指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

要求的。

1.已知函數(shù)〃x）=log2（--x）,則函數(shù)“X）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.(-co,0)U(l,+oo)B.(0,1]

c.(0,1)D.(-co,0)u[l,+oo)

2.已知Q=logs2,2人=3,則1%15=()

171ba

A.—+bB.—FaC.一D.-

abab

2

3.已知-。是奇函數(shù)，則。=（）

5X-1

1

A.1B.-1c.ID.——

22

4?若函數(shù)的定義域和值域的交集為空集，則a的取值范圍是（）

A.(0,2)B.(0,1)C.(1,4)D.(2,4)

5.若實(shí)數(shù)a1滿足a膏修=1,則的最大值為（）

1111

A.—B.-C.-D.-

16248

+a+

6.已知。＞1,函數(shù)〃x）=.則“X）的值域?yàn)椋ǎ?/p>

[log。x,x>a,

A.RB.(0,+co)C.[1,+℃)D.[。,+℃)

7.已知函數(shù)〃其=2-3|,若關(guān)于x的方程丁-2布"（x）+3=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則力的取值范

圍是（）

8.己知函數(shù)/（x）=2G^+|x-1-4恰好有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.設(shè)/（力=/+2》+1,g（x）=3-3*,A（^）=log2（x+1）,當(dāng)xe（3,+s）時(shí)，對(duì)這三個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)速度進(jìn)行

比較，下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是()

A./(x)的增長(zhǎng)速度最快，”x)的增長(zhǎng)速度最慢

B.g(x)的增長(zhǎng)速度最快，"x)的增長(zhǎng)速度最慢

C.g(x)的增長(zhǎng)速度最快，的增長(zhǎng)速度最慢

D.的增長(zhǎng)速度最快，g(x)的增長(zhǎng)速度最慢

10.已知事函數(shù)/(》)=(加-l)x"'WeR),則下列說法正確的是()

A.m=3

B.函數(shù)/(x)為偶函數(shù)

C.不等式〃耳＜2工+8的解集為(-2,4)

D.若函數(shù)g(x)=］bg(:勺;;：：丫＞0("＞°'且a")在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)0的取值范圍為

。，2)

11.已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞減，且滿足/(4+x)+/(x)=2/(—2),

/(2+x)+/(2-x)=0,則下列說法正確的是()

A./(-2)=0B./(2025)＞0

C./(log29)＞/(3)D./⑴+心＜0

第II卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.設(shè)函數(shù)=嗎。X)，則〃_6)+/(岷12)=.

13.一種藥在病人血液中的量低于lOOOmg,病人就有危險(xiǎn).現(xiàn)給某病人的靜脈注射了這種藥3000mg,如果

藥在血液中以每小時(shí)20%的比例衰減，那么最遲應(yīng)在____h內(nèi)再向病人的血液補(bǔ)充這種藥(精確到O.lh,

參考數(shù)據(jù)：lg3?0.48,lg5?0.7).

14.已知函數(shù)〃》)=要京!，的對(duì)稱中心是(4,6),若正數(shù)機(jī),〃滿足2加〃2=6,則：+8加+2及〃的最

小值是.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

2------------

15?(13分)(1)求一—6砥3+9g一2)2-log25-logs4的值；

(2)若Ig3=a,lg5=6,用表示I0&52.

16.(15分)已知加＞0,7(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí)，/(x)=ln(x+m)+x.

(1)求加的值；

⑵求，(尤)在(-8,0)上的解析式；

⑶解不等式“x)<e.

