(0，b)，B(－a,0)，C(a,0)，則D(－eq\f(a,2)，eq\f(b,2))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－eq\f(3,2)a，eq\f(b,2))．易知△ABC的外心F在y軸上，可設(shè)為(0，y)．由|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝|eq\o(CF,\s\up6(→))|，得(y－b)2＝(－a)2＋y2，所以y＝eq\f(b2－a2,2b)，即F(0，eq\f(b2－a2,2b))．由重心坐標(biāo)公式，得E(eq\f(a,6)，eq\f