17.(15分)近年來，"國(guó)潮"不斷涌現(xiàn)，涉及影視劇，文藝演出，音樂，美術(shù)，建筑，家具，服裝等各

個(gè)方面.百度與人民網(wǎng)研究院聯(lián)合發(fā)布的報(bào)告顯示，近十年來"國(guó)潮"關(guān)注度增長(zhǎng)了528%."國(guó)潮”的興

起，體現(xiàn)了國(guó)人審美的變化，也體現(xiàn)了年輕人正視世界的信心和更強(qiáng)的文化自信.若預(yù)計(jì)年利潤(rùn)低于10%

時(shí)，則該廠就要考慮轉(zhuǎn)型，下表顯示的是該廠近幾年來年利潤(rùn)了(百萬元)與年投資成本x(百萬元)變

化的一組數(shù)據(jù)：(年利潤(rùn)率=苗齡鱉)

年投資成本x

年份2019202020212022

年投資成本

461018

X

年利潤(rùn)y1234

A

給出以下3個(gè)函數(shù)模型：①V=x+6；=Z>-a(/77t0,a>0,a=loga(x+Z?)(a>0,a^l)

(1)選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來描述無，V之間的關(guān)系，并求出其解析式；

(2)試判斷當(dāng)該廠年利潤(rùn)不低于6百萬元時(shí)，該廠是否要考慮轉(zhuǎn)型.

18.(17分)已知二次函數(shù)〃x)=x2+bx+c的兩個(gè)零點(diǎn)分別是-1和3.

(1)求6、c的值;

⑵判斷函數(shù)/'(x)在［2,+8)上的單調(diào)性，并用定義法證明；

⑶求函數(shù)”幻在內(nèi)的值域.

19.(17分)取名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲?布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理.該定理

表明：對(duì)于滿足一定條件的圖象連續(xù)不間斷的函數(shù)/(幻，在其定義域內(nèi)存在一點(diǎn)吃,使得/(Xo)=x°,則

稱X。為函數(shù)“X)的一個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”.若/(/(%))=%,則稱X。為“X)的“穩(wěn)定點(diǎn)”.

已知函數(shù)/'(x)=ax(x-l),若。>0

(1)已知g(x)=/(x)+l,若g(x)只有一個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”，求。的值;

⑵函數(shù)/(好的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”組成的集合分別記為/和B,即/={x"(x)=x},8={x"(〃x))=x}.

證明：AjB；

(3)討論的穩(wěn)定點(diǎn)個(gè)數(shù).

參考答案

題號(hào)12345678910

答案AABBDCDCACDBC

題號(hào)11

答案ABD

1.A

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)中真數(shù)大于零列不等式求解即可.

【詳解】要使函數(shù)/(x)有意義，

則-―工〉。，解得x<0或x>l,

所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-嗎0)。(1,+8).

故選：A

2.A

【分析】先利用對(duì)數(shù)的換底公式得1=log?5,^=log23,最后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可求解.

a

."log921I1廠八

【詳解】由題意有--^-=log25,2"=3=6=log23,

log25log25a

所以log,15=log3+log,5=b+~,

2a

故選：A.

3.B

【分析】利用奇函數(shù)的定義列式求解.

【詳解】函數(shù)/'(幻二島-。的定義域?yàn)閧x|xwO},由〃x)為奇函數(shù)，得〃x)+/(r)=0,

故選：B

4.B

【分析】結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)先求出定義域，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的及二次函數(shù)的性質(zhì)求出值域，即可求解.

【詳解】由題意可得函數(shù)的定義域?yàn)閧x|xVa},

當(dāng)xVO時(shí)，〃x)=2'+3e(3,4],

要使得定義域和值域的交集為空集，則0<。43,

又0<xWa時(shí)，f(x)=(X-2)",

若。22,則42)=0,此時(shí)顯然不滿足題意，

若0<a<2,則〃x)在(0同上單調(diào)遞減，/(X)G[(?-2)2,4),

故/(x)e[g-2)、4)U(3,4],

所以卜<("2),解得o<a<i.

故選：B.

5.D

【分析】由指數(shù)運(yùn)算可得。+26=1,再由二次函數(shù)可得仍的最大值.

【詳解】因?yàn)閑-2J=l,所以e心-i=e°即。+26=1,

故仍=6(1-26)=-2,即仍vg,當(dāng)且僅當(dāng)△=；時(shí)等號(hào)成立,

故仍的最大值為:，

O

故選：D.

6.C

【分析】計(jì)算分段函數(shù)〃x)在每一段上的值域，求并集可得結(jié)果.

【詳解】當(dāng)無Wa時(shí)，f(x)=-x+a+\,/(x)在(-8,可上為減函數(shù)，

所以/(x)>/(fl)=-a+a+l=l.

當(dāng)X>4時(shí)，/(X)=logax,

因?yàn)閍>l,所以/'(x)在(見+oo)上為增函數(shù)，

所以“X)>/(?)=log。a=\.

綜上得，“X)的值域?yàn)閇1,+8).

故選：C.

7.D

【分析】作出/(無)=歸一3]的圖象，由題意知f=〃x)=忙-3|有兩個(gè)根再結(jié)合二次方程有兩個(gè)不同的根

△>0即可求得加的范圍.

【詳解】令f==貝。令s?)=/-2m+3,即W)=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.

則s(t)要有兩個(gè)解?

由圖知，tx^t2,0<tt<3,0<Z2<3.

A=(2m)2-4x3>0,得m<-百或m〉氏.

則;2"±2而/=機(jī)土府三

2

22

令4=加一J加2-3,0<加一］加2一3<3，得加>，加2—3，貝t2=m+yjm-3,0<m+y］m-3<3,

得3—加>-\lm2-3，掰<2.

則V3<m<2.

故選:D.

8.C

【分析】將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，則可得函數(shù)g(x)=25工與函數(shù)

5-x,x>1

/z(x)=4-|x-l|=恰有3個(gè)交點(diǎn)，再將兩函數(shù)圖象畫出，分析圖象即可得解.

3+x,x<1

［詳解］令f(x)=x-a+4_1|_4=0,則=4_k_”,

則函數(shù)g(x)=26工與函數(shù)心)=4-卜-1|=［：；恰有3個(gè)交點(diǎn),

IJI?A-jX

則函數(shù)g(X)=2ylx-a與y=5-x有一橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn)，

即有g(shù)(l)<4l),即2Vf^<4,解得一3<aVl；

函數(shù)g(x)=2行工■與y=3+x有兩個(gè)橫坐標(biāo)小于1的交點(diǎn),

令2>Jx—a=3+x,Wx2+2x+9+4a=0,

則A=2?-4(9+4。)=一32-16。>0,解得a<-2,

綜上所述，Ge(-3,-2).

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，從而可借助圖象，數(shù)形

結(jié)合解答問題.

9.ACD

【分析】做出三個(gè)函數(shù)/(x)=，+2x+l,g(x)=3-3\Mx)=log2(x+1)的圖象,結(jié)合圖象，即可求解.

【詳解】做出三個(gè)函數(shù)/(力=/+2工+1,g(x)=3-3\/z(x)=log2(x+l)的圖象，

如圖所示：

通過圖象可知三個(gè)函數(shù)〃x)=x2+2x+l,g(x)=3-3\〃(x)=log2(x+l)中，

當(dāng)xe(3,+⑹時(shí)，g(x)=3-3*增長(zhǎng)速度最快，“x)=log2(x+l)的增長(zhǎng)速度最慢，

故B正確，ACD錯(cuò)誤.

故選：ACD.

10.BC

【分析】根據(jù)條件得/(x)=/,即可判斷選項(xiàng)A的正誤，對(duì)于B,利用奇偶函數(shù)的判斷方法，即可求

［a>1

解；對(duì)于C,利用一元二次不等式的解法，即可求解；對(duì)于D,根據(jù)條件得||.、八，即可求解.

【詳解】由幕函數(shù)的定義，知〃-1=1,解得“7=2,所以/(x)=/,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,易知/'(x"/的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

又〃r)=(f)2=x2=/(x),得函數(shù)/(無)為偶函數(shù),所以選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,由/(x)<2x+8,得X2-2X-8<0,解得-2<X<4,所以選項(xiàng)C正確；

_工21<0

對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)楹瘮?shù)g(x)='"八在R上單調(diào)遞增，

loga(X+l)+2-6Z,X>0

\a>1

必有I,C、八，解得1<。42,所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤?

［log/+2-a20

故選：BC.

11.ABD

【分析】推導(dǎo)出〃x)=〃x+8),在等式〃2+x)+〃2-x)=0中，令x=0可求得/(2)的值，在等式

44+”+/(力=2/(-2)中，令％=-2可求得/(-2)的值，可判斷A選項(xiàng)；由函數(shù)的周期性結(jié)合函數(shù)

在［0,2］上的單調(diào)性可判斷B選項(xiàng)；利用函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性可知，函數(shù)在區(qū)間［2,4］上單調(diào)

遞減，可判斷C選項(xiàng)；在等式〃2+x)+/(2-x)=0中，令尤=1,可得出〃1)+〃3)=0,再由

〃3)>/弓］可判斷口選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)?(4+x)+/(x)=2/(-2),所以/(8+力+/(4+尤)=2/(-2),

所以f(x)=f(x+8).

因?yàn)椤?+尤)+〃2_”=0,取x=0,得〃2)=0.

因?yàn)椤?+x)+/(x)=2〃-2),取x=-2,得/(2)+/(-2)=2/(-2),

又/⑵=0,所以-2)=/(2)=0,故A正確;

由/(x)在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞減,得/⑴>/⑶=0,

又〃x)=〃x+8),且2025=8x253+1,所以/(2025)=/(1)>0,故B正確;

因?yàn)?2+x)+/(2-x)=0,所以函數(shù)〃x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱，

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞減，所以〃x)在區(qū)間［2,4］上單調(diào)遞減，

因?yàn)??<9<23則3<log29<4,所以/(log29)</(3),故C錯(cuò)誤；

由〃2+x)+〃2-x)=0,取x=l,得/⑴+〃3)=0,

又所以〃1)+/(3=-〃3)+/g1<0,故D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)稱性與周期性之間的常用結(jié)論：

(1)若函數(shù)“X)的圖象關(guān)于直線和x=b對(duì)稱，則函數(shù)“X)的周期為7=2,一小

(2)若函數(shù)〃x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(。,0)和點(diǎn)僅,0)對(duì)稱，則函數(shù)/(x)的周期為7=2|。-%

(3)若函數(shù)/⑺的圖象關(guān)于直線x=。和點(diǎn)修⑼對(duì)稱，則函數(shù)/⑺的周期為7=4|°-比

12.7

【分析】根據(jù)分段函數(shù)先求/(-6),結(jié)合對(duì)數(shù)恒等式再求/(log?12)即可求解.

【詳解】由題意有：/(-6)=l+log3(3+6)=l+log39=l+2=3,

Iog312110&1

/(log312)=3-=3^3-'=12x1=4,

所以/(-6)+/(1唱12)=3+4=7

故答案為：7.

13.4.8

【詳解】設(shè)最遲應(yīng)在％小時(shí)內(nèi)再向病人的血液補(bǔ)充這種藥,

依題意，可得3000(1-0.2丫21000,

,1

整理，得x?log4；,

53

Ig3lg3

又因?yàn)?0g4-=~~?4.8,

73Ig5-lg431g5-2

最遲應(yīng)在4.8h內(nèi)再向病人的血液補(bǔ)充這種藥.

14.10

【分析】根據(jù)題意分析了（X）的對(duì)稱中心可得6的值，即可得加"=1,又由

工+8機(jī)+2亞n=l+4?7+4m+&〃+也〃,結(jié)合基本不等式的性質(zhì)分析可得結(jié)果.

mm

【詳解】根據(jù)題意/3=展修=妥手

Qr\2—x.Qr\x.ry2—XQX.

則有所以〃++

故的對(duì)稱中心為（1,2）,可得6=2；

又正數(shù)私〃滿足2加〃之=6,即可得冽〃2=1；

所以‘■+8加+2y[2n=—+4m+4m+y[2n+y/ln>5?J—?4m-4m-y[2n?42n

mmVm

=5-y32加“2=5>2=10；

當(dāng)且僅當(dāng)工=4加=收〃時(shí)，即加時(shí)，等號(hào)成立

m2

此時(shí)工+8祖+2及”的最小值是10.

m

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)解析式求得對(duì)稱中心，得出加1=1,再由基本不等式的推廣

計(jì)算可得結(jié)果.

15.(1)1-V3;(2)

a+b

【分析】（1）根據(jù)指數(shù)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可求值;

（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算和換底公式，即可求解.

、-i--------------------

【詳解】_>°S,,32

(1)6+-2)-log25-log54

（當(dāng)二+僅-碼-導(dǎo)號(hào)

"一3+2一回魯

=4-3+2-73-2=1-73

,10

lg

lg2Tlgl0-lg5l-b

(2)log2

15lgl5lg(3-5)1g3+1g5a+b

16.(l)m=l

(2)f(x)=-In(-x+1)+x

(3)(-co,e-l)

【分析】(1)根據(jù)/'(x)時(shí)R上的奇函數(shù)，利用/(。)=0即可求心；

(2)根據(jù)函數(shù)/⑺為奇函數(shù)，/(x)=-/(r)即可求f(x)在(-8,0)上的解析式;

(3)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合/(e-l)=e即可解不等式.

【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(。)=0,

故Inm=0,解得m=1.

(2)令xe(-co,0),貝卜xe(0,+oo),所以/'(-x)=ln(-x+1)-x.

因?yàn)?(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以〃x)=-/(f),

則/(x)=-In(f+1)+x(x<0),即/(x)在(一8,0)上的解析式為/(x)=-ln(-x+l)+x.

(3)當(dāng)x20時(shí)，/(x)=ln(x+l)+無，易得/(X)在［0,+8)上單調(diào)遞增.

因?yàn)?(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(x)在R上單調(diào)遞增.

又/(e-l)=e,所以〃x)<e的解集為

17.(1)選擇③來描述X，V之間的關(guān)系，函數(shù)解析式為N=bg2(x-2)；

(2)該企業(yè)要考慮轉(zhuǎn)型.

【分析】(1)利用表格中的數(shù)據(jù)分別計(jì)算判斷，確定函數(shù)關(guān)系.

(2)利用(1)中結(jié)論，求出年利潤(rùn)率判斷得解.

【詳解】(1)點(diǎn)(4,1),(6,2)不同在函數(shù)了=x+6的圖象上，①不符合要求；

將(4,1),(6,2)代入尸優(yōu)，得加6=1,解得a=逝,6=!，丫=。后,

\ba=7.44

當(dāng)x=10時(shí)，y=8,不符合要求;

|log(4+6)=1

將(4,1),(6,2)代入尸log”(x+6),得二解得。=2力=-2,

[bg4(6+6)=2

y=log2(x-2),當(dāng)x=10時(shí)，>=3；當(dāng)x=18時(shí)，J=4,符合題意，

所以選擇③來描述X，V之間的關(guān)系，函數(shù)解析式為P=log2(x-2).

(2)由(1)知,y=log2(x-2),當(dāng)時(shí)，log2(x-2)26,解得xN66,

當(dāng)y=6,x=66時(shí)的年利潤(rùn)率二=1<10%,所以該廠要考慮轉(zhuǎn)型.

6611

⑵“X)在[2,+co)上單調(diào)遞增，證明見解析;

⑶[-4,5].

【分析】(1)應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系求參數(shù)值；

(2)由單調(diào)性定義，令』>遍22,應(yīng)用作差法比較/(再),/(%)的大小，即可證;

(3)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求區(qū)間值域即可.

-1+3=-/)b=-2

【詳解】(1)由題意得一lx3=c,解得

c--3

(2)在⑵+8)上單調(diào)遞增，證明如下:

由(1)知/(x)=x2-2x-3,令再>/22,

所以/(x1)-/(x2)=(x；-2%-3)-宙-2x2-3)=(的+馬)(%-%)-2(占一3)

=(X1+X2-2)(X1-X2),

而西+工2—2>0,再一%>°，貝1]/(%)-〃％)>0，所以/(%)>/(馬)，

綜上，〃x)在[2,+◎上單調(diào)遞增.

(